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Grupos geométricos de formas

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El universo de las geometrías existentes en el universo es infinito. Describirlas todas resulta imposible. Como acometer entonces un estudio estético de la geometría de las formas que integran dicho …

El universo de las geometrías existentes en el universo es infinito. Describirlas todas resulta imposible. Como acometer entonces un estudio estético de la geometría de las formas que integran dicho universo es el objeto de este artículo. Para este propósito recurriremos aquí a una clasificación que parte del supuesto de que todas las formas existentes o imaginables dentro de los limites del espacio-tiempo, pueden ser descompuesta en unas cuantas formas, que son la base estructural de todas las formas posibles del universo. Plantearemos que estas formas por su geometría, puede ser entendida como una sumatoria de formas simples y regulares. Y que los valores físicos-visuales de las formas irregulares y complejas, están determinados por los valores físicos-visuales de las formas simples y regulares que concurren en la conformación de su estructura geométrica, planteamiento que nos llevará a establecer el concepto de familias de formas. Dentro de este propósito comenzaremos entonces por definir los valores de regularidad e irregularidad y simplicidad y complejidad de la forma.

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  • 1. 1 Grupos geométricos 1 de formasEl universo de las geometrías existentes en el universo es infinito. Describirlas todas resulta imposible.Como acometer entonces un estudio estético de la geometría de las formas que integran dicho universo es elobjeto de este texto. Para este propósito recurriremos aquí a una clasificación que parte del supuesto deque todas las formas existentes o imaginables dentro de los límites del espacio-tiempo, pueden ser enten-didas como una sumatoria de formas simples y regulares, y por lo tanto, pueden ser descompuestas enéstas, que son la base estructural de todas las formas posibles del universo. Y que los valores físicos-visualesde las formas irregulares y complejas, están determinados por los valores físicos-visuales de las formassimples y regulares que concurren en la conformación de su estructura geométrica, planteamiento que nosllevará a establecer el concepto de familias de formas. Dentro de este propósito comenzaremos entoncespor definir los valores de regularidad e irregularidad y simplicidad y complejidad de la forma. La regularidad o irregularidad de un contorno, y la simplicidad y complejidad del mismo, es elargumento que utilizaremos como base para establecer una clasificación general de la geometría de lasformas. En la primera parte de nuestro análisis tomaremos como ejemplo formas del nivel bidimensional, apartir del análisis del contorno, cualidad de las formas bidimensionales que estudiaremos en detalle másadelante, entendiendo que los conceptos que son validos para las formas bidimensionales por extensión seaplican también a los otros grupos dimensionales. Todo esto dentro del supuesto que los valores visualespertenecientes a un grupo dimensional de formas, por reinterpretación dimensional, son también pertinentesa los grupos de nivel dimensional superior. Teniendo en cuenta el grado de regularidad de un contorno, el conjunto de las formas del universopuede dividirse en dos grupos: aquellas que presentan un contorno regular y aquellas que presentan uncontorno irregular. Y en función del grado de complejidad de un contorno, el conjunto de las formas deluniverso se divide también en dos grupos: aquellas que presentan un contorno simple y aquellas quepresentan un contorno complejo. En la Tabla 1-1 se ejemplifican formas de cada uno de los cuatro grupos,ejemplo sobre el que volveremos una vez hayamos establecido las definiciones pertinentes a cada grupo.                                                              1 Por Javier Echeverri, Arquitecto, Profesor Titular, Escuela de Arquitectura, Universidad del Valle.1 FORMA Y GEOMETRÍA
  • 2. FORMAS REGULARES FORMAS IRREGULARES FORMAS SIMPLES FORMAS COMPLEJASTabla 1-2 1.1 FORMAS REGULARESUna forma tiene un contorno regular cuando su perímetro visual, esto es, su contorno o perfil, está organizadoo dispuesto en torno a un punto (centro) o eje (línea) común, o a un conjunto de ejes interactuantes. Veamosel ejemplo de la Ilustración 1-1:Ilustración 1-1 / Orden y simetría en el cuadrado. Grupos geométricos de formas 2
  • 3. Un cuadrado es un contorno regular. Todos sus componentes geométricos están organizados demanera rigurosa en una geometría en donde no hay espacio para las sorpresas o el azar (a). Sus cuatrolados ocupan una posición relativa y equidistante de un punto central (b), es decir, existe una relación demultisimetría con respecto al centro de la figura (c). Otras lecturas de simetría se encuentran al relacionar loslados con elementos geométricos del cuadrado: La simetría del contorno con relación a las diagonales delmismo (d), y la simetría del contorno con relación al sistema de coordenadas que se puede ubicar a partir delcentro del la figura y en posición normal a la misma (e). En el círculo la lectura de simetría es mayor. En este contorno (¡Error! No se encuentra el origen dela referencia.), todos los puntos que conforman la circunferencia se encuentran referidos al centro en posiciónde equidistancia, a partir del cual se puede trazar un infinito numero de radios iguales. Esta característicageométrica hace del círculo la figura simétrica por excelencia, la máxima situación de simetría que puedeadoptar una forma en dos dimensiones, situación que tiene su contraparte tridimensional en la esfera.Ilustración 1-2 La regularidad geométrica de una forma no es siempre una cualidad visual explícita. Es impor-tante destacar que muchas formas regulares al primer golpe de vista transmiten la idea de irregularidad, apesar de la regularidad de su geometría. En estos casos decimos que la regularidad esta oculta y solo unanálisis pormenorizado de la geometría de la forma permite evidenciar su regularidad. En la idea visual del cuadrado y el círculo no cabe la duda de su regularidad, esta es visualmenteobvia y contundente. Por el contrario en las formas de la Ilustración 1-3 la condición de regularidad no esmuy precisa, al menos para el primer golpe de vista. Sin embargo, y si analizamos en detalle su geometría,encontramos que si existen elementos organizadores del contorno en claros patrones de simetría.3 FORMA Y GEOMETRÍA
  • 4. Ilustración 1-3 El paralelogramo (arr-izq) siendo una forma aparentemente irregular a la visión (un rectángulodeformado), es una figura simétrica. El contorno irregular de la estrella de 5 puntas (arr-der), nos puede aprimera vista dar una idea de irregularidad, sin embargo su forma es también regular. En ambos casos suregularidad la establece la presencia explícita de ejes de simetría, condición que hemos definido como elargumento geométrico de la regularidad. En la figura en (aba-izq) se analiza en detalle la regularidad del paralelogramo. A, A, B y B son lascuatro áreas en que los ejes o coordenadas x e y dividen la figura. Arriba del eje x encontramos el área Aque es igual pero invertida al área A por debajo de x. Igual sucede con B que tiene su equivalente invertidoB. El mismo análisis es válido para el eje y, A y B del lado izquierdo tienen su contraparte en B y A en el ladoderecho. Ahora, si se traza otro sistema de ejes que pasen por el punto o, como m y n, estos tambiéndividen la figura en cuatro áreas, que se pueden separar en parejas que por su inversión geométrica secomplementan visualmente. Esto nos indica que o, como centro geométrico de la figura, es también elcentro visual del paralelogramo, siendo el sitio o punto que organiza y define la posición del conjunto de lavisualidad significante del paralelogramo. La figura (aba-der) muestra los ejes de simetría de la estrella de 5puntas. En esta figura su posible contorno irregular ("accidentado, quebrado") es expresión de su comple-jidad, cualidad visual diferente que definiremos más adelante. En la explicación anterior la regularidad del paralelogramo se ha definido en términos estricta-mente geométricos. Pero preguntémonos ahora por qué si el paralelogramo es una figura geométrica-mente regular, su idea visual en términos de dicha regularidad es inconsistente. Por qué si se trata de uncontorno regular sugiere la idea de un cuadrado deformado (Ilustración 1- 1-4). Sencillamente porque lageometría de una forma no es el único factor determinante de su regularidad, existen otros, y la condición deregularidad de una forma a partir de su geometría es válida tan solo en términos absolutos, es decir, comosimple hecho geométrico independiente de su contexto visual. La existencia de un centro geométrico en el Grupos geométricos de formas 4
  • 5. paralelogramo, de un sistema de ejes, de una división por áreas que se complementan, son argumentos quesolo tienen sentido para el intelecto de quien escruta la visualidad de la forma, a partir de los cuales seconfieren unos significados probados a un sistema de signos conocido. En otras palabras el discurso de lageometría resulta valido tan solo de los cuatro lados de la figura hacia adentro.Ilustración 1- 1-4/ Deformación de un cuadrado en un paralelogramo. Al leer el paralelogramo como un cuadrado deformado, que apunta hacia un lado (o ambos lados),simplemente lo que hacemos es emitir un juicio producto del análisis de otras circunstancias diferentes a lasque exclusivamente son determinadas por la geometría de la figura. Quiere decir esto que la geometría delcontorno hacia fuera, provee otros argumentos que son también importantes y definitivos en la compresióndel significado visual de una forma. Pero, ¿cuál es la geometría exterior del paralelogramo? ¿No es esta la misma que hemos estu-diado de "los lados hacia adentro”? Sí y no. Veamos: La simple existencia de un contorno, de un perfil, un sistema de líneas que se cierran para produciruna figura, son suficientes para conformar una sistema visual complejo, pleno de información y significados.Y para captar esa información y comprender esos significados nuestro espíritu racional apela en primerainstancia a la geometría, circunscribiéndose estrictamente al todo que la línea envolvente del paralelogramocrea. Y dentro de este orden de ideas es claro que la geometría interior y la exterior son una misma. Lainterior, o sea la geometría del paralelogramo, es el paralelogramo mismo. Y como quiera que el parale-logramo es una porción o parte del universo de dos dimensiones, los significados visuales producto de larelación que existe entre este universo y la figura, constituyen la geometría exterior del paralelogramo, a partirde la cual podemos explicar el por qué de la inconsistencia de su regularidad. De otra parte, la posición que una forma ocupa dentro de su contexto visual es determinante de susignificado visual. A cada solución de posición de una forma dentro de su contexto corresponde una vi-sualidad diferente. Al ser el paralelogramo parte del universo (bidimensional), su visualidad está determi-nada por la posición que en él ocupa. Así entonces no puede el paralelogramo ser el mismo en cualquiersitio del universo, ya que cada posición diferente que adopte el paralelogramo dentro del universo corres-ponde también lecturas visuales diferentes. La variable posición es entonces condicionante de la idea deregularidad. En el paralelogramo de nuestro ejemplo la posición de su contorno con relación a su contextovisual determina la confusión en la lectura de su regularidad. Como vemos en la Ilustración 1-3 (aba-izq),ninguna de las diagonales del paralelogramo es normal a un sistema de referencias vertical-horizontal. Ycomo estudiaremos también en el capítulo 5 es precisamente un sistema de referencias de este tipo el queutiliza nuestro mecanismo de la visión para establecer la normalidad en las lecturas visuales. La regularidad del paralelogramo (y de cualquier otra forma) está supeditada a la experiencia vi-sual misma, o sea el acto de ver (un paralelogramo), que comprende de una parte, a quien realiza la ob-servación, el hombre (con su ojo-cerebro como mecanismo sensorial de la visión), y, por otra parte, al hecho5 FORMA Y GEOMETRÍA
  • 6. observado, o sea la figura inscrita en el contexto que su universo genera. La comprensión de este procesode percepción nos explica porqué el paralelogramo parece estar mirando hacia un lado. En la Ilustración 1-5 podemos observar como el mismo paralelogramo en posiciones diferentesproduce lecturas de regularidad también diferentes. Solo en la posición del extremo izquierdo, en la cual lageometría del paralelogramo se ajusta a unas referencias vertical-horizontal, se da una lectura de regularidaddel contorno. Resulta interesante constatar con el ejemplo como una misma figura puede parecer otracompletamente distinta por un simple cambio de posición. Incluso en el lenguaje empleamos un nombreespecifico para referirnos a la figura del extremo izquierdo: rombo, para diferenciarla de la del extremoizquierdo: paralelogramo.Ilustración 1-5 / Variación de la lectura de la regularidad del paralelogramo por cambios en su posición. Concluimos entonces que la regularidad de una forma es relativa, pudiendo en algunos casosestar oculta (o disimulada), situación en la cual, además de su geometría interna, depende también de lasrelaciones de posición entre la forma y su contexto, o bien, entre la geometría interna de la forma y la geo-metría externa o geometría del universo.Ilustración 1-6 / Espirales: ¿formas regulares o irregulares? Un ejemplo ilustrativo de la relatividad de la regularidad visual nos lo proporcionan los espirales, formasque son un caso particular de la geometría, en las cuales dos puntos de su visualidad jamás equidistan de su centro, por lo cual y de acuerdo con las definiciones aquíestablecidas estas formas serian irregulares. Sin embargo en el espiral la idea visual es de regularidad, como quiera que la construcción de una espiral responde a unalógica de generación formal absolutamente regular: una línea circular que progresivamente y siguiendo algún modelo matemático, poco a poco se aleja del centro, paraproducir una figura cuyo efecto visual es de regularidad, de normalidad, de orden. Grupos geométricos de formas 6
  • 7. 1.2 FORMAS IRREGULARESLa irregularidad es la condición visual opuesta de la regularidad. Son formas irregulares aquellas que noposeen puntos comunes de organización o ejes de simetría. El grupo de las formas irregulares es el de lasgeometrías asimétricas; de las formas caprichosas en las que aparentemente no existe un orden premedi-tado. En el ejemplo de la Ilustración 1-7 (izq) es evidente una lectura de irregularidad del contorno, ya quedifícilmente encontramos en su geometría puntos o ejes de referencia que organicen simétricamente suvisualidad (der). En términos de la geometría de su contorno, la forma es absolutamente irregular, "caótica".Ilustración 1-7 En el sentido constructivo la irregularidad puede entenderse como un "desbarajuste" producidoen una geometría regular. De hecho y como explicaremos más adelante, toda forma irregular proviene de lamutación de una forma regular, por alteraciones aditivas o sustractivas de parte o parte de su geometría. Enla parte superior del ejemplo de Ilustración 1-8 se muestra la alteración de la regularidad de un cuadrado porel desplazamiento de uno de sus vértices sobre el lado derecho, tanto hacia arriba como hacia abajo.Ambas formas resultantes son simples cuadriláteros, visualmente perceptibles como "cuadrados desbara-justados". En la parte inferior del ejemplo la regularidad se conserva a partir del desplazamiento de unvértice a lo largo de la diagonal del cuadrado.Ilustración 1-87 FORMA Y GEOMETRÍA
  • 8. 1.3 FORMAS SIMPLES El grado de complejidad de la geometría de una forma determina un segundo argumento de clasificación de las formas del universo (ver Tabla 1-2). La complejidad de una geometría se refiere al número o cantidad de elementos geométricos que concurren en la configuración de la visualidad de una forma. Veamos el ejemplo de la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.. Un cuadrado es una forma que resuelve geométrica y visualmente a partir de la concurrencia de cuatro líneas rectas de igual longitud que se unen por sus extremos formando ángulos rectos. Este sistema de líneas rectas es la entidad visual necesaria para producir la idea que tenemos de cuadrado. La complejidad de una forma está determinada entonces por él número de elementos necesarios para producir una entidad visual reconocible como forma, que en el caso del cuadrado es de cuatro. Una forma simple es aquella que precisa de muy pocos elementos geométricos para conformar una entidad visual. Los polígonos de pocos lados (independiente de que sean regulares o irregulares) son ejemplos de formas simples. El triángulo es el polígono de menor número de lados que se puede construir, lo cual hace de esta figura el polígono más simple. El cua- drado y los cuadriláteros son también formas simples. El pentágono es una forma, que si bien visualmente es muy simple, presenta algún grado de complejidad, al elevar a cinco el número de elementos geométricos que se precisan para crear la entidad visual (Ilustración 1-9). La frontera entre formas simples y formas complejas no es muy precisa, como si lo es la existencia entre formas regulares e irregulares, de- terminada por la presencia o no de ejes o centros de simetría. Aunque la complejidad es un argumento que en parte depende de la subjetividad del observador, el análisis de la geometría de una forma permite arrojar ele- mentos para determinar si una forma es simple o compleja. En términos constructivos los elementos configuradores de la vi- sualidad de una forma como los cuatro lados del cuadrado determinan o dan origen a otros componentes geométricos. Por ejemplo, un triángulo tiene alturas y bisectrices. Un cuadrado, diagonales y apotemas. A medida que una forma se "complica" en su geometría, aparecerán mayor cantidad de componentes constructivos y la cuantificación de éstos permite valorar la complejidad de una forma. A mayor número de componentes geométricos, mayor es la complejidad de una forma. En el ejemplo de la lustración 1-10 vemos como a partir del hexágono la complejidad es definitivamente mani- fiesta.Ilustración 1-9 La simplicidad como cualidad visual se refiere entonces a la idea deeconomía geométrica, a menor gasto formal para producir una entidad visual. De las formas bidimensio-nales, el círculo es la forma más simple que se puede construir. Un círculo es básicamente una línea que secierra sobre sí misma en una entidad visual única e indivisible que llamamos circunferencia. Grupos geométricos de formas 8
  • 9. 1.4 FORMAS COMPLEJASCerrando el sistema de clasificación que hemos adoptado para describir en términos generales la geometríade las formas del universo, llegamos al grupo de las formas complejas. La complejidad es la condiciónvisual opuesta a la simplicidad. Son formas complejas aquellas que requieren de un alto número de loselementos geométricos para construir una entidad visual, las cuales pueden expresarse tanto en patrones deorganización regular como en disposiciones irregulares (Ilustración 1-10).Ilustración 1-10 Si la simplicidad la calificábamos como la cualidad de la economía geográfica, la complejidadrepresenta la profusión geométrica. Las formas complejas precisan de un alto número de recursos visualespara producir una entidad, como la estrella de cinco puntas, en la cual además de los 10 lados dispuestos enparejas de dos formando ángulos que se precisan para definir el contorno, leemos los siguientes compo-nentes: 5 ángulos agudos interiores, 10 ángulos obtusos exteriores, 5 bisectrices y un pentágono inscrito(¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.).Ilustración 1-11 Conforman entonces el grupo de las formas complejas aquellas que presentan un mayor gastovisual y un gran despliegue de elementos geométricos. Veremos más adelante, como las formas com-plejas no crean nuevos elementos geométricos, sino que repiten en mayor cantidad los mismos de lasformas simples, argumentando que nos permitirá entender la complejidad formal como resultado del cre-cimiento geométrico de las formas simples.9 FORMA Y GEOMETRÍA
  • 10. 1.5 LEY DE LAS FORMAS IRREGULARES Y COMPLEJASToda forma irregular y compleja es una suerte de formas simples y regulares.Ilustración 1-12La frase anterior resume una ley o principio compositivo, que supone que una forma, por más irregular ycompleja que sea, puede ser entendida como una sumatoria de formas simples y regulares. Este principiose explica a partir del análisis del triángulo escaleno, que es el polígono mas simple e irregular (3 ladosdesiguales) posibles. Si a dicha forma (Ilustración 1-12) se le trazan perpendiculares por el centro de cadauno de sus lados (arr-izq), y luego a partir del punto en donde se unen dichas perpendiculares se trazan líneashasta los vértices del triángulo, este ultimo queda dividido en tres triángulos isósceles (arr-der), siendo éstosfiguras simples y regulares que presentan un eje de simetría (representado en el dibujo por el lado comúnexistente entre los dos triángulos rectángulos en que a su vez pude dividirse un triángulo isósceles, y que enla figura aparecen de colores blanco y negro)Ahora bien, este ejercicio geométrico es válido solo cuando lasperpendiculares trazadas desde los puntos medios de los lados, convergen en un punto interior al triángulo.Si estas no convergen como se ilustra en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. (cen), entoncesotro sencillo procedimiento permite la partición en triángulos isósceles. Trazando una perpendicular desde elvértice opuesto al lado mayor y perpendicular a este último, se divide el triángulo escaleno en dos triángulosrectángulos (aba-izq). Si desde el vértice opuesto a la hipotenusa en cada uno de los triángulos rectángulosse traza una línea hasta la mitad de la hipotenusa, se consigue dividir cada triángulo rectángulo en dos Grupos geométricos de formas 10
  • 11. triángulos isósceles. En total se obtienen del triángulo escaleno original cuatro triángulos isósceles (aba-der),que como ya vimos son figuras simples y regulares.Ilustración 1-13 / Triangulación de una forma regular y una irregular. La subdivisión del triángulo escaleno en triángulos isósceles es aplicable a cualquier triángulo(equilátero o rectángulo). Y como cualquier polígono regular o irregular es susceptible de ser dividido entriángulos, y estos a su vez en triángulos isósceles, concluimos que cualquier figura por más compleja eirregular que sea, es susceptible de ser formalizada a partir de la sumatoria de figuras simples y regularescomo el triángulo isósceles. En la Ilustración 1-13 se ilustra la subdivisión de polígonos en triángulos isósceles.En (arr-izq) la estrella de 5 puntas que es una figura regular aparece dividida en el menor número de trián-gulos posibles que la conforman, siendo todos estos triángulos isósceles, por lo tanto regulares (aba-izq). En(arr-der) una figura irregular es dividida en el menor número posible de triángulos, resultando todos escalenosque son figuras irregulares. Estos a su vez por alguno de los 2 métodos arriba indicados se han subdivididoen triángulos isósceles (aba-der), por lo que el resultado final es una figura irregular compuesta por la su-matoria de figuras regulares.11 FORMA Y GEOMETRÍA
  • 12. Este recurso descriptivo se conoce con el nombre de triangulación y es per- fectamente aplicable a geometrías curvas. Como quiera que un círculo to- pológicamente es equivalente a un polígono, siendo su geometría igual a un polígono regular de n lados (¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. ), al menos teóricamente se puede suponer que un círculo puede descompo- nerse en n triángulos, por lo que representacionalmente es dado suponer que por medio de triángulos isósceles podría representarse cualquier figura curva. Este ejercicio supone entonces que la base de los triángulos isósceles cons- tituyentes del círculo, debe tener una magnitud lo más aproximada a un punto, para conseguir un grado aceptable de nitidez en tanto la apariencia de la curva, es decir, entre más pequeños sean dichos lados, más evidente será la curvatura de la figura (Ilustración 1-15 / Representación de una forma cilíndrica mediante la triangulación del círculo. ). Ahora bien, siendo el volumen la contraparte tridimensional del plano, y en la medida que del volumen nos interese la visualidad aparente de las superficies que lo conforman, nos es dado aplicar los mismos mecanismos representacionales arriba esbozados a la prefiguración de superficies tridi- mensionales, bien sean simples o complejas, bien regulares o irregulares, tanto rectas como curvadas. Esta técnica conoce su máxima aplicabilidad en los medios de representación digital de la imagen, en los cuales los programas de diseño asistido por computador (CAD) representan el volumen por medio de una técnica llamada facetado (de face, cara en inglés), consistente en inscribir las superficies exteriores del volumen en una malla (mesh) poligonal, bien sea de cuadriláteros o de triángulos, o de una mescla de ambos (al final de cuentas un cuadrilátero es la suma de dos triángulos), cuyos vértices se adaptan a “puntos significativos” de la geometría de la forma en cuestión, de tal modo que a partir de obtener un número suficiente de dichos puntos, y los respectivos polígonos que los unen, se obtiene una imagen más o menosIlustración 1-14 aproximada de la realidad visual de la forma (Ilustración 1-15).Ilustración 1-15 / Representación de una forma cilíndrica mediante la triangulación del círculo. En este caso las bases del cilindro se han representado comopolígonos regulares de 19 lados. Grupos geométricos de formas 12
  • 13. Ilustración 1-16 / La triangulación como recurso descriptivo en la imagen informática. La forma del cuerpo humano es un ejemplo de geometrías de máximacomplejidad. Su representación en el espacio* tridimensional es realizada por los programas CAD recurriendo al recurso de la triangulación de las superficiescurvas que delimitan los volúmenes irregulares propios del cuerpo humano. Entre menor el tamaño de los triángulos, mayor la definición de la imagen.(Renderizado por el autor en el programa Architectural Desktop de una imagen tridimensional de libre distribución). La utilización de mallas poligonales en las técnicas digitales de producción de la imagen, es unatécnica que demuestra la potencialidad que encierra el concepto de interrelación dimensional de las formas.El sistema de pertinencias visuales implícito en los elementos primarios de la forma, caracterizado por unarelación ascendente de valores, de formas de menor nivel dimensional a las de mayor nivel, determina laposibilidad de descomposición de toda forma de una clave dimensional dada, en otra u otras de menorclave. A esta propiedad, Manuel Viñas en su obra “Técnicas de infografía” se refiere en los siguientestérminos: «Dentro de las aplicaciones gráficas de modelado tridimensional, la implantación de las superficiespoligonales como método de construcción de modelos sólidos introduce el más básico —pero efectivo— delos procedimientos. Éstas, incorporadas al sistema de gráficas como conjunto d formas primarias, y en basea su descripción geométrica, definirán la estructura topológica de las figuras poliédricas que constituyen elobjeto.... No obstante, el verdadero alcance en cuanto al desarrollo de modelos tridimensionales que pre-sentan las superficies poligonales viene marcado por la variedad de formas, no solamente poliédricas, quese pueden conseguir a partir de distintos enlaces físicos entre polígonos. Mas irregulares en lo que a lamorfología formal se refiere, encontramos otros métodos como el despliegue de mallas o matrices, definidasigualmente por un número determinado de vértices, aristas y caras.»2 Aquí en esta alusión Viñas hace untributo a los puntos, líneas y planos, como elementos articulantes del volumen. En el ejemplo de la Ilustración 1-16 se muestra en tres diferentes grados de acercamiento la va-riable definición que está implícita en el facetado de una superficie irregular y compleja como la del cuerpohumano. Al respecto Viñas agrega: «Que el modelo sea más o menos figurativo dependerá — amén de lapretensión y la destreza del artista— del mayor o menor número de polígonos que empleemos para sudiseño. Optar por el uso de pocos polígonos implica superficies escarpadas en las que los vértices aparecenmuy pronunciados, tendiendo hacia la abstracción; por el contrario, un mayor número de éstos hace que lasuperficie sea más homogénea, suavizando los enlaces entre los mismos.»3                                                             2 De Viñas Manuel, en "Técnicas de infografía, variables creativas metodológicas en el desarrollo de la imagen digital", McGraw-Hill, Madrid, 2000, págs. 104-105. 3 Ibídem, pág. 108.13 FORMA Y GEOMETRÍA
  • 14. Si bien lo expuesto aquí demuestra la importancia en la representación de la forma de su des-composición en sus componente más elementales, lo cual nos llevaría a pensar en que este artilugio solotiene un propósito descriptivo (que es del que sacan ventaja los programas informáticos), es esencial en-tender que la idea que está detrás de esta demostración es el potencial que tiene esta aproximación a laforma en términos de los procesos del diseño y la creación artística. Este potencial se expresa concretamenteen los mecanismos proyectuales de adición y sustracción de formas.1.5.1 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FORMASYa hemos visto que una forma irregular y compleja puede ser entendida como la sumatoria de 2 o másformas simples y regulares. Esta propiedad de la forma resulta de gran importancia tanto en los aspectosproyectivos como representativos involucrados en el proceso de creación de formas. En tanto que una formacompleja puede descomponerse en formas simples, suponemos que es viable llegar a la complejidadmediante la manipulación de formas simples. De este modo la dificultad que implica interiorizar mentalmenteuna forma compleja, puede ser superada utilizando en su construcción partes más simples, las cualesgracias a un arreglo compositivo particular darán origen a una forma más compleja que cualquiera de laspartes. Este procedimiento proyectivo se conoce con el nombre de adición de formas, y de allí el términosumatoria de formas que hemos empleado para definir las formas complejas. Sin embargo, los términos noson exactos, ya que la adición de formas es solo una modalidad proyectiva, y a partir de la diferencia deformas también es posible llegar a la complejidad, no ya por la “sumatoria” en su sentido exacto, sino por la“sustracción”, de una forma con otra u otras, por lo que resulta más válido hablar de adición y sustracción deformas como las variables operativas normales al proceso de construcción de realidades complejas. En laIlustración 1-17 / Adición y sustracción de formas se ilustran las dos alternativas del proceso proyectivo,mediante la combinación de dos formas simples como el cuadrado y el triángulo isósceles.Ilustración 1-17 / Adición y sustracción de formas Ahora, cuando 2 o más formas entran en relación para producir una nueva forma, el resultado final,aunque invariablemente tiende a ser complejo, podrá ser regular o irregular. Como se ilustra en la Tabla 1-3,esta caracterización define los 4 prototipos básicos de la regularidad de las formas complejas, que son: 1.Una forma compleja regular resultado de la sumatoria de formas simples regulares. 2. Una forma complejairregular resultado de la sumatoria de formas simples regulares. 3. Una forma compleja regular resultado dela sumatoria de formas simples irregulares. 4. Una forma compleja irregular resultado de la sumatoria deformas simples irregulares. Estos 4 grupos o prototipos representan las 4 opciones posibles compositivasque se tienen en el momento de trabajar con conjuntos de formas simples. Grupos geométricos de formas 14
  • 15. FORMA REGULAR... FORMA IRREGULAR... ...con base en FORMAS SIMPLES constituyen- tes ...con baseen FORMASCOMPLEJASconstituyen- tesTabla 1-3 / Prototipos de formas complejas con base en sus constituyentes simples1.5.2 FAMILIA DE FORMASEn los ejemplos anteriores se han combinado 2 formas para producir una forma nueva que tiene carac-terísticas de ambas. Sin embargo en la forma resultante perdura el ascendiente visual de las formas origi-nales, el cual puede leerse en su contorno. Del modo como perduren o no las formas originales al concurriren un producto complejo, depende que su significado visual tenga relación con las formas originales. Porejemplo en las dos formas resultantes de la Ilustración 1-18 se puede leer el ascendiente visual tanto deltriángulo como del cuadrado, ya que la combinación entre ambas figuras ha sido muy equilibrada, de talmodo que se puede decir que las figuras resultantes poseen atributos visuales de ambos polígonos. En estecaso entonces el triángulo y el cuadrado son los ascendientes visuales de las nuevas figuras, por lo quedecimos que éstas son de la familia de aquellas, con lo cual estamos introduciendo el concepto de genea-logía de las formas, el cual nos permite establecer las familias de formas, o grupos de formas que compartenunos ascendientes comunes. De este modo, para interpretar el significado visual de una forma compleja, esnecesario entender el significado visual de sus ascendientes, e interpretar la proporción en que estos con-curren en el otorgamiento del significado. Así, el significado dependerá del peso visual de las formas con-currentes. En concordancia con lo anterior nos propondremos en este texto estudiar el significado de lasformas más simples y regulares, entendiendo que estas se encuentran en la base de las formas complejas.Por lo tanto si se conoce cabalmente el significado de las formas elementales, y se determina el equilibrio15 FORMA Y GEOMETRÍA
  • 16. entre las clases de formas que participan en la formación de una forma compleja, resulta posible interpretar elsignificado de cualquier forma compleja. El estudio entonces de las formas simples y regulares es el estudiode la base para comprender los significados de las formas complejas e irregulares. El conjunto de formassimples y regulares es finito y determinado y comprende los llamados ascendientes visuales. Por el contrarioel conjunto de las formas complejas e irregulares es infinito, no describible, pero si explicable para cada casoparticular a partir del estudio o desglose de los ascendientes visuales concurrentes. Cada ascendiente visual es único y diferente de los demás, por lo que aquí estudiaremos los di-ferentes ascendientes posibles en el universo de las formas. Para este efecto recorreremos los distintosgrupos dimensionales, para ir definiendo en cada uno, cuales son las formas básicas que lo constituyen.Veremos las características visuales del punto como solitario habitante del universo de las formas no di-mensionales; luego estudiaremos que existen dos opciones básicas de geometría en la línea: la recta y lacurva, y que a partir de estas se originan los dos primeros grandes grupos o familias de formas: las quepertenecen a las formas rectas, las que pertenecen a las formas curvas; luego saltando una dimensiónpasamos a los perfiles básicos y las tres familias posibles de planos: el triángulo, el cuadrado y el círculo,geometrías con sus propios valores, que después tendrán su contraparte tridimensional en el volumen, endonde estudiaremos los volúmenes básicos, y así poco a poco ascendiendo en la escala dimensional, hastallegar a las formas del espacio, en donde haremos también una descripción de las formas elementales quedefinen el espacio tetradimensional del espacio-tiempo, no ya refiriéndonos a formas concretas como planoso volúmenes, sino mas bien, a situaciones espaciales, como interior, exterior, circulación, límite, etc. Seráeste entonces el estudio de la genealogía completa de las formas del universo visible, entre los universos declave dimensional 0D y 3DT, definiendo sus significados visuales a partir del análisis de sus característicasgeométricas y la interpolación de estas con los valores que la dimensionalidad otorga a cada una de ellas.Estos valores llamados físico-visuales se dividen en tres clases: geométricos, funcionales y semánticos.Ilustración 1-18 / Familias de formas. Los perfiles básicos —triángulo, cuadrado y círculo— ocupan un lugar privilegiado en la genealogía general de las formas.Cada uno de ellos representa una opción visual totalmente diferente, por lo que son la cabeza visual de una familia diferente de formas. Del modo como se mezclenentre ellos, obtendrán opciones visuales diferentes. Se ilustra aquí las seis opciones prototípicas posibles a partir de los tres perfiles básicos. Grupos geométricos de formas 16
  • 17. 1.6 CONJUNTOS DE FORMASEn toda situación visual reconocemos unas partes y un todo. Son las partes aquellos elementos que nosestán permitiendo percibir una imagen como un todo pletórico de significado, sin embargo ellas pueden tenersu propia independencia visual.Ilustración 1-19 En el ejemplo de la Ilustración 1-19 (arriba), reconocemos la imagen familiar de un reloj. Estainformación —reloj—, nos la suministra el conjunto de agentes visuales —carátula, horas, manecillas—, loscuales percibimos como un todo significativo. La evidencia del mensaje —reloj— se ha producido gracias ala información proveniente no solo del todo percibido, sino de cada una de las partes que en la imagenobservada asociamos con la idea conocida de reloj. Cada uno de estos elementos por separado nos estáayudando a comprender la idea de reloj. La interacción de todos los elementos entre sí, nos permite definirel hecho visual observado como un reloj (abajo¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.). Ahora bien, en toda manifestación visual encontramos elementos que aunque tienen su propiosentido, resulta relativo, en tanto el verdadero sentido es complejo cuando percibimos el todo, o sea laspartes interactuando. Si bien al mismo tiempo que observamos el todo vemos también las partes, y alobservar las partes comprendemos el todo, puede detentarse o establecerse algunas fases más o menosclaras, más o menos diferenciables, en el proceso de lectura del todo y las partes. Estas fases son tres y sellaman de reconocimiento, diferenciación e integración. En la fase de reconocimiento, en un primer acercamiento a la imagen observada, el ojo hace unalectura general, digamos que un tanto desprevenida, que le permite al sujeto hacerse a una primera idea delo que está viendo. En la fase de diferenciación el ojo comienza a efectuar una lectura pormenorizada decada una de las partes visualmente significativas, escudriñando cada uno de los principales elementosactivos de la imagen. Finalmente, en la fase de integración, el ojo después de haber estudiado todos loscomponentes de la imagen reconstituye analíticamente el todo.17 FORMA Y GEOMETRÍA
  • 18. Si bien este proceso es difícil de cuantificar, ya que es prácticamente imposible distinguir los límitesentre cada una de las fases, lo cierto es que el ojo en términos generales realiza este proceso una y otra vez,es decir de manera reiterativa, durante un periodo de tiempo apenas el justo para hacerse a una idea globalde lo que está observando. No es un proceso que comporte un comienzo y un fin, sino que por el contrarioes una "actitud" constante a lo largo del tiempo que su mirada esta puesta en el objeto o imagen observada.Este ir y venir de la mirada a través de la visualidad significante se constituye en el mecanismo por medio delcual podemos hacernos a una idea más o menos cierta del contenido de lo que estamos viendo. Es esteproceso de análisis de todas y cada una de las partes el que nos permite adentrarnos en el mundo de laimagen para así poder emitir un determinado juicio visual de una situación particular. Una imagen como la mostrada a la izquierda de la Ilustración 1-20, puede en principio apare-cernos como de difícil lectura en cuanto a su significación, en razón de la dificultad para establecer unadiferenciación entre el todo y las partes, debido a las características visuales propias de la estructura ob-servada. La imagen del lado derecho está contenida en la anterior, sin embargo su discernimiento no esevidente, y solo puede darse por un ejercicio intelectivo de búsqueda selectiva, lo que requiere un tiempo.Ilustración 1-201.7 VALORES FÍSICOS - VISUALES DE LAS FORMASDecíamos anteriormente que una cosa son los valores de uso y cambio-signo que arroja la visualidad deuna forma, y otros los concernientes exclusivamente al mensaje que está implícito en el texto de una forma enrazón de sus atributos geométricos, independientemente de su uso. Por ejemplo, un balón de fútbol nodeberá aquí interesarnos por lo bueno o malo que resulte para este juego, ni por el hecho mismo de que seaun balón de fútbol. Mas bien, nos interesa entender su tridimensionalidad, su redondez, la articulación de susuperficie en cascos pentagonales y hexagonales, alternados de color blanco y negro, y quizás su brillorelativo ante la luz. Estas cualidades de una u otra forma están coadyuvando en la función del objeto, (claroestá, si el balón no fuera redondo no rodaría y por lo tanto no serviría para el fútbol; si su superficie no fueraconstruida con cascos como los descritos, no podría ser lo suficientemente flexible para ser inflado y altiempo lo suficientemente rígido para aguantar los puntapiés; si no tuviera el color que tiene sería de difícilreconocimiento en el campo de juego y más aun desde la tribuna, etc.) sin embargo, e independientementede la relación biunívoca que existe entre forma y función, ellas de por sí determinan un sistema de valorescompletamente independiente de la función, y que representan lo más esencial de la visualidad significantesiempre y cuando el acto perceptivo esté desprovisto de una ubicación específica en el entorno cultural enque es dado. Grupos geométricos de formas 18
  • 19. De igual manera los significados atribuidos a los valores de cam- bio-signo presentes en el análisis de la forma y que invariablemente están ligados con la cultura, aquí los deslindaremos de ésta. No nos interesa el valor económico que como mercancía pueda tener nuestro balón de fútbol, ni el prestigio del que pueda gozar una marca específica fabricante de balones, ni mucho menos el usufructo que de este valor haga un usuario. Ni tampoco el valor afectivo que pueda representar para un aficionado el tener tal o cual balón, ni los textos literales o literarios que la iconicidad del clásico balón de fútbol pueda evocar en el público consumidor de la cultura de masas. Solo nos inte- resan aquellos valores simbólicos que la geometría del balón (o mejor, la esfera blanco y negra de cascos pentagonales y hexagonales, de aproximadamente 32 centímetros de diámetro) pueda evocar en la mente del observador, como por ejemplo que es suave, amable, rápido, curioso, vivaz, manejable, inde- pendiente, único, y cualesquier atributo, cualidad, o propiedad interpretable de la lectura exclusiva del texto físico de una forma. Este conjunto de valores únicos exclusivos dependientes de la visua- lidad significante (los componentes visuales más abstractos de que hablábamos en el Capítulo 0), los denominamos valores físico-visuales de la forma, y re- presentan las pertinencias en términos de forma, función y significado, que califican e individualizan a cada una de las geometrías posibles en los diferentes universos dimensionales que hemos definido. 1.7.1 VALORES GEOMÉTRICOS Si por geometría entendemos la rama de las matemáticas que estudia las propiedades intrínsecas de las formas y que no se alteran con el movimiento de estas, diremos que los valores geométricos de una forma son los atributos de dichas propiedades, por ejemplo una línea puede ser recta o curva, siendo estos atributos de tipo general, por lo se constituyen en la herramienta taxonómica para la clasificación de las geometrías (v.g. los tres perfiles básicos, los sólidos reglados y los de doble curvatura, etc.). Adicionalmente cada forma posee unos atributos de tipo particular, esto es, los elementos constitutivos unos (lado, vértice), e interpretativos otros (centro, apotema), que explican la geometría de una forma. Por ejemplo en una figura bidimensional nos referimos a elementosIlustración 1-21 geométricos constitutivos tales como: radio, diámetro, circunferencia, tangente,secante en el círculo; lado, cateto, hipotenusa, altura, en el triángulo; y así sucesivamente con cualquier formade cualquier universo dimensional.1.7.2 VALORES FUNCIONALESEn términos abstractos el valor funcional de una forma es su capacidad de permitir o restringir ciertas ope-raciones proyectivas. Por ejemplo cuando decimos que las formas rectas resultan inteligibles, es porque sugeometría es fácilmente representable, y por tanto, representable mentalmente. Por el contrario, las formascurvas presentan una gran dificultad no solo a su mentalización sino a su representación. Esta potencialidadimplícita en cada forma viene determinada por su geometría: el círculo con su centro nos remite a cons-trucciones concéntricas; el cubo y los prismas a las construcciones ortogonales. Aquí en ambos casosconstrucción es una analogía en sentido proyectual del significado que este término tiene en la vida real (v.g.19 FORMA Y GEOMETRÍA
  • 20. construir edificios). Entonces aquí el valor funcional de una forma no será su valor de uso, sino su capacidadoperativa para producir, inducir, ser parte de, situaciones geométricas más simples o más complejas, porcualquier procedimiento proyectivo, bien sea este de índole aditiva, sustractiva, o de transformación dimen-sional.1.7.3 VALORES SEMÁNTICOSFinalmente interpretaremos las analogías posibles entre el universo abstracto de las geometrías y situacionesconcretas de la vida real. Este procedimiento de valoración es un acto lingüístico válido y recurrente en lasoperaciones cognoscitivas, como quiera que la aproximación más inmediata al conocimiento es la catego-rización con base en lo aprendido, fundamentada en lo conocido. Si nuestra experiencia más cercana altérmino “suave” pasa por nuestro cuerpo, el cuerpo de nuestro seres más queridos, por el mundo de losobjetos que nos rodea y que tiene esa connotación (v.g. la almohada, la cama, etc.), entonces aquellasformas cuya geometría esté en relación con dichas experiencias, será calificada en función de éstas con lostérminos que lingüísticamente sean más apropiados. Por ejemplo en contraposición al significado “suave”podemos anteponer el término “rígido”, valor visual que indudablemente encontramos en las formas rectas,como el cuadrado. A este tipo de valoraciones las denominamos valores semánticos de la forma. Grupos geométricos de formas 20

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