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  • Introducción λ-Cálculo Cuántico Conclusión Bibliografía λ-Cálculo Cuántico (de André van Tonder [vT04]) Alejandro Díaz-Caro Departamento de Ciencias de la Computación Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Universidad Nacional de Rosario 16 de junio de 2007 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Contenido de la presentación 1 Introducción Contenido de la presentación Motivación Computación Cuántica Motivación... (cont) 2 λ-Cálculo Cuántico Primer Intento Segundo Intento Tercer (y último) intento Cómo computa el λq Ejemplos 3 Conclusión 4 Bibliografía Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Motivación Actualmente existen dos modelos equivalentes[Yao93] predominantes para pensar la computación cuántica: Máquinas de Turing Cuánticas[Ben80][Deu85] Circuitos Cuánticos[Deu89] Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Las Máquinas de Turing Cuánticas proveen un modelo para denir la universalidad de la Computación Cuántica, pero razonar sobre ellas es un proceso bastante complicado. Por ese motivo los circuitos cuánticos son más populares: proveen una visión gráca y composicional de los algoritmos y pueden ser manipulados algebraicamente. Pero ningún circuito cuántico nito puede ser universal. En Computación Clásica, el λ-Cálculo provee un modelo alternativo, equivalente a las Máquinas de Turing, y es de gran utilidad en la teoría de la computación y el estudio de lenguajes y sus semánticas. La idea es proveer a la Computación Cuántica de una herramienta equivalente. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Las Máquinas de Turing Cuánticas proveen un modelo para denir la universalidad de la Computación Cuántica, pero razonar sobre ellas es un proceso bastante complicado. Por ese motivo los circuitos cuánticos son más populares: proveen una visión gráca y composicional de los algoritmos y pueden ser manipulados algebraicamente. Pero ningún circuito cuántico nito puede ser universal. En Computación Clásica, el λ-Cálculo provee un modelo alternativo, equivalente a las Máquinas de Turing, y es de gran utilidad en la teoría de la computación y el estudio de lenguajes y sus semánticas. La idea es proveer a la Computación Cuántica de una herramienta equivalente. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Las Máquinas de Turing Cuánticas proveen un modelo para denir la universalidad de la Computación Cuántica, pero razonar sobre ellas es un proceso bastante complicado. Por ese motivo los circuitos cuánticos son más populares: proveen una visión gráca y composicional de los algoritmos y pueden ser manipulados algebraicamente. Pero ningún circuito cuántico nito puede ser universal. En Computación Clásica, el λ-Cálculo provee un modelo alternativo, equivalente a las Máquinas de Turing, y es de gran utilidad en la teoría de la computación y el estudio de lenguajes y sus semánticas. La idea es proveer a la Computación Cuántica de una herramienta equivalente. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Las Máquinas de Turing Cuánticas proveen un modelo para denir la universalidad de la Computación Cuántica, pero razonar sobre ellas es un proceso bastante complicado. Por ese motivo los circuitos cuánticos son más populares: proveen una visión gráca y composicional de los algoritmos y pueden ser manipulados algebraicamente. Pero ningún circuito cuántico nito puede ser universal. En Computación Clásica, el λ-Cálculo provee un modelo alternativo, equivalente a las Máquinas de Turing, y es de gran utilidad en la teoría de la computación y el estudio de lenguajes y sus semánticas. La idea es proveer a la Computación Cuántica de una herramienta equivalente. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Qubits La Computación Cuántica es un modelo de computación basado en la Mecánica Cuántica. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Qubits La Computación Cuántica es un modelo de computación basado en la Mecánica Cuántica. Su unidad básica es el Qubit Denición Un qubit es un vector de dos dimensiones de la siguiente forma α β con α, β ∈ C y |α|2 + |β|2 = 1. Esto forma un Espacio Vectorial Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Una base del espacio vectorial de un qubit es 1 0 , 0 1 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Una base del espacio vectorial de un qubit es 1 0 , 0 1 A estos vectores los notamos de la siguiente manera 1 0 |0 = , |1 = 0 1 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Una base del espacio vectorial de un qubit es 1 0 , 0 1 A estos vectores los notamos de la siguiente manera 1 0 |0 = , |1 = 0 1 Entonces, un qubit queda denido por α |0 + β |1 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Una base del espacio vectorial de un qubit es 1 0 , 0 1 A estos vectores los notamos de la siguiente manera 1 0 |0 = , |1 = 0 1 Entonces, un qubit queda denido por 1 0 α |0 + β |1 = α +β 0 1 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Una base del espacio vectorial de un qubit es 1 0 , 0 1 A estos vectores los notamos de la siguiente manera 1 0 |0 = , |1 = 0 1 Entonces, un qubit queda denido por 1 0 α α |0 + β |1 = α +β = 0 1 β Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Para un sistema de n-qubits tendremos el espacio vectorial de dimensión 2 n generado por la base        1 0 0    0 1 0        , ,...,       . . . . . .     .   .   .    0 0 1   Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Para un sistema de n-qubits tendremos el espacio vectorial de dimensión 2 n generado por la base        1 0 0    0 1 0        , ,...,       . . . . . .     .   .   .    0 0 1   y a esos n-qubits los notamos de dos maneras alternativas: Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Para un sistema de n-qubits tendremos el espacio vectorial de dimensión 2 n generado por la base        1 0 0    0 1 0        , ,...,       . . . . . .     .   .   .    0 0 1   y a esos n-qubits los notamos de dos maneras alternativas: |i1 , . . . , in con ik ∈ { 0, 1} Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Para un sistema de n-qubits tendremos el espacio vectorial de dimensión 2 n generado por la base        1 0 0    0 1 0        , ,...,       . . . . . .     .   .   .    0 0 1   y a esos n-qubits los notamos de dos maneras alternativas: |i1 , . . . , in con ik ∈ { 0, 1} o |i con i ∈ { 0, . . . 2n − 1 } Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Para un sistema de n-qubits tendremos el espacio vectorial de dimensión 2 n generado por la base        1 0 0    0 1 0        , ,...,       . . . . . .     .   .   .    0 0 1   y a esos n-qubits los notamos de dos maneras alternativas: |i1 , . . . , in con ik ∈ { 0, 1} o |i con i ∈ { 0, . . . 2n − 1 } Entonces un n-qubit queda denido por 2n−1 2n−1 αk |k tal que |αk |2 = 1 k =0 k =0 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Compuertas Las compuertas cuánticas son matrices que satisfacen determinadas propiedades (básicamente, propiedades que hacen que la matriz aplicada a (multiplicada por) los qubits nos devuelvan qubits). Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Compuertas Las compuertas cuánticas son matrices que satisfacen determinadas propiedades (básicamente, propiedades que hacen que la matriz aplicada a (multiplicada por) los qubits nos devuelvan qubits). Ejemplo Compuerta NOT 0 1 X = 1 0 1 0 X |0 =X = = |1 0 1 0 1 X |1 =X = = |0 1 0 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Compuertas Las compuertas cuánticas son matrices que satisfacen determinadas propiedades (básicamente, propiedades que hacen que la matriz aplicada a (multiplicada por) los qubits nos devuelvan qubits). Ejemplo Ejemplo Compuerta NOT Compuerta Hadamard 0 1 1 X = 1 1 1 0 H =√ 2 1 −1 1 0 1 X |0 =X = = |1 H |0 = √ (|0 + |1 ) 0 1 2 0 1 1 X |1 =X = = |0 H |1 = √ (|0 − |1 ) 1 0 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Ejemplo Compuerta CNOT I 0 CNOT = 0 X CNOT |00 = |00 CNOT |01 = |01 CNOT |10 = |11 CNOT |11 = |10 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Ejemplo Compuerta CNOT I 0 CNOT = 0 X CNOT |00 = |00 CNOT |01 = |01 CNOT |10 = |11 CNOT |11 = |10 La aplicación de una compuerta cuántica a cualquier qubit es una aplicación lineal 2n−1 U αi |i i =0 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Ejemplo Compuerta CNOT I 0 CNOT = 0 X CNOT |00 = |00 CNOT |01 = |01 CNOT |10 = |11 CNOT |11 = |10 La aplicación de una compuerta cuántica a cualquier qubit es una aplicación lineal 2n−1 2n−1 U αi |i = αi U |i i =0 i =0 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Por lo tanto, especicando cómo actúa la compuerta en la base del espacio de qubits, ya se ha especicado todo lo necesario. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Por lo tanto, especicando cómo actúa la compuerta en la base del espacio de qubits, ya se ha especicado todo lo necesario. Ejemplo Z |0 = |0 Z |1 = − |1 Entonces Z (α |0 + β |1 ) = α |0 − β |1 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Por lo tanto, especicando cómo actúa la compuerta en la base del espacio de qubits, ya se ha especicado todo lo necesario. Ejemplo Obs Todas las compuertas cuánticas son reversibles y Z |0 = |0 coinciden con su inversa, Z |1 = − |1 entonces, aplicando dos veces una compuerta, se vuelve al Entonces estado original. Z (α |0 + β |1 ) = α |0 − β |1 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Medición 2n−1 n− 1 Al medir un n-qubits i=0 αi |i respecto a la base {|i }i2=0 del espacio de n-qubits, obtendré un vector |k de dicha base con probabilidad |αk |2 . Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Medición 2n−1 n− 1 Al medir un n-qubits i=0 αi |i respecto a la base {|i }i2=0 del espacio de n-qubits, obtendré un vector |k de dicha base con probabilidad |αk |2 . Ejemplo 1 Al medir el qubit √ 2 (|0 + |1 ) obtendré |0 ó |1 con probabilidad 1 cada uno. 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Medición 2n−1 n− 1 Al medir un n-qubits i=0 αi |i respecto a la base {|i }i2=0 del espacio de n-qubits, obtendré un vector |k de dicha base con probabilidad |αk |2 . Ejemplo 1 Al medir el qubit √ 2 (|0 + |1 ) obtendré |0 ó |1 con probabilidad 1 cada uno. 2 Obs Un algoritmo cuántico se basa en hacer evolucionar un sistema de n-qubits mediante la aplicación de compuertas y mediciones. Debido a la reversibilidad de las compuertas, los algoritmos son reversibles (excepto en la medición). Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Circuitos Un circuito cuántico es la representación gráca de un algoritmo cuántico. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Circuitos Un circuito cuántico es la representación gráca de un algoritmo cuántico. Ejemplo Dado |00 , aplicar H al primer qubit y luego un CNOT entre el primero y el segundo. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Circuitos Un circuito cuántico es la representación gráca de un algoritmo cuántico. Ejemplo Dado |00 , aplicar H al primer qubit y luego un CNOT entre el primero y el segundo. |0 H • |0   Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Circuitos Un circuito cuántico es la representación gráca de un algoritmo cuántico. Ejemplo Dado |00 , aplicar H al primer qubit y luego un CNOT entre el primero y el segundo. |00 H (1) −→ |0 H • |0   Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Circuitos Un circuito cuántico es la representación gráca de un algoritmo cuántico. Ejemplo Dado |00 , aplicar H al primer qubit y luego un CNOT entre el primero y el segundo. |00 H (1) −→ √1 2 (|0 + |1 ) |0 |0 H • |0   Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Circuitos Un circuito cuántico es la representación gráca de un algoritmo cuántico. Ejemplo Dado |00 , aplicar H al primer qubit y luego un CNOT entre el primero y el segundo. |00 H (1) −→ √1 2 (|0 + |1 ) |0 |0 H • 1 = √ 2 (|00 + |10 ) |0   Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Circuitos Un circuito cuántico es la representación gráca de un algoritmo cuántico. Ejemplo Dado |00 , aplicar H al primer qubit y luego un CNOT entre el primero y el segundo. |00 H (1) −→ √1 2 (|0 + |1 ) |0 |0 H • 1 = (|00 + |10 ) √ 2   CNOT (1,2) −→ |0 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Circuitos Un circuito cuántico es la representación gráca de un algoritmo cuántico. Ejemplo Dado |00 , aplicar H al primer qubit y luego un CNOT entre el primero y el segundo. |00 H (1) −→ √1 2 (|0 + |1 ) |0 |0 H • 1 = (|00 + |10 ) √ 2   CNOT (1,2) √ (|00 + |11 ) 1 −→ 2 |0 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Entanglement En el ejemplo anterior, hemos producido un estado entangled, los cuales son estados en que no puedo separar los qubits. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Entanglement En el ejemplo anterior, hemos producido un estado entangled, los cuales son estados en que no puedo separar los qubits. Ejemplo No entangled 1 √ (|00 + |10 ) 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Entanglement En el ejemplo anterior, hemos producido un estado entangled, los cuales son estados en que no puedo separar los qubits. Ejemplo No entangled 1 √ (|00 + |10 ) 2 1 = √ (|0 + |1 ) |0 2 2do qubit 1er qubit Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Computación Cuántica (Physics-free) Entanglement En el ejemplo anterior, hemos producido un estado entangled, los cuales son estados en que no puedo separar los qubits. Ejemplo No entangled Ejemplo 1 Entangled √ (|00 + |10 ) 2 1 √ (|00 + |11 ) 1 2 = √ (|0 + |1 ) |0 2 No los puedo separar! 2do qubit 1er qubit Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Continuando con la Motivación... Circuito cuántico FE |0 H H Uf |1 H Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Continuando con la Motivación... Circuito cuántico FE |0 H H Uf |1 H En Lambda Cálculo Cuántico se podría escribir así: Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción Contenido de la presentación λ-Cálculo Cuántico Motivación Conclusión Computación Cuántica Bibliografía Motivación... (cont) Continuando con la Motivación... Circuito cuántico FE |0 H H Uf |1 H En Lambda Cálculo Cuántico se podría escribir así: Deutsch deutsch Uf ≡ let(x , y ) = Uf ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Primer Intento Presentación En lambda cálculo clásico, las β -reducciones descartan información en cada paso, haciendo el proceso irreversible. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Primer Intento Presentación En lambda cálculo clásico, las β -reducciones descartan información en cada paso, haciendo el proceso irreversible. Cualquier cómputo clásico se puede transformar en un cómputo reversible[Abr93] Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Primer Intento Presentación En lambda cálculo clásico, las β -reducciones descartan información en cada paso, haciendo el proceso irreversible. Cualquier cómputo clásico se puede transformar en un cómputo reversible[Abr93] Podríamos tener reversibilidad de la siguiente manera: Sea x un término y β : x → β(x ) una β -reducción. Entonces consideremos la función x → (x , β(x )), la cual es invertible. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Primer Intento Presentación En lambda cálculo clásico, las β -reducciones descartan información en cada paso, haciendo el proceso irreversible. Cualquier cómputo clásico se puede transformar en un cómputo reversible[Abr93] Podríamos tener reversibilidad de la siguiente manera: Sea x un término y β : x → β(x ) una β -reducción. Entonces consideremos la función x → (x , β(x )), la cual es invertible. En una versión simple, el cómputo procede de la siguiente manera x → (x , β(x )) → (x , β(x ), β 2 (x )) → (x , β(x ), β 2 (x ), β 3 (x )) → . . . Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Primer Intento Presentación En lambda cálculo clásico, las β -reducciones descartan información en cada paso, haciendo el proceso irreversible. Cualquier cómputo clásico se puede transformar en un cómputo reversible[Abr93] Podríamos tener reversibilidad de la siguiente manera: Sea x un término y β : x → β(x ) una β -reducción. Entonces consideremos la función x → (x , β(x )), la cual es invertible. En una versión simple, el cómputo procede de la siguiente manera x → (x , β(x )) → (x , β(x ), β 2 (x )) → (x , β(x ), β 2 (x ), β 3 (x )) → . . . Aunque éste método podría funcionar para implementar reversibilidad, veremos que no funciona en el caso cuántico sin hacerle algunas modicaciones. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Sintaxis para el primer intento t ::= término x variable (λx .t ) abstracción (t t ) aplicación c constante c ::= 0|1|H |cnot |X |Z | . . . constantes 0 y 1 son primitivas. El resto de las constantes denotan compuertas elementales entre qubits. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora le permitimos al estado de un cómputo ser una superposición cuántica de términos en este lenguaje. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora le permitimos al estado de un cómputo ser una superposición cuántica de términos en este lenguaje. Consideremos un estado inicial como el siguiente string: |(H 0) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora le permitimos al estado de un cómputo ser una superposición cuántica de términos en este lenguaje. Consideremos un estado inicial como el siguiente string: |(H 0) Quisiéramos elegir reglas de transición tales que este estado evalúe una compuerta Hadamard aplicada a |0 . Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora le permitimos al estado de un cómputo ser una superposición cuántica de términos en este lenguaje. Consideremos un estado inicial como el siguiente string: |(H 0) Quisiéramos elegir reglas de transición tales que este estado evalúe una compuerta Hadamard aplicada a |0 . 1 |(H 0) → √ (|0 + |1 ) Una regla de transición 2 1 candidata podría ser: |(H 1) → √ 2 (|0 − |1 ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora le permitimos al estado de un cómputo ser una superposición cuántica de términos en este lenguaje. Consideremos un estado inicial como el siguiente string: |(H 0) Quisiéramos elegir reglas de transición tales que este estado evalúe una compuerta Hadamard aplicada a |0 . 1 |(H 0) → √ (|0 + |1 ) Una regla de transición 2 1 candidata podría ser: |(H 1) → √ 2 (|0 − |1 ) Y usamos el truco para hacerlo reversible: 1 |(H 0) → √ 2 (|(H 0); 0 + |(H 0); 1 ) 1 = |(H 0) ⊗ √ 2 (|0 + |1 ) El ; denota la concatenación de strings. El resultado se ha factorizado a la derecha. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Primer Intento Problemas Ejemplo |(H (H 0)) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Primer Intento Problemas Ejemplo 1 |(H (H 0)) → √ (|H (H 0); (H 0) + |H (H 0); (H 1) 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Primer Intento Problemas Ejemplo 1 |(H (H 0)) → √ (|H (H 0); (H 0) + |H (H 0); (H 1) 2 1 → |(H (H 0)) ⊗ (|(H 0); 0 + |(H 0); 1 + |(H 1); 0 − |(H 1); 1 ) 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Primer Intento Problemas Ejemplo 1 |(H (H 0)) → √ (|H (H 0); (H 0) + |H (H 0); (H 1) 2 1 → |(H (H 0)) ⊗ (|(H 0); 0 + |(H 0); 1 + |(H 1); 0 − |(H 1); 1 ) 2 Aquí no puedo factorizar el resultado ya que quedó en entangled con el término intermedio del historial Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Primer Intento Problemas Ejemplo 1 |(H (H 0)) → √ (|H (H 0); (H 0) + |H (H 0); (H 1) 2 1 → |(H (H 0)) ⊗ (|(H 0); 0 + |(H 0); 1 + |(H 1); 0 − |(H 1); 1 ) 2 Aquí no puedo factorizar el resultado ya que quedó en entangled con el término intermedio del historial Este método está guardando más información de la necesaria para lograr reversibilidad. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Segundo intento Presentación Con sólo guardar en cada paso qué subtérmino se ha reducido y qué operación se ha aplicado ya me bastaría. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Segundo intento Presentación Con sólo guardar en cada paso qué subtérmino se ha reducido y qué operación se ha aplicado ya me bastaría. Ejemplo |(H (H 0)) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Segundo intento Presentación Con sólo guardar en cada paso qué subtérmino se ha reducido y qué operación se ha aplicado ya me bastaría. Ejemplo 1 |(H (H 0)) → √ 2 (|_(H _); (H 0) + |_(H _); (H 1) En cada paso reemplazamos los subtérminos que no necesitamos para la reversibilidad por el placeholder  _. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Segundo intento Presentación Con sólo guardar en cada paso qué subtérmino se ha reducido y qué operación se ha aplicado ya me bastaría. Ejemplo 1 |(H (H 0)) → √ 2 (|_(H _); (H 0) + |_(H _); (H 1) 1 → 2 |(_(H _)) ⊗(|(H _); 0 +|(H _); 1 +|(H _); 0 −|(H _); 1 ) En cada paso reemplazamos los subtérminos que no necesitamos para la reversibilidad por el placeholder  _. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Segundo intento Presentación Con sólo guardar en cada paso qué subtérmino se ha reducido y qué operación se ha aplicado ya me bastaría. Ejemplo 1 |(H (H 0)) → √ 2 (|_(H _); (H 0) + |_(H _); (H 1) 1 → 2 |(_(H _)) ⊗(|(H _); 0 +|(H _); 1 +|(H _); 0 −|(H _); 1 ) = 1 |(_(H _)) ⊗ 2 |(H _); 0 2 En cada paso reemplazamos los subtérminos que no necesitamos para la reversibilidad por el placeholder  _. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Segundo intento Presentación Con sólo guardar en cada paso qué subtérmino se ha reducido y qué operación se ha aplicado ya me bastaría. Ejemplo 1 |(H (H 0)) → √ 2 (|_(H _); (H 0) + |_(H _); (H 1) 1 → 2 |(_(H _)) ⊗(|(H _); 0 +|(H _); 1 +|(H _); 0 −|(H _); 1 ) = 1 |(_(H _)) ⊗ 2 |(H _); 0 = |(_(H _)); (H _) ⊗ |0 2 En cada paso reemplazamos los subtérminos que no necesitamos para la reversibilidad por el placeholder  _. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Segundo intento Presentación Con sólo guardar en cada paso qué subtérmino se ha reducido y qué operación se ha aplicado ya me bastaría. Ejemplo 1 |(H (H 0)) → √ 2 (|_(H _); (H 0) + |_(H _); (H 1) 1 → 2 |(_(H _)) ⊗(|(H _); 0 +|(H _); 1 +|(H _); 0 −|(H _); 1 ) = 1 |(_(H _)) ⊗ 2 |(H _); 0 = |(_(H _)); (H _) ⊗ |0 2 En cada paso reemplazamos los subtérminos que no necesitamos para la reversibilidad por el placeholder  _. Ahora formalicemos un poco ésto. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Primero extendemos la denición de valores para incluir a las constantes Denición de valores del Segundo Intento v ::= valores x variable c constante (λx .t ) valor de abstracción Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Primero extendemos la denición de valores para incluir a las constantes Denición de valores del Segundo Intento v ::= valores x variable c constante (λx .t ) valor de abstracción El estado computacional se toma como una superposición cuántica de secuencias de la forma h1 ; . . . ; hn ; t donde a h1 ; . . . ; hn se le llama historial y a t registro computacional. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las reglas de transición son las siguientes Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las reglas de transición son las siguientes Reglas de transición del Segundo Intento t1 → h1 ; t1 (APP1 ) H ; (t1 t2 ) → H ; (h1 _); (t1 t2 ) H denota el historial (puede estar vacío) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las reglas de transición son las siguientes Reglas de transición del Segundo Intento t1 → h1 ; t1 (APP1 ) H ; (t1 t2 ) → H ; (h1 _); (t1 t2 ) H denota el historial (puede estar vacío) t2 → h2 ; t2 (APP2 ) H ; (v1 t2 ) → H ; (_ h2 ); (v1 t2 ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las reglas de transición son las siguientes Reglas de transición del Segundo Intento t1 → h1 ; t1 (APP1 ) H ; (t1 t2 ) → H ; (h1 _); (t1 t2 ) H denota el historial (puede estar vacío) t2 → h2 ; t2 (APP2 ) H ; (v1 t2 ) → H ; (_ h2 ); (v1 t2 ) (β1 ) Si x ∈ F (t ) H ; ((λx .t ) v ) → H ; ((λx .t x ); _); t [v /x ] Ver formalización t x se obtiene de t reemplazando recursivamente todos los subtérminos que no contienen x con el símbolo _ y manteniendo x . Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las reglas de transición son las siguientes Reglas de transición del Segundo Intento t1 → h1 ; t1 (APP1 ) H ; (t1 t2 ) → H ; (h1 _); (t1 t2 ) H denota el historial (puede estar vacío) t2 → h2 ; t2 (APP2 ) H ; (v1 t2 ) → H ; (_ h2 ); (v1 t2 ) (β1 ) Si x ∈ F (t ) H ; ((λx .t ) v ) → H ; ((λx .t x ); _); t [v /x ] (β2 ) Si x ∈ F (t ) / H ; ((λx .t ) v ) → H ; ((λx ._); v ); t Ver formalización t x se obtiene de t reemplazando recursivamente todos los subtérminos que no contienen x con el símbolo _ y manteniendo x . Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las reglas de transición son las siguientes Reglas de transición del Segundo Intento t1 → h1 ; t1 (APP1 ) H ; (t1 t2 ) → H ; (h1 _); (t1 t2 ) H denota el historial (puede estar vacío) t2 → h2 ; t2 (APP2 ) H ; (v1 t2 ) → H ; (_ h2 ); (v1 t2 ) (β1 ) Si x ∈ F (t ) H ; ((λx .t ) v ) → H ; ((λx .t x ); _); t [v /x ] (β2 ) Si x ∈ F (t ) / H ; ((λx .t ) v ) → H ; ((λx ._); v ); t (Id) en otro caso Ver formalización H ; t → H ; _; t t x se obtiene de t reemplazando recursivamente todos los subtérminos que no contienen x con el símbolo _ y manteniendo x . Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo |((apply id ) cosa) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo |((apply id ) cosa) ≡ |(((λf .(λx .(f x ))) (λz .z )) cosa) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo |((apply id ) cosa) ≡ |(((λf .(λx .(f x ))) (λz .z )) cosa) → |(((λf .(_.(f _)))_)_); (λx .((λz .z ) x ) cosa) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo |((apply id ) cosa) ≡ |(((λf .(λx .(f x ))) (λz .z )) cosa) → |(((λf .(_.(f _)))_)_); (λx .((λz .z ) x ) cosa) → |(((λf .(_.(f _)))_)_); (λx .(_ x )_); ((λz .z ) cosa) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo |((apply id ) cosa) ≡ |(((λf .(λx .(f x ))) (λz .z )) cosa) → |(((λf .(_.(f _)))_)_); (λx .((λz .z ) x ) cosa) → |(((λf .(_.(f _)))_)_); (λx .(_ x )_); ((λz .z ) cosa) → |(((λf .(_.(f _)))_)_); (λx .(_ x )_); ((λz .z ) _); cosa Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo |((apply id ) cosa) ≡ |(((λf .(λx .(f x ))) (λz .z )) cosa) → |(((λf .(_.(f _)))_)_); (λx .((λz .z ) x ) cosa) → |(((λf .(_.(f _)))_)_); (λx .(_ x )_); ((λz .z ) cosa) → |(((λf .(_.(f _)))_)_); (λx .(_ x )_); ((λz .z ) _); cosa → |(((λf .(_.(f _)))_)_); (λx .(_ x )_); ((λz .z ) _); _; cosa → ... En este ejemplo podemos usar como criterio de terminación comparar la última expresión con  _, no tenemos un criterio de terminación bien denido en λi ya que el estado podría tener una superposición de varios historiales, algunos de los cuales hayan terminado y otros no. Entonces observando podría cambiar el estado. Este problema será resuelto más adelante con el λq . Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Regla de reducción extra para símbolos de compuertas cuánticas Regla de reducción para símbolos de compuertas cuánticas (U) |H ; (cU φ) → |H ; (cU _) ⊗ U |φ donde cU denota cualquiera de los símbolos cuánticos y U la correspondiente transformación unitaria. φ es 0 ó 1 en el caso de operadores de 1 qubit ó (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) en el caso de operadores de 2-qubits, etc. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Regla de reducción extra para símbolos de compuertas cuánticas Regla de reducción para símbolos de compuertas cuánticas (U) |H ; (cU φ) → |H ; (cU _) ⊗ U |φ donde cU denota cualquiera de los símbolos cuánticos y U la correspondiente transformación unitaria. φ es 0 ó 1 en el caso de operadores de 1 qubit ó (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) en el caso de operadores de 2-qubits, etc. Ejemplo |(cnot (1, 0)) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Regla de reducción extra para símbolos de compuertas cuánticas Regla de reducción para símbolos de compuertas cuánticas (U) |H ; (cU φ) → |H ; (cU _) ⊗ U |φ donde cU denota cualquiera de los símbolos cuánticos y U la correspondiente transformación unitaria. φ es 0 ó 1 en el caso de operadores de 1 qubit ó (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) en el caso de operadores de 2-qubits, etc. Ejemplo |(cnot (1, 0)) → |(cnot _); (1, 1) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Regla de reducción extra para símbolos de compuertas cuánticas Regla de reducción para símbolos de compuertas cuánticas (U) |H ; (cU φ) → |H ; (cU _) ⊗ U |φ donde cU denota cualquiera de los símbolos cuánticos y U la correspondiente transformación unitaria. φ es 0 ó 1 en el caso de operadores de 1 qubit ó (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) en el caso de operadores de 2-qubits, etc. Ejemplo |(cnot (1, 0)) → |(cnot _); (1, 1) |H ; (H 0) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Regla de reducción extra para símbolos de compuertas cuánticas Regla de reducción para símbolos de compuertas cuánticas (U) |H ; (cU φ) → |H ; (cU _) ⊗ U |φ donde cU denota cualquiera de los símbolos cuánticos y U la correspondiente transformación unitaria. φ es 0 ó 1 en el caso de operadores de 1 qubit ó (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) en el caso de operadores de 2-qubits, etc. Ejemplo |(cnot (1, 0)) → |(cnot _); (1, 1) 1 |H ; (H 0) → |H ; (H _) ⊗ √2 (|0 + |1 ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Segundo Intento Problemas Ejemplo |((λx .cosa) otraCosa) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Segundo Intento Problemas Ejemplo |((λx .cosa) otraCosa) → |((λx ._) otraCosa); cosa Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Segundo Intento Problemas Ejemplo |((λx .cosa) otraCosa) → |((λx ._) otraCosa); cosa Aquí debemos guardar  otraCosa en el historial para mantener reversibilidad. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Segundo Intento Problemas Ejemplo |((λx .cosa) otraCosa) → |((λx ._) otraCosa); cosa Aquí debemos guardar  otraCosa en el historial para mantener reversibilidad. Pero entonces entramos en problemas cuando el argumento que se descarta es una superposición Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo |(λx .0) (H 0) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo 1 |(λx .0) (H 0) → |(_ (H _)) ⊗ (λx .0) ( √2 (|0 + |1 )) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo 1 |(λx .0) (H 0) → |(_ (H _)) ⊗ (λx .0) ( √2 (|0 + |1 )) 1 Aquí tengo dos formas de reducir (λx .0) ( √2 (|0 + |1 )) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo 1 |(λx .0) (H 0) → |(_ (H _)) ⊗ (λx .0) ( √2 (|0 + |1 )) 1 Aquí tengo dos formas de reducir (λx .0) ( √2 (|0 + |1 )) 1 1 (λx ._) ( √2 (|0 + |1 ) ⊗ |0 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo 1 |(λx .0) (H 0) → |(_ (H _)) ⊗ (λx .0) ( √2 (|0 + |1 )) 1 Aquí tengo dos formas de reducir (λx .0) ( √2 (|0 + |1 )) 1 1 (λx ._) ( √2 (|0 + |1 ) ⊗ |0 1 ≡ √ 2 (|(λx ._) 0 + |(λx ._) 1 ) ⊗ |0 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo 1 |(λx .0) (H 0) → |(_ (H _)) ⊗ (λx .0) ( √2 (|0 + |1 )) 1 Aquí tengo dos formas de reducir (λx .0) ( √2 (|0 + |1 )) 1 1 (λx ._) ( √2 (|0 + |1 ) ⊗ |0 1 ≡ √ 2 (|(λx ._) 0 + |(λx ._) 1 ) ⊗ |0 1 2 √ 2 (|(λx .0) 0 + |(λx .0) 1 ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo 1 |(λx .0) (H 0) → |(_ (H _)) ⊗ (λx .0) ( √2 (|0 + |1 )) 1 Aquí tengo dos formas de reducir (λx .0) ( √2 (|0 + |1 )) 1 1 (λx ._) ( √2 (|0 + |1 ) ⊗ |0 1 ≡ √(|(λx ._) 0 + |(λx ._) 1 ) ⊗ |0 2 1 √ 2 √ (|(λx .0) 0 + |(λx .0) 1 ) → 2 |0 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Otro ejemplo Ejemplo |((λy .((λx .y ) y )) (H 0)) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Otro ejemplo Ejemplo |((λy .((λx .y ) y )) (H 0)) 1 → √2 |(_(H _) ⊗ (|((λy .((λx .y ) y )) 0) + |((λy .((λx .y ) y )) 1) ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Otro ejemplo Ejemplo |((λy .((λx .y ) y )) (H 0)) 1 → √2 |(_(H _) ⊗ (|((λy .((λx .y ) y )) 0) + |((λy .((λx .y ) y )) 1) ) 1 → √ 2 |(_(H _) ⊗ |((λy .((_.y ) y )) _) ⊗ (|((λx .0) 0) + |((λx .1) 1) ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Otro ejemplo Ejemplo |((λy .((λx .y ) y )) (H 0)) 1 → √2 |(_(H _) ⊗ (|((λy .((λx .y ) y )) 0) + |((λy .((λx .y ) y )) 1) ) 1 → |(_(H _) ⊗ √ 2 |((λy .((_.y ) y )) _) ⊗ (|((λx .0) 0) + |((λx .1) 1) ) 1 → 2 √ |(_(H _) ⊗ |((λy .((_.y ) y )) _) ⊗ (|((λx ._) 0); 0 + |((λx ._) 1); 1 ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Otro ejemplo Ejemplo |((λy .((λx .y ) y )) (H 0)) 1 → √2 |(_(H _) ⊗ (|((λy .((λx .y ) y )) 0) + |((λy .((λx .y ) y )) 1) ) 1 → |(_(H _) ⊗ √ 2 |((λy .((_.y ) y )) _) ⊗ (|((λx .0) 0) + |((λx .1) 1) ) 1 → 2 √ |(_(H _) ⊗ |((λy .((_.y ) y )) _) ⊗ (|((λx ._) 0); 0 + |((λx ._) 1); 1 ) Quedó el historial en entangled con el estado!!! Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Tercer (y último) intento λ-Cálculo Cuántico (λq ) Denición Decimos que una subexpresión es denida con respecto a la base computacional si es textualmente la misma en todos los branches de la superposición. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Tercer (y último) intento λ-Cálculo Cuántico (λq ) Denición Decimos que una subexpresión es denida con respecto a la base computacional si es textualmente la misma en todos los branches de la superposición. Ejemplo 1 √ (|(λx .0) 0 + |(λx .0) 1 ) 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Tercer (y último) intento λ-Cálculo Cuántico (λq ) Denición Decimos que una subexpresión es denida con respecto a la base computacional si es textualmente la misma en todos los branches de la superposición. Ejemplo 1 √ (|(λx .0) 0 + |(λx .0) 1 ) 2 La subexpresión (λx .0) es denida, aunque el argumento 1 √ 2 (|0 + |1 ) no lo es. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Para resolver los problemas que mostramos previamente, consideraremos un λ-cálculo que guarde información de cuando un argumento es denido o no, el cual hará imposible escribir funciones que descarten elementos no denidos. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Para resolver los problemas que mostramos previamente, consideraremos un λ-cálculo que guarde información de cuando un argumento es denido o no, el cual hará imposible escribir funciones que descarten elementos no denidos. Existe un tipo de cálculo sensible al tipo de elementos llamado λ-cálculo lineal, que ha sido estudiado extensamente [Abr93][Wad94][MOTW99][See89] Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Para resolver los problemas que mostramos previamente, consideraremos un λ-cálculo que guarde información de cuando un argumento es denido o no, el cual hará imposible escribir funciones que descarten elementos no denidos. Existe un tipo de cálculo sensible al tipo de elementos llamado λ-cálculo lineal, que ha sido estudiado extensamente [Abr93][Wad94][MOTW99][See89] La sintaxis que usaremos será una extensión de la introducida en [Wad94] Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Sintaxis del λq t ::= término x variable (λx .t ) abstracción (t t ) aplicación c constante !t término no lineal (λ!x .t ) abstracción no lineal c ::= 0|1|H |cnot |X |Z | . . . constantes Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Observaciones: Los términos de la forma !t son llamados no lineales. Los términos no lineales serán términos denidos con respecto a la base computacional. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Observaciones: Los términos de la forma !t son llamados no lineales. Los términos no lineales serán términos denidos con respecto a la base computacional. La abstracción (λ!x .t ) denota funciones con argumentos no lineales. En contraposición, en la abstracción (λx .t ) el argumento es lineal. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Observaciones: Los términos de la forma !t son llamados no lineales. Los términos no lineales serán términos denidos con respecto a la base computacional. La abstracción (λ!x .t ) denota funciones con argumentos no lineales. En contraposición, en la abstracción (λx .t ) el argumento es lineal. En una abstracción lineal puedo usar todos los términos no lineales que quiera (o ninguno), pero debe haber un término lineal (y sólo uno) en el cuerpo de la función. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Para reforzar estas reglas, necesitamos términos  bien-formados. Esto corresponde a la restricción de que los argumentos lineales aparezcan linealmente en el cuerpo de una función y que todas las variables libres de un término !t reeran a variables no lineales. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Para reforzar estas reglas, necesitamos términos  bien-formados. Esto Ejemplo corresponde a la Bien-Formados No bien-formados restricción de que los (λ!x .0) (λx .0) argumentos lineales aparezcan linealmente en el cuerpo de una función y que todas las variables libres de un término !t reeran a variables no lineales. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Para reforzar estas reglas, necesitamos términos  bien-formados. Esto Ejemplo corresponde a la Bien-Formados No bien-formados restricción de que los (λ!x .0) (λx .0) argumentos lineales (λx .x ) (λx .!x ) aparezcan linealmente en el cuerpo de una función y que todas las variables libres de un término !t reeran a variables no lineales. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Para reforzar estas reglas, necesitamos términos  bien-formados. Esto Ejemplo corresponde a la Bien-Formados No bien-formados restricción de que los (λ!x .0) (λx .0) argumentos lineales (λx .x ) (λx .!x ) aparezcan linealmente en (λ!x .(x x )) (λx .(x x )) el cuerpo de una función y que todas las variables libres de un término !t reeran a variables no lineales. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Para reforzar estas reglas, necesitamos términos  bien-formados. Esto Ejemplo corresponde a la Bien-Formados No bien-formados restricción de que los (λ!x .0) (λx .0) argumentos lineales (λx .x ) (λx .!x ) aparezcan linealmente en (λ!x .(x x )) (λx .(x x )) el cuerpo de una función (λy .(λ!x .y )) (λy .(λx .y )) y que todas las variables libres de un término !t reeran a variables no lineales. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Para reforzar estas reglas, necesitamos términos  bien-formados. Esto Ejemplo corresponde a la Bien-Formados No bien-formados restricción de que los (λ!x .0) (λx .0) argumentos lineales (λx .x ) (λx .!x ) aparezcan linealmente en (λ!x .(x x )) (λx .(x x )) el cuerpo de una función (λy .(λ!x .y )) (λy .(λx .y )) y que todas las variables (λ!y .!(λ!x .y )) (λy .!(λ!x .y )) libres de un término !t reeran a variables no lineales. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las restricciones de términos bien-formados impiden escribir funciones que descarten argumentos lineales, pero esto no es suciente para prevenir cómputos inseguros sin especicar el orden de reducción. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las restricciones de términos bien-formados impiden escribir funciones que descarten argumentos lineales, pero esto no es suciente para prevenir cómputos inseguros sin especicar el orden de reducción. Ejemplo La expresión ((λ!x .0) !(H 0)) es bien-formada. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las restricciones de términos bien-formados impiden escribir funciones que descarten argumentos lineales, pero esto no es suciente para prevenir cómputos inseguros sin especicar el orden de reducción. Ejemplo La expresión ((λ!x .0) !(H 0)) es bien-formada. El problema está en que permitimos usar ! para promover la expresión (H 0) (que va a ser descartada) a un valor no lineal. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las restricciones de términos bien-formados impiden escribir funciones que descarten argumentos lineales, pero esto no es suciente para prevenir cómputos inseguros sin especicar el orden de reducción. Ejemplo La expresión ((λ!x .0) !(H 0)) es bien-formada. El problema está en que permitimos usar ! para promover la expresión (H 0) (que va a ser descartada) a un valor no lineal. Si reducimos primero el subtérmino (H 0), razonando ecuacionalmente tenemos |((λ!x .0) !(H 0) = Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las restricciones de términos bien-formados impiden escribir funciones que descarten argumentos lineales, pero esto no es suciente para prevenir cómputos inseguros sin especicar el orden de reducción. Ejemplo La expresión ((λ!x .0) !(H 0)) es bien-formada. El problema está en que permitimos usar ! para promover la expresión (H 0) (que va a ser descartada) a un valor no lineal. Si reducimos primero el subtérmino (H 0), razonando ecuacionalmente tenemos 1 |((λ!x .0) !(H 0) = √2 (|((λ!x .0) !0) + |((λ!x .0) !1) ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las restricciones de términos bien-formados impiden escribir funciones que descarten argumentos lineales, pero esto no es suciente para prevenir cómputos inseguros sin especicar el orden de reducción. Ejemplo La expresión ((λ!x .0) !(H 0)) es bien-formada. El problema está en que permitimos usar ! para promover la expresión (H 0) (que va a ser descartada) a un valor no lineal. Si reducimos primero el subtérmino (H 0), razonando ecuacionalmente tenemos √ 1 |((λ!x .0) !(H 0) = √2 (|((λ!x .0) !0) + |((λ!x .0) !1) ) = 2 |0 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las restricciones de términos bien-formados impiden escribir funciones que descarten argumentos lineales, pero esto no es suciente para prevenir cómputos inseguros sin especicar el orden de reducción. Ejemplo La expresión ((λ!x .0) !(H 0)) es bien-formada. El problema está en que permitimos usar ! para promover la expresión (H 0) (que va a ser descartada) a un valor no lineal. Si reducimos primero el subtérmino (H 0), razonando ecuacionalmente tenemos √ 1 |((λ!x .0) !(H 0) = √2 (|((λ!x .0) !0) + |((λ!x .0) !1) ) = 2 |0 En cambio, si consideramos a !(H 0) como irreducible, podríamos usar beta reducción inmediatamente y obtener Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Las restricciones de términos bien-formados impiden escribir funciones que descarten argumentos lineales, pero esto no es suciente para prevenir cómputos inseguros sin especicar el orden de reducción. Ejemplo La expresión ((λ!x .0) !(H 0)) es bien-formada. El problema está en que permitimos usar ! para promover la expresión (H 0) (que va a ser descartada) a un valor no lineal. Si reducimos primero el subtérmino (H 0), razonando ecuacionalmente tenemos √ 1 |((λ!x .0) !(H 0) = √2 (|((λ!x .0) !0) + |((λ!x .0) !1) ) = 2 |0 En cambio, si consideramos a !(H 0) como irreducible, podríamos usar beta reducción inmediatamente y obtener |((λ!x .0) !(H 0)) = |0 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Para prevenir que términos de la forma !t sean evaluados, seguimos a [Abr93] y extendemos nuestra denición de valores de la siguiente manera Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Para prevenir que términos de la forma !t sean evaluados, seguimos a [Abr93] y extendemos nuestra denición de valores de la siguiente manera Valores en el λq v ::= valores: x variable c constante (λx .t ) abstracción lineal (λ!x .t ) abstracción no lineal !t !-suspensión Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos El modelo computacional se describe como sigue (donde t es denido como lo denimos anteriormente. Ver denición ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Modelo operacional para el λq t1 → h1 ; t1 (APP1 ) H ; (t1 t2 ) → H ; (h1 _); (t1 t2 ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Modelo operacional para el λq t1 → h1 ; t1 (APP1 ) H ; (t1 t2 ) → H ; (h1 _); (t1 t2 ) → h2 ; t2 t2 (APP2 ) H ; (v t2 ) → H ; (_ h2 ); (v1 t2 ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Modelo operacional para el λq t1 → h1 ; t1 (APP1 ) H ; (t1 t2 ) → H ; (h1 _); (t1 t2 ) → h2 ; t2 t2 (APP2 ) H ; (v t2 ) → H ; (_ h2 ); (v1 t2 ) (β ) H ; ((λx .t ) v ) → H ; ((λx .t x ) _); t [v /x ] Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Modelo operacional para el λq t1 → h1 ; t1 (APP1 ) H ; (t1 t2 ) → H ; (h1 _); (t1 t2 ) → h2 ; t2 t2 (APP2 ) H ; (v t2 ) → H ; (_ h2 ); (v1 t2 ) (β ) H ; ((λx .t ) v ) → H ; ((λx .t x ) _); t [v /x ] (!β1 ) Si x ∈ F (t ) H ; ((λ!x .t ) !t ) → H ; ((λ!x .t x ) _); t [t /x ] Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Modelo operacional para el λq t1 → h1 ; t1 (APP1 ) H ; (t1 t2 ) → H ; (h1 _); (t1 t2 ) → h2 ; t2 t2 (APP2 ) H ; (v t2 ) → H ; (_ h2 ); (v1 t2 ) (β ) H ; ((λx .t ) v ) → H ; ((λx .t x ) _); t [v /x ] (!β1 ) Si x ∈ F (t ) H ; ((λ!x .t ) !t ) → H ; ((λ!x .t x ) _); t [t /x ] (!β2 ) Si x ∈ F (t ) / H ; ((λ!x .t ) !t ) → H ; ((λ!x ._) !t ); t Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Modelo operacional para el λq t1 → h1 ; t1 (APP1 ) H ; (t1 t2 ) → H ; (h1 _); (t1 t2 ) → h2 ; t2 t2 (APP2 ) H ; (v t2 ) → H ; (_ h2 ); (v1 t2 ) (β ) H ; ((λx .t ) v ) → H ; ((λx .t x ) _); t [v /x ] (!β1 ) Si x ∈ F (t ) H ; ((λ!x .t ) !t ) → H ; ((λ!x .t x ) _); t [t /x ] (!β2 ) Si x ∈ F (t ) / H ; ((λ!x .t ) !t ) → H ; ((λ!x ._) !t ); t (U ) |H ; (cU φ) → |H ; (cU _) ⊗ U |φ Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Modelo operacional para el λq t1 → h1 ; t1 (APP1 ) H ; (t1 t2 ) → H ; (h1 _); (t1 t2 ) → h2 ; t2 t2 (APP2 ) H ; (v t2 ) → H ; (_ h2 ); (v1 t2 ) (β ) H ; ((λx .t ) v ) → H ; ((λx .t x ) _); t [v /x ] (!β1 ) Si x ∈ F (t ) H ; ((λ!x .t ) !t ) → H ; ((λ!x .t x ) _); t [t /x ] (!β2 ) Si x ∈ F (t ) / H ; ((λ!x .t ) !t ) → H ; ((λ!x ._) !t ); t (U ) |H ; (cU φ) → |H ; (cU _) ⊗ U |φ (Id) en otro caso H ; t → H ; _; t Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos 1 De acuerdo a estas reglas, las superposiciones cuánticas sólo pueden ser creadas mediante la evaluación de términos que contengan primitivas cuánticas. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos 1 De acuerdo a estas reglas, las superposiciones cuánticas sólo pueden ser creadas mediante la evaluación de términos que contengan primitivas cuánticas. 2 El resultado de aplicar una compuerta cuántica es un valor lineal (sin !). Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos 1 De acuerdo a estas reglas, las superposiciones cuánticas sólo pueden ser creadas mediante la evaluación de términos que contengan primitivas cuánticas. 2 El resultado de aplicar una compuerta cuántica es un valor lineal (sin !). 3 Nótese que cuando una función no lineal encuentra un término lineal, lo único que se puede aplicar es la regla (Id). Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos 1 De acuerdo a estas reglas, las superposiciones cuánticas sólo pueden ser creadas mediante la evaluación de términos que contengan primitivas cuánticas. 2 El resultado de aplicar una compuerta cuántica es un valor lineal (sin !). 3 Nótese que cuando una función no lineal encuentra un término lineal, lo único que se puede aplicar es la regla (Id). 4 Las reglas de reducción precedentes permiten crear superposición, pero los términos en la superposición sólo dieren en las posiciones que contienen las constantes 0 y 1. A continuación vamos a formalizar esto último. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Denición Dos términos son congruentes si coinciden símbolo a símbolo excepto tal vez en las posiciones que contienen 0 ó 1. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Denición Dos términos son congruentes si coinciden símbolo a símbolo excepto tal vez en las posiciones que contienen 0 ó 1. Lema Todos los términos en una superposición obtenidos mediante una secuencia de reducción de un término inicial denido son congruentes. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Denición Dos términos son congruentes si coinciden símbolo a símbolo excepto tal vez en las posiciones que contienen 0 ó 1. Lema Todos los términos en una superposición obtenidos mediante una secuencia de reducción de un término inicial denido son congruentes. Lema Si t es bien-formado y |H ; t → i ci |Hi ; ti , entonces todos los términos ti son bien formados. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Dado que los términos que aparecen en una superposición tienen la misma forma, tiene sentido hablar acerca de subtérminos especícos de la expresión en el registro computacional. Por lo tanto, podemos formular el siguente lema: Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Dado que los términos que aparecen en una superposición tienen la misma forma, tiene sentido hablar acerca de subtérminos especícos de la expresión en el registro computacional. Por lo tanto, podemos formular el siguente lema: Lema Empezando con un término inicial denido, cualquier subtérmino !-suspensión que ocurra durante la reducción será denido con respecto a la base computacional. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Dado que los términos que aparecen en una superposición tienen la misma forma, tiene sentido hablar acerca de subtérminos especícos de la expresión en el registro computacional. Por lo tanto, podemos formular el siguente lema: Lema Empezando con un término inicial denido, cualquier subtérmino !-suspensión que ocurra durante la reducción será denido con respecto a la base computacional. Observación: Notar que mediante reducción tampoco puedo crear !-suspenciones no denidas. (λx . · · ·!(· · · x · · · ) · · · ) (H 0) ya que x es lineal, lo que implica que !(· · · x · · · ) es un subtérmino no bien-formado. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Lema Dado un término inicial denido, los contenidos del historial se mantienen denidos a través de la reducción. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Lema Dado un término inicial denido, los contenidos del historial se mantienen denidos a través de la reducción. Corolario La terminación se puede testear observando el último término del historial sin modicar nada. Cuando ese término es igual al placeholder  _, el resultado queda en el registro computacional. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Lema Dado un término inicial denido, los contenidos del historial se mantienen denidos a través de la reducción. Corolario La terminación se puede testear observando el último término del historial sin modicar nada. Cuando ese término es igual al placeholder  _, el resultado queda en el registro computacional. El hecho de que el historial se mantenga denido en el λq elimina los impedimentos para denir una teoría ecuacional. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Lema Dado un término inicial denido, los contenidos del historial se mantienen denidos a través de la reducción. Corolario La terminación se puede testear observando el último término del historial sin modicar nada. Cuando ese término es igual al placeholder  _, el resultado queda en el registro computacional. El hecho de que el historial se mantenga denido en el λq elimina los impedimentos para denir una teoría ecuacional. De hecho, ya que ahora podemos garantizar que cualquier estado computacional será de la forma |H ⊗ |c (i.e. no en entangled) y que |H se mantendrá denido (por lo cual se preservará la normalización) se puede enunciar el siguiente teorema. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Teorema En el cálculo cuántico λq , la evolución del registro computacional está gobernada por las reglas de reducción que se listan a continuación. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Teorema En el cálculo cuántico λq , la evolución del registro computacional está gobernada por las reglas de reducción que se listan a continuación. Reglas de reducción del registro computacional t1 → t1 (APP1 ) (t1 t2 ) → (t1 t2 ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Teorema En el cálculo cuántico λq , la evolución del registro computacional está gobernada por las reglas de reducción que se listan a continuación. Reglas de reducción del registro computacional t1 → t1 (APP1 ) (t1 t2 ) → (t1 t2 ) t2 → t2 (APP2 ) (v1 t2 ) → (v1 t2 ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Teorema En el cálculo cuántico λq , la evolución del registro computacional está gobernada por las reglas de reducción que se listan a continuación. Reglas de reducción del registro computacional t1 → t1 (APP1 ) (t1 t2 ) → (t1 t2 ) t2 → t2 (APP2 ) (v1 t2 ) → (v1 t2 ) (β ) (λx .t ) v → t [v /x ] Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Teorema En el cálculo cuántico λq , la evolución del registro computacional está gobernada por las reglas de reducción que se listan a continuación. Reglas de reducción del registro computacional t1 → t1 (!β1 ) Si x ∈ F (t ) (APP1 ) (λ!x .t ) !t → t [t /x ] (t1 t2 ) → (t1 t2 ) t2 → t2 (APP2 ) (v1 t2 ) → (v1 t2 ) (β ) (λx .t ) v → t [v /x ] Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Teorema En el cálculo cuántico λq , la evolución del registro computacional está gobernada por las reglas de reducción que se listan a continuación. Reglas de reducción del registro computacional t1 → t1 (!β1 ) Si x ∈ F (t ) (APP1 ) (λ!x .t ) !t → t [t /x ] (t1 t2 ) → (t1 t2 ) t2 → t2 (!β2 ) Si x ∈ F (t ) / (APP2 ) (λ!x .t ) !t → t (v1 t2 ) → (v1 t2 ) (β ) (λx .t ) v → t [v /x ] Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Teorema En el cálculo cuántico λq , la evolución del registro computacional está gobernada por las reglas de reducción que se listan a continuación. Reglas de reducción del registro computacional t1 → t1 (!β1 ) Si x ∈ F (t ) (APP1 ) (λ!x .t ) !t → t [t /x ] (t1 t2 ) → (t1 t2 ) t2 → t2 (!β2 ) Si x ∈ F (t ) / (APP2 ) (λ!x .t ) !t → t (v1 t2 ) → (v1 t2 ) (β ) (U) (λx .t ) v → t [v /x ] |cU φ → U |φ Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Teorema En el cálculo cuántico λq , la evolución del registro computacional está gobernada por las reglas de reducción que se listan a continuación. Reglas de reducción del registro computacional t1 → t1 (!β1 ) Si x ∈ F (t ) (APP1 ) (λ!x .t ) !t → t [t /x ] (t1 t2 ) → (t1 t2 ) t2 → t2 (!β2 ) Si x ∈ F (t ) / (APP2 ) (λ!x .t ) !t → t (v1 t2 ) → (v1 t2 ) (β ) (U) (λx .t ) v → t [v /x ] |cU φ → U |φ Observación: Llegamos a un conjunto de reglas de reducción simple y que nos permite razonar sobre los cómputos sin tener que acarrear el historial. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora, para presentar la teoría ecuacional, listamos el conjunto de axiomas y reglas de inferencia de dicha teoría. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora, para presentar la teoría ecuacional, listamos el conjunto de axiomas y reglas de inferencia de dicha teoría. Sistema de prueba ecuacional para el cálculo cuántico λq (re) t =t t1 = t2 (sim) t2 = t1 t1 = t2 t2 = t3 (trans) t1 = t3 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora, para presentar la teoría ecuacional, listamos el conjunto de axiomas y reglas de inferencia de dicha teoría. Sistema de prueba ecuacional para el cálculo cuántico λq (re) t =t t1 = t2 (sim) t2 = t1 t1 = t2 t2 = t3 (trans) t1 = t3 t1 = t2 t3 = t4 (app) (t1 t3 ) = (t2 t4 ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora, para presentar la teoría ecuacional, listamos el conjunto de axiomas y reglas de inferencia de dicha teoría. Sistema de prueba ecuacional para el cálculo cuántico λq (re) t =t t1 = t2 (sim) t2 = t1 t1 = t2 t2 = t3 (trans) t1 = t3 t1 = t2 t3 = t4 (app) (t1 t3 ) = (t2 t4 ) t1 = t2 (λ1 ) λx .t1 = λx .t2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora, para presentar la teoría ecuacional, listamos el conjunto de axiomas y reglas de inferencia de dicha teoría. Sistema de prueba ecuacional para el cálculo cuántico λq (re) t1 = t2 t =t (λ2 ) t1 = t2 λ!x .t1 = λ!x .t2 (sim) t2 = t1 t1 = t2 t2 = t3 (trans) t1 = t3 t1 = t2 t3 = t4 (app) (t1 t3 ) = (t2 t4 ) t1 = t2 (λ1 ) λx .t1 = λx .t2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora, para presentar la teoría ecuacional, listamos el conjunto de axiomas y reglas de inferencia de dicha teoría. Sistema de prueba ecuacional para el cálculo cuántico λq (re) t1 = t2 t =t (λ2 ) t1 = t2 λ!x .t1 = λ!x .t2 (sim) t2 = t1 (β ) (λx .t ) v = t [v /x ] t1 = t2 t2 = t3 (trans) t1 = t3 t1 = t2 t3 = t4 (app) (t1 t3 ) = (t2 t4 ) t1 = t2 (λ1 ) λx .t1 = λx .t2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora, para presentar la teoría ecuacional, listamos el conjunto de axiomas y reglas de inferencia de dicha teoría. Sistema de prueba ecuacional para el cálculo cuántico λq (re) t1 = t2 t =t (λ2 ) t1 = t2 λ!x .t1 = λ!x .t2 (sim) t2 = t1 (β ) (λx .t ) v = t [v /x ] t1 = t2 t2 = t3 (trans) (!β1 ) Si x ∈ F (t ) t1 = t3 (λ!x .t ) !t = t [t /x ] t1 = t2 t3 = t4 (app) (t1 t3 ) = (t2 t4 ) t1 = t2 (λ1 ) λx .t1 = λx .t2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora, para presentar la teoría ecuacional, listamos el conjunto de axiomas y reglas de inferencia de dicha teoría. Sistema de prueba ecuacional para el cálculo cuántico λq (re) t1 = t2 t =t (λ2 ) t1 = t2 λ!x .t1 = λ!x .t2 (sim) t2 = t1 (β ) (λx .t ) v = t [v /x ] t1 = t2 t2 = t3 (trans) (!β1 ) Si x ∈ F (t ) t1 = t3 (λ!x .t ) !t = t [t /x ] t1 = t2 t3 = t4 (app) (!β2 ) Si x ∈ F (t ) / (t1 t3 ) = (t2 t4 ) (λ!x .t ) !t = t t1 = t2 (λ1 ) λx .t1 = λx .t2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ahora, para presentar la teoría ecuacional, listamos el conjunto de axiomas y reglas de inferencia de dicha teoría. Sistema de prueba ecuacional para el cálculo cuántico λq (re) t1 = t2 t =t (λ2 ) t1 = t2 λ!x .t1 = λ!x .t2 (sim) t2 = t1 (β ) (λx .t ) v = t [v /x ] t1 = t2 t2 = t3 (trans) (!β1 ) Si x ∈ F (t ) t1 = t3 (λ!x .t ) !t = t [t /x ] t1 = t2 t3 = t4 (app) (!β2 ) Si x ∈ F (t ) / (t1 t3 ) = (t2 t4 ) (λ!x .t ) !t = t t1 = t2 (U) (λ1 ) |cU φ = U |φ λx .t1 = λx .t2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Notar que no hay ninguna regla que permita sustituciones dentro de las !-suspenciones. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Teorema En el Lambda Cálculo Cuántico, la evolución del registro computacional procede reemplazando términos por términos iguales de acuerdo a la teoría ecuacional anterior. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x ≡ ((λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f ))) !(λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f )))) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x ≡ ((λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f ))) !(λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f )))) v v Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x ≡ ((λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f ))) !(λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f )))) = (v !v ) v v Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x ≡ ((λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f ))) !(λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f )))) = (v !v ) v v Veamos cómo actúa x !t Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x ≡ ((λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f ))) !(λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f )))) = (v !v ) v v Veamos cómo actúa x!t → (λ!f .(f !((v !v ) !f ))) !t Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x ≡ ((λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f ))) !(λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f )))) = (v !v ) v v Veamos cómo actúa x!t → (λ!f .(f !((v !v ) !f ))) !t → t !((v !v ) !t ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x ≡ ((λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f ))) !(λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f )))) = (v !v ) v v Veamos cómo actúa x!t → (λ!f .(f !((v !v ) !f ))) !t → t !((v !v ) !t ) → t !(x !t ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x ≡ ((λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f ))) !(λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f )))) = (v !v ) v v Ejemplo Veamos cómo actúa Si t ≡ λ!f .u x!t → (λ!f .(f !((v !v ) !f ))) !t → t !((v !v ) !t ) → t !(x !t ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x ≡ ((λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f ))) !(λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f )))) = (v !v ) v v Ejemplo Veamos cómo actúa Si t ≡ λ!f .u x!t x !t → t !(x !t ) → (λ!f .(f !((v !v ) !f ))) !t → t !((v !v ) !t ) → t !(x !t ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x ≡ ((λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f ))) !(λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f )))) = (v !v ) v v Ejemplo Veamos cómo actúa Si t ≡ λ!f .u x!t x !t → t !(x !t ) ≡ (λ!f .u ) !(x !t ) → (λ!f .(f !((v !v ) !f ))) !t → t !((v !v ) !t ) → t !(x !t ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x ≡ ((λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f ))) !(λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f )))) = (v !v ) v v Ejemplo Veamos cómo actúa Si t≡ λ!f .u x!t x !t → t !(x !t ) ≡ (λ!f .u ) !(x !t ) → (λ!f .(f !((v !v ) !f ))) !t → u [(x !t )/f ] → t !((v !v ) !t ) → t !(x !t ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Cómo computa el λq Punto Fijo Vamos a denir el operador de punto jo en λq x ≡ ((λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f ))) !(λ!u .λ!f .(f !((u !u ) !f )))) = (v !v ) v v Ejemplo Veamos cómo actúa Si t≡ λ!f .u x!t x !t → t !(x !t ) ≡ (λ!f .u ) !(x !t ) → (λ!f .(f !((v !v ) !f ))) !t → u [(x !t )/f ] → t !((v !v ) !t ) En otras palabras, x !t se copia a sí → t !(x !t ) mismo en el cuerpo (u) de t a traves de la reducción. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplos Un algoritmo muy conocido en Computación Cuántica es el llamado Algoritmo de Deutsch [NC00]. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplos Un algoritmo muy conocido en Computación Cuántica es el llamado Algoritmo de Deutsch [NC00]. Circuito cuántico FE |0 H H Uf |1 H Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplos Un algoritmo muy conocido en Computación Cuántica es el llamado Algoritmo de Deutsch [NC00]. Donde Uf es una compuerta Circuito cuántico que actúa de la siguiente manera FE |0 H H Uf |x , y = |x , y ⊕ f (x ) Uf |1 H donde f es alguna función desconocida de 1 bit. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos La salida de este circuito será ± |0 |+ si f (0) = f (1) ± |1 |+ si f (0) = f (1) Ver demostración Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos La salida de este circuito será ± |0 |+ si f (0) = f (1) ± |1 |+ si f (0) = f (1) Ver demostración Por lo tanto, midiendo el primer qubit se puede saber si f es constante o no. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos En Lambda Cálculo Cuántico se podría escribir así: Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos En Lambda Cálculo Cuántico se podría escribir así: Deutsch deutsch Uf ≡ let(x , y ) = Uf ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos En Lambda Cálculo Cuántico se podría escribir así: Deutsch deutsch Uf ≡ let(x , y ) = Uf ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Ejemplo Sea f la función identidad. Entonces, es fácil ver que Uf |00 → |00 Uf |01 → |01 Uf |10 → |11 Uf |11 → |10 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos En Lambda Cálculo Cuántico se podría escribir así: Deutsch deutsch Uf ≡ let(x , y ) = Uf ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Ejemplo Sea f la función identidad. Entonces, es fácil ver que Uf |00 → |00 Uf |01 → |01 Uf |10 → |11 Uf |11 → |10 ∴ Uf ≡ cnot Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo Entonces deutsch cnot ≡ let(x , y ) = cnot ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo Entonces deutsch cnot ≡ let(x , y ) = cnot ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Desarrollemos cnot ((H 0), (H 1)) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo Entonces deutsch cnot ≡ let(x , y ) = cnot ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Desarrollemos cnot ((H 0), (H 1)) cnot ((H 0), (H 1)) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo Entonces deutsch cnot ≡ let(x , y ) = cnot ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Desarrollemos cnot ((H 0), (H 1)) cnot ((H 0), (H 1)) = cnot ( 1 (|0 + |1 ), 1 (|0 − |1 )) 2 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo Entonces deutsch cnot ≡ let(x , y ) = cnot ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Desarrollemos cnot ((H 0), (H 1)) cnot((H 0), (H 1)) = cnot ( 1 (|0 + |1 ), 1 (|0 − |1 )) 2 2 = cnot ( 1 (|00 − |01 + |10 − |11 )) 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo Entonces deutsch cnot ≡ let(x , y ) = cnot ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Desarrollemos cnot ((H 0), (H 1)) cnot ((H 0), (H 1)) = cnot ( 1 (|0 + |1 ), 1 (|0 − |1 )) 2 2 = cnot ( 1 (|00 − |01 + |10 − |11 )) 2 = 1 (|00 − |01 + |11 − |10 ) 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo Entonces deutsch cnot ≡ let(x , y ) = cnot ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Desarrollemos cnot ((H 0), (H 1)) cnot ((H 0), (H 1)) = cnot ( 1 (|0 + |1 ), 1 (|0 − |1 )) 2 2 = cnot ( 1 (|00 − |01 + |10 − |11 )) 2 1 1 = 1 (|00 − |01 + |11 − |10 ) = ( √2 (|0 − |1 ), √2 (|0 − |1 )) 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo Entonces deutsch cnot ≡ let(x , y ) = cnot ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Desarrollemos cnot ((H 0), (H 1)) cnot ((H 0), (H 1)) = cnot ( 1 (|0 + |1 ), 1 (|0 − |1 )) 2 2 = cnot ( 1 (|00 − |01 + |10 − |11 )) 2 1 1 = 1 (|00 − |01 + |11 − |10 ) = ( √2 (|0 − |1 ), √2 (|0 − |1 )) 2 1 1 Volviendo: let (x , y ) = ( √2 (|0 − |1 ), √2 (|0 − |1 )) in ((H x ), y ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo Entonces deutsch cnot ≡ let(x , y ) = cnot ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Desarrollemos cnot ((H 0), (H 1)) cnot ((H 0), (H 1)) = cnot ( 1 (|0 + |1 ), 1 (|0 − |1 )) 2 2 = cnot ( 1 (|00 − |01 + |10 − |11 )) 2 1 1 = 1 (|00 − |01 + |11 − |10 ) = ( √2 (|0 − |1 ), √2 (|0 − |1 )) 2 1 1 Volviendo: let (x , y ) = ( √2 (|0 − |1 ), √2 (|0 − |1 )) in 1 1 ((H x ), y ) = (H ( √2 (|0 − |1 )), √2 (|0 − |1 )) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Primer Intento Introducción Segundo Intento λ-Cálculo Cuántico Tercer (y último) intento Conclusión Cómo computa el λq Bibliografía Ejemplos Ejemplo Entonces deutsch cnot ≡ let(x , y ) = cnot ((H 0), (H 1)) in ((H x ), y ) Desarrollemos cnot ((H 0), (H 1)) cnot ((H 0), (H 1)) = cnot ( 1 (|0 + |1 ), 1 (|0 − |1 )) 2 2 = cnot ( 1 (|00 − |01 + |10 − |11 )) 2 1 1 = 1 (|00 − |01 + |11 − |10 ) = ( √2 (|0 − |1 ), √2 (|0 − |1 )) 2 1 1 Volviendo: let (x , y ) = ( √2 (|0 − |1 ), √2 (|0 − |1 )) in 1 1 ((H x ), y ) = (H ( √2 (|0 − |1 )), √2 (|0 − |1 )) 1 = |1 ⊗ √ 2 (|0 − |1 ) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción λ-Cálculo Cuántico Conclusión Bibliografía Muchas gracias (a quienes no se fueron a mitad de la charla) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción λ-Cálculo Cuántico Conclusión Bibliografía Muchas gracias (a quienes no se fueron a mitad de la charla) FIN Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción λ-Cálculo Cuántico Conclusión Bibliografía Bibliografía I Samson Abramsky. Computational interpretations of linear logic. Theoretical Computer Science, 111(12):357, 1993. Paul Benio. The computer as a physical system: A microscopic quantum mechanical hamiltonian model of computers as represented by turing machines. Journal of Statistical Physics, V22(5):563591, May 1980. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción λ-Cálculo Cuántico Conclusión Bibliografía Bibliografía II David Deutsch. Quantum theory, the church-turing principle and the universal quantum computer. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 400(1818):97117, 1985. David Deutsch. Quantum computational networks. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 425(1868):7390, 1989. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción λ-Cálculo Cuántico Conclusión Bibliografía Bibliografía III John Maraist, Martin Odersky, DavidÑ. Turner, and Philip Wadler. Call-by-name call-by-value, call-by-need and the linear lambda calculus. Theoretical Computer Science, 228(1-2):175210, 1999. Michael Nielsen and Isaac Chuang. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, October 2000. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción λ-Cálculo Cuántico Conclusión Bibliografía Bibliografía IV Robert A. G. Seely. Linear logic, ∗-autonomous categories and cofree coalgebras. In John W. Gray and Andre Scedrov, editors, Categories in Computer Science and Logic, volume 92, pages 371382, Providence, Rhode Island, 1989. American Mathematical Society. André van Tonder. A lambda calculus for quantum computation. SIAM Journal on Computing, 33(5):11091135, 2004. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Introducción λ-Cálculo Cuántico Conclusión Bibliografía Bibliografía V Philip Wadler. A syntax for linear logic. In Proceedings of the 9th International Conference on Mathematical Foundations of Programming Semantics, pages 513529, London, UK, 1994. Springer-Verlag. Andrew Yao. Quantum circuit complexity. In Proceedings of the 34th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, pages 352361, Los Alamitos, CA, 1993. Institute of Electrical and Electronic Engineers Computer Society Press. Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) −→ 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 Uf 1 ( f |00 − Uf |01 + Uf |10 − Uf |11 ) U −→ 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 Uf 1 ( f |00 − Uf |01 + Uf |10 − Uf |11 ) U −→ 2 = 1 (|0, f (0) − |0, ¬f (0) + |1, f (1) − |1, ¬f (1) ) 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 Uf 1 ( f |00 − Uf |01 + Uf |10 − Uf |11 ) U −→ 2 = 1 (|0, f (0) − |0, ¬f (0) + |1, f (1) − |1, ¬f (1) ) 2 = 1 (|0 (|f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (1) − |¬f (1) )) 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 Uf 1 ( f |00 − Uf |01 + Uf |10 − Uf |11 ) U −→ 2 = 1 (|0, f (0) − |0, ¬f (0) + |1, f (1) − |1, ¬f (1) ) 2 = 1 (|0 (|f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (1) − |¬f (1) )) 2 H (1) √ ((|0 +|1 )(|f (0) −|¬f (0) )+(|0 −|1 )(|f (1) −|¬f (1) )) 1 −→ 2 2 Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 U 1 ( f |00 − Uf |01 + Uf |10 − Uf |11 ) f U −→ 2 = 1 (|0, f (0) − |0, ¬f (0) + |1, f (1) − |1, ¬f (1) ) 2 = 1 (|0 (|f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (1) − |¬f (1) )) 2 H (1) √ ((|0 +|1 )(|f (0) −|¬f (0) )+(|0 −|1 )(|f (1) −|¬f (1) )) 1 −→ 2 2 Si f (0) = f (1) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 U 1 ( f |00 − Uf |01 + Uf |10 − Uf |11 ) f U −→ 2 = 1 (|0, f (0) − |0, ¬f (0) + |1, f (1) − |1, ¬f (1) ) 2 = 1 (|0 (|f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (1) − |¬f (1) )) 2 H (1) √ ((|0 +|1 )(|f (0) −|¬f (0) )+(|0 −|1 )(|f (1) −|¬f (1) )) 1 −→ 2 2 Si f (0)= f (1) 1 = 2 2 (|0 (|f (0) − |¬f (0) + √ |f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (0) − |¬f (0) − |f (0) + |¬f (0) )) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 U 1 ( f |00 − Uf |01 + Uf |10 − Uf |11 ) f U −→ 2 = 1 (|0, f (0) − |0, ¬f (0) + |1, f (1) − |1, ¬f (1) ) 2 = 1 (|0 (|f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (1) − |¬f (1) )) 2 H (1) √ ((|0 +|1 )(|f (0) −|¬f (0) )+(|0 −|1 )(|f (1) −|¬f (1) )) 1 −→ 2 2 Si f (0)= f (1) 1 = 2 2 (|0 (|f (0) − |¬f (0) + √ |f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (0) − |¬f (0) − |f (0) + |¬f (0) )) 1 = 2√2 (|0 (2 |f (0) − 2 |¬f (0) )) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 U 1 ( f |00 − Uf |01 + Uf |10 − Uf |11 ) f U −→ 2 = 1 (|0, f (0) − |0, ¬f (0) + |1, f (1) − |1, ¬f (1) ) 2 = 1 (|0 (|f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (1) − |¬f (1) )) 2 H (1) √ ((|0 +|1 )(|f (0) −|¬f (0) )+(|0 −|1 )(|f (1) −|¬f (1) )) 1 −→ 2 2 Si f (0)= f (1) 1 = 2 2 (|0 (|f (0) − |¬f (0) + √ |f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (0) − |¬f (0) − |f (0) + |¬f (0) )) 1 = 2√2 (|0 (2 |f (0) − 2 |¬f (0) )) 1 = |0 (± √2 (|0 + |1 )) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 Uf 1 ( f |00 − Uf |01 + Uf |10 − Uf |11 ) U −→ 2 = 1 (|0, f (0) − |0, ¬f (0) + |1, f (1) − |1, ¬f (1) ) 2 = 1 (|0 (|f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (1) − |¬f (1) )) 2 H (1) √ ((|0 +|1 )(|f (0) −|¬f (0) )+(|0 −|1 )(|f (1) −|¬f (1) )) 1 −→ 2 2 Si f (0) = f (1) Si f (0) = f (1) 1 = 2√2 (|0 (|f (0) − |¬f (0) + |f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (0) − |¬f (0) − |f (0) + |¬f (0) )) 1 = 2√2 (|0 (2 |f (0) − 2 |¬f (0) )) 1 = |0 (± √2 (|0 + |1 )) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 U 1 ( f |00 − Uf |01 + Uf |10 − Uf |11 ) f U −→ 2 = 1 (|0, f (0) − |0, ¬f (0) + |1, f (1) − |1, ¬f (1) ) 2 = 1 (|0 (|f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (1) − |¬f (1) )) 2 H (1) √ ((|0 +|1 )(|f (0) −|¬f (0) )+(|0 −|1 )(|f (1) −|¬f (1) )) 1 −→ 2 2 Si f (0) = f (1) Si f (0) = f (1) 1 1 = 2√2 (|0 (|f (0) − |¬f (0) + = 2√2 (|0 (|f (0) − |¬f (0) − |f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (0) − |f (0) + |¬f (0) ) + |1 (|f (0) − |¬f (0) − |f (0) + |¬f (0) )) |¬f (0) + |f (0) − |¬f (0) )) 1 = √ 2 2 (|0 (2 |f (0) − 2 |¬f (0) )) 1 = |0 (± √2 (|0 + |1 )) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 U f 1 ( f |00 − Uf |01 + Uf |10 − Uf |11 ) U −→ 2 = 1 (|0, f (0) − |0, ¬f (0) + |1, f (1) − |1, ¬f (1) ) 2 = 1 (|0 (|f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (1) − |¬f (1) )) 2 H (1) √ ((|0 +|1 )(|f (0) −|¬f (0) )+(|0 −|1 )(|f (1) −|¬f (1) )) 1 −→ 2 2 Si f (0) = f (1) Si f (0) = f (1) 1 1 = 2√2 (|0 (|f (0) − |¬f (0) + = 2√2 (|0 (|f (0) − |¬f (0) − |f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (0) − |f (0) + |¬f (0) ) + |1 (|f (0) − |¬f (0) − |f (0) + |¬f (0) )) |¬f (0) + |f (0) − |¬f (0) )) 1 1 = √ (|0 (2 |f (0) − 2 |¬f (0) )) = 2√2 (|1 (2 |f (0) − 2 |¬f (0) )) 2 2 1 = |0 (± √2 (|0 + |1 )) Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Desarrollo del Algoritmo de Deutsch |01 H (1,2) 1 (|0 + |1 )(|0 − |1 ) = 1 (|00 − |01 + |10 − |11 ) −→ 2 2 U f 1 ( f |00 − Uf |01 + Uf |10 − Uf |11 ) U −→ 2 = 1 (|0, f (0) − |0, ¬f (0) + |1, f (1) − |1, ¬f (1) ) 2 = 1 (|0 (|f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (1) − |¬f (1) )) 2 H (1) √ ((|0 +|1 )(|f (0) −|¬f (0) )+(|0 −|1 )(|f (1) −|¬f (1) )) 1 −→ 2 2 Si f (0) = f (1) Si f (0) = f (1) 1 1 = 2√2 (|0 (|f (0) − |¬f (0) + = 2√2 (|0 (|f (0) − |¬f (0) − |f (0) − |¬f (0) ) + |1 (|f (0) − |f (0) + |¬f (0) ) + |1 (|f (0) − |¬f (0) − |f (0) + |¬f (0) )) |¬f (0) + |f (0) − |¬f (0) )) 1 1 = √ (|0 (2 |f (0) − 2 |¬f (0) )) = 2√2 (|1 (2 |f (0) − 2 |¬f (0) )) 2 2 1 1 = |0 (± √2 (|0 + |1 )) = |1 (± √2 (|0 + |1 )) Volver Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico
  • Desarrollo del Algoritmo de Deutsch Apéndice Formalización del t x Anexo Formalización del t x Denición tx ≡ _ si x ∈ F (t ) / (λy .t )x ≡ (_ t x ) (t t )x ≡ (t x t x ) xx ≡ x Volver Alejandro Díaz-Caro λ-Cálculo Cuántico