O documento resume as principais distâncias em geometria analítica: (1) entre pontos, (2) ponto-reta, (3) ponto-plano. Fornece exemplos detalhados e fórmulas para cada caso, destacando que existem basicamente 4 fórmulas de distância. O texto enfatiza a importância da visualização geométrica para entender os conceitos.

1. Resumex GASL
Considerações Básicas
Caros alunos, este material, creio eu, pode ajudar e muito no estudo de vocês
para a 3ª Prova de GASL a ocorrer no dia 20/10, assim como na possível prova opcional
que possam precisar fazer.
Meus amigos(as), como eu sempre comento nas minhas aulas de GASL, esta
é uma disciplina que depende muito da “visão geométrica” do aluno. Eu vou tentar ao
máximo expor figuras para vocês conseguirem visualizar a matéria mas NÃO SE
ENGANEM: se vocês não conseguirem ver (mentalmente) o que se passa no exercício ou
no problema em questão, as fórmulas aqui presentes terão sua utilidade MUITO
REDUZIDA!!
Enfim, espero que utilizem bastante e que coloquem todo o conhecimento aqui
presente “no sangue”(isso inclui a parte da “visão geométrica” que eu falei acima). Se
fizerem isso, EU TENHO CERTEZA que vocês farão uma EXCELENTE prova.
Sobre o RESUMEX
Quando eu pensei em fazer esse RESUMEX, a ideia era apenas juntar todas
as fórmulas numa grande tabela. Depois de refletir melhor, vi que não custava nada
colocar algumas explicações. Desta forma, dividi o RESUMEX em duas partes. A primeira
é um resumo(óbvio) da matéria que foi dada. Já a segunda parte é a tabela com as
fórmulas que eu iria fazer inicialmente.
Sem mais rodeios, vamos ao que interessa.
Resumex GASL - Distâncias
Prof: André Desiderio Maldonado

2. I - Resumo - Distâncias
Como veremos a seguir, existem basicamente 6 “tipos de distâncias” (vocês
vão entender o que seriam os “tipos de distâncias” =p), a saber:
i) PONTO X PONTO;
ii) PONTO X RETA;
iii) PONTO X PLANO;
iv) RETA X RETA:
! a)Retas Concorrentes;
! b)Retas Paralelas;
! c) Retas Reversas.
v) RETA PLANO;
vi) PLANO X PLANO.
Por outro lado, como veremos a seguir, existem apenas 4 fórmulas de
distância!! Isso se dá pois em alguns dos casos acima se reduzem a um dos CASOS
BÁSICOS.
Sem mais delongas, vamos ao primeiro caso!
i ) PONTO X PONTO
Esse é o caso mais simples de todos. Sem muitos comentários a serem feitos e
até a fórmula é intuitiva. Sendo assim, sejam A = (xa,ya,za ) e B = (xb,yb,zb ) pontos do
espaço. A distância entre os pontos A e B é dada pela norma do vetor
AB
 

= (xb − xa,yb − ya,zb − za ) , isto é:
Resumex GASL - Distâncias
Prof: André Desiderio Maldonado
CASOS
BÁSICOS
d(A,B) =|| AB
 

||= (xb − xa )2
+ (yb − ya )2
+ (zb − za )2

3. ! !
Observação: É importante notar o fato óbvio de que a distância entre A e B é a mesma distância entre B e
A, isto é, d(A,B) =|| AB
 

||=|| BA
 

||= d(B,A) .
ii) PONTO X RETA
Neste caso já há bastante coisa para ser comentada. Primeiramente, seja
A = (xa,ya,za ) um ponto do espaço e seja r uma reta que passa por A e tem direção dada
pelo vetor

v = (vx ,vy,vz ) . Seja também P(x,y,z) um ponto do plano.
Por um lado, temos que a área S do paralelogramo acima é dada por:
S = d⋅|| v

|| .
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A
B
A 
v
P
d

4. Por outro lado, temos que a área pode ser calculada utilizando o produto
vetorial AP
 

× v

, isto é:
S =|| AB
 

× v

|| .
Assim, dividindo por || v

|| obtemos:
Observação: Note que caso o ponto P pertença à reta r , também podemos concluir o fato óbvio de que a
distância entre eles é nula através da fórmula acima pois nesse caso AP
 

× v

= 0 .
iii) PONTO X PLANO
Este é outro item interessante. Sejam π :ax + by + cz + d = 0 um plano que
contém o ponto A = (xa,ya,za ) e seja P(x,y,z) um ponto qualquer do espaço.
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d = d(P,r) =
|| AP
 

× v

||
|| v

||
n

A
P
π

5. O desenho acima não facilita muito o entendimento. Vamos mudar a
perspectiva. Vamos “olhar” o plano de “perfil”. O desenho fica da seguinte maneira:
Com o esboço acima, fica muito mais fácil. Note que o valor da distância d é
exatamente o “tamanho”, ou melhor, a norma da projeção do vetor AP
 

sobre o vetor n

.
Assim, temos que:
d =|| projn
 AP
 

||=||
AP
 

⋅n

|| n

||2
v

||=
| AP
 

⋅n

|⋅|| n

||
|| n

||2
=
| AP
 

⋅n

|
|| n

||
Note agora que AP
 

⋅n

= ax + by + cz + d .
Já sei o que você está pensando agora: Professor, não entendi de onde você
tirou essa equação não!! Peraí rapaz! Vamos explicar com mais calma então.
Nós sabemos que o ponto A = (xa,ya,za ) pertence ao plano π . Assim, temos
que este ponto deve satisfazer a equação do plano, isto é, temos que:
axa + bya + cza + d = 0
Vamos fazer AP
 

⋅n

?
AP
 

⋅n

= (x − xa )a + (y − ya )b + (z − za )c = ax + by + cz − axa − bya − cza
E aí? Já entendeu né? Aposto que sim! Juntando as equações acima obtemos
que AP
 

⋅n

= ax + by + cz + d , ou seja
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π
A
P
AP
 

d
n

d = d(P,π ) =
| ax + by + cz + d |
|| n

||

6. iv) RETA X RETA
Neste caso, temos 3 casos possíveis. Desses 3 casos, veremos que 1 é óbvio,
e outro recai sobre o caso (ii) estudado anteriormente. Vamos aos casos:
a)Retas concorrentes: Se as retas são concorrentes, elas tem um ponto em
comum e consequentemente a distância entre elas é ZERO!
b) Retas Paralelas: Se as retas são paralelas, então a distância entre elas é a
mesma distância entre um ponto de uma delas até a outra reta. Assim, recaímos sobre o
caso (ii) estudado anteriormente (Distância PONTO X RETA).
c) Retas Reversas: Se as retas são reversas teremos que nos virar com nosso
super conhecimento de geometria. Vamos lá!
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d
d
d
d

7. No paralelogramo acima temos duas retas reversas r1 e r2 que passam pelos
pontos A(xa,ya,za ) e B(xb,yb,zb ) e possuem vetores diretores v1

e v2


respectivamente.
A ideia aqui é parecida com a ideia do item (ii). Por um lado, temos que o
volume do paralelogramo acima é dado pelo produto misto dos vetores AB
 

, v1

e v2


, isto
é: V =| v1

,v2


,AB
 

( )| . Por outro lado, temos que o volume de um paralelogramo é !
! V=ÁREA DA BASE X ALTURA.
Assim, temos que:
V = AREA⋅ ALTURA =|| v1

× v2


||⋅d .
Como estamos assumindo que as retas são reversas, temos que estas não
podem ser paralelas. Logo, || v1

× v2


||≠ 0 e dividindo obtemos:
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d = d(r1,r2 ) =
| (v1

,v2


,AB
 

)|
|| v1

× v

2 ||
AB
 

v1

v1

v1

A
B
d
v2


v2


v2


v2


v1

AB
 


8. Observações:
i) Se as retas forem concorrentes, a fórmula acima também nos diz que a distância é ZERO.
ii) Um bom “primeiro passo” para obter a distância entre duas retas é calcular || v1

× v2


|| . Se o resultado for
nulo, já sabemos que as retas são paralelas e basta aplicar a fórmula obtida em (ii). Caso contrário
aplicamos a fórmula acima.
v) RETA X PLANO
Caro aluno, aqui vou ter que foçar você a utilizar sua “visão geométrica” ok?
Vou fazer isso por dois motivos. O primeiro é que faz bem para o cérebro e
consequentemente para a sua nota. O segundo é que fica muito difícil desenhar no
computador.
Quero que faça o seguinte exercício mental. Pense em um plano no espaço.
Pensou? Ok, então agora pensa em uma reta que não cruza esse plano! Pensou?
Pergunta para você: Qual a posição relativa entre a reta e o plano? EXATAMENTE! Eles
são paralelos!! Neste caso, a distância entre eles recai no item (iii).
E se a reta cruzar o plano? Aí é mais fácil ainda, eles têm um ponto em comum
e consequentemente a distância é ZERO!!
Vamos esquematizar?
Observações:
i) O ponto P na equação acima pode ser qualquer ponto da RETA em questão.
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Situação Distância
Sem intersecão, ou seja,
reta paralela ao plano.
v

⋅n

= 0
d = d(P,π) =
| ax + by + cz + d |
|| n

||
Com interseção, ou seja, a
reta e o plano têm um
ponto em comum.
v

⋅n

≠ 0
d = 0

9. ii) Para saber se a reta é ou não paralela ao plano basta calcular o PRODUTO ESCALAR entre o vetor
normal do plano e o vetor diretor da reta. Se o resultado for zero, então os vetores são ortogonais e
consequentemente a reta e o plano são paralelos. Caso contrário eles têm um ponto em comum e
consequentemente a distância é zero!
vi) PLANO X PLANO
Esse caso é semelhante ao anterior. Novamente, vou forçar sua intuição
geométrica. Vamos lá!
Quero que você pense em um plano π1 no espaço. Pensou? Ok, então agora
pensa em um outro plano π2 que NÃO cruze este. Qual a posição relativa entre eles?
EXATAMENTE! Eles são paralelos! Neste caso, recaimos novamente sobre o item (iii).
Se os planos se cruzarem, então eles tem uma infinidade de pontos em comum
(uma reta na verdade...). Logo, a distância será ZERO!
Vamos esquematizar?
Observações:
i) O ponto P1 na equação acima pode ser qualquer ponto do plano π1 .
ii) Para saber se dois planos são paralelos, basta verificar se os vetores diretores são múltiplos, isto é, se
n1

= αn2


. No caso afirmativo, os planos são paralelos. Por outro lado, se n1

≠ αn2


, então os planos se
cruzam e portanto a distância é ZERO!!
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Situação Distância
Sem intersecão, ou seja,
planos paralelos.
n1

= αn2


d = d(P1,π2 ) =
| a2x + b2y + c2z + d |
|| n2


||
Com interseção, ou seja, os
planos se cruzam formando
uma reta.
n1

≠ αn2


d = 0

10. II - Fórmulas
Resumex GASL - Distâncias
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Situação Fórmula
PONTO X PONTO
d(A,B) =|| AB
 

||= (xb − xa )2
+ (yb − ya )2
+ (zb − za )2
PONTO X RETA
d = d(P,r) =
|| AP
 

× v

||
|| v

||
PONTO X PLANO
d = d(P,π ) =
| ax + by + cz + d |
|| n

||
RETA X RETA
i) Retas Concorrentes
d = 0
ii) Retas Paralelas
(Recai no caso PONTO X
RETA)
d = d(P1,r2 ) =
|| A2P1
 

× v

2 ||
|| v

2 ||
iii) Retas Reversas
d = d(r1,r2 ) =
| (v1

,v2


,AB
 

)|
|| v1

× v

2 ||
RETA X PLANO
i) Reta Tocando o Plano
d = 0
ii) Reta Paralela ao Plano
(Recai no caso PONTO X
PLANO)
d = d(Pr ,π ) =
| axr + byr + czr + d |
|| n

||
PLANO X PLANO
i) Planos NÃO paralelos
d = 0
ii) Planos Paralelos
(Recai no caso PONTO X
PLANO)
d = d(P1,π2 ) =
| a2x1 + b2y1 + c2z1 + d |
|| n1

||

11. Palavras Finais
Pessoal, decidi por fazer dois arquivos separados. Um para distâncias e outro
para a parte das cônicas. Vou fazer isto pois vou não sei quando vai ficar pronta a outra
parte (a princípio a previsão é para o dia 15/10 mas pode ser antecipado) e assim vocês
já podem ir revisando a matéria. Espero que gostem e que façam bom proveito. Podem
ter certeza de que vou ficar muito satisfeito se este material ajudar na sua aprovação.
Como eu não tenho um editor que revisa tudo, é possível que encontrem erros
d e d i g i t a ç ã o . S e n d o a s s i m , p e ç o q u e m e e n c a m i n h e m u m e m a i l
(andre.maldonado@ufjf.edu.br) avisando, assim como para possíveis elogios, críticas e
sugestões.
Resumex GASL - Distâncias
Prof: André Desiderio Maldonado