Sistemas De Ecuaciones Con Dos Incógnitas

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Métodos para resolver Sistemas de Ecuaiones Lineales con Dos Incógnitas

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  • 1. SISTEMA DE ECUACIONES Es la reunión de dos o más ecuaciones que deben satisfacerse para los mismos valores de las incógnitas. SOLUCIÓN DEL SISTEMAEs el conjunto de valores numéricos o literales que satisfacen las ecuaciones. Los sistemas de ecuaciones pueden ser Numéricos o Literales, según la naturaleza de las ecuaciones que los constituyen. Un sistema numérico es: Un sistema literal es: 7 x 4 y 13 ax by abc 5 x 2 y 19 ax by 0 Cuando la solución de un sistema es única, es decir, existe un sólo valor para cada incógnita, el sistema se llama Determinado. Por lo general el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones.
  • 2. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITASPara la resolución de sistemas de ecuaciones de primer gradocon dos incógnitas se aplican métodos de eliminación, queconsisten esencialmente en eliminar una de las incógnitas yobtener una sola ecuación de una incógnita. Los métodos de eliminación más usuales son: •Método por Sustitución •Método por Igualación •Método por Reducción •Método Gráfico •Método por Determinantes
  • 3. MÉTODO POR SUSTITUCIÓNREGLA: Para la eliminación por Sustitución, se siguen los siguientes pasos: 1. Se despeja una de las incógnitas de una de las ecuaciones del sistema. 2. Se sustituye este valor obtenido en la otra ecuación. 3. Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita que así se obtiene. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales. 5. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones dadas.
  • 4. Ejemplo: Resolver por sustitución el sistema: m 3n 6 1 5m 2n 13 21°. Despejando “m” de la (1) m 3n 6 4°. Sustituyendo “n” en (1) m 6 3n m 3n 62°. Sustituyendo “m” en la (2) m 31 6 5m 2n 13 m 3 6 5 6 3n 2n 13 m 6 3 m 33°. Resolviendo la ecuación obtenida 5°. Comprobando los valores 5 6 3n 2n 13 30 15n 2n 13 Ecuación (1) Ecuación (2) 15n 2n 13 30 m 3n 6 5m 2n 13 17 n 17 3 31 6 5 3 2 1 13 17 3 3 6 15 2 13 n 13 13 17 6 6 n 1 R/ La solución del sistema es: m 3 n 1
  • 5. MÉTODO POR IGUALACIÓNREGLA: Para la eliminación por Igualación, se siguen los siguientes pasos: 1. Se despeja una de las incógnitas en cada una de las ecuaciones, ésta debe ser la misma en ambas. 2. Se igualan los dos valores de las incógnitas así obtenidas. 3. Se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita que así se obtiene. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales. 5. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones dadas.
  • 6. Ejemplo: Resolver por igualación el sistema: 3x 2 y 7 1 5x y 3 21°. Despejando “x” en ambas ecuaciones Ecuación (1) Ecuación (2) 4°. Sustituyendo “y” en (1) 3x 2 y 7 5x y 3 3x 2 y 7 3x 7 2y 5x 3 y 3x 2 2 7 7 2y 3 y 3x 4 7 x x 3 5 3x 7 42°. Igualando ambos despejes 3x 3 7 2y 3 y 3 x 3 5 33°. Resolviendo la ecuación obtenida x 1 5°. Comprobando los valores 5 7 2y 3 3 y 35 10 y 9 3y Ecuación (1) Ecuación (2) 3x 2 y 7 5x y 3 10 y 3 y 9 35 31 2 2 7 51 2 3 13 y 26 3 4 7 5 2 3 26 y 7 7 3 3 13 y 2 R/ La solución del sistema es: x 1 y 2
  • 7. MÉTODO POR REDUCCIÓNREGLA: Para la eliminación por Reducción, se siguen los siguientes pasos: 1. Determinamos que variable eliminar, luego el coeficiente de dicha variable en la ecuación (1) se ha de multiplicar por la ecuación (2), y el coeficiente de la variable a eliminar de la ecuación (2) se multiplica por la ecuación (1). Procurando que los coeficientes de la variable a eliminar tengan signos contrarios. 2. Reducimos los términos y resolvemos la ecuación resultante. 3. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones originales. 4. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones dadas.
  • 8. Ejemplo: Resolver por reducción el sistema: 6 x 7 y 17 1 5 x 9 y 11 2 Vamos a eliminar la variable “x” y notemos que los signos de los coeficientes de dicha variable son iguales, por tanto hemos de multiplicar una de las ecuaciones por un coeficiente negativo. 1°. Multiplicando ambas ecuaciones 2°. Reduciendo términos por 5 6 x 7 y 17 30 x 35 y 85 30x 35 y 85 por 6 5 x 9 y 11 30 x 54 y 66 30 x 54 y 66 19 y 19 3°. Sustituyendo “y” en (1) 6 x 7 y 17 19 y 19 6x 7 1 17 y 1 6 x 7 17 4°. Comprobando los valores 6 x 17 7 6x 24 Ecuación (1) Ecuación (2) 24 6x 7 y 17 5 x 9 y 11 x 6 6 4 7 1 17 5 4 9 1 11 x 4 24 7 17 20 9 11 17 17 11 11R/ La solución del sistema es: x 4 y 1
  • 9. MÉTODO GRÁFICOResolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dosincógnitas, consiste en hallar el punto de intersección de las gráficasde Las ecuaciones lineales, para ello es necesario graficar las dosecuaciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.1. Se despeja la variable “y” en cada una de las ecuaciones, y luego se elabora una tabla, asignándole valores a “x”.2. Se grafican ambas ecuaciones en un mismo plano cartesiano.3. Se observa el punto de intersección de ambas gráficas.4. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores del punto de intersección observado en las ecuaciones dadas.
  • 10. Ejemplo: Resolver gráficamente el sistema: x y 3 1 3x 2 y 4 2 1°. Tabulando ambas ecuacionesDespejando “y” en (1) Despejando “y” en (2) x y 3 3x 2 y 4 y 3 x 2y 4 3x y 3 x 4 3x y 2 x y 3 x y x, y 4 3x x y y x, y 2 0 y 3 0 3 0, 3 4 3 0 0 y 2 0, 2 2 1 y 3 1 4 1, 4 4 31 7 7 1 y 1, 2 2 2 2 y 3 2 5 2, 5 4 3 2 2 y 5 2, 5 2
  • 11. 2°. Graficando ambas ecuaciones en un mismo sistema 7 3°. Observando el gráfico, y 6 notamos que la intersección 5 se da en el punto 2, 1 4 3 2 En dicho punto, x 2 y 1 1 x-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 4°. Comprobando los valores -2 Ecuación (1) Ecuación (2) -3 x y 3 3x 2 y 4 -4 2 1 3 3 2 21 4 -5 3 3 6 2 4 -6 4 4 -7 R/ La solución del sistema es: x 2 y 1
  • 12. MÉTODO POR DETERMINANTESREGLA:1. El valor de cada incógnita del sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, es una fracción que tiene por denominador el determinante formado por los coeficientes de las incógnitas “x” e “y”, llamado Determinante del Sistema, y por numerador el determinante que se obtiene al sustituir en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de la incógnita buscada los términos independientes de las ecuaciones dadas.2. Se comprueba la solución, sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones dadas.
  • 13. 4x 9 y 3 1 Ejemplo: Resolver por determinantes el sistema: 3x 7 y 2 2 1°. Calculando valores para cada variable 2°. Comprobando los valores 3 9 Ecuación (1) Ecuación (2) 2 7 3 7 2 9 21 18 3 4x 9 y 3 3x 7 y 2x 3 4 9 4 7 3 9 28 27 1 4 3 9 1 3 3 3 7 1 2 3 7 12 9 3 9 7 2 3 3 2 2 4 3 3 2 4 2 3 3 8 9 1y 1 4 9 4 7 3 9 28 27 1 3 7 R/ La solución del sistema es: x 3 y 1
  • 14. GUÍA DE EJERCICIOSResolver utilizando el método de Sustitución los siguientes sistemas x 2 y 12 5x y 9 5 x 3 y 22 3x y 16 2x 4 y 8 2x y 0Resolver utilizando el método de Igualación los siguientes sistemas x 3y 6 x y 5 4n 3m 8 5 x 2 y 13 2x y 8 8m 9n 77Resolver utilizando el método de Reducción los siguientes sistemas x 3y 4 x y 0 2 x 2 y 10 x 2y 3 5x y 18 x 2y 4Resolver utilizando el método Gráfico los siguientes sistemas x y 1 5x 3 y 0 x 2y 3 x y 7 7x y 16 x y 1Resolver utilizando el método por Determinates los siguientes sistemas 3x 8 y 38 4 x 26 y 2x 3 y 8 7x 2 y 6 5 y 31 3x 2 x 2 y 10