Your SlideShare is downloading. ×
Kalkulus I   8         TURUNAN   8.1 GARIS SINGGUNG   Misalkan P adalah suatu titik tetap pada sebuah kurva dan misalkan Q...
Kalkulus IContoh 8.2Jika f(x) = x2 – 3x + 2, tentukan persamaan garis singgung pada grafik f(x) di titikkoordinat (3,2)Pen...
Kalkulus I                       13h              = lim        = lim 13 = 0                h →0    h    h →0Contoh 8.4 Jik...
Kalkulus I Misalkan C, a, dan n adalah bilangan real dengan a> 0. Fungsi f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang dapat dit...
Kalkulus IContoh 8.8 Jika f ( x) = 5 x3 + 7 x 2.5 − 3x + 1 , tentukan f ′(x)Penyelesaian:                d              d ...
Kalkulus IContoh 8.12 Jika y = 3 ⋅ ln x − 4 ⋅ log 4 x , tentukan y′Penyelesaian:             dy     1        1     3     4...
Kalkulus IContoh 8.15 Jika y = x ln x , tentukan y′Penyelesaian:                 y  = f ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ( x)   ...
Kalkulus I                               f  ( x ).g ( x ) − f ( x ).g  ( x )                       y =                    ...
Kalkulus IPenyelesaian:                    y′ = 3 cos x + 5 sin xLatihanCarilah turunan dari persamaan-persamaan berikut1....
Kalkulus IPenyelesaian:                         2x + 1      Misalkan u =              maka                                ...
Kalkulus I                  ( 4 x 4 + x 3 + 12 x + 3) − ( 6 x 4 + 3x 3 )              =                                   ...
Kalkulus IContoh 8.23 f ( x) = x 4 − 2 x3 + 5 x 2 − 10 x + 8 , Cari f ′, f ′′, f ′′′, f ′′′′, f (5)Penyelesaian:          ...
Kalkulus IPenyelesaian :Kecepatan partikel merupakan turunan pertama dari jarak, sedangkan percepatan partikelmerupakan tu...
Kalkulus I8.8 DIFERENSIAL DAN HAMPIRANDIFERENSIAL        dy = f′ (x). dx        f′ (x) = dy/dxContoh 8. Carilah dy jika a....
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Kalkulus modul viii turunan

10,048

Published on

2 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
10,048
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
467
Comments
2
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Kalkulus modul viii turunan"

  1. 1. Kalkulus I 8 TURUNAN 8.1 GARIS SINGGUNG Misalkan P adalah suatu titik tetap pada sebuah kurva dan misalkan Q adalah sebuah titik yang berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan pada kurva tersebut. Garis yang melalui P dan Q disebut tali busur. Andaikan kurva tersebut adalah grafik persamaan y=f(x). Maka P mempunyai koordinat (c, f (c)), di titik Q di dekatnya mempunyai koordinat (c+h, f(c+h)), dan tali busur yang melalui P dan Q mempunyai kemiringan msec. f (c + h) − f (c ) msec = h Akhirnya, garis singgung adalah garis yang melalui titik P dengan kemiringan mtan memenuhi persamaan: f (c + h) − f (c ) mtan = lim h →0 hContoh 8.1Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = x2 di titik (2,4)Penyelesaian: Garis yang kemiringannya dicari dapat dilihat pada gambar di samping. lim f ( 2 + h ) − f ( 2) mtan = h→0 h f ( 2 + h ) 2 − f ( 2) = lim h→0 h 4 + 4h + h 2 − 4 = lim h→0 h 2 lim 4h + h = h→0 h = 4  Lumanulhakim Almamalik VIII -1
  2. 2. Kalkulus IContoh 8.2Jika f(x) = x2 – 3x + 2, tentukan persamaan garis singgung pada grafik f(x) di titikkoordinat (3,2)Penyelesaian: lim {( x + h ) 2 - 3(x + h) + 2 } - ( x 2 − 3 x + 2) mtan = h→0 h = lim h →0 2 xh + h 2 - 3h = lim h→0 h = lim 2 x + h - 3 h→0 = 2x + 3 Gradien garis singgung di titik (3,2) adalah mtan (3) = 2.3–3 = 3 Jadi persamaan garis singgungnya adalah : y – 2 = 3 (x – 3 ) y = 3x – 7 atau 3x – y – 7 = 0Latihan 1. Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = 1/(2x) di titik (½, 1). 2. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = x3 – 3x +2 di titik-titik dengan x = -2; 1,5 ; 3.8.2 TURUNAN Turunan fungsi f adalah fungsi lain f′ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah f (c + h) − f (c ) f′ (c) = lim h →0 h asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan f terdiferensialkan di c. Jika f ’(c) ada, maka f kontinyu di c.Contoh 8.3 Jika f (x) = 13x - 6, tentukan f′ (4)Penyelesaian: f ( 4 + h ) − f ( 4) [13( 4 + h ) − 6] − [13( 4) − 6] f′ (4) = lim = lim h →0 h h →0 hLumanulhakim Almamalik VIII -2
  3. 3. Kalkulus I 13h = lim = lim 13 = 0 h →0 h h →0Contoh 8.4 Jika f(x) = x3 +7x, tentukan f ′(c)Penyelesaian: f (c + h) − f (c ) [(c + h )3 + 7(c + h )] − [c 3 + 7c] f ′(c) = lim = lim h →0 h h →0 h 3c 2 h + 3ch 2 + h 3 + 7 h = lim h →0 h = lim 3c 2 + 3ch + h 2 + 7 = 3c2 + 7 h →0Contoh 8.5Tentukan turunan dari fungsi f(x) = |x|Penyelesaian:Kita tahu bahwaLimit Kiri Limit KananUntuk y = f ( x) , cara penulisan di bawah ini semuanya digunakan untuk meng-ungkapkan turunan: dy d D(f), f ( x), y , , [ f ( x)] dx dxLumanulhakim Almamalik VIII -3
  4. 4. Kalkulus I Misalkan C, a, dan n adalah bilangan real dengan a> 0. Fungsi f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan (didiferensiasi). Aturan Contoh1. Kaidah bilangan konstanta Jika y = C , maka y = 0 . Jika y= 5, maka y = 0 .2. Kaidah Pangkat Jika y = x n , maka y = n ⋅ x n −1 . Jika y = x 7 , maka y = 7 x 6 . 3. Kaidah Perkalian dengan Konstanta Jika y = 7 x 2 , Jika y = C ⋅ f ( x) , maka y = C ⋅ f ( x) . maka y = 7 ⋅ 2 x 2−1 = 14 x . 4. Penjumlahan dan Pengurangan: Jika y = 3 x 4 − 7 x , Jika y = f ( x) ± g ( x) , maka y = 12 x3 − 7 . maka y = f ( x) ± g ( x) 5. Eksponensial bilangan natural Jika y = 3e x , maka y = 3e x . Jika y = e x , maka y = e x . x 6. Jika y = a x , maka y = a x ln a . Jika y = 3 , maka y = 3x ln 3 Jika y = 3 ⋅ ln x , maka 1 7. Jika y = ln x , maka y = . 1 3 x y = 3⋅ = x x 1 1 8. Jika y =loga x , maka y = . Jika y = log 4 x , maka y = x ln a x ⋅ ln 4Contoh 8.6 Cari turunan fungsi f(x) = 2 x4Penyelesaian: f’(x) = 2 x3Contoh 8.7 Jika f(x) = 2 x3 – 4 x2 + 3 x + 5, tentukan f ′(x)Penyelesaian: d d d d f ′(x) = (2 x3) – (4 x2)+ (3 x) + (5) dx dx dx dx = 2 (3x2) – 4 (2x) + 3 (1) + 0 = 6 x2 – 8 x + 3Lumanulhakim Almamalik VIII -4
  5. 5. Kalkulus IContoh 8.8 Jika f ( x) = 5 x3 + 7 x 2.5 − 3x + 1 , tentukan f ′(x)Penyelesaian: d d d d d [ f ( x)] = (5 x 3 ) + (7 x 2.5 ) − (3 x) + (1) dx dx dx dx dx d d d d =5 ⋅ ( x 3 ) + 7 ⋅ ( x 2.5 ) − 3 ⋅ ( x) + (1) dx dx dx dx = 5 ⋅ 3 ⋅ x 3−1 + 7 ⋅ 2.5 ⋅ x 2.5−1 − 3 ⋅ 1 ⋅ x1−1 + 0 = 15 x 2 + 17.5 x1.5 − 3 1Contoh 8.9 Jika y = 3t 2 − + e2 , tentukan y’ 2t 2Penyelesaian: 1Ingat bahwa n = a−n . a 1 1 y = 3t 2 − 2 + e2 = 3t 2 − t −2 + e 2 2t 2 dy 1 = 3 ⋅ 2 ⋅ t 2 −1 − (−2)t −2−1 + 0 dx 2 1 = 6t + t −3 = 6t + 3 t 4Contoh 8.10 Jika g ( x) = 5 5 x 2 − + 2 , tentukan g’ xPenyelesaian: nIngat bahwa m a n = a m Kita ubah terlebih dahulu fungsi menjadi 4 g ( x) = 5 ⋅ 5 x 2 − + 2 x = 5 ⋅ x 5 − 4 x −1 + 2 2 2 2 g ( x) = 5 ⋅ x 5 −1 − 4 ⋅ ( −1) ⋅ x −1−1 + 0 5 2 4 = 2 x − 5 + 4 x −2 = 3 + 2 3 x5 x 2 4 = + 2 5 3 x xContoh 8.11 Jika y = 5 ⋅ e x + 2 ⋅ 3x , tentukan y’Penyelesaian: Catatan 2 ⋅ 3x ≠ 6 x   y = 5 ⋅ e x + 2 ⋅ 3x ln 3 .Lumanulhakim Almamalik VIII -5
  6. 6. Kalkulus IContoh 8.12 Jika y = 3 ⋅ ln x − 4 ⋅ log 4 x , tentukan y′Penyelesaian: dy 1 1 3 4 = 3⋅ − 4⋅ = − dx x x ⋅ ln 4 x x ⋅ ln 4Contoh 8.13 Jika y = 5ex dan g = 3ex + 2, tentukan y′ dan g′ dy = 5ex dx dg = 3ex dxKaidah Perkalian FungsiJika f(x) dan g(x) keduanya dapat diturunkan, maka turunan dari f ( x) ⋅ g ( x) dapatdicari menggunakan kaidah Perkalian. Jika f ( x) dan g ( x) ada, dan y = f ( x) ⋅ g ( x) , maka berlaku y = f ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ( x)Contoh 8.14 Jika y = (2x3 - x) (x4 + 3x), tentukan y′.Penyelesaian :Misalkan f (x) = 2x3 – x f ′(x) = 6x2 – 1 g(x) = x4 + 3 x g′(x) = 4x3 + 3 y = f ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ( x) = (6x2–1) (x4+3x) + (2x3–x)(4x3+3) = (6x6 – x4 +18x3 - 3x)+(8x6 - 4x4+6x3 - 3x) = 14 x 6 – 5 x4 + 24 x3 – 6 x Cara kedua dikalikan dulu sehingga : y = (2x7– x5 + 6 x4 – 3x2) ′ y′= 14x6 – 5x4 + 24x3 – 6xLumanulhakim Almamalik VIII -6
  7. 7. Kalkulus IContoh 8.15 Jika y = x ln x , tentukan y′Penyelesaian: y = f ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ( x) 1 = 1 ⋅ ln x + x ⋅ x = ln x + 1Kaidah Pembagian Fungsi f ( x)Jika f(x) dan g(x) keduanya dapat diturunkan, maka turunan dari y = dapat g ( x)dicari menggunakan kaidah Pembagian. Jika f ( x) dan g ( x) ada, dan y = f ( x) ⋅ g ( x) , maka berlaku f ( x ).g ( x ) − f ( x ).g ( x ) y = dimana g ( x) ≠ 0 g 2 ( x) ( 2 x2 + x )Contoh 8.16 Tentukan y′, jika y = x3 + 3Penyelesaian: Misalkan f(x) = 2x2 + x f ′(x) = 4x + 1 g(x) = x3 + 3 g′(x) = 3x2 f ( x ).g ( x ) − f ( x ).g ( x ) y = g 2 ( x) ( 4 x + 1) ( x3 + 3) − (2 x 2 + x)(3x 2 ) y′ = ( x3 + 3)2 ( 4 x 4 + x 3 + 12 x + 3) − ( 6 x 4 + 3x 3 ) = ( x 3 + 3) 2 − 2 x 4 − 2 x 2 + 12 x + 3 = ( x 3 + 3) 2 x2 − 1Contoh 8.17 Jika h( x) = , tentukan h′(x) x2 + 1Penyelesaian: Misalkan f(x) = x2 – 1 maka f ′(x) = 2x, g(x) = x2 + 1, maka g′(x) = 2xLumanulhakim Almamalik VIII -7
  8. 8. Kalkulus I f ( x ).g ( x ) − f ( x ).g ( x ) y = g 2 ( x) f ( x ).g ( x ) − f ( x ).g ( x ) y = g 2 ( x) 2 x.( x 2 + 1) − ( x 2 − 1).2 x y = ( x 2 + 1) 2 2x3 + 2x − 2x3 + 2x y = ( x 2 + 1) 2 4x y = ( x + 1) 2 2Latihan dy dy dy1. y = x2, = 2. y = 2x3, = 3. y = 9x27, = dx dx dx du dφ x3 dΨ4. u = 3m6, = 5. ϕ = 7λ, = 6. ψ = , = dm dλ 12 dx dp dy dp7. p = -5q2, = 8. y = 3x2 + 2x + 7, = 9. p = 9m - 2m3, = dq dx dm dy λ10 dφ10. y = mx + c, = 11. ϕ = 14λ2 - + λ3 + 3, = dx 5 dλ 5 dy 3 1 dy dy12. y = , = 13. y = 2 − 3 , = 14. y = x, = x dx x 2x dx dx dy dy15. y = 3 x2 , = 16. y = 1 / x , = dx dx8.3 TURUNAN SINUS DAN KOSINUS dy Jika y = sin x, maka = cos x dx dy y = cos x, = - sin x dx dy 1 y = tan x, = dx cos2 xContoh 8.18 Jika y = 3 sin x – 5 cos x, tentukan y′Lumanulhakim Almamalik VIII -8
  9. 9. Kalkulus IPenyelesaian: y′ = 3 cos x + 5 sin xLatihanCarilah turunan dari persamaan-persamaan berikut1. y = 4 sin x – 5 cos x2. y = sinx . cos x3. y = cot x4. y = sin2x 15. y = sin x8.4 ATURAN RANTAI D x y = D u y.D x u dy dy du = . dx du dx Cara Penulisan LeibnizContoh 8.19 Jika y(x) = (3x2 + 5 x – 7)4 , tentukan y′(x)Penyelesaian: Misalkan u = 3x2 + 5 x – 7 maka y(u) = u4 du dy = (6 x + 5) = 4u3 dx du dy dy du     = .   dx du dx dy                    = 4u3 . (6x+5) dx dy = 4 (3x2 + 5 x – 7) . (6x+5) dx 2x + 1 dyContoh 8.20 Jika y = , tentukan 1− x dxLumanulhakim Almamalik VIII -9
  10. 10. Kalkulus IPenyelesaian: 2x + 1 Misalkan u = maka y= u = u1/2 1− x du 2 (1 − x) − (2 x + 1)(−1) dy 1 -1/2 = = u dx (1 − x) 2 du 2 dy dy du = . dx du dx 1 -1/2 2 (1 − x) − (2 x + 1)(−1) = u 2 (1 − x) 2 −1 / 2 1 ⎛ 2x + 1 ⎞ 3 = ⎜ ⎟ . 2 ⎝ 1− x ⎠ (1 − x) 2Contoh 8.21 Jika f(x) = (2x3 – x) (x4 + 3x) , tentukan f ′(x)Penyelesaian: Ada dua cara, pertama dengan aturan hasil kali f ′(x) = (2x3 – x) ′ ( x4 + 3x) + (2x3 – x) (x4 + 3 x) ′ = (6x2 – 1) (x4 + 3x) + (2x3 – x) (4x3 + 3) = (6x6 – x4 + 18 x3 – 3 x ) + (8 x6 – 4 x4 + 6 x3 – 3 x) = 14 x 6 – 5 x4 + 24 x3 – 6 x atau dikalikan dulu sehingga : f ′(x) = (2x7 – x5 + 6 x4 – 3 x2)′ = 14 x 6 – 5 x4 + 24 x3 – 6 x ( 2 x2 + x )Contoh 8.22 Tentukan f ′(x) , jika f(x) = x3 + 3Penyelesaian :Dengan aturan pembagian di dapat : ( 2 x 2 + x ) ( x 3 + 3) − ( 2 x 2 + x )( x 3 + 3) f ′(x) = ( x 3 + 3) 2 ( 4 x + 1 ) ( x 3 + 3) − ( 2 x 2 + x )(3x 2 ) = ( x 3 + 3) 2Lumanulhakim Almamalik VIII -10
  11. 11. Kalkulus I ( 4 x 4 + x 3 + 12 x + 3) − ( 6 x 4 + 3x 3 ) = ( x 3 + 3) 2 − 2 x 4 − 2 x 2 + 12 x + 3 = ( x 3 + 3) 2Latihan1. y = (2 – x3)4 12. y(x) = (1 − x 2 )3. y = (2 – x3)44. y = x2 − 15. Jika f(x) = (x2 -1)2 ( x2 +1)2 tentukan f ′(x) x3 + 2 x6. Jika f(x) = 2 tentukan f ′(x) x +18.5 TURUNAN TINGKAT TINGGI dy d Turunan Orde Pertama f , y , , [ f ( x)], D1 f ( x) dx dx d2y d2 Turunan Orde Kedua f , y , 2 , 2 [ f ( x)], D 2 f ( x) dx dx d3y d3 Turunan Orde Ketiga f , y , , [ f ( x)], D 3 f ( x) dx 3 dx 3 dny dn Turunan Orde ke- nth ( n ≥ 4 ) f (n) , y (n) , , [ f ( x)], D n f ( x) dx n dx n Asumsi y = f ( x) and f , f , f , ... f ( n ) ada.Lumanulhakim Almamalik VIII -11
  12. 12. Kalkulus IContoh 8.23 f ( x) = x 4 − 2 x3 + 5 x 2 − 10 x + 8 , Cari f ′, f ′′, f ′′′, f ′′′′, f (5)Penyelesaian: f ( x) = 4 x3 − 6 x 2 + 10 x − 10 f ( x) = 12 x 2 − 12 x + 10 f ( x) = 24 x − 12 f (4) ( x) = 24 f (5) ( x) = 0Contoh 8.24 1Tentukan turunan ketiga dari : f(x) = x4 – 2 x2 + - x2/3 ; x ≠ 0 xPenyelesaian:Dengan aturan pangkat dan sifat aljabar dari turunan didapat : 1 2f ′(x) = 4 x3 – 4 x - 2 - x- 1/3 x 3 2 2f ′′(x) = 12 x2 – 4 + 3 + x- 4/3 x 9 6 8 - 7/3dan akhirnya : f ′′′(x) = 24 x – 4 - x x 27Latihan 11. Tentukan turunan ketiga dari f(x) = x+ untuk x > 0 x2. Tentukan f ′′(x) jika f(x)= x(x – 1)(x + 2) d2y3. Hitunglah dari xy + x – 2y –1 = 0 dx 28.6 KECEPATAN DAN PERCEPATAN• Sebuah objek bergerak sepanjang sebuah garis koordinat. Apabila s=f(t) menyatakan posisi suatu obyek yang bergerak sebagai fungsi waktu, maka kecepatan ditentukan oleh persamaan v = f′′(t), sedangkan percepatan objek tersebut diperoleh dari turunan kecepatan dv atau a = . dt Jadi a = v ′ = s ′′ = f ′′(t)Contoh 8.25Jarak yang ditempuh suatu gerakan partikel mempunyai persamaan: s = 2 t3 - 4 t2 + t – 6.Tentukan kecepatan dan percepatan partikel itu pada saat t.Lumanulhakim Almamalik VIII -12
  13. 13. Kalkulus IPenyelesaian :Kecepatan partikel merupakan turunan pertama dari jarak, sedangkan percepatan partikelmerupakan turunan kedua dari jarak. Dengan demikian makaJarak partikel adalah s = 2 t3 - 4 t2 + t – 6.Kecepatan partikel adalah v = s ′ = 6 t2 – 8 t + 1Percepatan partikel adalah a = v ′ = s ′′ = 12 t - 8Latihan1. Posisi suatu gerakan partikel adalah : s = 2 sin 3t - 3 cos 2t. Tentukan kecepatan dan percepatan partikel itu pada saat t.8.7 PENDIFERENSIALAN IMPLISIT• Apabila suatu fungsi yang didefinisikan secara implisit tidak dapat dinyatakan secara eksplisit atau pernyataan eksplisitnya sangat sukar, maka untuk mencari turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan teorema turunan untuk jumlah dan perkalian dua fungsi dan aturan berantai.Contoh 8.26 dyTentukan dari persamaan berikut y5 + x3y + y = x2 – x +3 dxPenyelesaian:Turunan persamaan y5 + x3y + y = x2 – x +3 adalah dy dy dy 5 y4 + 3 x2 y + x3 + =2x–1 dx dx dx dy dx [ ] 5 y 4 + x 3 + 1 = 2 x – 1 + 3 x2 y dy 2 x − 1 + 3x 2 y = dx 5 y 4 + x3 + 1Contoh 8.27Penyelesaian:Lumanulhakim Almamalik VIII -13
  14. 14. Kalkulus I8.8 DIFERENSIAL DAN HAMPIRANDIFERENSIAL dy = f′ (x). dx f′ (x) = dy/dxContoh 8. Carilah dy jika a. y = x b. y = x3 – 3x +1c. y = x 2 + 3d. y = sin (x4 – 3x2+11)e. y = sin2(2x2+2)HAMPIRAN ATAU TAKSIRAN f(x + ∆x)≈ f(x) + dy = f(x) + f′ (x) ∆xContoh 8.28Berapa nilai taksiran yang baik terhadap 4,6 menggunakan persamaan diferensial.Penyelesaian:Dari nilai 4,6 kita akan dekati dengan persamaan y = x.Jika nilai x berubah dari 4 ke 4,6, maka x akan berubah dari 4 = 2 ke 4 +dy(secara taksiran). 1 1Sekarang kita memiliki bahwa dy = ½ x 2 . dx = dx 2 xSedangkan di x = 4 dan dx = 0,6 mempunyai nilai 1 dy = .0,6 = 0,15 2 4Jadi 4,6 ≈ 4 +dy = 2 + 0,15 = 2,15Latihan 1. Berapa nilai taksiran dari 8,2 2. Berapa nilai taksiran dari 3,92 3. Berapa nilai taksiran dari 3 28,3 4. Berapa nilai taksiran dari 3 26,91 5. Berapa nilai taksiran dari (12,2)2Lumanulhakim Almamalik VIII -14

×