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  1. 1. ´Derecho de autor. Prohibida su reproduccion UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS F´ ´ ISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ´ MATEMATICA ´ ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS AXEL OSSES Centro de Modelamiento Matem´tico a Departamento de Ingenier´ Matem´tica ıa a axosses@dim.uchile.cl
  2. 2. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion Se concede permiso para imprimir o almacenar una unica copia de este documento. ´Salvo por las excepciones m´s abajo se˜aladas, este permiso no autoriza fotocopiar o re- a nproducir copias para otro uso que no sea el personal, o distribuir o dar acceso a copiaselectr´nicas de este documento sin permiso previo por escrito del Director del Departa- omento de Ingenier´ Matem´tica (DIM) de la Facultad de Ciencias F´ ıa a ısicas y Matem´ticas a(FCFM) de la Universidad de Chile. Las excepciones al permiso por escrito del p´rrafo anterior son: (1) Las copias electr´ni- a ocas disponibles bajo el dominio uchile.cl, (2) Las copias distribuidas por el cuerpo docentede la FCFM en el ejercicio de las funciones que le son propias. Cualquier reproducci´n parcial de este documento debe hacer referencia a su fuente ode origen. Este documento fue financiado a trav´s de los recursos asignados por el DIM para la erealizaci´n de actividades docentes que le son propias. o
  3. 3. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion El texto original, excepto el ultimo cap´ ´ ıtulo, fue elaborado por el autor enel periodo 2002-2010, fue revisado por Juan Peypouquet el 2008 quien corrigi´ y oagreg´ varias secciones y ejercicios a lo largo del texto y luego en 2010 por el opropio autor. El Cap´ ıtulo sobre C´lculo de Variaciones fue agregado el 2009 por agentileza de su autor el profesor Felipe Alvarez. Este texto y el material docente deejercicios que lo acompa˜ a recibi´ aportes de los siguientes alumnos de la Facultad n ode Ciencias F´ısicas y Matem´ticas en el periodo 2002-2008: Francisco Ortega, Oscar aPeredo, Andre De Laire, Jorge Lemus, Nicol´s Carre˜ o, Felipe Serrano. a n
  4. 4. ´Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
  5. 5. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion ´ Indice generalCap´ ıtulo 1. Nociones b´sicas y m´todos elementales de resoluci´n a e o 1 1. Motivaci´n: leyes f´ o ısicas y problemas geom´tricos e 1 2. Definiciones b´sicas y noci´n de soluci´n de una EDO a o o 5 3. Ecuaciones diferenciales elementales 7 4. Ecuaciones que se reducen a casos elementales 19Cap´ ıtulo 2. Existencia, Unicidad y M´todos Num´ricos e e 29 1. Definiciones b´sicas a 29 2. El problema de Cauchy 31 3. Los teoremas de existencia y unicidad 32 4. Aproximaci´n mediante m´todos num´ricos o e e 34Cap´ ıtulo 3. EDO lineales de orden superior 47 1. La EDO lineal de orden n 47 2. Estudio completo de la ecuaci´n de orden dos o 50 3. M´s sobre la estructura de la soluci´n a o 56 4. EDO lineal de orden n a coeficientes constantes 61 5. EDO lineal de orden n a coeficientes variables 70Cap´ ıtulo 4. Transformada de Laplace 79 1. Definiciones y ejemplos 79 2. Propiedades b´sicas de la transformada de Laplace a 83 3. Antitransformadas y aplicaciones 88 4. Funciones y derivadas generalizadas 93Cap´ ıtulo 5. Sistemas lineales de primer orden 99 1. Introducci´n o 99 2. Sistemas lineales y ecuaciones de orden superior 101 3. Los teoremas de existencia y unicidad 103 4. Estructura de las soluciones 110 5. Resoluci´n de sistemas lineales o 114Cap´ ıtulo 6. An´lisis cualitativo de sistemas no lineales a 137 1. Sistemas no lineales y sistemas linealizados 138 2. Diagramas de fase y de flujo 144 3. Clasificaci´n de los puntos cr´ o ıticos 146 4. Puntos cr´ ıticos de sistemas lineales 152 5. Funciones de Liapunov y estabilidad 161Indice anal´ ıtico 167 5
  6. 6. ´Derecho de autor. Prohibida su reproduccion
  7. 7. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion Cap´ ıtulo 1 Nociones b´sicas y m´todos elementales de a e resoluci´n o 1. Motivaci´n: leyes f´ o ısicas y problemas geom´tricos e Las ecuaciones diferenciales ordinarias son identidades que vinculan una funci´n ocon sus derivadas. Por ejemplo, si y(t) denota el n´ mero de bacterias en una colonia uen funci´n del tiempo1, la ecuaci´n diferencial o o y ′ (t) = σy(t)donde σ es una constante positiva, expresa que el aumento de la poblaci´n bacte- oriana, representada por la derivada y ′ , es proporcional a la propia poblaci´n y, esto oes, mientras m´s bacterias hay, m´s r´pido ellas se multiplican. a a a La soluci´n de una ecuaci´n diferencial es una funci´n y no un n´ mero, a o o o udiferencia de las ecuaciones algebraicas. En el ejemplo anterior se trata de encontrarla funci´n y(t): n´ mero de bacterias en funci´n del tiempo. Una posible soluci´n es o u o ola funci´n: o y(t) = y0 eσtdonde y0 es el n´ mero inicial de bacterias en t = 0. Este tipo de soluciones expo- unenciales aparecer´n recurrentemente en la teor´ y en la pr´ctica. a ıa a Las ecuaciones diferenciales aparecen con frecuencia en muchas ramas de lamatem´tica, y sirven para plantear y resolver problemas provenientes de la f´ a ısica, laingenier´ la econom´ la biolog´ y de las ciencias sociales, entre otras disciplinas.2 ıa, ıa, ıa Veremos a trav´s de algunas leyes f´sicas y de algunos problemas geom´tricos e ı eque una ecuaci´n diferencial es una forma simple de reproducir y en el mejor de los ocasos explicar una situaci´n real, esto es, al fin y al cabo una forma util de modelar. o ´ 1.1. Modelamiento de un fen´meno en biolog´ la osmosis. Analice- o ıa:mos el fen´meno de la osmosis, presente en muchos procesos fisiol´gicos. Conside- o oremos un experimento en que disponemos dos medios de salmuera A y B separados 0 0por una membrana impermeable en t = 0 con concentraciones iniciales CA y CB 0 0con CA < CB . En un instante t > 0 la membrana que los separa se vuelve semi-permeable y permite el paso de las mol´culas de agua, pero no de las mol´culas de e esal disueltas (ver Figura 1). El problema es modelar la evoluci´n de las concentra- ociones de sal CA (t) y CB (t) en funci´n del tiempo. Se observa experimentalmente oque a medida que el tiempo transcurre, el agua se desplaza a trav´s de la membrana edesde la soluci´n de baja concentraci´n A hacia la de alta concentraci´n B hasta o o o 1A menudo llamaremos a una funci´n y : R → R por y(t) simplemente y su derivada por y ′ osiempre que ´sta exista. e 2Las ecuaciones diferenciales se conocen tambi´n bajo otros nombres en ciencias e ingenier´ e ıatales como: modelos diferenciales, ecuaciones de evoluci´n, sistemas din´micos, etc. o a 1
  8. 8. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion2 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION 0 0 CA CB C (t) A C (t) B t=0 t>0 Figura 1. Osmosis por una membrana semipermeable.alcanzar asint´ticamente un valor de equilibrio como se muestra en el gr´fico de la o aFigura 2. Se constata, tambi´n experimentalmente, que este valor de equilibrio correspon- ede al promedio M de concentraciones, el cual es conservado a trav´s del tiempo. eEsto tiene dos consecuencias: dicho promedio debe ser igual al promedio de las con-centraciones iniciales y es por lo tanto conocido. Adem´s, como CA (t)+CB (t) = 2M aes constante, podemos obtener en cada instante t la concentraci´n en B conociendo ola de A y viceversa. As´ es que el problema se reduce a encontrar solamente la ıfunci´n CA (t). o CB M CA t Figura 2. Evoluci´n de las concentraciones durante la osmosis o que convergen asint´ticamente al promedio M de las concentracio- o nes de ambos medios. Si registramos en un gr´fico el logaritmo natural de la diferencia M − CA (t) aen funci´n del tiempo, observaremos que la curva experimental se ajusta bien a ouna recta de pendiente negativa −σ. Una hip´tesis razonable es entonces un ajuste oexponencial de CA (t) a la as´ ıntota de ordenada M , en efecto, ln(M − CA (t)) = −σt + C ⇒ CA (t) = M − K e−σt ,donde K es una constante que se obtiene imponiendo la condici´n inicial CA (0) = o 0 0CA lo que nos da K = M − CA . Reemplazando la constante K en la expresi´n o
  9. 9. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion 1. MOTIVACION: LEYES F´ ´ ´ ISICAS Y PROBLEMAS GEOMETRICOS 3anterior, esto nos provee de la f´rmula siguiente para la concentraci´n buscada: o o(1) CA (t) = M − (M − CA (0))e−σt . Esta funci´n representa un buen modelo de la realidad, ya que se ajusta razo- onablemente bien a las mediciones experimentales, sin embargo, nos resulta todav´ ıamisterioso por qu´ deber´ e ıamos aceptar este modelo de crecimiento exponencial comoun modelo razonable y no otro modelo diferente, por ejemplo, un ajuste polinomialpor pedazos. Esto nos lleva a preguntarnos ¿hay alguna ley o principio que explique elfen´meno de la osmosis? Una idea, que resulta ser fundamental, consiste en es- otudiar si existe una relaci´n simple entre la concentraci´n CA (t) y su aumento o o ′CA (t). Derivando (1) obtenemos: ′ CA (t) = σ Ke−σ t = σ Ke−σ t + σ M − σ M = σ(M − (M − Ke−σ t ))esto es, la relaci´n buscada es: o ′(2) CA (t) = σ(M − CA (t)).Entonces la soluci´n (1) satisface (2). Interpretando (2) encontramos una relaci´n o odiferencial simple y comprensible que podemos enunciar como la ley siguiente: Ley de Osmosis “El aumento de concentraci´n es proporcional en cada ins- o tante a la diferencia de concentraci´n entre el promedio o asint´tico de concentraciones y la concentraci´n actual. La o o constante de proporcionalidad cuantifica la permeabilidad de la membrana.” La ley de osmosis representada por la ecuaci´n diferencial (2) provee una inter- opretaci´n m´s intuitiva y profunda del proceso de osmosis. M´s adelante veremos o a aque (2) tiene como soluci´n (1). La otra ventaja esta ley es que, aparte de su sim- oplicidad, sirve para modelar por analog´ otros problemas similares, como lo es la ıaley de enfriamiento o algunos modelos de poblaci´n, que veremos m´s adelante. o a Ejercicio Propuesto 1.1. Si en el gr´fico del experimento de la Figura 2, el aaumento de la concentraci´n en A hubiese resultado con una forma sigmoide (esto es oestrictamente creciente hacia la as´ ıntota pero con un punto de inflexi´n) ¿Qu´ mo- o edelo diferencial propondr´ usted para este fen´meno? Indicaci´n: averiguar sobre ıa o oel modelo de crecimiento log´ıstico. 1.2. Modelamiento de otros fen´menos naturales. Muchos fen´menos o ode la naturaleza pueden modelarse a trav´s de relaciones entre cantidades y sus va- eriaciones3, esta idea revolucionaria para la ciencia fue introducida en el siglo XVIIentre otros por Fermat, Newton y Leibniz. En t´rminos matem´ticos, estamos ha- e ablando en todos los casos de identidades que relacionan una funci´n y sus derivadas oo sea, de ecuaciones diferenciales. 3o fluxiones en la terminolog´ original de Newton, que da la idea de continuo temporal. ıa
  10. 10. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion4 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION La mayor´ de las leyes f´ ıa ısicas pueden representarse por ecuaciones diferencialesque involucran alguna funci´n como inc´gnita, la que puede representar por ejemplo o oel movimiento de un cuerpo o la concentraci´n de una especie qu´ o ımica. Dichasecuaciones diferenciales suelen ser simples, sin embargo el encontrar la funci´n oinc´gnita puede llegar a ser una ardua o imposible tarea. Un ejemplo es la ley ode la gravitaci´n universal, que modela el movimiento de los planetas alrededor del osol: ´ Ley de gravitacion universal “La aceleraci´n de un planeta es proporcional a la fuer- o za que sobre ´l ejerce el sol, cuya magnitud es inversa al e cuadrado de la distancia que los separa.”Esta ley del siglo XVII lleva a dos ecuaciones con dos derivadas de la forma: x y x′′ = − , y ′′ = − 2 (x2 +y 2 )3/2 (x + y 2 )3/2donde (x, y) es la posici´n del planeta en el plano de origen en el Sol. Estas ecuacio- ones tienen como soluci´n elipses en el caso de un solo planeta. En el caso de varios oplanetas, en realidad tambi´n ejercen fuerza sobre un planeta los dem´s planetas y e ano solamente el Sol, lo que lleva a ´rbitas much´ o ısimo m´s complicadas y al estudio aposterior de ´rbitas ca´ticas en el siglo XX por Poincar´ entre otros. o o e El movimiento de los planetas hace parte de los esos fen´menos en los que ose conoce la ley y por lo tanto las ecuaciones diferenciales que representan dichofen´meno, pero no se logra comprender completamente la soluci´n a dichas ecua- o ociones. La ley de movimiento en este caso resulta m´s simple que el movimiento en asi.4 Este ejemplo nos muestra a dem´s que las ecuaciones diferenciales se pueden apresentar en grupos de dos o m´s formando sistemas de ecuaciones diferenciales.5 a Ejercicio Propuesto 1.2. Averigue qui´n recopil´ los datos a partir de los e oque Kepler postul´ la idea de ´rbitas el´ o o ıpticas. 1.3. Modelamiento de problemas geom´tricos. Las ecuaciones diferen- eciales pueden ser tambi´n utiles para plantear y resolver problemas geom´tricos. e ´ ePuede servir por ejemplo para agrupar una familia de curvas. Veamos el caso delas familias ortogonales. Consideremos la familia F de todas las par´bolas con v´rtice en el origen defi- a enidas por la ecuaci´n y = ax2 , con a ∈ R. Derivando con respecto a x obtenemos oy ′ = 2ax. Si usamos la expresi´n anterior para eliminar el par´metro a obtenemos o aLa ecuaci´n diferencial que representa la familiaF : o y y′ = 2 . xEsta ecuaci´n diferencial revela la siguiente propiedad geom´trica de esta familia de o epar´bolas: la pendiente en cada punto es el doble de la pendiente de la recta que une ael punto con el origen. En general, algunas propiedades geom´tricas compartidas por e 4Es el caso tambi´n de las ecuaciones de Navier-Stokes que modelan el movimiento de un efluido tridimensional, y no se sabe si dan lugar o no a una unica soluci´n; o el de la ecuaci´n de ´ o oSchr¨dinger, que modela la compleja dualidad onda-part´ o ıcula de manera incre´ıblemente simple. 5Ver Cap´ ıtulo 5.
  11. 11. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion ´ ´ ´ 2. DEFINICIONES BASICAS Y NOCION DE SOLUCION DE UNA EDO 5las curvas de una familia pueden conocerse al inspeccionar la ecuaci´n diferencial ocorrespondiente. Tratemos ahora de encontrar la familia G de todas las curvas que intersectande manera perpendicular a las par´bolas de la familia F . Esto es, G es la familia aortogonal a la familia F . Si la funci´n z ∈ G define una de estas curvas entonces z ′ (x)y ′ (x) = −1 para otoda y ∈ F y para todo x ∈ R siempre que z(x) = y(x), esto es, las curvas se 2y(x)intersectan en el punto (x, y(x)). Dado que y ′ (x) = , la ecuaci´n que define a o xla familia G resulta ser: −1 −x x z ′ (x) = ′ = =− . y (x) 2y(x) 2z(x)Notar que reemplazamos y por z pues las curvas se intersectan. Tratemos de resolver la ecuaci´n diferencial anterior. Esto es, tratemos de en- ocontrar la forma de la funci´n z(x) o m´s precisamente, las curvas (x, z). Tenemos o aque 2z(x)z ′ (x) = −x d 2 z(x) = −x. dxSi integramos a ambos lados de la ecuaci´n obtenemos o x2 z(x)2 = − + C, 2donde C es una constante. Escrito de otro modo, esto es z2 x2 + = 1. C 2CLa familia G est´ integrada por todas las elipses que est´n centradas en el origen. a a Ejercicio Propuesto 1.3. En la discusi´n anterior, al reemplazar y por z, o xdado que las curvas se intersectan, se obtiene la ecuaci´n z ′ = − 2z . Por otro lado, o 1si hubi´semos reemplazado y por y = ax llegamos a la ecuaci´n z ′ = − 2ax que e 2 oes completamente diferente. Conv´nzace de que no es correcto reemplazar y por ey = ax2 dado que a depende de x por lo que la segunda ecuaci´n no es v´lida. o a 2. Definiciones b´sicas y noci´n de soluci´n de una EDO a o o ´ Definicion 1.1. Una ecuaci´n diferencial ordinaria (abreviada EDO) es una oidentidad de la forma F (x, y(x), y ′ (x), y ′′ (x), . . . , y (n) (x)) = 0,donde x representa la variable independiente e y una la funci´n inc´gnita, llamada o otambi´n soluci´n de la EDO. La funci´n F representa la relaci´n que liga las deri- e o o ovadas de y. Se dice que la ecuaci´n es ordinaria si se deriva con respecto a una sola ovariable6. 6Si se deriva con respecto a varias variables, se habla de Ecuaci´n Diferencial Parcial (EDP). oNotemos que existen tambi´n las inecuaciones diferenciales, donde la igualdad en la Definici´n 1.1 e oes reemplazada por una desigualdad.
  12. 12. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion6 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION En algunas situaciones, como en los problemas geom´tricos, resulta natural usar ex como variable independiente. En otras situaciones, como en los problemas dondese deriva respecto del tiempo, es mucho m´s natural utilizar la letra t. En los pri- ameros cap´ ıtulos hemos escogido arbitrariamente x como la variable independiente,pero cuando sea apropiado cambiaremos a t. Consideraremos aqu´ que F es una funci´n a valores escalares, esto corresponde ı oa una sola ecuaci´n diferencial. Se puede considerar tambi´n que F tome valores o evectoriales, pero en este caso se tratar´ de sistemas de ecuaciones diferenciales que averemos m´s adelante.7 a Resultar´ ultil introducir el orden de una EDO. a´ ´ Definicion 1.2. El orden de una ecuaci´n diferencial es el grado de derivaci´n o om´ximo que aparece en la ecuaci´n que en este caso es el n´ mero natural n. a o u Finalmente, mencionemos la diferencia fundamental entre ecuaciones diferen-ciales lineales y no lineales. ´ Definicion 1.3. Una EDO lineal de orden n es de la forma(3) an (x)y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = Q(x),donde las funciones ai (x) ∈ R, ∀i ∈ {1, . . . , n} son llamadas coeficientes de la EDO. ´ Definicion 1.4. Si Q(x) (llamado com´ nmente lado derecho de la EDO) es uid´nticamente nulo, la EDO lineal se dice homog´nea. Si Q(x) = 0, la EDO lineal e ese dice no homog´nea. e ´ Definicion 1.5. Si los coeficientes ai (x) no dependen de x, se dice que la EDOlineal es a coeficientes constantes. De lo contrario se dice que ella es a coeficientesvariables. En el caso que an (x) = 0 se puede dividir la EDO (3) por an (x). La EDO queas´ se obtiene con ı ai (x) Q(x) an (x) = 1, ai (x) = , i = 0, . . . , n − 1, Q(x) = an (x) an (x)se dice que est´ normalizada8 . Utilizaremos la barra sobre los coeficientes y el lado aderecho para indicar normalizaci´n. o Una EDO no lineal es simplemente una EDO que no es lineal. Gran parte deeste texto concierne en el estudio de EDO lineales.9 Ejemplo 1.1. y(1 + (y ′ )2 ) = 4. EDO no lineal, de orden 1. Esta es la EDO dela curva braquist´crona, que estudiaremos m´s a fondo en el Ejemplo 1.9. o a Ejemplo 1.2. xy ′ + c sen(x)y = tan(x). EDO lineal de orden 1 a coeficientesvariables, no homog´nea ni normalizada. e Ejemplo 1.3. y ′′ − 2y = 0. EDO lineal de orden 2 a coeficientes constantes,homog´nea y normalizada. e 7Ver Cap´ıtulo 5. 8Si a (x) = 0 para valores discretos de x, se puede normalizar por intervalos. n 9 Resolveremos algunas EDO no lineales en este cap´ ıtulo usando m´todos elementales y al efinal estudiaremos algunos sistemas no lineales en el Cap´ ıtulo 6 por linealizaci´n. o
  13. 13. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 7 n orden de la EDO Q(x) = 0 homog´nea e Q(x) = 0 no homog´nea e ∀i, ai = cte coeficientes constantes ∃i, ai = ai (x) coeficientes variables an = 1 normalizada n Cuadro 1. Clasificaci´n de la EDO lineal o ai (x)y (i) = Q(x). i=0 3. Ecuaciones diferenciales elementales En este cap´ıtulo estudiaremos algunas t´cnicas que nos permitir´n determinar e alas soluciones de una gran cantidad de EDO. Comenzaremos por analizar cuatrotipos de ecuaciones de primer orden que llamaremos elementales: integraci´n directa: y ′ = f (x). o variables separables: y ′ = f (x)g(y). lineal de primer orden homog´nea: y ′ + a0 (x)y = 0. e lineal de primer orden no homog´nea: y ′ + a0 (x)y = Q(x). e Posteriormente estudiaremos algunas otras ecuaciones de primer y segundoorden que pueden reducirse a estos casos elementales. Nos enfocaremos en la resoluci´n de las ecuaciones y no siempre seremos dema- osiado rigurosos en los aspectos te´ricos que justifican los c´lculos. Estos aspectos o a(existencia, unicidad, regularidad de la soluci´n) ser´n tratados con m´s profundi- o a adad en cap´ ıtulos posteriores. Para resolver los casos elementales, ser´ util el c´lculo de primitivas y recordar a´ ael conocido Teorema Fundamental del C´lculo.a Teorema 1.1 (TFC). Sea f integrable en [a, b], entonces, dado x0 ∈ [a, b] ey0 ∈ R, la funci´n y, definida por o x y(x) = y0 + f (s)ds, para x ∈ [a, b], x0es continua en [a, b] y se tiene y(x0 ) = y0 . Si adem´s f es continua en [a, b] entonces ala funci´n y(x) es tambi´n derivable10 en [a, b] con derivada continua igual a f (x), o eesto es, se tiene que x(4) y(x) = y(x0 ) + y ′ (s)ds, ∀x ∈ [a, b] x0 x d(5) f (s)ds = f (x) ∀x ∈ [a, b]. dx x0 Las identidades anteriores ser´n especialmente utiles en este y los pr´ximos a ´ ocap´ ıtulos por lo que se sugiere al lector recordarlas siempre. 10Derivable en el cerrado [a, b] significa derivable en el abierto (a, b) y con derivadas lateralesen a+ y b− .
  14. 14. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion8 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION 3.1. Integraci´n directa. Consideramos una EDO del tipo o(6) y ′ = f (x).Si la funci´n f es integrable (por ejemplo si es continua o continua por pedazos11), ogracias al TFC las soluciones existen y est´n dadas por: a(7) y= f (x)dx + C,donde C ∈ R es una constante arbitraria. Ejemplo 1.4. Las soluciones de la ecuaci´n y ′ = sen(x) son de la forma o y= sen(x)dx + C = − cos(x) + C, con C ∈ R. Ejemplo 1.5. La ecuaci´n y ′ = x tiene como soluciones a las funciones de la oforma x2 y = xdx + C = + C, con C ∈ R. 2 Denotaremos por C gen´ricamente a una constante arbitraria sin importar las eeventuales transformaciones biyectivas que la mantienen arbitraria (ponderacionespor un √escalar no nulo, cambios de signo, suma de otra constante). Por ejemplo C,2C, C/ 2, −C, C + 4 pueden ser representadas por una misma constante gen´rica. eSi la transformaci´n no es biyectiva, por ejemplo C 2 , entonces se pierde la arbi- otrariedad y es mejor escribir expl´ıcitamente C 2 o precisar de alg´ n modo que la uconstante no puede ser negativa. 1 Ejemplo 1.6. Estudiemos la ecuaci´n y ′ = para x = 0. o x dx y= + C = ln(|x|) + C = ln(|x|) + ln(k) = ln(k|x|), k > 0. xEn el c´lculo anterior hemos reemplazado la constante arbitraria C por ln(k) (don- ade k = eC > 0) para escribir la soluci´n de manera m´s compacta y sin perder o aarbitrariedad. Observemos tambi´n que el m´dulo en el logaritmo nos da la primi- e otiva correcta de 1/x cuando x < 0. Como |x| no es derivable en x = 0, se considerala resoluci´n de la EDO separadamente en cada intervalo (−∞, 0) y (0, ∞). o Supongamos ahora que queremos encontrar la soluci´n de (6) definida sobre un ointervalo I y que adem´s pase por cierto punto (x0 , y0 ) dado. Esto es, queremos aresolver el siguiente problema12: y ′ (x) = f (x) para todo x ∈ I, y(x0 ) = y0 .Integrando la ecuaci´n y ′ = f (x) entre x0 y x ∈ I obtenemos o 11Ver Cap´ ıtulo 4, donde las funciones constantes por pedazos aparecen de manera natural. 12Ver Cap´ ıtulo 2 donde se estudia este problema conocido como problema de Cauchy.
  15. 15. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 9 x x y ′ (s)ds = f (s)ds x0 x0y del TFC (identidad (4)), se tiene que x(8) y(x) = y(x0 ) + f (s)ds. x0 xDeteng´monos aqu´ para comparar (7) y (8). La funci´n F (x) = x0 f (s)ds en (8) a ı oes una primitiva bien particular de f : aquella que cumple F (x0 ) = 0. Entonces laconstante C en (7) deja de ser arbitraria y se tiene que C = y(x0 ). Esto nos dice que el problema de Cauchy que nos planteamos tiene una unica´soluci´n para cada condici´n inicial. o o En las ecuaciones de primer orden que estudiaremos en este curso, siempre po-dremos determinar la constante arbitraria si conocemos el valor de la funci´n en un opunto del intervalo13. 3.2. Variables separables. Una EDO en variables separables tiene la formasiguiente:(9) y ′ = f (x)g(y).Lo primero que observamos es que si g(y0 ) = 0 entonces la funci´n constante oy(x) ≡ y0 define una soluci´n de la EDO (9). Para los valores de y donde g(y) = 0 o y′se tiene g(y) = f (x). Integrando y usando el Teorema del cambio de variablesobtenemos y ′ (x) dy(10) dx = = f (x)dx + C, g(y(x)) g(y) 1donde C ∈ R es una constante. Si G es una primitiva de g y F es una primitiva def entonces G(y) = F (x) + C.Si queremos una f´rmula expl´ o ıcita para las soluciones debemos despejar y en funci´n ode x en la relaci´n anterior14. Si no se puede despejar y, las soluciones quedan oexpresadas de manera impl´ ıcita o param´trica (ver Ejemplo 1.9). e Ejemplo 1.7. Analicemos la ecuaci´n o y ′ = xy.Aqu´ f (x) = x y g(y) = y. Observemos primero que la funci´n nula y(x) ≡ 0 define ı ouna soluci´n de la EDO. Si y = 0 hacemos o dy = x dx + C. yTenemos entonces que x2 ln(|y|) = + C, 2 13Para ecuaciones de orden n necesitaremos conocer los valores de la funci´n y sus derivadas ohasta el orden n − 1 pues las integraciones sucesivas arrojar´n m´s constantes. a a 14El Teorema de la Funci´n Impl´ o ıcita, que se estudia en el curso de C´lculo en Varias Varia- ables, da las condiciones para que esto sea posible.
  16. 16. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion10 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCIONde donde x2 x2 |y| = exp +C = ke 2 , 2donde k = eC > 0. Eliminando el m´dulo y considerando los posibles valores opositivos y negativos vemos que todas las soluciones son de la forma x2 y = ke 2 ,con k ∈ R (el valor k = 0 nos da la soluci´n nula). o Ejemplo 1.8. Estudiemos ahora la EDO y ′ = cos2 (y).En este caso f (x) = 1 y g(y) = cos2 (y). Las soluciones constantes son de la formay(x) ≡ π + kπ con k ∈ Z. Para encontrar las dem´s soluciones, 2 a dy = dx + C cos2 (y) sec2 (y)dy = x+C tan(y) = x + C,donde C ∈ R. Para y ∈ (− π , π ) esto es 2 2 y = arctan(x + C).Para los dem´s valores de y debemos tener en cuenta la periodicidad de la funci´n a otangente. Tenemos entonces que todas las soluciones no constantes son de la forma y = kπ + arctan(x + C),con C ∈ R y k ∈ Z. 3π 2 π 2 −π 2 − 3π 2
  17. 17. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 11 Ejercicio Propuesto 1.4. Para el problema de Cauchy, vea c´mo funciona oel m´todo con integrales definidas. Si se integra entre x0 ∈ I y x ∈ I a ambos lados ede (9), se tiene que y(x) x dy = f (x)dx. y(x0 ) g(y) x0 1Como antes, si G es primitiva de g y F es primitiva de f , se tiene que G(y(x)) = F (x) − F (x0 ) + G(y(x0 )) = F (x) + Ccon C = G(y(x0 )) − F (x0 ) constante. Compare (10) y (11) como se hizo antes entre(7) y (8). En el siguiente ejemplo la soluci´n queda definida param´tricamente. o e Ejemplo 1.9. [Braquist´crona] Se denomina as´ a la forma que debe tener un o ıalambre para que una argolla que se desliza por ´l sin roce bajo la acci´n de la e ogravedad de un punto a otro de menor altura y no en la misma vertical, lo haga enel menor tiempo posible. La EDO que describe la forma de la curva es y(1 + (y ′ )2 ) = k2 ,donde k es una constante positiva. Utilizando el m´todo de separaci´n de variables, e ose tiene 1 ′ k2 − y 2 y = y √ y dy = dx + C. k2 − yHaciendo y = k 2 sen2 θ ⇒ dy = 2k 2 sen θ cos θdθ obtenemos k sen θ2k 2 sen θ cos θdθ = x+C k cos θ 2k 2 sen2 θdθ = x+C 1 − cos(2θ) 2k 2 dθ = x+C 2 θ sen 2θ 2k 2 − = x+C 2 4 θ sen 2θ x = 2k 2 − − C. 2 4Por lo tanto, se tiene que x = x(θ) e y = y(θ) con k2 x = (2θ − sen 2θ) − C 2 k2 y = (1 − cos 2θ) . 2
  18. 18. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion12 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCIONSi ahora hacemos ω = 2θ, vemos que k2 x = (ω − sen ω) − C 2 2 k y = (1 − cos ω), 2con ω ∈ R. La soluci´n es una familia de curvas llamadas cicloides. Ver Figura 3. o Y 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 0 0.5 1 1.5 X Figura 3. Curva Braquist´crona con x ∈ [0, π ], y ∈ [−1, 0], o 2 par´metro k = 1 y constante C = 0. a Ejercicio Propuesto 1.5. Si las ruedas delanteras de un auto se muevensobre una l´ ınea recta que no es paralela a su eje, encuentre la curva que describenlas ruedas traseras, considerando que la distancia entre las ruedas delanteras y lastraseras permanece constante. Indicaci´n: averigue sobre la curva tractriz. o Ejemplo 1.10 (El problema de la gota de lluvia). Consideremos una gota demasa inicial m0 y de densidad constante que cae del reposo y calculemos su masaen funci´n del tiempo usando el siguiente principio: o Gota de lluvia “Una gota de lluvia que cae por efecto de su peso va au- mentando su volumen a medida que captura gotas m´s pe- a que˜as en su superficie inferior. Esto es, a una tasa que n es proporcional a su velocidad de ca´da y a su superficie ı inferior. Supondremos que i) la gota es esf´rica, ii) la gota alcanza una aceleraci´n constante, e oiii) esta aceleraci´n l´ o ımite es menor que la de gravedad. Si el radio de la esfera es r(t)entonces su volumen es proporcional a r3 y su superficie media a r2 . Si la densidades constante, entonces la masa es m(t) es proporcional a r3 de donde despejando r(t)
  19. 19. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 13resulta proporcional a m1/3 . Con esto, suponiendo que y es la distancia recorridaverticalmente hacia abajo por la gota, la EDO queda: m′ (t) = Km2/3 y ′ , K > 0 constante.Adem´s, la segunda ley de Newton (atenci´n que la masa es variable) es a o (my ′ )′ = mg.Al reemplazar en la primera EDO obtenemos m′ y ′ + my ′′ = mg 2/3 ′ 2 ′′ Km (y ) + my = mg −1/3 ′ 2 ′′ Km (y ) + y = g K(y ′ )2 m1/3 = . g − y ′′Derivando esta expresi´n vemos que o ′ 1 −2/3 ′ K(y ′ )2 m m = , 3 g − y ′′de donde ′ (y ′ )2 y′ = 3 g − y ′′ 2(g − y ′′ )y ′ y ′′ + y ′′′ (y ′ )2 y′ = 3 (g − y ′′ )2 y ′ (g − y ′′ )2 = 6(g − y ′′ )y ′ y ′′ + 3y ′′′ (y ′ )2 ′′′ ′ 3y y = (g − y ′′ )(g − y ′′ − 6y ′′ ) = (g − y ′′ )(g − 7y ′′ ).Suponiendo que y ′′ < g y que la aceleraci´n es constante (y ′′′ = 0) se obtiene que o ′′ g y = . 7Ahora integrando entre 0 y t una vez (y suponiendo que la gota parte del reposo)se obtiene la velocidad gt y′ = . 7Reemplazando este valor en la EDO original de la masa se obtiene gK m′ = t m2/3 , 7que es una EDO a variables separables, que podemos resolver: gK t2 m−2/3 dm = +C 7 2 gK 2 3m1/3 = t + C. 14 1/3Si la masa inicial era m0 , entonces C = 3m0 . Luego 3 gK 2 1/3 m(t) = t + m0 . 42
  20. 20. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion14 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION Ejercicio Propuesto 1.6. ¿Es razonable pensar en el ejercicio anterior quela masa crece de manera no acotada con el tiempo? ¿Qu´ se podr´ considerar adi- e ıacionalmente en el modelo para mejorarlo? 3.3. EDO lineal de primer orden: caso homog´neo. Se tiene la EDO: e(11) a1 (x)y ′ + a0 (x)y = 0. a0 (x)Normalizando los coeficientes, es decir, con a0 (x) = , a1 (x) = 0 se obtiene: a1 (x) y ′ = −a0 (x)y.Presentaremos dos formas de resoluci´n: o Variables separables: Claramente la funci´n nula y(x) ≡ 0 define una solu- oci´n para esta EDO. Para los valores donde y = 0, notamos que la EDO (3.3) es ode la forma y ′ = f (x)g(y) con f (x) = a0 (x) y g(y) = y. As´ ı ln(|y|) = − a0 (x)dx + C |y| = k exp − a0 (x)dx , k>0 y = k exp − a0 (x)dxcon k ∈ R, incluyendo la soluci´n nula. o Factor integrante: Definimos el factor µ(x) = exp a0 (x)dxy observamos que µ′ (x) = a0 (x)µ(x). Si multiplicamos la ecuaci´n por µ(x) obte- onemos µ(x)y ′ (x) + a0 (x)µ(x)y(x) = 0 µ(x)y ′ (x) + µ′ (x)y(x) = 0 (µ(x)y(x))′ = 0,con lo cual el producto µ(x)y(x) es constante y as´ ı k y(x) = = k exp − a0 (x)dx µ(x)con k ∈ R, como antes. Este enfoque es la clave para resolver las ecuaciones linealesno homog´neas. e
  21. 21. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 15 1 Ejemplo 1.11. Encontremos las soluciones de la ecuaci´n y ′ cos x + cos x y = 0, o πx = 2 + kπ usando el m´todo de separaci´n de variables. Tenemos que e o 1 y′ + y = 0 cos2 x y′ = −y sec2 x dy = − sec2 xdx + C y ln(|y|) = − tan x + C y = k exp(− tan x), con k ∈ R. Ejemplo 1.12. Resolvamos ahora el problema de Cauchy 1 y ′ (x) = x y(x) para x = 0, y(1) = 2, 1usando el factor integrante. Escribiendo la EDO como y ′ − x y = 0 calculamos dx 1 µ(x) = exp = exp(− ln(x)) = . x xTenemos entonces que 1 y′ − y = 0 x 1 ′ 1 y − 2y = 0 x x y ′ = 0 x y = k, con k ∈ R. xAs´ todas las soluciones son de la forma y(x) = kx con k ∈ R. De acuerdo con la ı,condici´n inicial, nos interesa que 2 = y(1) = k · 1, de donde k = 2. Concluimos que ola soluci´n del problema de Cauchy es y(x) = 2x. o 3.4. EDO lineal de primer orden: caso no homog´neo. Se tiene la eecuaci´n: o(12) a1 (x)y ′ + a0 (x)y = Q(x)Si a1 (x) = 0 podemos normalizar a0 (x) = a0 (x) , Q(x) = a1 (x) y reescribir la a1 (x) Q(x)ecuaci´n como o y ′ + a0 (x)y = Q(x).Si multiplicamos ambos lados de la ecuaci´n por el factor integrante µ(x) = exp a0 (x)dx oobtenemos (µ(x)y(x))′ = µ(x)Q(x) µ(x)y(x) = µ(x)Q(x)dx + C C 1(13) y(x) = + µ(x)Q(x)dx. µ(x) µ(x)
  22. 22. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion16 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION ´ Definicion 1.6. El primer t´rmino del lado derecho de (13), e C yh (x) = = C exp − a0 (x)dx µ(x)se denomina soluci´n homog´nea. Aunque se habla de la soluci´n homog´nea, en o e o erealidad se trata de una familia de soluciones, indexadas por la constante C. ´ Definicion 1.7. El segundo t´rmino en el lado derecho de (13), e 1 yp (x) = µ(x)Q(x)dx µ(x) = exp − a0 (x)dx exp a0 (x)dx Q(x)dxse denomina soluci´n particular (que se obtiene si C = 0). Se habla de la soluci´n o oparticular, pero depende de la primitiva que se escoja. Ejemplo 1.13 (Ley de osmosis). Retomamos el ejemplo de la introducci´n odonde estudiamos b´sicamente el movimiento de agua desde una soluci´n con baja a oconcentraci´n de soluto (soluci´n A) a trav´s de una membrana semipermeable o o ehacia una soluci´n con alta concentraci´n de soluto (soluci´n B). Si CA (t) es la o o o 0concentraci´n de soluto que hay en la soluci´n A en funci´n del tiempo, CA es la o o o 0concentraci´n inicial de soluto en A y si CB es la concentraci´n inicial de soluto en o oB, una EDO que modela este fen´meno es: o 0 0 ′ CA + CB CA (t) = σ − CA (t) , con σ > 0. 2 0 0 CA + CBIntroduciendo la concentraci´n promedio o = M , se tiene 2 ′ CA + σCA = σM ′ CA exp σdt + σCA exp σdt = σM exp σdt CA eσt + σCA eσt ′ = σM eσt ′ CA eσt = σM eσt CA eσt = σM eσt dt + C CA = Ce−σt + σM e−σt eσt dt 1 σty como eσt dt = e , se tiene que σ CA (t) = Ce−σt + Mcon C ∈ R. El resultado es una familia de curvas (indexadas por el par´metro C). aSi evaluamos en el tiempo inicial t = 0, se puede encontrar el valor de la constante C 0 − CB0C, es decir, CA (0) = C + M y CA (0) = CA . Luego C = CA − M = A 0 0 . Por 2lo tanto, la soluci´n es o 0 0 CA − CB C 0 + CB 0 CA (t) = e−σt + A 2 2
  23. 23. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES 17 Ejemplo 1.14 (Ley de enfriamiento de Newton). Los m´s valientes hemos aexperimentado el hecho de que al ba˜ arnos en el mar cuando se acerca la noche el nagua se siente tibia. Daremos una explicaci´n a este hecho, basados en el siguiente oprincipio: Ley de enfriamiento de Newton “Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y el medio ambiente es peque˜a, el calor transferido en una n unidad de tiempo entre el cuerpo y la atm´sfera es propor- o cional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio ambiente.” Sean T y TA las temperaturas del mar y del ambiente respectivamente, la EDOque modela el fen´meno es entonces: o T ′ (t) = k(TA (t) − T (t)),donde k > 0 es una constante llamada coeficiente de transferencia t´rmica, y de- epende localmente de la superficie de contacto, calor espec´ ıfico y masas involucradas.Sea T (0) = T0 es la temperatura inicial del mar. Supongamos primero que TA es constante. Tenemos entonces que T ′ + kT = kTA ′ kt kt T e + kT e = kTA ekt kt ′ Te = kTA ekt T ekt = k TA ekt dt + C T = Ce−kt + TAde donde, evaluando en t = 0, se obtiene C = T0 − TA . Con esto, T (t) = (T0 − TA )e−kt + TA .La temperatura del mar tiende exponencialmente a la temperatura ambiente. M´s ar´pidamente a mayores valores de k. Ver Figura 1.14. a Supongamos ahora que TA var´ en el tiempo de manera peri´dica. M´s pre- ıa o a 0cisamente, supongamos que TA (t) = TA + A sen(ω t), de manera que oscila confrecuencia ω. La soluci´n es o(14) T (t) = Ce−kt + TA + ke−kt 0 A sen(ωt)ekt dtDesarrollando sen(ωt)ekt dt se obtiene −1 1 sen(ωt)ekt dt = ω cos(ωt)ekt dt + sen(ωt)ekt k k −ω 2 ω 1 = 2 sen(ωt)ekt dt − 2 cos(ωt)ekt + sen(ωt)ekt . k k k
  24. 24. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion18 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION 10 9 8 7 6 5 k=3 4 k =2 3 k =1 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 4. Comportamiento de la temperatura del mar T (t) frente a una temperatura ambiente constante TA = 0 partiendo de una temperatura inicial T (0) = 10 para distintos valores de la constante k.Esto implica que ω2 ekt ω 1+ sen(ωt)ekt dt = sen(ωt) − cos(ωt) . k2 k k Ak ωLuego, A sen(ωt)ekt dt = ekt sen(ωt) − cos(ωt) . Por lo tanto (14) k2 +ω 2 kqueda de la forma Ak 2 ω T (t) = Ce−kt + TA + 0 sen(ωt) − cos(ωt) . k2+ω 2 k 21 20 19 18 17 16 0 2 4 6 8 10 12 Figura 5. Variaci´n de la temperatura del mar T (t) inicialmen- o te con T (0) = 15 frente a una temperatura ambiente TA (t) = 20 + sen(2t) (l´ ınea gruesa). Asint´ticamente, T (t) tiene un desfase o positivo y una amplitud menor respecto de TA (t).
  25. 25. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion 4. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CASOS ELEMENTALES 19 ω k Si consideramos sen φ = √ y cos φ = √ podemos escribir k 2 + ω2 k 2 + ω2 Ak T (t) = Ce−kt + TA + √ 0 (sen(ωt) cos(φ) − cos(ωt) sen(φ)). k 2 + ω2 sen(ωt−φ) w k Figura 6. Relaci´n entre φ, k y ω. o Ak 0 Finalmente, T (t) = Ce−kt + TA + √ sen(ωt − φ). Las variaciones de la k2+ ω2 yh yptemperatura del mar se encuentran asint´ticamente retrasadas o con desfase posi- otivo con respecto a las del ambiente (ver Figura 5). Adem´s, notar que la amplitud aasint´tica de la temperatura del cuerpo es menor que la amplitud de variaci´n de o √ ola temperatura ambiente ya que k/ k 2 + ω 2 < 1. Ejercicio Propuesto 1.7. Explique c´mo se puede estimar el coeficiente k oa partir del tiempo que separa dos m´ximos sucesivos de la temperatura ambiente ay de la temperatura del mar. 4. Ecuaciones que se reducen a casos elementales Veremos ahora algunas ecuaciones diferenciales que se pueden reducir a casoselementales mediante un cambio de variables. 4.1. Ecuaciones homog´neas. Sean f : R2 → R una funci´n de dos va- e oriables y k ∈ N. Se dice que f es homog´nea de grado k si f (λx, λy) = ±λk f (x, y) epara cada λ, x, y ∈ R. Observemos que si f y g son homog´neas de grado k entonces eel cuociente f (x,y) puede escribirse como una funci´n que depende unicamente del g(x,y) o ´cuociente entre x e y. En efecto, y y y f (x, y) f (x · 1, x · x ) ±xk f (1, x ) f (1, x ) y = y = k g(1, )y = ± y = h . g(x, y) g(x · 1, x · x ) ±x x g(1, x ) x Una EDO es de tipo homog´nea15 si se puede escribir como e y y′ = h . x 15No confundir con una EDO lineal homog´nea. e
  26. 26. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion20 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION y Para resolverlas hacemos el cambio de variable z = x , que reescribimos comoy = xz de manera que y = xz + z. Tenemos entonces que xz ′ + z = h(z), de donde ′ ′ h(z) − z z′ = , xque es una ecuaci´n en variables separables. o Ejemplo 1.15. Encontrar las soluciones de la ecuaci´n o x+y y′ = . x−yEs f´cil verificar que se trata de una ecuaci´n homog´nea. Hacemos el cambio a o ez = y/x, de donde y = zx e y ′ = z + xz ′ . La ecuaci´n se convierte en o x + zx 1+z z + xz ′ = = . x − zx 1−zDespejando z ′ obtenemos 1 1+z 1 1 + z2 z′ = −z = . x 1−z x 1−zPara resolver esta ecuaci´n en variables separables hacemos o 1−z 1 z′ = 1 + z2 x dz zdz dx 2 − = 1+z 1 + z2 x 1 arctan(z) − ln(1 + z 2 ) = ln |x| + C. 2Si ahora deshacemos el cambio de variables obtenemos la soluci´n expresada de omanera impl´ıcita: y y2 arctan − ln 1+ = ln |x| + C. x x2 Ejemplo 1.16 (Curva de persecusi´n). Sobre un r´ en la posici´n P = (c, 0), o ıo, oun bote trata de alcanzar la orilla situada en la posici´n O = (0, 0) como se muestra oen la Figura 1.16. Se quiere caracterizar la posici´n en el eje OY con respecto a la oposici´n en el eje OX. La rapidez de la corriente del r´ es a en direcci´n (0, −1). o ıo oLa rapidez del bote es b en direcci´n (− cos θ, sen θ) donde θ = θ(t) va variando en oel tiempo de manera que este vector apunta siempre hacia O. Si las coordenadasdel bote en un tiempo dado son B = (x, −y), la rapidez en cada eje esta dada por dx dy = −b cos θ, = b sen θ − a. dt dt dy dx dyAplicando regla de la cadena tenemos que = . Recordando que cos θ = dx dt dt
  27. 27. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion 4. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CASOS ELEMENTALES 21 Figura 7. Bote con rapidez b cruzando un r´ cuya corriente tiene ıo rapidez a. x −y y sen θ = vemos que y2 + x2 y 2 + x2 −a + b √ −y dy b sen θ − a y +x2 2 −a x2 + y 2 − by = = = . dx −b cos θ x −bx −b √ y 2 +x2 y Esta ultima ecuaci´n es homog´nea. Hacemos el cambio de variable z = ´ o e x ⇒xz + z = y ′ . Recordando que x e y son positivas tenemos que ′ a xz ′ + z = 1 + z2 + z b z′ a √ = 1+z 2 bx dz a √ = ln x + C. 1 + z2 b aReescribimos la constante C como C = b ln k con k > 0 y obtenemos a ln(z + 1 + z 2) = ln(kx) b a z+ 1 + z2 = (kx) b 2a a 1 + z2 = (kx) b − 2z(kx) b + z 2 .Despejando z y deshaciendo el cambio de variables obtenemos 1 a a z = (kx) b − (kx)− b 2 y 1 a a = (kx) b − (kx)− b x 2 x a a y = (kx) b − (kx)− b . 2
  28. 28. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion22 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION 1De la condici´n de borde y(c) = 0 vemos que k = o . c 4.2. Ecuaci´n de Bernoulli. La ecuaci´n de Bernoulli es de la forma o o y ′ + p(x)y = q(x)y n con n = 0, n = 1.Se realiza el cambio de variable z = y 1−n ⇒ z ′ = (1 − n)y −n y ′ . Multiplicando(1 − n)y −n a ambos lados de la ecuaci´n, queda o (1 − n)y −n y ′ + p(x)(1 − n)y 1−n = (1 − n)q(x) ′ z + p(x)(1 − n)z = (1 − n)q(x),que resulta ser una ecuaci´n lineal no homog´nea de primer orden normalizada. o e Ejemplo 1.17 (Modelo log´ ıstico de poblaci´n). El modelo log´ o ıstico se basa enel siguiente principio: Ley log´ ıstica “El aumento de una poblaci´n es proporcional al produc- o to entre la poblaci´n misma y su diferencia respecto a un o valor m´ximo que es funci´n de los recursos disponibles a o limitados.”Esto traducido a una EDO queda como(15) P ′ = σP (M − P ),donde σ > 0 es constante (por ejemplo la diferencia entre tasas de natalidad ymortalidad) y M > 0 es la carga m´xima alcanzable. Si P > M entonces P ′ es anegativo y la poblaci´n decrece. En esta ecuaci´n de Bernoulli hacemos el cambio o o ′ 1de variables z = P ⇒ z ′ = −P y obtenemos P 2 z ′ = −M σz + σ,de donde t t s 1 1 = exp − M σ(s)ds + exp M σ(s)ds σ(s)ds . P 0 P0 0 0Reordenando se obtiene P0 M(16) P = . P0 + (M − P0 ) exp(−M σ t)Notemos que P (0) = P0 y que P → M si t → ∞.
  29. 29. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion 4. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CASOS ELEMENTALES 23 4.3. Ecuaci´n de Riccati. La ecuaci´n de Riccati es de la forma o o(17) y ′ = p(x)y 2 + q(x)y + r(x). 1Se realiza el cambio de variable y = y1 + , donde y1 es alguna soluci´n conocida o z(por ejemplo f´cil de calcular) de (17). Derivando con respecto a x se tiene y ′ = a ′ z′y1 − 2 y reemplazando en (17), z 2 ′ z′ 1 1 y1 − = p(x) y1 + + q(x) y1 + + r(x) z2 z z ′ z′ 2 y1 p(x) q(x) y1 − 2 = p(x)y1 + 2p(x) + 2 + q(x)y1 + + r(x) z z z z ′ z′ 2 y1 p(x) q(x) y1 − 2 = [p(x)y1 + q(x)y1 + r(x)] + 2p(x) + 2 + z z z z z′ = −2p(x)y1 z − p(x) − q(x)z,de donde z ′ + (2p(x)y1 + q(x))z = −p(x),que resulta ser una EDO lineal de primer orden no homog´nea en la variable z. e Ejemplo 1.18. Analicemos la ecuaci´n diferencial o y ′ = −2 − y + y 2 .Como se trata de una ecuaci´n de primer orden a coeficientes constantes, es posible oencontrar una soluci´n constante resolviendo la ecuaci´n algebraica o o λ2 − λ − 2 = 0,cuyas ra´ıces son 2 y −1. Tomemos entonces y1 = 2 como una soluci´n particular ode la ecuaci´n. Siguiendo el procedimiento descrito arriba podemos encontrar la osoluci´n general haciendo el cambio o 1 1 z′ =2+ , y = y1 + y′ = − . z z z2Sustituyendo en la ecuaci´n obtenemos o 2 z′ 11 − = −2 − 2 + + 2+ z2 zz z′ 1 4 1 − 2 = −2 − 2 − + 4 + + 2 z z z z −z ′ = 3z + 1.Resolvemos la ecuaci´n lineal de primero orden no homog´nea multiplicando por el o efactor integrante µ(x) = exp( 3dx) = e3x . z ′ e3x + 3ze3x = −e3x ′ ze3x = −e3x 1 ze3x = − e3x + C, 3
  30. 30. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion24 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION 1con C ∈ R. Despejando encontramos z(x) = − 3 + Ce−3x . Esto nos dice finalmenteque la soluci´n general de la ecuaci´n es o o 1 y(x) = 2 + 1 , con C ∈ R. Ce−3x − 3Notemos que tomando C = 0 recuperamos la otra soluci´n constante y(x) ≡ −1. oEs importante observar tambi´n que si C > 0 la soluci´n tiene una as´ e o ıntota verticalen x = 1 ln(3C), de modo que |y(x)| → ∞ si x → 3 ln(3C). 3 1 4.4. EDO de segundo orden sin variable dependiente. En la ecuaci´n o G(x, y ′ , y ′′ ) = 0no aparece la variable y expl´ ıcitamente. En estos casos se realiza el cambio devariable p = y ′ , con lo cual la ecuaci´n se transforma en o G(x, p, p′ ) = 0,que es una EDO de primer orden. Ejemplo 1.19. Para resolver la ecuaci´n o ′ x ′′ y = y −1 1+xhacemos el cambio p = y ′ , p′ = y ′′ . Luego, x ′ p+1 = p 1+x 1 p′ 1+ = x p+1 1 dp 1+ dx = x p+1 x + ln |x| + C = ln |p + 1|y de all´ ı, p = −1 + kxex con k ∈ R.En t´rminos de y esto es una ecuaci´n con integraci´n directa e o o y′ = −1 + kxex y = −x + k(x − 1)ex + K con k, K ∈ R. 4.5. EDO de segundo orden sin variable independiente. En la ecua-ci´n o H(y, y ′ , y ′′ ) = 0la variable independiente x no aparece expl´ıcitamente. Se realiza el cambio de va-riable dy d2 y dp dp dy dp p = y′ = y = = = p, dx dx2 dx dy dx dy
  31. 31. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion 4. ECUACIONES QUE SE REDUCEN A CASOS ELEMENTALES 25con lo cual la ecuaci´n se transforma en o dp H y, p, p = 0 dyque es una EDO de primer orden en la variable p con variable independiente y. Ejemplo 1.20 (Ley de Hooke). Se tiene el sistema indicado en la Figura 1.20,siendo k > 0 constante de elasticidad del resorte y m la masa del cuerpo. La Leyde Hooke establece que: Ley de Hooke “Para peque˜os desplazamientos en torno a la posici´n de n o equilibrio, la fuerza de restituci´n del resorte es proporcio- o nal al desplazamiento”. kEsto es my ′′ = −ky. Es decir, y ′′ + w2 y = 0, con w = . Si z = y ′ entonces m dz ′z′ = y y la ecuaci´n se reescribe como o dy dz z + w2 y = 0 dy dz z = −w2 y. dyIntegrando con respecto a la variable y vemos que zdz = −w2 ydy + C z2 y2 = −w2 +C 2 2 (y ′ )2 = 2 2 −w y + 2C y′ = 2C − w2 y 2 .Finalmente usando separaci´n de variables obtenemos o dy = dt + φ 2C − w2 y 2 dy √ = 2Cdt + φ w2 2 1− 2C y wy √ arc sen √ = 2Ct + φ 2C wy √ √ = sen( 2Ct + φ) 2C √ 2C √ y = sen( 2Ct + φ) con C, φ ∈ R. w
  32. 32. ´ Derecho de autor. Prohibida su reproduccion26 ´ ´ ´ 1. NOCIONES BASICAS Y METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCION k m y Figura 8. Sistema mec´nico de un resorte y una masa. a Ejemplo 1.21 (Cadena cayendo). Para el sistema de la segunda figura, el largode la cadena es L y su densidad es ρ [masa / largo], por lo tanto la EDO que lodescribe es ρLy ′′ = ρgy g y ′′ − y = 0. L gDefiniendo σ = se tiene la EDO y ′′ − σ 2 y = 0. El mismo cambio de variable Lnos da dz z − σ2 y = 0 dy dz z = σ2 y dy z2 y2 = σ2 +C 2 2 z = σ 2 y 2 + 2C 2C y′ = σ y 2 + a2 con a= . σ2Esto es dy =σ dt = σt + φ. y2 + a2Haciendo el cambio de variable y = a senh θ en el lado izquierdo, a cosh θ dθ = σt + φ a cosh θ θ = σt + φ.Por lo tanto, y = a senh(σt + φ), con φ ∈ R constante. 4.6. Otros casos. En ocasiones es posible reducir una ecuaci´n complicada oa otra m´s simple mediante un cambio de variables. No hay una regla general para adeterminar el cambio correcto, de modo que la experiencia es clave.

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