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Intervalos de confianza

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  1. 1. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN. 2012 CARRERA: Procesos Industriales Área en Manufactura. ◘ Problemas (Intervalos de Confianza). Materia: Estadística. Profr: Edgar Gerardo Mata Ortiz. Alumna: Lizandra Ayari Rodríguez Ortiz. Grado: 2 Sección: “B”.
  2. 2. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN. 2012 PROBLEMA # 1 Un fabricante de llantas decea investigar la durabilidad de sus productos. Una muestra de 10 llantas para recorrer 50 000 millas reveló una media muestral de 0.32 pulgadas de cuerda restante con una desviación estandar de 0.09 pulgadas. Contruya un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional. ¿seria razonable que el fabricante concluyera que después de 50 000 millas la cantidad media poblacional de cuerda restante es de 0.30 pulgadas? SOLUCIÓN: Datos: n= 10 X= 0.32 S= 0.09 Calcule el intervalo de confianza usando las dist-t (como σ es desconocida) En este problema tenemos como datos lo que es la media, la varianza y el numero de datos que son, estos valores representan la formula para calcular el intervalo de confianza. Y según los datos de la tabla es valor conocido. Conclusión:el fabricante puede estar seguro (95%) seguro de que la profundidad media de las cuerdas oscila entre 0.256 y 0.384
  3. 3. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN. 2012
  4. 4. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN. 2012 PROBLEMA # 2 En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asiste semanalmente al cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de universitarios que acude todas las semanas al cine. Solución: En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 1,96. Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para una proporción: Operando (0,755 ,, 0,845 ) En este problema utilizamos esta formula para calcular la varianza poblacional ya que esta es desconocida y se hace la fórmula para poder calcular lo que es intervalo de confianza.
  5. 5. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN. 2012 PROBLEMA # 3 En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una corte de 412 mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el 17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción de mujeres hipertensas en la Región Metropolitana está dado por: Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139, 0,212) con una confianza de 95%. Tenemos como explicación que se requirió un corte de 412 mujeres mayores de 15 años y se encontró que el 17.6& eran hipertensas entonces tenemos que 17.6% se divide por 100 para sacar la cantidad y así sustituir los valores en la formula para calcular el intervalo de confianza.
  6. 6. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN. 2012 PROBLEMA # 4 Se plantea la hipótesis de que el promedio de peso de nacimiento de cierta población es igual a la media nacional de 3250 gramos. Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la población en estudio, se obtuvo: = 2930 s= 450 n= 30 Al construir un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional, se obtiene: Luego, el peso de nacimiento varía entre 2769 y 3091 gramos, con una confianza de 95%. Como el intervalo no incluye el valor =3250 gramos planteado en la hipótesis, entonces esta es rechazada con confianza 95% (o un valor p menor a 0,5). Como primer paso debemos identificar los datos del problema en este caso tenemos la media, la varianza y el número de recién nacidos con un intervalo del 95% entonces al hacer el calculo obtenemos valores que varia y no se obtiene el valor deseado ni el acercamiento por lo tanto se dice que se rechaza con una confianza del 95%.
  7. 7. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN. 2012 PROBLEMA # 5 Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas de una escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión). 2 5 6 8 8 9 9 10 11 11 11 13 13 14 14 14 14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 Para construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional, asumamos que los datos tienen distribución normal, con varianza poblacional desconocida. Como es desconocido, lo estimamos por s=18,7. Luego, un intervalo de confianza aproximado es: Luego, el intervalo de confianza para es (13,2, 15,8). Es decir, el puntaje promedio poblacional se encuentra entre 13,2 y 15,8 con una confianza 95%.
  8. 8. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN. 2012 PROBLEMA # 6 1- Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15 estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534, 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461 Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%. Solución: Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestral vale 505,35 y la desviación típica 42,54. Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad, obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12 Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de la media tenemos: (505,35 - 2,12 · 42,54 / 4, 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4) Operando ( 482,80 ,, 527,90 )
  9. 9. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN. 2012 PROBLEMA # 7 En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64. a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población. b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que podríamos cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual. Solución: a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos: Operando: (30,06 ,, 35,34) b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel de confianza del 95% lamedia de la población puede valer
  10. 10. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREÓN. 2012 32,7 ± 2 · 12,64 / 8 Luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: 3,16 PROBLEMA # 8 Calcule a un nivel de confianza del 90% un intervalo de confianza para la varianza e indique cual sería el máximo error por exceso y por defecto que podría cometerse utilizando el estimador insesgado de la varianza. Solución: Mediante cálculos básicos obtenemos que la varianza de la muestra vale 1809,29 y la cuasi varianza 1922,37 En las tablas de la Ji-cuadrado encontramos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,05 es 7,96 y que 26,30 deja por debajo una probabilidad de 0,95. Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la varianza tenemos: ( 17 · 1809,29 / 26,30 ,, 17 · 1809,29 / 7,96 ) Operando ( 1169,50 ,, 3864,06 ) Por tanto el error por defecto sería 1922,37 - 3864,06 = -1941,69 y el error por exceso 1922,37 – 1169,50 = 752,87

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