FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

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MUY BUENO

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  • 1. bTRIGONOMETRÍA BA cDEFINICIÓNEs aquella parte de la matemática elemental que estudia TABLAS DE VALOR DE FUNCIONESla medida de los tres ángulos de un triángulo en relación TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOScon sus lados. NOTABLES MEDIDA DE ÁNGULOS VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º Y 60º (30º = /6 Y 60º = /3)SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS __Hay tres sistemas para medir los ángulos; Sexagesimal,Centesimal y Radial. sen 30º = –1– sen 60º = –√–3–– 22SEXAGESIMAL __Toma como unidad de medida un arco que es igual a la cos 30º = –√–3–– cos 60º = –1–360 ava parte de la circunferencia, y a cada parte se le 22llama grado sexagesimal. Se simboliza así: º __ __ tg 30º = –√–3–– tg 60º = √3Ejemplo: 30º Se lee: 30 grados sexagesimales 3 __ __ ctg 30º = √3 ctg 60º = –√–3––CENTESIMAL __ 3Toma como unidad de medida un arco que es igual a la sec 30º = –2–√–3–– sec 60º = 2400 ava parte de la circunferencia, y a cada parte se le 3 __llama grado centesimal. Se simboliza así: g. g 2√3Ejemplo: 40 . Se lee: 40 grados centesimales cosec 30º = 2 cosec 60º = ––––– 3RADIAL CToma como unidad de medida un arco de una longitud 60ºigual a la de su radio, y a esta longitud de arco se le 21llama radián. Se simboliza así: rad. 30ºEjemplo: 2,16 rad. Se lee: 2,16 radianes. B __ A √3 VALORES DE LAS FUNCIONES DE 45º (45º = /4) __ __ sen 45ª = √––2– cos 45º = –√–2– 22 tg 45º = 1 ctg 45º = 1 __ __EQUIVALENCIA ENTRE LOS TRES sec 45º = √2 cosec 45º = √2SISTEMAS C 2 45º 11 circunferencia < > 360º < > 400 < > 2 rad. B 45º A1º < > 60’ y 1’ < > 60” 11 g < > 100 min y 1 min < > 100 s VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONES––S–– = ––C–– = –R–– DE 37º y 53º (37º = /4,865 y 53º _ /3,396)180 200 sen 37º = –3– sen 53º = –4–LONGITUD DE UN ARCO: 55L=r. cos 37º = –4– cos 53º = –3– : ángulo central, debe estar en radianes 55r tg 37º = –3– tg 53º = –4–O L 43 ctg 37º = –4– ctg 53º = –3–FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN 34EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO sec 37º = –5– sec 53º = –5–FUNCIONES BÁSICAS 43sen B = –b– cos B = –c– cosec 37º = –5– cosec 53º = –5–aa 34tg B = –b– ctg B = –c– Ccb 53ºsec B = –a– cosec = –a– 5cb 3C 37ºa
  • 2. BA BA4 7VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONES VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONESDE 15º y 75º (15º = /12 y 75º = /2,4) DE 18º Y 72º (18º = /10 Y 72º = /2,5)__ __ __ __ __ ___________√6 - √2 √6 + √2 √5 - 1 √10 + 2√5sen 15º = –––––––– sen 75º = –––––––– sen 18º = –––––– sen 72º = ––––––––––44 44__ __ __ __ ___________ __√6 + √2 √6 - √2cos 15º = –––––––– cos 75º = –––––––– cos 18º = √––1–0– –+–2–√––5– cos 72º = –√–5– –44 -– –1–__ __ 44tg 15º = 2 - √3 tg 75º = 2 + √3 ____________ √ ___________ 25 -10√5__ __ctg 15º = 2 + √3 ctg 75º = 2 - √3 tg 18º = –––––––––––– tg 72º = √5 + 2√5__ __ __ __ 5sec 15º = √6 - √2 sec 75º = √6 + √2 ___________ ___________ √25-10√5__ __ __ __cosec 15º = √6 + √2 cosec 75º = √6 - √2 ctg 18º = √ 5 + 2√5 ctg 72º = ––––––––––FORMULARIOMATEMÁTICO 5- 141 - _____________ √ __ sec 18º = ––5–0– –-–1–0–√– 5–– sec 72º = √5 + 1www.edici 5 ___________ –– √50-10√5onesrubin cosec 18º = √5 + 1 cosec 72º = –––––––––– 5 C 18º ___________os.comC 4√ 72º 10 + 2√5 B __ A15º √5 - 1__ __ __ ÁNGULOS DIRECTRICES√6 +√2 2 + √3 Ángulo de Elevación: - 142 -75º ObjetoBA Horizontal1VALORES APROXIMADOS DE LAS FUNCIONESDE 16º y 74º (16º = /11,25 y 74º _ /2,43)sen 16º = –7–– sen 74º = –2–4–25 25cos 16º = –2–4– cos 74º = –7––25 25 www.edicitg 16º = –7–– tg 74º = –2–4–24 7ctg 16º = –2–4– ctg 74º = –7––7 24sec 16º = –2–5– sec 74º = –2–5– onesrubin os.com24 7cosec 16º = –2–5– cosec 74º = –2–5–7 24C16º Ángulo de Depresión:25 24 Ángulo que Subtiende:74º Los ángulos de elevación ( ) y depresión ( )
  • 3. siempre están en plano vertical. El ángulo que ] intervalo abierto cerradosubtiende ( ) dos objetos observados puede estar [ intervalo cerrado abiertoen cualquier plano. sen x -1; + 1FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS O cos x -1; + 1CIRCULARES EN EL CÍRCULO tg x - ;+TRIGONOMÉTRICO DE RADIO = 1 ctg x - ;+sen a = PM sec x - ; -1 +1; +cos a = OP cosec x - ; -1 +1; +tg a = AT DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONESctg a = BN TRIGONOMÉTRICASsec a = OS En las funciones trigonométricas, DOMINIO es elcosec a = OQ valor del ángulo o arco; RANGO es el valor de laQ función.BN Las funciones trigonométricas no son BIUNIVOCAS;M es decir, para un ángulo hay más de un valorII I T para su función, repitiéndose dentro de un período. S FUNCIÓN DOMINIO RANGO PERÍODOA’ O P A sen x _ x [-1; +1] 2III IV cos x _ x [-1; +1] 2 tg x _ x - { 2n + 1} – – _ o - ; +° AM = a = 2FORMULARIOMATEMÁTICO ctg x _ x - {n } _ o - ; +- 143 - sec x _ x - { 2n + 1} – – _ - -1; +1 2Objeto 2Horizontal cosec x _ x - {n } _ - -1; +1 2 VARIACIÓN DE LAS FUNCIONESObjeto B TRIGONOMÉTRICAS SEGÚN ELObjeto A CUADRANTESIGNOS DE LAS FUNCIONES FUNCIÓN I C II C III C IV CTRIGONOMÉTRICAS SEGÚN EL seno c: de 0 a 1 d: de 1 a 0 d: de 0 a -1 c: de -1CUADRANTE a0FUNCIÓN I C II C III C IV C coseno d: de 1 a 0 d: de 0 a -1 c: de -1 a 0 c: deseno + + - - 0a1coseno + - - + tangente c: de 0 a c: de - a 0 c: de 0 a c:tangente + - + - de - a 0cotangente + - + - cotangente d: de a 0 d: de 0 a - d: de a 0secante + - - + d: de 0 a -cosecante + + - - secante c: de 1 a c: de - a – 1 d: de -1 a - d: de a 1www.edici cosecante d: de a 1 c: de 1 a c: de - a -1 d: de -1 a - c = crece ; d = decrece _ = número realonesrubin www.edicios.com- 144 - onesrubinINTERVALO DE LAS FUNCIONES os.comTRIGONOMÉTRICASIntervalo es el espacio o valor dentro de dosextremos en el cual se encuentra el valor de la función.Se denota así:[ ] intervalo cerrado FORMULARIOMATEMÁTICO intervalo abierto
  • 4. - 145 -RELACIÓN DE FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS EN TÉRMINOSDE UNA SOLAsen a cos a tg a ctg a sec a cosec a www.edici onesrubin________________ 1 1 ± √sec2a - 1 1 sen ± √1 - cos2a ––––_–_–_–_–_–_–_– –––_–_–_–_–_–_–_–_– –––––––––––––––––––± √1 + tg2a ±√1 + ctg2a sec a cosec a_________________tg a ctg a 1 ± √cosec2a - 1 os.com - 146 -cos a ± √1 - sen2a ––––_–_–_–_–_–_–_– ––––_–__–_–_–_–_–_– ––––– –––––––––––– ARCOS COMPUESTOS FUNCIONES DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE± √1 + tg2a ±√1 + ctg2a cos a cosec a ARCOS________ sen (a b) = sen a . cos. b sen b . cos a_______ cos (a b) = cos a . cos . b _ sen a . sen bsen a ± √1 - cos2a 1 1 tg a ––––_–_–_–_–_–_–_–_ ––– tg a tg b–––––––– ––––– ± √sec2a - 1 –––_–_–_–_–_–_–_–_– tg (a b) = ––––––––––––––_– 1 _ tg a . tg b ctg a . ctg b _ 1± √1 - sen2a cos a ctg a ± √cosec2a - 1 ctg (a b) = ––––––––––––––________ ctg b ctg a± √1 - sen2a _________ ctg a cos a 1 1 ––––––––––– FUNCIONES DE LA SUMA DE TRES ARCOS–––_–_–_–_–_–_–_–_– –––– ––––_–__–_–_–_–_–_– ± sen (a + b + c) = sen a . cos b . cos c - sen a√cosec2a - 1 . sen b . sen c + sen b . cos a . cos c + sen c . cos a . cos bsen a ± √1 - cos2a tg a ± √sec2a - 1 cos (a + b + c) = cos a . cos b . cos c - sen b________ . sen c . cos a - sen a . sen c_______ . cos b - sen a . sen b . cos csec a ––––––1––––– ––1–– ± √1 + tg2a –±––√–1– tag a + tg b + tg c – tg a . tg b . tg c+– –c–t–g–2a– ___c_o_s_e_c _a____ ________ tg (a + b + c) = –––––––––––––––––––––––––––––––––_________ –––––± √1 - sen2a cos a ctg a ± √cosec2a - 1 1 - tg a . tg b - tg a . tg c - tg b . tg c_______ EQUIVALENCIA DE LAS FUNCIONES DE LOS_______ ARCOS COMPLEMENTARIOScosec a ––1–– ––––––1––––– –±––√–1– –+– t–g–2a––– ± √1 + ctg2a –––––s–ec– –a––––– ________ Sean: ( – –-a ) y “a” dos arcos complementarios:________ 2sen a ± √1 - cos2a tg a ± √sec2a - 1RELACIONES TRIGONOMÉTRICASFUNDAMENTALES ( – –-a ) +a=– – 22sen2a + cos2a = 1 se cumple:sen atg a = –––––cos a sen ( ) – – - a = cos atg a . ctg a = 1 21 + tg2 a = sec2 acos actg a = ––––– cos ( ) – – - a = sen asen a 2sen a . cosec a = 1cos a . sec a = 11 + ctg2 a = co sec2 a tg ( – –-a ) = ctg a 2 Ejemplo: sen 40º = cos 50º puesto que: 40º + 50º = 90º
  • 5. EQUIVALENCIAS DE LAS FUNCIONES DE LOS cos 2a = 1 – 2 sen2aARCOS SUPLEMENTARIOS 2 tg aSean: ( - a) y “a” dos arcos suplementarios, entonces: tg 2a = –––––––( - a) + a = 1 – tg2ase cumple: FUNCIONES DE ARCO MITADsen ( - a) = sen a 1 - cos a = 2 sen2 –a–cos ( - a) = - cos a 2tg ( - a) = - tg a ––––––––Ejemplos: a 1 - cos acos 120º = - cos 60º sen –– = ± –––––––– √notar que:120º + 60º = 180º 2 2tg 130º = -tg 50EQUIVALENCIAS DE LAS FUNCIONES 1 + cos a = 2 cos2 –a–TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ARCOS 2NEGATIVOS ________Sean “a” y “-a” dos arcos iguales pero de signo cotrario. a 1 + cos aEs decir, del mismo origen pero de sentido contrario. cos –– = ± –––––––– √(En el gráfico todos de origen A).sen a = MP ; sen (-a) = M’P = -MP 2 2cos a = OP ; cos (-a) = OP = OPtg a = AT ; tg (-a) = AT’ = -AT 1 - cos a a –––––––– = tg2 ––www.edici 1 + cos a 2 FUNCIONES DE ARCOS TRIPLES sen 3a = 3 sen a - 4 sen3a cos 3a = 4 cos3a - 3 cos a 3 tg a - tg3aonesrubin tg 3a = –––––––––– 1 - 3 tg2a FUNCIONES AUXILIARES seno verso a = 1 - cos a cos verso a = 1 - sen aos.comFORMULARIOMATEMÁTICO ex-sec a = sec a - 1 NOTA: A la ex-secante se le llama también external. TRANSFORMACIÓN A PRODUCTO- 147 - SUMA Y DIFERENCIA DE SENOST sen A + sen B = 2 sen –A– –+– B– cos –A– –-– B–M 22a sen A - sen B = 2 cos –A– –+– B– sen –A– –-– B–P 22OA-aM’T’Luego: www.edicisen (-a) = -sen acosec (-a) = -cosec acos (-a) = cos asec (-a) = sec atg (-a) = -tg a onesrubinctg (-a) = -ctg aFUNCIONES DE ARCOS DOBLESsen 2a = 2 sen a . cos a2 tg asen 2a = ––––––– os.com De donde: sen (arco sen m) = m arco sen (sen A) = A1 + tg2a cos (arco cos n) = n arco cos (cos A) = Acos 2a = cos2a – sen2 a tg (arco tg p) = p arco tg (tg A) = A1 - tg2a - 148 -cos 2a = –––––––1 + tg2a FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAScos 2a = 2 cos2a – 1 INVERSAS
  • 6. Son expresiones que dan el valor del ángulo “en forma www.ediciindicada”.Sea “A” un arco ó ángulo: denotación inglesadenotación francesasen A = m A = arco sen m A = sen-1 mcos A = n A = arco cos n A = cos-1 ntg A = p A = arco tg p A = tg-1 pctg A = q A = arco ctg q A = ctg-1 qsec A = r A = arco sec r A = sec-1 rcosec A = s A = arco cosec s A = cosec-1 s onesrubinSUMA Y DIFERENCIA DE COSENOScos A + cos B = 2 cos –A– –+– B– sen –A– –- –B–22cos A - cos B = -2 sen –A– +– –B– sen –A– –-– B–22 os.com Ejemplo: CalcularLÍMITES TRIGONOMÉTRICOS __ ___1. En el primer cuadrante se cumple que el arco es y = arco sen –√–3–– + arco tg –1– + arco sec –√–1–mayor que el seno pero menor que su tangente. 0–– (1)sen a < a < tg a 223o: Procedimiento. Llamando:0<a<– – __ __22. Cuando el arco es muy pequeño; es decir, cercano √3 √3a cero, el seno, el arco y la tangente tienden a A = arco sen –––– sen A = –––– A = 60ºconfundirse. 22a B = arco tg –1– tg B = –1–lim ––––– = 1 22a 0 sen a ___ ___y: √10 √10 1a C = arco sec ––––– sec C = ––––– tg C = ––lim ––––– = 1 333a 0 tg a Sustituyendo en (1):De donde: y=A+B+Csen a = a = tg a a 0 o sea:Ejemplo: y = 60 + B + C¿Cuál es el límite de ––3––x–– , cuando x tiende y – 60 = B + Ca cero? (x 0) sen –x– tomando tangente:2 tg (y - 60) = tg (B + C)3 –2–x– 6 –x– tg B + tg Clim ––3––x–– = lim –––2–– = lim –––2–– tg (y – 60) = ––––––––––––x 0 sen –x– x 0 sen –x– x 0 sen –x– 1 – tg B . tg C222 sustituyendo valores de tg B y tg C:x –– 1152 –– + –– ––= 6 . lim –––––– = 6 . 1 236x 0 sen –x– tg (y – 60 ) = ––––––––– = –– = 12 1 - –1– . –1– –5–3x 236 lim –––––– = 6 tg (y – 60) = 1x 0 sen –x– y – 60 = 45º2 y = 105º FORMULARIOMATEMÁTICO - 149 - DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES INVERSAS En las funciones inversas, como su nombre lo indica, el DOMINIO de una función es el RANGO de la inversa y viceversa, consideradas dentro de un INTERVALO. FUNCIÓN INVERSA DOMINIO RANGO arco sen x [- 1 ; + 1 ] [ -– –;– – ] 22
  • 7. leyes o propiedades:arco cos x [- 1 ; + 1 ] [ 0;– – ] 2 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 1. Ley de los senos: En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a sus ladosarco tg x _ o - ;+ [ -– –;– – ] 22 opuestos. Aarco ctg x _ o - ;+ 0; cbarco sec x - ; -1] [1;+ [ 0;– – BC a ––a––– = ––b––– = ––c––– – –; ] 22 sen A sen B sen C 2. Corolario: En todo triángulo inscrito en una circunferencia,arco cosec x - ; - 1] [1;+ [ -– –; la relación de la Ley de los senos es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.0 0;– – ] 22 A c bwww.edici R BO a C ––a––– = ––b––– = ––c––– = 2Ronesrubin www.edici sen A sen B sen Cos.com- 150 - onesrubinSOLUCIÓN DE LAS ECUACIONESPara resolver ecuaciones debe tenerse presente que: os.comsen x = a x = sen-1 a X = k + (-1)K sen-1 acos x = b x = cos-1 b X = 2k ± cos-1 btg x = c x = tg-1 c X = k + tg-1 cctg x = d x = ctg-1 d X = k + ctg-1 d FORMULARIOMATEMÁTICOsec x = e x = sec-1 e X = 2k ± sec-1 ecosec x = f x = cosec-1 f X = k + (-1)K cosec-1 f - 151 -Donde: K _ ; x = solución principal y X = solución 3. Ley de cosenos (Carnot).- Para todo triángulo:general A baECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS BCLa solución puede ser la más pequeña de todas (solución cprincipal) o puede ser una expresión algebraica Cque incluya todos los arcos que satisfagan la ecuación badada (solución general). AcBExpresión de todos los arcos que tienen la a2 = b2 + c2 - 2 . b . c cos Amisma función trigonométrica. b2 = a2 + c2 - 2 . a . c cos BQue tienen el mismo seno: c2 = a2 + b2 - 2. a . b cos CX = K + (-1)k 4. Ley de las tangentes (Nepper).- Para todo = solución principal triángulo:Que tiene el mismo coseno: AX = 2K ± ba = solución principal BcCQue tienen la misma tangente: tg A–– +– –B–X=K + –a– +– –b– = –––––2––– = solución principal a - b tg –A– –- –B–RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 2Para resolver triángulos que equivale a calcular sus 5. Ley de las proyecciones.- Para todo triángulo:lados o sus ángulos, debe conocerse las siguientes A
  • 8. ba Donde:BcC p = semiperímetroa = b . cos C + c . cos B r = radio círculo inscritob = a . cos C + c. cos A R = radio círculo circunscritoc = a . cos B + b . cos C a = radio del círculo exinscrito al lado aCÁLCULO DE ÁNGULOS ELEMENTOS SECUNDARIOS EN LA(Fórmula de Briggs) SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSSi: Para calcular los elementos secundarios, lo aconsejablea+b+c es despejar las fórmulas conocidas, tales comop = ––––––––– las siguientes:2 RADIOS_______ RADIO CIRCUNSCRITO:A p(p - a) Es el radio “R” de la circunferencia circunscrita alcos –– = –––––––– triángulo. √ A c2 bc b___________ BROA (p - b)(p - c) asen –– = –––––––––––– C 1.- De: 2R = ––a–––2 √ 2 sen A R = ––a–––___________ 2senAA p(p - a) 2.- De: –a–b–c– = Stg –– = ––––––––––– 4R R = –a– .– –b– .– c–2 √ (p - b)(p - c) 4.S RADIO INSCRITO O INRADIO:CÁLCULO DE SUPERFICIES Es el radio “r” de la circunferencia inscrita en elFórmula Trigonométricas triángulo.C Bba caAcB OS = –a– .– b–– sen C r2 ACS = –b– –. –c– sen A (I) b2 1.- De: pr = SS = –a– .– –c– sen B r = –S–2 pFórmulas Geométricas 2.- De: –––r–– = tg –A–a.b.c p-a2S = p . r S = ––––––– r = (p - a)tg –A–4R 2__________________ BCS = p(p - a)(p - b)(p - c) (II)S = a (p - a) 3.- De: a = r ( ctg –– + ctg –– ) 22 awww.edici r = ––––––––––––– ctg –B– + ctg –C– 22 RADIO EX-INSCRITO: Es el radio “ ” de la circunferencia, ex-inscrito a unoonesrubin de los lados del triángulo. T B O A/2 aos.com- 152 - A/2 AbCP De la propiedad:
  • 9. AP = AT = –a –+– –b– –+– c– , se demuestra: a22 Aa+b+cA cb1.- –––––––– . tg –– ma22 BCo: M = p . tg –A– a/2 a/22 a22.- De: S = (p - a) 2.- m2 = ––– + c2 – a . c . cos Bo: b4S a2 = ––––– m2 = ––– + b2 – a . b . cos Cp-a c4 4m2 = b2 + c2 + 2 . b . c . cos Awww.edici a La intersección de las tres medianas se denomina CENTRO DE GRAVEDAD o BARICENTRO. B caonesrubin mb TM G ma mc ACos.com bN BISECTRIZ INTERIOR Es la recta que divide a un ángulo interior en dos ángulos iguales.FORMULARIOMATEMÁTICO A- 153 - bc3.- De: a = ( tg –B– + tg –C– ) 22 ta S1 S2a mn = ––––––––––– CBtg –B– + tg C–– D22 aCEVIANAS Fórmulas Geométricas:Son rectas que partiendo de un vértice tocan un 1.- –b– = –c–punto del lado opuesto. Las principales son: altura, nmmediana, bisectriz interna y bisectriz externa.ALTURAEs la perpendicular trazada de un vértice al ladoopuesto.Acb www.edicihaBCa1.- ha = b . sen Co: onesrubinha = c . sen B2.- ha = 2 . R . sen b . sen C3.- ha = –2– –. –S–a os.com - 154 -ha = altura con respecto al lado “a” 2.- t2 = b . c – m . nMEDIANA aEs la recta trazada de un vértice al punto medio del Fórmula Trigonométrica:lado opuesto. 2.b.cAa2 ta = ––––––– cos ––1.- De: b2 + c2 = 2 . m2 + ––– a 2 b+c2a2 La intersección de las tres bisectrices interiores seb2 + c2 - ––– llama INCENTRO.m2 = –––––––––2–– BISECTRIZ EXTERIOR
  • 10. Es la recta que divide a un ángulo exterior en dos www.ediciángulos iguales.Fórmulas Geométricas:1.- –b– = –c–nm2.- t2 = m . n – b . c onesrubinaFórmula Trigonométrica:2.b.cAta = ––––––– sen ––b-c2La intersección de las tres bisectrices interiores sellama EXCENTRO.90 - –A–A 2 ta os.com FORMULARIOMATEMÁTICOb - 155 -c CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITOS1 S2 bCaB BCn acm ADCUADRILÁTEROS CONVEXOS dSon cuadriláteros cuyos ángulos son menores que Propiedad de Pitot:180º. a+b=c+d=pB POLÍGONOS REGULARESa CIRCUNSCRITOS:A Valor del lado “l” y la del área “S” b l = 2r . tg – – S = n . r2 . tg – –d nnDC l/2c r /nSUPERFICIES OAC . BD INSCRITOS:1.- S = ––––––– . sen l/22 P__________________________________ /n2.- S = √(p - a) (p - b) (p - c) (p - d) – a . b . c . d . cos R Odonde: Cálculo del lado “l”, apotema “Ap” y área “S”p = semiperímetro l = 2r . sen – – nˆ A + ˆC = ––––––2 Ap = R . cos – – no: S = –R–2––. –n– . sen –2– __________–ˆB + ˆD = –––––– 2n2 OP = ApCUADRILÁTERO INSCRITO O CICLÍCO n = número de ladosAˆ + Cˆ = Bˆ + Dˆ = 180º R = radio circunscritoC S = áreaB PROBLEMA DE POTHENOT-SNELLIUSA Conocido también como problema de los cuatroD puntos o problema de la carta (geográfica):________________________ Dados tres puntos no colineales: A, B y C, calcular sus distancias a un cuarto punto D (situado enS = √(p - a)(p - b)(p - c)(p - d) el plano ABC, interno al ángulo convexo ACB),Fórmula de Brahma-Gupta desde el cual se vean las distancias AC y BC bajo ángulos dados. Se supone como incógnitas los ángulos x e y. Por ley de senos en los triángulos (1) Y (2): ___ –s–e–n– x– = D––C– sen a ___ sen y DC ––––– = –––
  • 11. sen bsen x b sen ––––– = –––––––– (1)sen y a senx + y = 360º - ( + + C) (2)D12xyabCComo a, b, , , y Cˆ se conoce, se tiene un sistemade ecuaciones trigonométricas cuyas incógnitasson “x” e “y”. Hallando “x” e “y” el problemaqueda resuelto, al conocer todos los ángulos yun lado de cada uno de los triángulos (1) y (2).