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Relaciones entre conjuntos

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  • 1. I.U.T ANTONIO JOSE DE SUCRERELACION ENTRE CONJUNTOS Nombre: Luis Rodriguez C.I. 21 141 816 IMFORMATICA (78)
  • 2. Parejas ordenadasEl orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo:{3, 5} = {5, 3} Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de loscuales uno designa el primer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja ordenada seescribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas(a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d. Producto cartesianoConsidere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas(a, b) en donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B.La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dosconjuntos.Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto depares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y elsegundo elemento al segundo conjunto. Es decir:A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.
  • 3. EJEMPLOSi A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como semuestra a continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b)de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x ena, y la línea horizontal a través de P encuentra el eje y en b. A esta representaciónse le conoce como diagrama cartesiano.B4321 a b c A
  • 4. Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representacióngráfica, donde se destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y lospuntos que pertenecen a B. Se trazan flechas que indican la relación que existeentre cada elemento del conjunto A y su correspondiente en el conjunto B.A esta representación gráfica se le conoce como un diagrama de flechas. EJEMPLO A B a 1 b 2 c 3 4
  • 5. Correspondencias y aplicaciones entre conjuntosA partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones másimportantes que se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntosdados.Correspondencias Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒentre A y B a un subconjunto del producto cartesiano de A por B.Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y serepresenta por G.Se definen también los siguientes conjuntos:• El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de partida, que es del que salenlas flechas.• El conjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan lasflechas.• El conjunto original es el conjunto formado por los elementos del conjuntoinicial de los que parte alguna flecha. Por tanto, el conjunto original está incluidoen el conjunto inicial.• El conjunto imagen es el conjunto formado por los elementos del conjunto finala los que llega alguna flecha. Por tanto, el conjunto imagen está incluido en elconjunto final.
  • 6. EJEMPLOSi A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemosque G es un subconjunto de A x B, es decir, G ⊂ (A x B).La correspondencia está representada gráficamente en:a) un diagrama cartesiano: B 4 3 2 1 a b c Ab) Un diagrama de flechas: B A 1 a 2 b 3 c 4
  • 7. Relación binaria La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A. EJEMPLOSea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relaciónbinaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen unsubconjunto de A x A. X Y ZSe dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a estárelacionado con b mediante la relación binaria R”, cuando el par ordenado (a, b)pertenece al subconjunto del producto cartesiano que define la relación.Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algúnsentido, escribiremos a R b o b R a o ambas cosas.
  • 8. Propiedades de una relación binariaLas principales propiedades que puede presentar una relación binaria R definidaen un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivascondiciones.Propiedad Condicion1. Reflexiva ∇ a ∈ A, a R a2. Anti reflexiva ∇ a ∈ A, a R a3. Simétrica ∇ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a4. Anti simétrica en sentido amplio ∇ a, b ∈ A, ( a R b y b R a) ⇒ a = b5. Anti simétrica en sentido estricto ∇ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a6. Transitiva ∇ a, b, c ∈ A, (a R b y b R c) ⇒ a R c
  • 9. Relación de equivalenciaUna relación binaria R es una relación de equivalencia definida en un conjunto A,si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.Así, en el plano euclídeo considerando el conjunto de todas las rectas, la relaciónR “ser paralela a” es una relación de equivalencia. Comprobémoslo:a) Reflexiva: a || a, puesto que cualquier recta es paralela a sí misma.b) Simétrica: si a || b, entonces b || a.c) Transitiva: si a || b y b || c, entonces a || c.Luego por cumplir las tres propiedades anteriores es una relación de quivalencia. Clases de equivalencia, conjunto cocienteDada una relación de equivalencia R definida en un conjunto A, si a ∈ A se llamaclase de equivalencia de a y se denota por [ a ], al subconjunto formado por todoslos elementos de A relacionados con a por la relación de equivalencia R. [ a ] = {x / x ∈ A y x R a}
  • 10. Relaciones de ordenUna relación binaria R es una relación de orden amplio si cumple las propiedadesreflexiva, antisimétrica en sentido amplio y transitiva.Una relación binaria R es una relación de orden estricto si cumple las propiedadesantirreflexiva, antisimétrica en sentido estricto y transitiva.Una relación binaria R es una relación de orden total si dos elementos ualesquieraestán relacionados en cualquier sentido. Es decir: ∇ a, b ∈ A, a R b o b R a EJEMPLOLa relación R “ser menor o igual que” definida en un conjunto numérico A, es unarelación de orden amplio, y además de orden total.Si tomamos: A = {1, 3, 4, 8}La relación está formada por:R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (1, 8), (3, 3), (3, 4), (3, 8), (4, 4), (4, 8), (8, 8)}

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