Apuntes formulas fundamentales_de_integración

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Ejemplos de integrales: ¿Cómo usar las fórmulas de integración?

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Apuntes formulas fundamentales_de_integración

  1. 1. C Á LC UL O I NT E G R AL Cuaderno de Apuntes Aprendem@s Sobre: Fórmulas Fundamentales de Integración Ing. Miguel Angel Carrillo Valenzuela
  2. 2. C Á LC UL O I NT E G R AL Fórmulas Fundamentales de Integración Explicación de la integral. La integral es una operación matemática contraria a la derivada; es decir que el problema empieza con una derivada o diferencial y termina cuando encontramos una ecuación original (función primitiva) a partir de la cual se obtuvo la derivada. Ejemplo 1. y =x2 y = x2 + 1 y =x2 – 7 dy=d(x2) dx dx dy=d(x2+1) dx dx dy=d(x2 – 7) dx dx dy=2x dx dy =2x dx dy =2x dx dy=2xdx dy =2xdx dy =2xdx Se integran diferenciales Fórmula de integración  vndv= vn+1 +c n+1 2xdx Todas las fórmulas directas de integración terminan con una constante que se llama constante de integración.  2 x dx n=1 v=x 2 (x2) 2 y= x2+c Función original Cada una de las funciones del ejemplo son primitivas de esta función. Todos los números que estén dentro de una integral multiplicando, se sacan de la integral. Se identifica cuál es la operación principal que se está presentando en la integral. De acuerdo a esa operación se selecciona la fórmula de integración a utilizar. Cuando se deriva una función pierde su constante por lo que al integral se añade la constante de integración.
  3. 3. C Á LC UL O I NT E G R AL Ejemplo 2. Ejemplo 3. (x2+1)5 2xdx  (x3+1)2 x2dx  2 (x2+1)5 xdx Seleccionamos la fórmula de acuerdo a la operación principal. vn dv= vn+1 +c vn dv= vn+1 +c n+1 n+1 Se identifican los términos de la fórmula como los datos del problema. n =5 v = x2+1 sobra dv =x dx n =2 v =x3+1 sobra dv= x2 dx La v siempre se deriva y su resultado debe de ser igual a lo que colocamos en sobra, si no son iguales, sólo se puede completar sobra con puras constantes. d(x2+1) dx d(x3+1) dx dv =2xdx dv= 3x2dx sobra dv =x dx (2) completar sobra sobra dv= x2 dx (3) Cuando se coloca una constante multiplicando a sobra, en el resultado final se pone multiplicando el inverso de esa constante. 1 ( 2 (x2+1)6 +c ) 2 6 1 (x3+1)3 +c 3 3 Se puede simplificar el resultado final realizando las multiplicaciones más simples. (x2+1)6 +c 6 (x3+1)3 +c 9 (x3+1)3 +c Nota. Para calcular la constante de integración, se asignan valores a las variables, tanto dependientes como independientes de la ecuación y se despeja la constante. Cada ocasión en que las variables cambien de valor, la constante cambiará y así se obtendrá una primitiva de la función.
  4. 4. C Á LC UL O I NT E G R AL Ejemplo 4.  (x2+10x-1)3 (x+5) dx n =3 v = x2+10x-1 Sobra (x+5) dx dv= (x+5) dx dv = 2 (x+5) dx Sobra (x+5) dx (2) 1 (x2+10x-1)4 +c 2 4 ( x +1)5 dx x d v = dx dv = Recordemos que la v siempre se deriva y se debe de comparar con el sobrante. Si lo que sobra es una constante, se puede completar el sobrante, de lo contario, se deben de realizar otros procedimientos para resolver la integral. Todo lo que se le añada al sobrante se coloca también en el resultado final. Ejemplo 5. Sobra dx x n =5 v = x +1 Siempre se selcciona el término más complejo del problema y sobre ese término se identifica la fórmula a utilizar. dv = 1 . d x 2 x Al sobrante se le pueden añadir términos enteros o fraccionarios. En el resultado final siempre se pone el mismo término pero inverso. El signo de lo añadido siempre es el mismo. Cuando no se puede completar lo que Sobra (o diferencial), se pueden realizar operaciones algebráicas tales como: desarrollo de binomios, multiplicaciones, identidades, productos notables etc. 1 dx 2 x Sobra dx ( ½ ) x (2) (x +1)6 +c 6
  5. 5. C Á LC UL O I NT E G R AL Ejemplo 6  (x3+1)3 xdx n =3 v =x3+1 dv =3x2dx Resolvemos con la fórmula Sobra x dx  vn dv Cuando se deriva v, se puede observar que no es igual a Sobra y que le falta una x, además de un 3, para que sean iguales. Cuando falten variables para completar sobra, se deben de realizar otras operaciones antes de volver a integrar. Se desarrolla el binomio al cubo ((x3)3+3(x2)(1)+3(x3)(1)2+(1)3) x Se multiplica cada término del binomio por la x que está afuera de él. Cada suma o resta es una integral. (x9+ 3x6+ 3x3+1) x x10+ 3x7+ 3x4+ x  x10 dx + 3 x7dx + 3 x4dx + xdx  Todas las integrales son vn dv x11 + 3x8 + 3x5 + x2+ c 11 8 5 2 Ejemplo 7.  Sen5 (x2) Cos (x2) x dx n =5 v =Sen (x2) Sobra = Cos (x2) x dx d Senx2 = Cosx2 dx2 dx dx dv = Cos(x2) 2xdx La derivada se parece a Sobra sólo falta un 2. Sobra = Cos (x2) x dx (2) Resultado Final 1 (Sen (x2))6 +c 2 6  Nuevamente se usa la fórmula vn dv
  6. 6. C Á LC UL O I NT E G R AL Ejemplo 8.  (x2+10x – 1 )3 (x + 5) dx Cuando hay dos o más términos, se debe de seleccionar el más complejo para, de éste, identificar la fórmula de integración a utilizar. n=3 Sobra (x + 5) dx v = x2+10x –1 dv= (2x+10) dx dv =2(x+5) dx En este caso, el término que tiene el exponente más elevado nos servirá de guía para seleccionar la fórmula. Resultado Final En un buen porcentaje la fórmula más empleada es 1 (x2+10x-1)4 +c 2 4 Ejemplo 9.  Arctg3(2x) dx 1+x n =3 v = Arctg (x) dv = 1 dx 1+x2 Sobra = dx 1+x2 dv = dx 1+x2 Resultado Final (Arctg(x))4 +c 4 vn dv= vn+1 +c n+1 Recordemos que siempre se deriva el dato llamado v, para obtener dv, este dv se compara con sobra (que en realidad se llama diferencial), si lo que le falta a sobra es una constante, se añade esa constante a sobra y se coloca en el resultado final el inverso con el mismo signo. En estos ejemplos, la constante siempre está multiplicando pero hay ocasiones en que faltará sumando o restándose, esa clase de problemas se verán más adelante. Sobra siempre será todo aquel término que no se consideró en la fórmula incluyendo dx (el diferencial). Ejemplo 10.  ln (x) dx x n =1 v = ln (x) Sobra = dx x dv = 1 dx dx x dx dv = dx x Resultado Final ( ln (x))2 +c 2 El resultado final es la función original derivable, este resultado tiene una constante ya que pueden pertenecer varias funciones primitivas las que dieron el diferencial a integral. Una función primitiva es aquélla que ya tiene un valor de la constante.
  7. 7. C Á LC UL O I NT E G R AL Fórmulas Fundamentales de Integración 1) 2) 3) dv = v+c (v +- u) dv =  v dv +-  u dv  c dv = c  dv 15) Csc2 (v) dv = -Ctg (v) +c 16) Sec (v) Tg (v) dv = Sec (v) +c 17) Csc (v) Ctg (v) dv = -Csc (v) +c 4)  v d v = v n n+1 +c n+1 5)  dv = ln(v) +c v 6) av = av +c ln(a) 7) ev= ev+c 18)  dv = Arcsec v +c a2-v2 a 19)  dv = 1 Arctg v +c a2+v2 a a 20)  dv = 1 Arcsec v +c 2 2 vv -a a a 8) Sen (v) dv = -Cos(v) +c 21)  dv = 1 ln | v – a | + c v2-a2 2a v+a 9) Cos (v) dv = Sen (v) +c 22)  dv = 1 ln | v + a | + c 2 2 a -v 2a v–a 10)  Tg (v) dv = Ln(Sen (v)) +c 23)  dv = ln( v +  v2+a2 ) + c 2 2 v +a 11) Sec (v) dv = Ln (Sec (v) +Tg (v)) +c 24)  dv = 2 2 v -a ln( v +  v2 – a2 ) + c 12) Csc (v) dv = Ln (Csc (v) +Ctg(v)) +c 13) Ctg (v) dv = Ln (Cos (v)) +c 14) Sec2(v) dv = Tg (v) +c 25)  a2-v2 dv = ½ v a2 – v2 + ½ a2 ArscSen (v/a) + c 26)  v2+a2 dv = ½ v v2 + a2 + ½ a2 ln ( v +  v2+a2 ) + c 27)  v2–a2 dv = (½ v v2 – a2 ) – ½ a2 ln | v +  v2 – a2 | + c

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