1. 29 de enero de 2015 1
NÚMEROS ENTEROS
1. De los números naturales a los enteros
2. Representación de los números enteros
3. Valor absoluto y ordenación de números enteros
4. Suma de números enteros
5. Opuesto de un número entero
6. Resta de números enteros
7. Operaciones con paréntesis
8. Multiplicación de números enteros
9. División exacta de números enteros
10. Propiedades de las operaciones de números enteros
11. Operaciones combinadas
12. Resolución de problemas
AMPLIACIÓN
Index

2. 29 de enero de 2015 2
NÚMEROS ENTEROS(Ampliación)
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
OPERACIONES CON PARÉNTESIS
RESUMEN – EJERCICIOS RESUELTOS
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS
OPERACIONES COMBINADAS
POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
OPERACIONES COMBINADAS (2)

3. 29 de enero de 2015 3
Buena temperatura: + 20 ºC
+20
+5000
+7
– 7
– 5000
– 20
0
Mucho frío: – 20 ºC
Soy rico: tengo +5000 euros
Debo dinero: “tengo” -5000
euros
Los números naturales se consideran
enteros positivos.
Por cada entero positivo hay un entero negativo.
Van precedidos por un signo menos (–)
De los números naturales a los enteros
Los números enteros
están formados por:
enteros positivos,
enteros negativos
y el cero
Los juegos olímpicos
empezaron en el año 776
antes de Cristo
– 776
– 250
El submarino
navega a 250 m
bajo el nivel del
mar

4. 29 de enero de 2015 4
1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0.
2º. A la derecha del 0 se representa el +1.
3º. La distancia entre 0 y +1 será la que
exista entre cada dos enteros consecutivos.
4º. A la derecha del 0 se
colocan los enteros positivos.
4º. A la izquierda del 0 se
colocan los enteros negativos.
PositivosNegativos
Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos:
+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5
Representación de los números enteros

5. 29 de enero de 2015 5
Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo.
Se indica escribiéndolo entre barras
Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso:
∣ 2∣=∣−2∣=2
∣4∣=∣−4∣=4
Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero:
+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5 –2 +2
El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2.
Se indica así:
Otro ejemplo:
Valor absoluto de un número entero

6. 29 de enero de 2015 6
Ordenación:
Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo
Se indica escribiéndolo entre barras. Así:
Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando
en la recta numérica está a la derecha.
∣ 7∣=7, ∣− 7 ∣=7
0 +1 +3+2 +4 +6–5 +5–4 –3 –2 –1
Más grandesMás pequeños
Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.
El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo.
Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
Luego 7<+13 , pues ∣7∣∣13∣
Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Así, −7−13, pues ∣−7∣∣−13∣
Valor absoluto y ordenación de los números enteros

7. 29 de enero de 2015 7
0 +1 +3+2 +4 +6+5–2 –1
(+2) + (+3) = +5
Para sumar dos números enteros del mismo signo:
1.º Se suman sus valores absolutos.
(–2) + (–3) = –5
2.º Al resultado se añade el signo que tienen.
+2 +3
–4 –3 –1–2 0 +2+1–6 –5
–2–3
(+6) + (+12) = +18
(+4) + (+21) = +25
(–4) + (–11) = –15
(–17) + (–31) = –48
Suma de enteros del mismo signo

8. 29 de enero de 2015 8
(+12) + (–9) = +3
Para sumar dos números enteros de distinto signo:
1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor.
(+18) + (–19) = –1
2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto.
Teresa y Miguel hacen cuentas ... Nos han dado
12 euros
Y hemos gastado
9 eurosLes quedan 3 euros
Carola y Pablo también hacen sus cuentas ...
Nos han dado
18 euros Y hemos gastado
19 euros
Deben 1 euro
¿Les queda o deben dinero?
(Observa que el resultado es negativo,
como el número de mayor valor absoluto).
Suma de números enteros de distinto signo

9. 29 de enero de 2015 9
Para sumar varios números enteros:
1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos.
2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido.
Otros ejemplos:
(+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5
(+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17
Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos.
(+100) + (–40) + (–70) + (+50) =
= (+150) + (–110) = +40
Veamos un ejemplo:
(+100) + (+50) + (–40) + (–70) =
Suma de varios números enteros

10. 29 de enero de 2015 10
4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor
absoluto, pero distinto signo.
4 = op.(–4) –4 = op. (+4)
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número
8 6–2 –8 –6–6
–7 –12 7 12
+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5–6
Se llaman opuestos.
Opuesto del opuesto:
op.(–5) = 5
op.(5) = –5
Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos.
2
–5 5 12
a b a + b op. (a) op. (b) op. (a+b) op. (a) + op. (b)
Opuesto de un número entero

11. 29 de enero de 2015 11
Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del
segundo.
1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5
(+9) – (+5) = 9 – 5 = 4
2º. Como indicador de número negativo: –3
(+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0).
(–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8
(–9) – (+5) = –9 – 5 = –14 (–9) – (–5) = –9 + 5 = –4
(+9) – (–5) = 9 + 5 = 14
Algunos ejemplos:
–7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43
El signo – tiene dos significados:
Resta de números enteros

12. 29 de enero de 2015 12
Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras:
1º. Haciendo las operaciones del paréntesis.
2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene.
9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6
9 – (12 + 3)Vamos a calcular:
1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis:
9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6
2º. También se puede hacer así:
12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8
12 – (10 – 6)Calculamos ahora:
1º. Operando antes el paréntesis:
Como ves, sale el mismo resultado.
12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8
2º. También se puede hacer así:
Son iguales
El uso del paréntesis

13. 29 de enero de 2015 13
(a) 15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis).
Otros ejemplos:
Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro.
8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2
(c) 8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7 – 14 + 19 = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis).
8 + (4 – 14)La expresión: se puede calcular de dos maneras:
1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis:
8 + (4 – 14) = 8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 22º. Quitando el paréntesis:
15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5
15 – (12 – 2)Análogamente: se puede calcular de dos maneras:
1º. Operando antes el paréntesis:
2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 12 + 2 = 3 + 2 = 5
Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él.
Operar con paréntesis

14. 29 de enero de 2015 14
Cada vez que va al cine gasta 6 euros
(a) (–7) ·(+ 9) = – 63
El producto de dos números enteros de distinto signo es un número
entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos
de los factores.
Ejemplo:
(– 6) · (+ 3) = – 18
Otros ejemplos:
– 6
(c) (– 13) · (+4)= –52(b) (+12) · (–12) = –144
Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha
gastado después de haber ido tres veces?
Va tres veces + 3
Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros – 18
Gráficamente:
0 +6 +12–24 –18 –12 –6
–6–6 –6
Multiplicación de enteros de distinto signo

15. 29 de enero de 2015 15
(a) (+5) · (– 1) = –55
(+7) · (+ 9) = +(7·9) = +63
Otros ejemplos:
Hay cuatro posibilidades:
Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.
(+7) · (– 9) = –(7·9) = –63
(–7) · (+ 9) = –(7·9) = –63
(–7) · (– 9) = +(7·9) = +63
Regla de los signos:
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +
(b) (–5) ·(+7) = –35 (c) (–3) · (–9) = 27
1º. Se halla el producto de sus valores absolutos.Observa:
2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo.
El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo.
Multiplicación de números enteros

16. 29 de enero de 2015 16
Para multiplicar varios números enteros se agrupan de dos en dos en el
orden que se prefiera y se realizan las multiplicaciones por parejas.
Calculamos – 4 · 8 · (–3)
Observa:
–4 · 8 · (–3) = –32 · (–3) = 96
–4 · 8 · (–3) = –4 · (–24) = 96
Luego:
Otros ejemplos:
–5 · 7 · (–3) = –35 · (–3) = 105
–5 · 7 · (–3) = –5 · (–21) = 105
Se obtiene
el mismo
resultado
1º. El producto –5 · 7 · (–3) puede hacerse:
2º. 5 · 8 · (–4) · 3 5 · 8 · (–4) · 3 = 40 · (–12) = –440
Producto de varios enteros

17. 29 de enero de 2015 17
(a) 15 : (– 5) = – (15 : 5) = –3 (b) (–54) : (+6) = –(54 : 6) = –9
(+21) : (+ 7) = +(21 : 7) = 3
Otros ejemplos:
Pueden darse cuatro casos:
Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.
(+32) : (– 4) = –(32 : 4) = –8
(–63) : (+ 9) = –(63 : 9) = –7
(–48) : (– 8) = +(48 : 8) = 6
Regla de los signos:
+ : + = +
+ : – = –
– : + = –
– : – = +
(c) –35 : 7 = –5 (d) – 72 : (–9) = 8
Es la misma
que para la
multiplicación
Observación: El paréntesis es necesario cuando se divide por un número
negativo. En cualquier otro caso es optativo.
División exacta de números enteros

18. 29 de enero de 2015 18
7 +(– 12) = – 5
Otros ejemplos:
De la suma
La suma de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los sumandos.
Observa:
(– 12) + 7 = – 5
7 +(– 12) = (–12) + 7
Del producto 4 · (– 5) = – 20Observa:
(– 5) · 4 = – 20
4 · (– 5) = (– 5) · 4
El producto de dos números enteros no varía cuando se cambia el orden de los factores.
Suma
(–5) + 7 = 7 +(–5) = 2
2 + (–13) = (–13) + 2 = –11
Producto
(– 3) · (–9) = (– 9) · (–3) = 27
(+6) · (–8) = (–8) · (+6) = –48
Propiedad conmutativa

19. 29 de enero de 2015 19
La suma de tres números enteros no varía cuando
se asocian los términos de modos distintos
La suma 10 + (–5) + (–2) puede hacerse de dos
maneras:
1º. Sumando los dos primeros números al tercero:
[10 + (–5)] + (–2) = 5 + (–2) = 3
2º. Sumando el primer número a los otros dos:
10 + [(–5) + (–2)] = 10 + (–7) = 3
Luego: [10 + (– 5)] + (– 2) = 10 + [(– 5) + (– 2)]
Propiedad
asociativa
de la suma
Otro ejemplo: [(–5) + 17] + (–8) = 12 + (–8) = 4
(–5) + [17 + (–8)] = –5 + 9 = 4
Propiedad asociativa de la suma

20. 29 de enero de 2015 20
El producto de tres números enteros no varía cuando
se asocian los términos de modos distintos
El producto (–12) · 8 · (–5) puede hacerse agrupando los factores de dos
formas distintas:
1º. (los dos primeros) · (el tercero):
[(–12) · 8] · (–5) = (–96) · (–5) = 480
2º. (el primero) · (el producto de los otros dos):
(–12) · [8 · (–5)] = (–12) · (–40) = 480
Luego: [(–12) · 8] · (–5) = (–12) · [8 · (–5)]
Propiedad
asociativa
del producto
Otro ejemplo: [(–5) · 7] · (–3) = –35 · (–3) = 105
(–5) · [7 · (–3)] = –5· (–21) = 105
Propiedad asociativa del producto

21. 29 de enero de 2015 21
El producto de un número entero por una suma es igual a la suma
de los productos del número entero por cada uno de los sumandos.
El valor de la expresión –5 · (–3 + 7) puede calcularse de dos formas distintas:
Hacemos primero la suma y a
continuación la multiplicación.
Multiplicamos el factor por cada
sumando y después sumamos.
Luego: –5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) + (–5) · 7
Una forma:
–5 · (–3 + 7) = –5 · 4 = –20
Otra forma:
–5 · (–3 + 7) = –5 · (–3) +(–5) · 7
= +15 + (–35) = –20
El resultado es el mismo
Esta es la propiedad
distributiva de la multiplicación
respecto a la suma
Otro ejemplo:
15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15 · (–19) = –285
15 · [–10 + 8 + (–17)] = 15 · (–10) + 15 · 8 + 15 · (–17) = –150 + 120 + (–255) = –285
15 · [–10 + 8 + (–17)]
Sumando antes:
Multiplicando por cada sumando:
Propiedad distributiva

22. 29 de enero de 2015 22
En la suma –3 · 7 + (–3) · (–2) los sumandos son productos.
En ambos se repite el factor –3.
Decimos que –3 es factor común.
Aplicando la propiedad distributiva, leyéndola de derecha a izquierda.
Podemos escribir: –3 · 7 + (–3) · (–2) = –3 · [7 + (–2)]
Hemos sacado
factor común.
Otros ejemplos:
(c) –9 · 7 + (–9) · (–15) + 27 · 12
(a) 5 · (–10) + 5 · (–17) 5 · [–10 + (–17)] = 5 · (–27) = –135
(b) –6 · (–12) + (–6) · 17 + (–6) · (–9)
–6 · [(–12) +17 + (–9)] = –6 · (–4) = –24
El factor común es –6.
Aparentemente no hay factor común. Pero
como 27 = –9 · (–3), se tiene:
–9 · 7 + (–9) · (–15) + (–9 )· (–3) · 12 = –9 · [ 7 + (–15) + (–3 )· 12] = –9 · (–44) = 396
Factor común

23. 29 de enero de 2015 23
Ejemplos:
–5 · 6 + (–4) · 8 +30
Otros ejemplos:
2º. 8 ·(– 6) – 3 · (12 –17) –48 – 3 · (–5) = –48 + 15 = –33
1º –6 · (–4) + (–12) · 4 + (–5) · (–9) = 24 – 48 + 45 = 21
(a) La operación debe realizarse en el siguiente orden:
–30 + (–32) + 30 = –32 Primero hemos hecho los
productos y después las sumas
–30 : 6 + (–3) · 4 + 14(b) Para hallar hay que seguir el siguiente orden:
–5 + (–12) + 14= –3
Primero divisiones y productos,
después las sumas
Operando en
el paréntesis
Aplicando la propiedad distributiva 8 · (– 6) – 3 · 12 –3 · (–17) = –48 – 36 + 51 = –33
1º Multiplicaciones y divisiones.
2º Sumas y restas.
El orden de las operaciones es:
Operaciones combinadas. Sin paréntesis

24. 29 de enero de 2015 24
Ejemplo:
–12 + [8 + (–14) : 2] + [–7 + (–9) · 5]
Otros ejemplos:
1º –6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–16) + (–1) · (–9) = 96 + 9 = 105
La operación
Se hace así: –12 + [8 + (–7)] + [–7 + (–45)]
= –63
2º El mismo ejemplo aplicando la propiedad distributiva
1º Operar dentro de los paréntesis.
2º Hacer las multiplicaciones y divisiones.
3º Hacer las sumas y restas.
El orden a seguir es:
–12 + 1 + (–52)
–6 ·[ (–4) + (–12) ] + [4 + (–5)] · (–9) = –6 · (–4) + (–6) · (–12) ] + 4 · (–9) + (–5) · (–9)
= 24 + 72 – 36 + 45 = 105
3º [15 : (–5) + (–2) ] + [ (–8) · (–3) + 10] + (–5) = [(–3) + (–2) ] + [24 + 10] + (–5)
= –5 + 34 – 5 = 24
Operaciones combinadas. Con paréntesis

25. 29 de enero de 2015 25
Resumimos con los siguientes casos:
–12 + (–3) · (+4) + (–9)
[–12 + (–3)] · (+4) + (–9)
–12 + (–3) · [(+4) + (–9)]
[–12 + (–3)] · [(+4) + (–9)]
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Caso 4:
Observa que en todos los casos
hay los mismos números y operaciones.
Cambia la situación de los paréntesis
= –12 + (–12) + (–9) = –33
= (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69
= –12 + (–3) · (–5) = –12 + 15 = 3
= –15 · (–5) = 75
Operaciones combinadas. Resumen

26. 29 de enero de 2015 26
Problema: Laura, Pedro y María se reúnen para organizar sus cuentas. Entre Laura y Pedro
tienen 37 euros. Ente Pedro y María tienen 58 euros. Entre Laura y María deben 69 euros.
¿Cuánto dinero tiene o debe cada uno?
Observando los datos vemos que Laura, Pedro y
María, aparecen dos veces cada uno.
Pensar un problema más fácilPrimero:
Comprobación.Segundo:
Por tanto, entre los tres tienen 13 euros (la mitad de 26).
Laura y Pedro: + 37
Pedro y María: + 58
Laura y María: – 69
Luego el doble de lo que tienen es la suma total: 37 + 58 – 69 = 26
Laura tendrá 13 – 58 (lo que tienen Pedro y María): 13 – 58 = – 45
Laura y Pedro: –45 + 82 = 37. Pedro y María: 82 – 24 = 58.
Laura y María: –45 + (–24) = – 69
Como entre Laura y María “tienen” –69, María tendrá: –69 –(–45) = –24
Como entre Pedro y María tienen 58, Pedro tendrá: 58 – (–24) = 82
Y entre los tres: 37 + 58 + (–24) = 13.
Organizados los datos y hechos los tanteos:
Resolución de problemas (I)

27. 29 de enero de 2015 27
Tantear para comprender mejorPrimero:
Problema 1: La suma de dos números enteros es igual a –19 y su producto
es igual a 60. ¿Cuáles son esos números?
Hacer una tablaSegundo:
Comprobación.Tercero:
La suma es: –4 + (–15) = –19.
Que son las condiciones requeridas.
No puede ser, pues su producto debe ser 60.
¿Por qué no valdrían dos números positivos?
Entonces, su producto sería: –29 · 10 = –290.
Si los números suman – 19, uno podría ser –29 y el otro 10.
¿Has advertido que
para que el producto sea
60, los dos números deben
ser negativos?
Negativos que sumen −19 −1, −18 −2, −17 −3, −16 −4, −15 −5, −14 −6, −13
Negativos de producto 60 −1, −60 −2, −30 −3, −20 −4, −15 −5, −12
Luego, los números buscados son –4 y –15.
Su producto vale: (–4) · (–15) = 60
Resolución de problemas (II)

28. 29 de enero de 2015 28
800 + 25 · 15 – (30 · 15) = 800 + 375 – 450 = 725
Leer el enunciado y resumirlo.Primero:
Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el
depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo, salen 30 litros por minuto.
¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.?
Hacer un dibujo explicativo.Segundo:
+25 durante 15 min.
-30
Hacer los cálculos.Tercero:
Comprobación.Cuarto:
Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5)
En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75.
Quedan entonces: 800 – 75 = 725.
Hay 800 l
Resolución de problemas (III)

29. 29 de enero de 2015 29
PROBLEMA La suma de los valores absolutos de dos números enteros es igual a
84 y la suma de los números es igual a 36. ¿Cuáles son los números?
TANTEA
No puede ser, los
resultados no coinciden.Suma de los números: 4 + (–7) = –3.
Si los números fueran 4 y –7, tendríamos que:
Suma de valores absolutos: ∣4∣∣−7∣=47=11
ELIGE UNA ESTRATEGIA
Por ser su suma igual a 36, el número de mayor valor absoluto es positivo
Representamos la situación sobre la recta numérica:
0
– +
Un número negativo Sumando positivo
Suma de valores absolutos: 84
36 Suman 36
36
Luego 84 – 36 es igual al doble del valor absoluto del sumando negativo.
RESUELVE EL PROBLEMA 84 – 36 = 48; la mitad es 24.
24 será el valor absoluto del sumando negativo. Por tanto será – 24. Y el otro número,
24 + 36 = 60
COMPRUEBA
– 24 + 60 = 36
∣−24∣∣60∣=2460=84
Correcto.
Técnicas y estrategias

30. 29 de enero de 2015 30
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS:
1) Cuando los números enteros tienen el MISMO SIGNO
SE SUMAN
y el resultado queda con el
MISMO SIGNO que tienen los números que sumé.
EJEMPLO:
1 + 3 + 5 + 8 = 17
POSITIVOS POSITIVO
-1 - 3 - 5 - 8 = - 17
NEGATIVOS NEGATIVO
2) Cuando los números tienen DISTINTO SIGNO
resto al mayor (en valor absoluto) el menor ( en valor absoluto)
y el resultado me da con el signo del mayor (en valor absoluto).
EJEMPLO:
5 + 3 = -2 ME DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO
5 - 3 = 2 ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO

31. 29 de enero de 2015 31
OPERACIONES CON PARÉNTESIS
3) Si delante de un paréntesis, corchete o llave NO HAY NADA
entonces hay un signo positivo que no se escribe.
EJEMPLO:
HAY UN SIGNO POSITIVO
4) Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay :
a) un SIGNO NEGATIVO,
se saca el paréntesis, corchete o llave
y SE CAMBIAN todos los signos de los números que están adentro.
EJEMPLO: - ( 4 - 3 ) = - 4 + 3 SE CAMBIAN LOS SIGNOS
b) un SIGNO POSITIVO,
se saca el paréntesis, corchete o llave
y se NO SE CAMBIAN los signos de los números que están adentro.
EJEMPLO: ( 4 - 3 ) = 4 - 3 NO SE CAMBIAN LOS SIGNOS

32. 29 de enero de 2015 32
RESUMIENDO:
1) Si tengo varios números a sumar algunos positivos, otros negativos:
-7 + 4 - 2 + 8 - 3 - 5 + 1
1er PASO: Sumo los positivos ( 4 + 8 + 1 ) = 13
2º PASO: Sumo los negativos anteponiendo el signo menos al paréntesis
- ( 7 + 2 + 3 + 5 ) = - 17
3er PASO: Me queda ( 4 + 8 + 1 ) - ( 7 + 2 + 3 + 5 )
13 - 17
Busco la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor
13 - 17 = - 4
La diferencia entre 17 y 13 es de 4 y
como el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, el resultado me da negativo.

33. 29 de enero de 2015 33
EJERCICIO RESUELTO 1
a) Eliminando paréntesis, corchetes y llaves:
−{7[5−−7−2]}5−{−[9−14−53]−5}−8=
Eliminar paréntesis: Si delante del paréntesis
hay un signo negativo: saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro,
si es positivo los dejo igual.
−{7[572]}5−{−[9−1453]−5}−8=
Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis:
−{7572}5−{−914−5−3−5}−8=
Eliminar llaves: proceso igual que con paréntesis
−7−5−7−259−14535−8=
Sumo los positivos por un lado y
los negativos por otro anteponiendo el signo negativo a éstos últimos
59535−7572148=27−43
Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor
27−43=−16

34. 29 de enero de 2015 34
EJERCICIO RESUELTO 2
b) Resolviendo lo que hay dentro de los paréntesis corchetes y llaves:
−{7[5−−7−2]}5−{−[9−14−53]−5}−8=
Resuelvo lo que está dentro de los paréntesis: −{7[5−−9]}5−{−[9−93]−5}−8=
Eliminar los paréntesis: Si delante del paréntesis hay un signo negativo
saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro,
si es positivo los dejo igual. −{7[59]}5−{−[9−93]−5}−8=
Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis −{714}5−{−3−5}−8=
Eliminar llaves: Procedo igual que con paréntesis
Resuelvo lo que está dentro de las llaves
Resuelvo lo que está dentro de los corchetes −{7[14]}5−{−[3]−5}−8=
−{21}5−{−8}−8=
−2158−8=
Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro
anteponiendo el signo negativos a éstos últimos 58−218=13−29
Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor
13−29=−16

35. 29 de enero de 2015 35
MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE ENTEROS
1) Si multiplico o divido números enteros tengo que atenerme a la siguiente regla de signos:
a) + . + = + EJEMPLO: 8 . 2 = 16
+ : + = + 8 : 2 = 4
b) - . - = + EJEMPLO: - 8 . (- 2) = 16
- : - = + - 8 : (- 2) = 4
c) + . - = - EJEMPLO: 8 . (- 2) = - 16
+ : - = - 8 : (- 2) = - 4
d) - . + = - EJEMPLO: - 8 . 2 = - 16
- : + = - - 8 : 2 = - 4
2) Si detrás de un número hay un número negativo entre paréntesis, quiere decir que entre los dos hay un signo
de multiplicación que puede no escribirse.
EJEMPLO:
HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION
3) Cuando dos paréntesis, corchetes o llaves están juntos uno cerrado y el otro abierto y no hay ningún signo entre
ellos , hay un signo de multiplicación que puede no escribirse.
EJEMPLO:
HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION
HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION
HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION

36. 29 de enero de 2015 36
OPERACIONES COMBINADAS
Para resolver ejercicios combinados con suma o resta y multiplicación o división,
debo primero separar en términos.
Los signos que separan términos son los de suma o resta y se resuelve primero
lo que está en cada término. Por ejemplo:
Si el ejercicio combinado tiene paréntesis, corchetes y/o llaves, se procede así:
Separo en términos lo que está dentro de los paréntesis y lo resuelvo:
{−4 −7−4
[4:−2−5
−6⋅2
term1
9: 3
term 2]}=
={−4−7−4 [4:−2−5−123]}=
={−4−7−4 [4:−2−5−9]}=
Separo los términos que están dentro de los corchetes y resuelvo:
{−4 −7−4
[4:−2
term1
−5−9
term 2 ]}=
={−4 −7−4[−245]}=
={−4 −7−4[43]}=
Separo los términos que están dentro de las llaves y resuelvo {−4 −7
term1
−443
term 2 }=
={28−172}=
=28−172=−144

37. 29 de enero de 2015 37
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I)
Cuando un número (base) está elevado a
otro número (exponente)
significa que hay que multiplicar la base
tantas veces como indique el exponente.
1) Propiedad de potencias de igual base:
a) Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual baseMULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes.
b) Cuando se DIVIDEN potencias de igual baseDIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes.
EJEMPLOS:
2) Si una potencia está elevada a otro número, se MULTIPLICAN los exponentes.
EJEMPLO:

38. 29 de enero de 2015 38
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II)
4) Las potencias con exponente impar
tienen como resultado un número cuyo
signo es igual al de la base.
EJEMPLO:
5) Propiedades:
a) La potencia es DISTRIBUTIVA con
respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la
DIVISIÓN
EJEMPLO: 2⋅3
2
=22
⋅32
62
=4⋅9
36=36
b) La potencia NO ES DISTRIBUTIVA
con respecto a la SUMA y a la
RESTA.
EJEMPLO:

39. 29 de enero de 2015 39
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I)
Para sacar la raíz de un cierto número (radicando),
buscamos el número que elevado al índice me de por
resultado el radicando.
PROPIEDADES DE LA RADICACION:
1. Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN.
EJEMPLOS:
En la multiplicación En la división
2. NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.
EJEMPLOS:
En la suma En la resta

40. 29 de enero de 2015 40
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II)
3.Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos
resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo.
EJEMPLO:
4. Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.
EJEMPLO:
5. Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.
EJEMPLO:

41. 29 de enero de 2015 41
EJERCICIO RESUELTO 3
Ejercicio combinado (suma-resta, multiplicación-división y potencia–raíz)
Separo en términos los que está dentro de los paréntesis:
Resuelvo primero raíces y potencias dentro de los paréntesis:
{4 −7
2
−9
[81:−32
−52

3
8⋅22

term1
32
: 9
term 2]}=
=
{4−72
−9
[81:−32
−52
 2⋅4
term 1
27: 3
term 2 ]}=
Resuelvo multiplicaciones y divisiones dentro de los paréntesis:
={4−7
2
−9[81: −32
−52
89]}=
Resuelvo sumas y restas dentro de los paréntesis: ={4−72
−9[81: −32
−52
17]}=
Separo en términos lo que está dentro de los corchetes y lo resuelvo
en el mismo orden que con los paréntesis:
={4−72
−9[9:9−25⋅17]}=
¿ {4−72
−9[1−425]}=
¿ {4−72
−9[−424]}=
Separo en términos lo que está dentro de las llaves y lo resuelvo:
={2 49−3−424}=
={981272}=1370