• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Kalkulus modul limit fungsi
 

Kalkulus modul limit fungsi

on

  • 25,823 views

 

Statistics

Views

Total Views
25,823
Views on SlideShare
25,790
Embed Views
33

Actions

Likes
3
Downloads
798
Comments
3

3 Embeds 33

http://high-inspiration.blogspot.com 29
http://translate.googleusercontent.com 2
https://twitter.com 2

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel

13 of 3 previous next Post a comment

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Kalkulus modul limit fungsi Kalkulus modul limit fungsi Document Transcript

    • Kalkulus I 5 LIMIT FUNGSI5.1 PENDAHULUAN LIMIT• Untuk sebuah fungsi y = f(x), bagaimana perilaku dari f(x) jika x mendekati c, akan tetapi x tidak sama dengan c (x≠c). x2 +1• Contoh, kita ambil fungsi f(x)= x+1 dan g(x) = dan akan kita cari berapa nilai x −1 fungsinya jika nilai x mendekati (atau menuju) 1. Untuk itu kita buat tabel nilai f(x) dan g(x) untuk berbagai nilai x sebagai berikut. x2 +1 x f(x) = x+1 x g(x) = x −1 0.9 1.9 0.9 1.9 0.95 1.95 0.95 1.95 0.99 1.99 0.99 1.99 0.999 1.999 0.999 1.999 1 ? 1 ? 1.001 2.001 1.001 2.001 1.01 2.01 1.01 2.01 1.1 2.1 1.1 2.1• Dari kedua tabel di atas terlihat bahwa nilai f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 dan nilai g(x) mendekati 2 jika x mendekati 1.• Dapat dikatakan bahwa “limit dari f(x) adalah 2 jika x mendekati 1 “ dan “ limit dari g(x) adalah 2 jika x mendekati 1”, masing-masing ditulis: x2 +1 lim (x + 1) = 2 dan lim =2 x →1 x →1 x −1• Secara umum dapat dinyatakan bahwa: lim f(x) = L x→ c jika x mendekati c maka f (x) mendekati L dan f(c) tidak perlu ada serta x tidak perlu sama dengan c. Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 1  
    • Kalkulus I• Jika ditulis lim f(x) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati fungsi f(x) dari dua x →c arah, yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari kiri.• Bentuk limit untuk “ x → ∞ “ dinamai limit di tak berhingga. lim x = ∞ dan lim 1 = 0 x →∞ x →∞ x5.2 TEOREMA LIMIT • Jika lim f ( x) dan lim g ( x) keduanya ada dan k ∈ R maka berlaku pernyataan- x→ c x→ c pernyataan berikut: a. lim A = A , A, c ∈ R . x →c b. lim x = c . x →c c. lim { f ( x) ± g ( x)} = lim f ( x) ± lim g ( x) x →c x →c x →c d. lim kf ( x) = k lim f ( x) x →c x →c e. lim f ( x) g ( x) = lim f ( x). lim g ( x) x →c x →c x →c lim f ( x) f ( x) x → c f. lim = , asalkan lim g ( x) ≠ 0 x → c g ( x) lim g ( x) x →c x →cContoh 5.1 2 2a. lim (2x − 7x + 6) = lim 2x − lim 7x + lim 6 x →2 x →2 x →2 x →2 2 = 2 lim x − 7 lim x + lim 6 x →2 x →2 x →2 ( ) x →2 2 = 2 lim x − 7 lim x + lim 6 x →2 x →2 2 = 2.2 − 7.2 + 6 = 0b. lim 7x 2x − 1 = lim 7x. lim 2x − 1 x →1 x →1 x →1 ( ) = 7 lim x lim (2x − 1) = (7.1) 2.1 − 1 = 7 x →1 x →1 2x + 3 lim (2x + 3) 2.(−1) + 3 1c. lim = x →−1 = = x →−1 5x + 2 lim (5x + 2) 5.(−1) + 2 − 3 x →−1d. lim x + 2 x − 4 = (−1) 2 + 2(−1) − 4 = −5 2 x →−1 Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 2  
    • Kalkulus I e.f.g. lim (2 – 3x + 4x2 – x3 ) = lim 2 - lim 3x + lim 4 x2 - lim x3 x → −1 x → −1 x → −1 x → −1 x → −1 = 2 – (-3) +4(-1)2 – ( -1)3 = 10Contoh 5.2 x 2 − 3x + 2Hitung lim . x →2 x2 − 4Penyelesaian:Karena limit di atas mempunyai penyebut sama dengan 0, atau hasilnya adalah 0/0, maka kitamemerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Akan tetapi hal ini bukan berarti limit di atastidak ada. Pada contoh soal 5.2, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, danbukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknikaljabar, untuk x ≠ 2 diperoleh: x 2 − 3x + 2 (x − 2)(x − 1) x − 1 = = x2 − 4 (x − 2)(x + 2) x + 2Sehingga: x 2 − 3x + 2 x −1 2 −1 1 nilai lim = lim = = x→2 2 x −4 x→2 x + 2 2+2 4Contoh 5.3 x −1Tentukan lim . x →1 x− 1Penyelesaian:Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untukmenyelesaikannya. Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 3  
    • Kalkulus I lim x −1 = lim ( )( x −1 x +1 ) = lim ( ) x +1 = 1 + 1 = 2 . x →1 x −1 x→1 x −1 x →1Contoh 5.4 x3 + 8Tentukan lim 4 . x→−2 x − 16Penyelesaian: x3 + 8 = lim 4 x 3 − ( −2) 3 = lim (x − (−2) ) x 2 + x.(−2) + (−2) 2 ( ) lim 4 x → −2 x − 16 x → −2 x − ( −2) 4 ( x → −2 ( x − ( −2) ) x 3 + x 2 .( −2) + x.( −2) 2 + ( −2) 3 ) = lim (x 2 − 2x + 4 = 4+4+4 ) 3 =− . x → −2 (x − 2x + 4x − 8 − 8 − 8 − 8 − 8 3 2 )8Contoh 5.5HitungPenyelesaian:Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untukmenyelesaikannya.Kita faktorkan fungsi kuadratnyaContoh 5.6Hitung limit berikutPenyelesaian:Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untukmenyelesaikannya. Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 4  
    • Kalkulus IContoh 5.7Tentukan limit berikutPenyelesaian:Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untukmenyelesaikannya.Contoh 5.8Tentukan limit berikutPenyelesaian:Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untukmenyelesaikannya. Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 5  
    • Kalkulus IContoh 5.9 x −1 − 2Hitung lim x →5 x−5Penyelesaian : x −1 − 2 x −1 − 2 x −1 + 2 = . x−5 x−5 x −1 + 2 1 = x −1 + 2 x −1 − 2 1 1Maka lim = lim = x →5 x−5 x →5 x −1 + 2 4Latihan 5.1Untuk soal 1 – 6, Berapa nilai limit berikut. 1 2 1. lim ( x + 2) 2. lim 3. lim x x →1 x→2 x x → −1 x+2 x2 −1 4. lim 5. lim x 6. lim x →0 x −1 x→4 x →1 x −1Untuk soal 7 – 17, hitunglah masing-masing limit jika ada. 2 x+2 8. lim ( x + 3x + 1) 9. lim 2 7. lim ( x − 20) x →5 x → −2 x −3 x →0 x 2 + 2x − 8 x −1 x 6 − 6410. lim 11. lim 12. lim x →2 x2 − 4 x →1 x −1 x →2 x 3 − 8 32 s4 −1 u −1 2 − x2 + 313. lim 14. lim 15. lim s → −1 s3 + 1 u →1 1− u x → −1 1− x2 x2 − 4 3 1+ x −116. lim 17. lim x →2 3− x +5 2 x →0 x Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 6  
    • Kalkulus I5.3 LIMIT SATU SISI (LIMIT SEPIHAK)• Limit Satu Sisi (Limit-kanan dan limit-kiri) adalah ide untuk melihat apa yang terjadi terhadap sebuah fungsi ketika kita dekati dari suatu nilai x tertentu dari suatu arah tertentu (kiri atau kanan). Limit Kanan• Jika ditulis lim+ f ( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari dari kanan. x →c Limit Kiri• Jika ditulis lim− f ( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari dari kiri. x →cContoh 5.10a. lim+ x = 0 (x didekati dari kanan) x →0b. lim− x tidak ada. (x didekati dari kiri) x →0c. Untuk bilangan bulat n lim+ [x ] = n dan lim− [x ] = n − 1 x →n x →nContoh 5.11Diberikan fungsi ⎧2x − 1, x <1 ⎪ f (x) = ⎨ ⎪ x3, x >1 ⎩Karena untuk x < 1 adalah fungsi f ( x ) = 2 x − 1 , maka lim f ( x ) = lim− ( 2 x − 1) = 1 . x →1− x →1Secara sama, untuk x > 1, kita gunakan fungsi lim+ f ( x ) = lim+ x 3 = 1 . x →1 x →1Selanjutnya, karena nilai lim f ( x ) = 1 = lim f ( x ) maka lim f ( x ) = 1 . − x →1 + x →1 x →1 Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 7  
    • Kalkulus IContoh 5.12Tentukan lim f ( x) jika diketahui: x→ 2 ⎧ x, x≤2 ⎪ f (x) = ⎨ ⎪[x ], x>2 ⎩Penyelesaian:Jika x didekati dari kiri maka lim− f ( x) = lim− x = 2 x→2 x→2Jika x didekati dari kanan maka lim+ f ( x ) = lim+ [x ] = 2 x→2 x→2Karena limit kiri = limit kanan, maka lim f ( x ) = 2 . x→ 2Contoh 5.13Diberikan fungsi berikutHitung limitPenyelesaian:a.b. danLatihan 5.2Evaluasi apakah limit berikut ada! 1. dimana Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 8