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Ecuacion general de la circunferencia
 

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    Ecuacion general de la circunferencia Ecuacion general de la circunferencia Presentation Transcript

    • Ecuación general del círculo
      • Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el lugar geométrico de los puntos que equidistan 5 unidades del punto Q(4, 3) .
      4 3 5 Vamos a llamar P(x, y) a uno de los puntos del lugar geométrico. Entonces, tenemos que la distancia de este punto a Q debe ser 5, es decir d(P, Q)=5
    • Que se escribe como De donde, Esta ecuación representa un círculo La forma canónica o estándar del círculo de radio r y con centro en C(a, b) es: C r a b
    • Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anterior x 2 -2xa+a 2 +y 2 -2yb+b 2 =x 2 +y 2 +(-2a)x+(-2b)y+a 2 +b 2 notamos que a 2 +b 2 =r 2 Esta es la forma general de la ecuación del círculo. Si D=-2a, E=-2b y F=a 2 +b 2 -r 2 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0
    • Problema individual: Encontrar el centro y radio del círculo cuya ecuación es 4x 2 +4y 2 -12x+40y+77=0 4(x 2 -3x)+4(y 2 +10y)= -77 (x 2 -3x)+(y 2 +10y)= -77/4 (x 2 -3x+9/4)+(y 2 +10y+25)= -77/4+9/5+25 (x-3/2) 2 +(y+5) 2 = 8 Entonces el centro es (3/2, -5) y el radio es  8=2  2
    • Ejercicio en equipo Deducir una ecuación del círculo que pasa por los puntos (1,5), (-2,3), (2,1). Resuelva de manera analítica y gráfica. Solución : Sabemos que la ecuación deseada tiene la forma siguiente: x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del círculo por estar en él, tenemos 1+25+D+5E+F=0 4+9-2D+3E+F=0 4+1+2D-E+F=0
    • Es decir, D+5E+F=-26 -2D+3E+F=-13 2D-E+F=-5 Resolviendo el sistema tenemos, D=-9/5, E=19/5, F=-26/5 Por lo tanto la ecuación del círculo es: 5x 2 +5y 2 -9x-19y-26=0 El ejemplo anterior demuestra el empleo de la fórmula general para deducir la ecuación deseada.
    • Solución alterna Como los puntos (1,5) y (-2,3) se ubican en el círculo, el segmento de uno a otro es una cuerda del círculo que deseamos. (-2,3) (1,5) (2,-1) Para la cuerda que une a (1,5) con (-2,3) , el punto medio es (-1/2,4) y la pendiente m=2/3 .
    • Ejercicio en equipo
      • Encontrar la ecuación de la recta tangente al círculo (x-3) 2 +(y-12) 2 =100 en el punto P(-5,6) .
      Recuerda : Una recta es tangente a un círculo si toca a éste en un solo punto. La recta tangente a un circulo tiene la propiedad de ser perpendicular al radio que une al centro del círculo con el punto de tangencia. Esta propiedad es la que nos permite encontrar la ecuación de la recta tangente.
    • Solución:
      • Primero debemos encontrar la pendiente del radio que une a P con el centro del círculo. El centro tiene coordenadas (3,12) . La pendiente buscada es m=3/4 .
      • De donde la pendiente de la recta tangente al círculo en P es –4/3 ; por tanto su ecuación es
      • y-6=-4/3(x-(-5)), o bien 4x+3y+2=0
      6 -5 3 12
    • Ejercicio en equipo
      • Encontrar la ecuación del círculo que es tangente a la recta x-2y+2=0 en el punto P(8,5) y pasa por Q(12,9)
      • Solución : El centro C(x o , y o ) del círculo debe estar en la recta l que es perpendicular a la recta dada y que pasa por P . Como la recta dada tiene pendiente ½ , la recta l tiene pendiente m=-2 ; por tanto su ecuación es y-5=-2(x-8) 2x+y-21=0
      • Por tanto las coordenadas de C satisfacen
      • 2x o +y o -21=0 (1)
      • Como la distancia de C(x o , y o ) a P(8,5) debe ser igual a la distancia de C(x o , y o ) a Q(12,9) , se tiene que
      • Elevando al cuadrado y simplificando tenemos x o +y o -17=0 (2)
      • Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2) encontramos las coordenadas del centro C(4,13) y el radio r=  80
      • Así la ecuación de la circunferencia es (x-4) 2 +(y-13) 2 =80, o bien x 2 +y 2 -8x-26y+105=0
      5 8 4 13