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Maratea zani et_al
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Maratea zani et_al

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  • 1. PROBLEMI ATTUALI E PROSPETTIVE NELL’INGEGNERIA DELLE STRUTTURE Convegno in onore di FRANCO MACERI 26-27 Settembre, 2013 – Maratea (PZ) SULL’ANALISI LIMITE DI PANNELLI IN MURATURA FIBRORINFORZATI M. Lucchesi , M. , N. Zani" # " Š ýilhav " Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Universita' di Firenze, Piazza Brunelleschi 6, 50121 Firenze Italia # Institute of Mathematics of the AV CR Žitná 25 115 67 Prague 1 Czech Republic
  • 2. Sia un corpo rinforzato con fibre. Le fibre sonoH ‘§ # schematizzate come una famiglia di curve regolari cheY non si intersecano. Indicati con e gli stati di sforzo, conX T bb e le forze di massa, e i carichi esterni di superficie,s s agenti sul corpo e nella fibra, rispettivamente, s s Ω il sistema di forze applicate e' in equilibrio se soddisfa l'equazione dei lavori virtuali: ( ( H X f? f?† .  † ._ [# " Y T = ' ' ' ! H f, = =† .  † .  † .  †? ? ? ?_ [ [# " " Y b f`Y per ogni ? ? œ !− G Ð ß Ñ À Þ _ # H ‘ lW Facciamo l'ipotesi che la matrice del composito sia costituta da materiale non resistente a trazione e la fibra da materiale elastico lineare.
  • 3. Analisi limite Uno stato di sforzo per il composito e' costituito da una coppia che diremo seÐ ß Ñ +773==3,36/X T - e ( sono funzioni a quadratoX > >ÑT R Œ sommabile; - X B BÐ Ñ Ÿ ! − R  quasi per ogni e 0 quasi perS ogni B − Y e con i carichi se soddisfa il teorema dei lavori/;?363,<+>9 virtuali. Diremo che i carichi sono se esiste uno stato-97:+>3,363 di sforzo ammissibile che li equilibra.Ð ß ÑX T Siano 0Ð Ñ œ Ð Ñ † Ð Ñ œ R " " # # I X I I e f ( )% % % la densita' di energia di deformazione della matrice e della fibra. Indichiamo con fEÐ Ñ œ? ( ( H Y 0 .  ._ [# " l'energia di deformazione, con
  • 4. WÐ Ñ œ? , =' ' 'H f† .  † .  † .? ? ?_ [ [# " " Y b  †! f`Y = ? il e conlavoro dei carichi F E WÐ Ñ œ Ð Ñ  Ð Ñ? ? ? l' del composito.energia potenziale totale Sotto opportune ipotesi si dimostra che il funzionale dell' energia potenziale e' limitato inferiormente se e solo se i carichi sono compatibili. A direct approach to fiber and membrane reinforced bodies. Part I. Stress concentrated on curves for modelling fiber reinforced materials. , 537-558Continuum echanics and thermodynamics7 25 (2013). A direct approach to fiber and membrane reinforced bodies. Part II. Membrane reinforced bodies. Continuum mechanics and thermodynamics (in press).
  • 5. p q p x y o q Ω1 Ω2 γ1 X / / / /< œ Þ : Œ ; Œœ # # " " " # in in in / H H H # = ÐBÑ œ B :Ð:  ;Ñ œ B" " : ; È É, = p x y o Ω1 Ω2 q γ1 γ2 = ÐBÑ œ :B Ð:  ;Ñ  #RÐ:  ;ÑB  RÐR  #;6Ñ# #É È È =# # #; #œ R  #:;B  # #R;B  RÐR  #;6Ñ È É È È
  • 6. p x y o q p x y o q
  • 7. p F b y x α p F b γ1 y x Ω1 Ω2 X / / / /< œ Ð,C  :Ñ Œ ,Ð ÐBÑ  CÑ Œœ # # " # # # in in H = H = = = =ww w " , J J" " :  œ  ß Ð!Ñ œ ! Ð!Ñ œ J, " = ÐBÑ œ J  -9=2Ð# BÑ  "" # J: #, 0 , Ê Š ‹É # , =" : #, 0 , œ =382 B  " ÞŠ ‹Š ‹É
  • 8. p F b γ1 γ2 y x Ω1 Ω2 α = =ww # , JR JR# :  œ  ßcos cos! ! = =ÐB Ñ œ C ÐB Ñ œ! ! ! w :B , .BR JR, ! "! B!' = ! ! sin cos
  • 9. p b2 h1 b2 b1 h2 q
  • 10. p h1 h2 b2 b1 b2 q x y o 2 Ω Ω3 γ2 a c F1 d e 1Ω γ3 γ1 Uno stato di sforzo equilibrato e compatibile e' dato da: X / / / / ! < œ : Œ ; Œ Ú Û Ü # # " " " # $ in in in in / H H H H # = ÐBÑ œ B :Ð:  ;Ñ œ B" " : ; È É, = = ÐBÑ œ J  : ÐB  +Ñ# # # #,È =# : +: #J-+ : #J J #J # œ B  B  # = ÐBÑ œ #+:;B  J  #-J;  + :Ð:  ;Ñ$ # # ,È =$ J " ; ; # #œ  #+:;B  J  #-J;  + :;È
  • 11. Mantenendo costante, si incrementa il valore del carico: ; fino al collasso . Si ha, detti e; 2 œ 2  2 , œ ,  #,- " # " # b1b2 b2 h2 h1 a p q x y o A BC D 1Ω 3Ω Ω1 2 Ω γ 1 γ2 γ3 + œ J œ , 2 , 22 2 2 2 :, 2 2 #2 " " # # " # " # # # # # " ˆ ‰È Š ‹È È , , ; œ :- , 2 #, , 2 2 2 #, 2 2 2 2 2 # # " #" " # # # # " # È È ÈŠ ‹ Š ‹È ÈÈ . Per , , si ha .2 , 2 , : ;" " # # - œ $ œ # œ " h2 b2 h1 b1b2 C Ι B A Stresses represented by measures in the theory of masonry bodies. III Canadian Conf. Of nonlinear solids mechanics, Toronto, 25-29 giugno 2008, Canada
  • 12. b1 h1 B b2 p h2 q b2 x y o 1Ω γ12 γ γ3 γ4 γ5 Ω2 3Ω Analogamente al caso precedente, uno stato di sforzo equilibrato e compatibile e' dato da X / / / / ! < œ : Œ ; Œ Ú Û Ü # # " " " # $ in in in in / H H H H # con la presenza di 5 curve di singolarita' = ÐBÑ œ ÐJ  RÑ  : ÐB  +Ñ% # # #,È =% : +: #ÐJRÑ RJ #ÐJRÑ # #RÐ-2 Ñ+ : œ B  B   -# # = ÐBÑ œ& È#+:;B  J  #JÐR  -;Ñ  R  #R;2  + :Ð:  ;Ñ# # # # ,
  • 13. =& # JR " ; ; # # #œ  #+:;B  J  #JÐR  -;Ñ  R  #R;2  + :;È . Mantenendo costante, si incrementa il valore del carico: ; fino al collasso . Per , , si ha .; œ $ œ # œ "Þ)$(- 2 , 2 , : ;" " # # - b1 h1 B b2 p h2 q b2 x y o 1Ω γ12 γ γ3 γ4 γ5 Ω2 3Ω h2 b2 h1 b1 b2 La soluzione e' nota a meno di un parametro. In figura si plotta il valore della forza normale sulla fibra in funzione del parametro. 0 10 20 30 40 50 60 70 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 T/qh vs c R ;2 min œ !Þ#)(Þ

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