Definición simple de la Integral o Antiderivada

1. C Á LC UL O I NT E G R AL
Cuaderno de Apuntes
Aprendem@s
Sobre:
Definición de la Integral
Ing. Miguel Ángel Carrillo Valenzuela
Definición de la Integración

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La Antiderivada
Una vez derivada una función se puede obtener nuevamente la función
original o primitiva mediante su antiderivada. Es decir una derivada
proviene de una función llamada primitiva y para encontrar esta se hace
referencia a la antiderivada o integral.
Ejemplo 1
Determine tres funciones primitivas cuya derivada sea 3x2.
Estas tres funciones pueden ser:
F1 (x) = x3, F2 (x) = x3 −2, F3 (x) = x3 + 2√5
El resultado de la antiderivada 3x2 es cualquiera de estas tres funciones ya
que la derivada de cualquiera de ellas nos dan 3x2 y la derivada de
cualquier constante se elimina por tener un valor de 0.
Definición Uno.
(Antiderivada particular) una función F (x) es una
antiderivada particular de f (x)
Si se obtiene el valor de la constante de la función bajo un contexto
particular.
Ejemplo 2 Algunas antiderivadas particulares de f (x) = cosx son:
F1 (x) = senx+ 1,
F2 (x) = senx− √2,
F3 (x) = senx+e
Ejemplo 3 Determine la familia de funciones cuya derivada es 2x.
Para que la derivada de una función sea 2x, este debe de tener por
expresión x2 más una constante, por lo tanto la familia de funciones cuya
derivada es 2x será F(x)= x2 + c y algunos ejemplos de estas funciones:
f (x) = x2,
g (x) = x2 + √2,
h(x) = x2 +π
Definición Dos. (Antiderivada) dada una función f(x) se define su
antiderivada (o antiderivada general) como la familia de funciones cuya
derivada es f (x).
Definición Tres. (Integral Indefinida) Integral indefinida es el conjunto de
las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto, f(x) dx
es un conjunto de funciones; no es una función sola, ni un número.

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La función f que se está integrando se llama el integrando, y la variable x
se llama la variable de integración.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico
real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con
derivar
Si determinamos que cada cuadro es un pequeño diferencial (dx), si se
juntan (integran) se podría vislumbrar la función primitiva de donde
proviene dicho diferencial.
Sabemos que una derivada es una tangente de una función en un punto
dado. Si unimos los todos los puntos tangentes de esa función, es decir
sus diferenciales se puede obtener la función primitiva.