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56697638 tema-22-el-aprendizaje-de-los-numeros-y-el-calculo-numerico[1] 56697638 tema-22-el-aprendizaje-de-los-numeros-y-el-calculo-numerico[1] Document Transcript

  • TEMA 22 EL APRENDIZAJE DE LOS NUMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO.NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS y DECIMALES. SISTEMAS DENUMERACIÓN. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. OPERACIONES DE CÁLCULO YPROCEDIMIENTOS DEL MISMO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN YCALCULADORA). INTERVENCIÓN EDUCATIVAINTRODUCCIÓNEn el área de matemáticas el alumnado desarrolla habilidades para utilizar y relacionarnúmeros, sus operaciones básicas, símbolos… pero ¿para qué? Para producir einterpretar distintos tipos de información, para ampliar el conocimiento sobre aspectoscuantitativos y espaciales de la realidad y resolver problemas de la vida cotidiana. Lossiguientes apartados serán analizados con detalle en el presente tema desde el puntode vista de la planificación de la enseñanza y la intervención didácticas:- El aprendizaje de los números y el cálculo numérico, su importancia y utilidad- Los números naturales, enteros, fraccionarios y decimales;- Los sistemas de numeración y la representación numérica;- Relaciones entre los números. Las operaciones aritméticas y la resolución deproblemas aritméticos;- El cálculo aritmético, los hechos numéricos y los algoritmos y procedimientos decálculoConcluiremos el tema con algunas consideraciones sobre la intervención educativa enPrimaria.EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICOLos números son símbolos con los cuales se busca indicar una cantidad. Los números ylas operaciones aritméticas son fundamentales para el individuo, la sociedad, la cienciay la vida cotidiana e intervienen en multitud de actividades.Para contar: puede ser cardinal (tengo cinco cromos);- Para numerar según diversos propósitos: número de niños de la clase; para ubicar(en la segunda estantería), para localizar (número de vivienda), para nominar(teléfono, matrícula);- Para medir: describir medidas, valorar (porcentajes), asignar un número a unacantidad discreta (cardinar);- Para operar: sumar, restar, etc.;- Para ordenar: el primero, segundo (número ordinal).
  • Pero la importancia de estos conocimientos va más allá de su utilidad prácticacotidiana:c constituyen la base para la mayoría de los conocimientos matemáticosc son fundamentales para otros conocimientos científicos y otras disciplinasc tienen un alto valor formativo contribuyendo al desarrollo de capacidades de altonivel.La construcción de las nociones numéricas constituye una de las tareas más complejasen los primeros niveles educativos. El dominio del número y las operaciones requieredel desarrollo de conocimientos, capacidades y destrezas complejas relacionadas conlos siguientes aspectos:“Numeración”: - Campos conceptuales numéricos: número y cantidad; númerocardinal y ordinal; composiciones numéricas (inicio a las operaciones aritméticas);números naturales, enteros, fraccionarios y decimales; significados; usos, aplicacionesy relaciones.- Representaciones numéricas: cifras; secuencia numérica; contar; unidad, decena ycentena; escritura numérica: signos y reglas; sistema posicional; numeración habladay escrita; tipos de números, etc..2. Comprender y utilizar las “Operaciones Aritméticas” sobre la base de loslogros del bloque anterior, lo que significa dominar los dos grandes campos siguientes:a. Conceptos, significados, aplicaciones, representaciones, estructuras y propiedadesde las Operaciones aritméticas, contemplando las situaciones en las que se aplican y laresolución de problemas aritméticos, sean o no de enunciado verbal.b. Conocer, comprender y desarrollar habilidades, técnicas y estrategias sobre losAlgoritmos y el cálculo aritmético, incluido el cálculo mental, el cálculo escrito de lápizy papel, los hechos numéricos, las tablas y el uso de instrumentos de cálculo ymodelos intermedios (ábacos, calculadoras, bloques multibase, etc.)NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALESNúmeros naturalesSon los números que forman parte del conjunto N = {0, 1, 2, 3, . . }. Sirven paracontar, asignar un valor a la cantidad de objetos separados de un conjunto Entre elloshay definidas varias operaciones (suma, resta, multiplicación y división) y una relaciónde orden (menor o igual (≤)) El número cero tiene algunas particularidades que lodistinguen de los demás números. Como cardinal el cero indica conjunto vacío
  • Números enterosConsideramos el conjunto de los números naturales N (que llamaremos enterospositivos) al que unimos el número 0 y los números naturales con signomenos(llamados negativos). El conjunto unión de todos esos números es el conjuntode números enteros.Z= …-2,-1,0,+1,+2,…Números fraccionariosLa noción de numero fraccionario surge de la necesidad de resolver un problema de ladivisión de tal forma que la división de dos números naturales cuyo resultado no seaotro número entero forma un número fraccionario Ej.: 8/3Características:- Una fracción es irreductible cuando sus dos términos no pueden seguir dividiéndose- Dos fracciones son equivalentes si ambas representan el mismo valor numérico- El denominador nunca puede ser 0- Las fracciones con numerador igual al denominador son equivalentes y representan al número 1- Las fracciones de denominador 1 y numerador positivo representan a los números naturales.- Las fracciones cuyo resultado de dividir numerador entre denominador sea un número entero representan a un número entero, por tanto, los números enteros son un subconjunto de los racionales.Números decimalesPodemos entender el número decimal aquel número fraccionario cuyo denominador es10 o una potencia de 10.Ej.: 4/5 - 125/100Podemos clasificarlos en:-Finitos: son los que tiene un número finito de cifras decimales (4,45)-Infinitos: los que tienen un número infinito de cifras decimales (4,66666…) si una cifrase repite constantemente será periódico.
  • SISTEMAS DE NUMERACIÓN Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y signos que se emplean para expresar todos los números usando un número finito de símbolos. El objetivo fundamental ha sido siempre el de describir medidas o cantidades mediante unos pocos signos y operar con ellos de la manera más sencilla posible. Los sistemas de numeración se caracterizan por los siguientes elementos: base, cifras o dígitos y principios y reglas. Las características generales de los sistemas de numeración son:- Los signos no representan sólo unidades, sino también grupo de unidades. A cada uno de esos grupos de unidades se les llama unidad de orden superior. Al número de unidades que constituye cada unidad de orden superior se le llama base del sistema de numeración.- Cualquier número se representa mediante combinaciones de los signos definidos en el sistema de numeración. Los sistemas de numeración podemos clasificarlos en tres grupos: aditivos, multiplicativos y posicionales. El sistema de numeración que utilizamos para representar nuestros números es posicional y basado en 10 símbolos, por lo tanto es decimal o de base 10. Posicional significa que cada símbolo tiene significado diferente según la posición Ej.: 247 / 724 son diferentes aunque se escriben con las mismas cifras. Esto se debe a que cada número es un polinomio de la potencia 10. 247= 2.100+4.10+7 724= 7.100+2.10+4 Existen otros sistemas de numeración diferentes al que usualmente utilizamos: En la tecnología de los ordenadores informático se utilizan sistemas de numeración con base 2(binario) que utiliza los símbolos 0 y 1 . Otra de las bases es la 16 (hexagesimal) que utiliza los símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E El número 10012 es el 9 Los astrónomos babilónios usaban un sistema con base 60 (sexagesimal) .Un resto de esta práctica es la unidad de grado que utilizamos para medir los ángulos dividiendo un círculo en 360 partes. Otra reminiscencia es la división de la hora en 60 minutos y los minutos en 60 segundos.
  • RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS. LAS OPERACIONES ARITMÉTICASLos números son útiles, entre otras cosas, porque se pueden combinar entre sí paraobtener nuevos números.operaciones aritméticas en el currículo de PrimariaSe han de trabajar a lo largo de todos los cursos de Educación Primaria los siguientesaspectos:1. las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir números naturales:significados y contextos; problemas aritméticos; aplicaciones de las operacionesaritméticas2. representación y terminología de las operaciones aritméticas: signos, igualdades,tipos (vertical, horizontal); lenguaje asociado (doble, mitad, etc.);3. propiedades de las operaciones aritméticas4. relaciones entre el sistema decimal, los hechos numéricos, las relaciones entrenúmeros y las operaciones aritméticas.PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN YCALCULADORA).La mayor parte del currículo de matemáticas de Educación Primaria está dedicadaa la enseñanza de los algoritmos de las operaciones aritméticas elementales y a laadquisición de destrezas de cálculo aritmético. Las razones son:-El trabajo sobre los algoritmos facilita la comprensión de los números y suspropiedades, ayuda a aprender a gestionar la información- El cálculo mejora las capacidades para el desarrollo de la autonomía, facilita elrazonamiento, etc.- Calcular y operar influye sobre las habilidades de estimación y aproximación concantidades y medidas, desarrolla las competencias de pensar y razonar o argumentar yfacilita la toma de decisiones en numerosas situaciones cotidianasCálculo escrito:Un algoritmo es un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas,ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos queno generen dudas a quien deba realizar dicha actividadUn algoritmo posee propiedades: claridad, eficacia y universalidad, con lo que seconsigue que su realización se convierta en algo mecánico, resuelto con un número
  • finito de pasos y que se resuelve siempre de la misma forma, independientemente dela magnitud de los números con los que se opere. Es importante explicar y que losalumnos aprendan cómo se colocan los números para cada operación.Cálculo mentalRealización de procedimientos de cálculo mediante procesos mentales internos(algoritmos mentales).Cálculo estimado o cálculo aproximadoEs el que se realiza cuando lo que se persigue no es la exactitud del resultado. Seemplea con cantidades grandes y se suele basar en el redondeo; presenta una utilidadsocial fuera de toda dudaEstimación: Consiste en valorar el resultado o la cantidad de una operación de unamanera aproximada.Las características de las estimaciones son las siguientes:- Se valora la cantidad o el resultado de una operación.- La persona que va a hacer la estimación tiene alguna referencia, información oexperiencia sobre la situación que va a enjuiciar.- La valoración se realiza por lo general de forma mental.- Se hace con rapidez y empleando números sencillos.- El valor no es exacto pero sí adecuado para tomar decisiones.- El valor admite distintas aproximaciones, según quién la realice.Cálculo con Calculadora Se trata de un aparato o máquina que por un procedimientomecánico o electrónico obtiene el resultado de cálculos matemáticos algoritmos. Estaherramienta de trabajo no debe sustituir al cálculo escrito y mental que el alumnoodebe ejercitar.INTERVENCIÓN EDUCATIVAEn la Educación Primaria se busca alcanzar una eficaz alfabetización numérica,entendida como la capacidad para enfrentarse con éxito a situaciones en las queintervengan los números y sus relaciones, permitiendo obtener información efectiva,directamente o a través de la comparación, la estimación y el cálculo mental o escritoLa planificación y el desarrollo didácticos en el aula de matemáticas de Primaria sedeben basar en los siguientes principios y orientaciones generales:
  • Partir del nivel de desarrollo del alumnado, de sus conocimientos previos, intereses,curiosidades, ideas previas, estilos de aprendizaje, etc..- Organizar cuidadosa y coherentemente, mediante una planificación previa flexible, loscontenidos y las actividades en un proceso educativo en espiral con variedad deexperiencias y actividades en situaciones diversas e interesantes, de manera que todossus contenidos estén relacionados;- Propiciar en todo momento y siempre que se pueda el aprendizaje significativo y elgusto por el trabajo bien hecho creando en el aula un ambiente agradable eintelectualmente estimulante mediante experiencias adecuadas a las características eintereses de los alumnos, que constituyan retos y buenas ocasiones para la implicaciónpersonal y la generación de actitudes de indagación y descubrimiento (Goñi (2006));- Es importante el enfoque experiencial en el aula de matemáticas, para lo que se debeprestar atención al trabajo sobre situaciones reales, por un lado, material didáctico yrecursos, por otro, y actividades lúdicas por otro;- Adoptar un enfoque disciplinar en lo instrumental y globalizado e interdisciplinar en loformativo y funcional, procurando que siempre exista relación entre el trabajoinstrumental y la faceta funcional del conocimiento matemático;- Utilizar distintas metodologías de trabajo en el aula (trabajo individual para eldesarrollo de determinados aprendizajes (expresión escrita, lectura, ejercicios decálculo, etc.) y en grupos de distinto tamaño, equilibrados y diversos en cuanto a lascaracterísticas de sus componentes);- Utilizar distintos códigos y modos de expresión fomentando en todo momento lacomunicación y la expresión verbal y matemática;- los procesos de resolución de problemas deben constituir uno de los ejes principalesde la actividad escolar en matemáticas; en la resolución de un problema se utilizanmuchas de las capacidades básicas: leer comprensivamente, reflexionar, establecer unplan de trabajo que se va revisando durante la resolución, modificar el plan si esnecesario, comprobar la solución, comunicar los resultados, etc..- Los materiales didácticos y recursos son medios interesantes para la atención a ladiversidad, pues acercan los conceptos abstractos a la intuición a través de lamanipulación y permiten romper la uniformidad de los procedimientos con variantesmás adecuadas para algunos alumnos.En particular, en lo que se refiere a la numeración y las operaciones aritméticas,hemos de añadir, sin ser exhaustivos, las siguientes principios y orientacionesespecíficas:
  • Sobre numeraciónA).- PRINCIPIO DE AGRUPAMIENTO EN BASE 10- Agrupación de objetos sin estructurar (bolsas, gomillas, vasos, etc.)- Agrupación de objetos estructurada (ensartado, ensamblado)- Material didáctico estructurado- con divisiones (bloques multibase, Montessori)- sin divisiones con diferencias apreciables (regletas cuisenaire)- sin divisiones sin diferencias apreciables (fichas de colores)B).- PRINCIPIO DE POSICIÓN- ábacos; ábaco plano; etc.C).- REPRESENTACIÓN- Tipos y Secuencia (concreta, expandida y convencional- Recursos (Material Montessori, tarjetas)En la enseñanza de los algoritmos y del cálculo aritmético, Maza, C. (1991) realiza lassiguientes recomendaciones:En primer ciclo de Primaria se deben trabajar:La estimación del resultado de sumas y restas entre números de dos dígitos;El cálculo mental de resultados de problemas donde intervengan números de dosdígitos.En segundo ciclo:Estimación en operaciones entre números de tres dígitos o un número de tres dígitoscon otro de dos;Cálculo mental en problemas donde intervengan las operaciones y números anteriores.En tercer curso:Estimar y calcular mentalmente y por escrito la solución a problemas dondeintervengan números de cuatro o más dígitos.
  • El cálculo mental y el escrito se deben trabajar en clase simultáneamente, e inclusotendiendo a que el cálculo mental sea previo al escrito y que éste sirva para comprobarla exactitud del anterior.CONCLUSIÓNEl área de matemáticas siempre ha sido y seguirá siendo, una de las áreas con mássolidez en el sistema educativo, dada su importancia para resolver problemas de lavida diaria, representar la realidad, etc. Pero su principal característica es que utilizaun lenguaje común a todos los seres humanos (los números, los sistemas denumeración, cálculo ... ) y una manera común de comprender y organizar la realidad.Los números, las operaciones aritméticas y el cálculo, la resolución de problemasaritméticos, los significados del lenguaje matemático o el modo de hacer conjeturas yrazonamientos, capacitará a los alumnos/as para analizar la realidad, producir ideas yconocimientos nuevos, entender situaciones nuevas y acomodarse a contextoscambiantes.