Sistemas de ecuaciones diferenciales (Laplace)

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3 Problemas de sistemas de ecuaciones diferenciales.
Transformada de Laplace

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Sistemas de ecuaciones diferenciales (Laplace)

  1. 1. UNIVERSIDAD AUTONOMA DE QUERETARO FACULTAD DE INFORMATICA ING. EN TELECOMUNICACIONES Ecuaciones diferenciales Proyecto Finalβ€œSistemas de ecuaciones diferenciales” PROFESOR: Dr. SaΓΊl Tovar Arriaga ALUMNOS:LUIS ANGEL REYES CRUZ Exp. 163986ALEJANDRO URIBE GARCÍA Exp. 215484 FECHA: 10/12/12
  2. 2. Problema 1Sustituimos los valores que nos da el problema β€²β€² β€²β€²(1.5 + 3)(18)2 πœƒ1 + 1.5(18)2 πœƒ2 + (1.5 + 3)(18)(9.8)πœƒ1 = 0 β€²β€² β€²β€²1.5(18)2 πœƒ1 + 1.5(18)2 πœƒ2 + (1.5)(18)(9.8)πœƒ2 = 0Aplicamos transformada de Laplace a las dos ecuaciones y sustituimos valores iniciales 972𝑠:486𝑠2 πœƒ2 (𝑠)πœƒ1 (𝑠) = 1458𝑠2 :793.8 EcuaciΓ³n 3 ;486𝑠2 πœƒ (𝑠) 1πœƒ2 (𝑠) = 486𝑠2 :264.6 EcuaciΓ³n 4Sustituyendo 4 en 3 y despejando πœƒ1 (𝑠)
  3. 3. 472392𝑠 3 + 257191.2π‘ πœƒ1 (𝑠) = (687.308𝑠 2 + 237.234)(687.308𝑠 2 + 885.369)Aplicando fracciones parciales πœƒ1 (𝑠) quedarΓ­a de la siguiente manera: 145.245162𝑠 542.0624207π‘ πœƒ1 (𝑠) = (687.308𝑠2 :237.234) + (687.308𝑠2 :885.369) ecuaciΓ³n 5Ahora podemos aplicar transformada de Laplace para encontrar πœƒ1 (𝑑) 145.245162 542.0624207πœƒ1 (𝑑) = cos(0.587503𝑑) + cos⁑ 1.134975𝑑)⁑ ( 687.308 687.308Sustituimos 5 en 4 βˆ’486𝑠 2 145.245162𝑠 542.0624207π‘ πœƒ2 (𝑠) = , 2 + 264.6 (687.308𝑠 2 + 237.234) + - 486𝑠 (687.308𝑠 2 + 885.369)Aplicando fracciones parciales πœƒ2 (𝑠) nos queda de la siguiente manera 280.894994𝑠 145.5792617𝑠 939.076845π‘ πœƒ2 (𝑠) = 2 + 264.6 βˆ’ 2 + 237.234) βˆ’ 486𝑠 (687.308𝑠 (687.308𝑠 2 + 885.369)Aplicando transformada inversa de Laplace nuestro resultado queda: 280.894994 145.5792617πœƒ2 (𝑑) = cos(0.737864𝑑) βˆ’ ,cos⁑ 1.722482𝑑)- ( 486 687.308Grafica de los resultados
  4. 4. Problema 2
  5. 5. EcuaciΓ³n 1 𝑀1 π‘₯´´1 = βˆ’π‘˜1 π‘₯1 + π‘˜2 (π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 )EcuaciΓ³n 2 𝑀2 π‘₯´´2 = βˆ’π‘˜2 (π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 ) βˆ’ π‘˜3 (π‘₯2 )Igualando nuestras ecuaciones 1 y 2 a 0, sustituyendo nuestros valores iniciales en 𝑀1 , 𝑀2 β‘π‘¦β‘π‘˜1 , π‘˜2 , π‘˜3 .π‘₯´´1 + 2π‘₯1 βˆ’ π‘₯2 = 0π‘₯´´2 + 2π‘₯2 βˆ’ π‘₯1 = 0Aplicando transformada de Laplace a nuestra ecuaciΓ³n 1, sustituyendo valores enπ‘₯1 (0), ⁑π‘₯Β΄1 (0) y despejando π‘₯1 (𝑠). (2)β„’{π‘₯1 𝑑} = 𝑆 2 π‘₯1 (𝑠) βˆ’ 𝑆π‘₯1 (0) βˆ’ π‘₯Β΄1β„’*2π‘₯1 𝑑+ = 2π‘₯1 (𝑠)β„’*π‘₯2 𝑑+ = βˆ’π‘₯2 (𝑠)𝑆 2 π‘₯1 (𝑠) + 1 + 2π‘₯1 (𝑠) βˆ’ π‘₯2 (𝑠) = 0π‘₯1 (𝑠)(𝑆 2 + 2) = π‘₯2 (𝑠) βˆ’ 1 π‘₯2 (𝑠) βˆ’ 1π‘₯1 (𝑠) = 𝑆2 + 2Aplicando transformada de Laplace a nuestra ecuaciΓ³n 2, sustituyendo valores enπ‘₯2 (0), ⁑π‘₯Β΄2 (0) y despejando π‘₯2 (𝑠). (2)β„’{π‘₯2 𝑑} = 𝑆 2 π‘₯2 (𝑠) βˆ’ 𝑆π‘₯2 (0) βˆ’ π‘₯Β΄2β„’*2π‘₯2 𝑑+ = 2π‘₯2 (𝑠)β„’*π‘₯1 𝑑+ = βˆ’π‘₯1 (𝑠)𝑆 2 π‘₯2 (𝑠) βˆ’ 1 + 2π‘₯2 (𝑠) βˆ’ π‘₯1 (𝑠) = 0π‘₯2 (𝑠)(𝑆 2 + 2) = π‘₯1 (𝑠) + 1 π‘₯1 (𝑠) + 1π‘₯2 (𝑠) = 𝑆2 + 2Sustituyendo π‘₯2 (𝑠) en π‘₯1 (𝑠) y obteniendo nuestra π‘₯1 (𝑠) final. π‘₯2 (𝑠) βˆ’ 1π‘₯1 (𝑠) = 𝑆2 + 2
  6. 6. π‘₯1 (𝑠) + 1 ( )βˆ’1 𝑆2 + 2π‘₯1 (𝑠) = 𝑆2 + 2 π‘₯1 (𝑠) + 1 𝑆2 + 2 ( )βˆ’ 2 𝑆2 + 2 𝑆 +2π‘₯1 (𝑠) = 𝑆2 + 2 π‘₯1 (𝑠) + 1 βˆ’ 𝑆 2 + 2π‘₯1 (𝑠) = (𝑆 2 + 2)2(π‘₯1⁑ (𝑠))(𝑆 2 + 2)2 βˆ’ ⁑ π‘₯1 (𝑠) = 1 βˆ’ (𝑆 2 + 2)π‘₯1 (𝑠)((𝑆 2 + 2)2 βˆ’ 1) = ⁑1 βˆ’ (𝑆 2 + 2)⁑⁑ 1 βˆ’ (𝑆 2 + 2)⁑⁑π‘₯1 (𝑠) = (𝑆 2 + 2)2 βˆ’ 1 βˆ’(𝑆 2 + 1)⁑⁑π‘₯1 (𝑠) = 𝑆 4 + 4𝑆 2 + 4 βˆ’ 1 βˆ’(𝑆 2 + 1)⁑⁑π‘₯1 (𝑠) = (𝑆 2 + 3)(𝑆 2 + 1) βˆ’1π‘₯1 (𝑠) = (𝑆 2 + 3)Sustituyendo nuestra π‘₯1 (𝑠) final en π‘₯2 (𝑠)⁑ y obteniendo nuestra π‘₯2 (𝑠)⁑ final. π‘₯1 (𝑠) + 1π‘₯2 (𝑠) = 𝑆2 + 2
  7. 7. βˆ’1 . /+1π‘₯2 (𝑠) = 𝑆2 + 3 𝑆2 + 2 βˆ’1 𝑆2 + 3 . /+ 2π‘₯2 (𝑠) = 𝑆2+3 𝑆 +3 𝑆 2+2 𝑆2 + 2 2π‘₯2 (𝑠) = βˆ’ 𝑆 2 + 3 𝑆 +2 𝑆2 + 2π‘₯2 (𝑠) = (𝑆 2 + 3)(𝑆 2 + 2) 1π‘₯2 (𝑠) = 𝑆2 + 3Aplicando transformada inversa de Laplace a π‘₯1 (𝑠) final para obtener nuestra π‘₯1 (𝑑). βˆ’1 βˆ’1⁑(√3) 1 (√3)β„’ ;1 { } = ⁑ β„’ ;1 ⁑{ 1 } = βˆ’ ⁑ℒ ;1 { 1 }⁑ 𝑆1 + 3 𝑆 + 3⁑(√3) √3 𝑆 + 3⁑ 1π‘₯1 (𝑑) = βˆ’ π‘ π‘’π‘›βˆš3𝑑 √3Aplicando transformada inversa de Laplace a π‘₯2 (𝑠) final para obtener nuestra π‘₯2 (𝑑). 1 1⁑(√3) 1 (√3)β„’ ;1 { } = ⁑ β„’ ;1 ⁑{ 1 } = βˆ’ ⁑ℒ ;1 { 1 } 𝑆1 +3 𝑆 + 3⁑(√3) √3 𝑆 + 3⁑ 1π‘₯2 (𝑑) = π‘ π‘’π‘›βˆš3𝑑 √3
  8. 8. Graficas de π‘₯1 (𝑑)⁑𝑦⁑π‘₯2 (𝑑)β‘π‘Ÿπ‘’π‘ π‘π‘’π‘π‘‘π‘–π‘£π‘Žπ‘šπ‘’π‘›π‘‘π‘’Problema 3 π‘‘π‘ž 1𝑅1 + ⁑ π‘ž + ⁑ 𝑅1 𝑖3 = 𝐸(𝑑) 𝑑𝑑 𝑐
  9. 9. 𝑑𝑖3 1𝐿 𝑑𝑑 + ⁑ 𝑅2 𝑖3 βˆ’ ⁑ 𝑐 π‘ž = 0E(t) se puede expresar como un funciΓ³n escalΓ³n unitario de la siguiente manera:𝐸(𝑑) = 50𝑒 ;𝑑 π‘ˆ(𝑑 βˆ’ 1)Aplicamos transformada de la place a nuestras dos ecuacionesβ„’*𝐸(𝑑)+ = 50𝑒 ;𝑠 β„’{𝑒 ;(𝑑:1) }⁑ 1 50𝑒 ;(𝑠:1)𝑅1 ,𝑠𝑄(𝑠) βˆ’ π‘ž(0)- + ⁑ 𝑄(𝑠) + 𝑅1 𝐼3 (𝑠) = 𝑐 𝑠+1 1𝐿,𝑠𝐼3 (𝑠) βˆ’ ⁑ 𝑖3 (0)- + ⁑ 𝑅2 𝐼3 (𝑠) βˆ’ ⁑ 𝑄(𝑠) = 0 𝑐 1 50𝑒 ;(𝑠:1)𝑄(𝑠) [𝑅1 𝑠 + ⁑ ] βˆ’ ⁑ 𝑅1 π‘ž(0) + ⁑ 𝑅1 𝐼3 (𝑠) = ⁑ 𝑐 𝑠+1Sustituimos valores iniciales 50𝑒 ;(𝑠:1) βˆ’ 𝐼3𝑄(𝑠) = 𝑠 + 1 ⁑ 𝑠+1𝑠𝐼3 (𝑠) + 𝐼3 (𝑠) βˆ’ 𝑄(𝑠) = 0Obtenemos nuestra ecuaciones 3 despejando 𝑄(𝑠)⁑𝑦⁑𝐼3 (𝑠) 50𝑒 ;(𝑠:1) βˆ’ 𝐼3 (𝑠 + 1)𝑄(𝑠) = ⁑ (𝑠 + 1)2Obtenemos nuestra ecuaciΓ³n 4 𝑄(𝑠)𝐼3 (𝑠) = (𝑠 + 1)Sustituimos 4 en 3 𝑄(𝑠) 50𝑒 ;(𝑠:1) βˆ’ (𝑠 + 1) (𝑠 + 1)𝑄(𝑠) = (𝑠 + 1)2
  10. 10. Despejamos Q(s) 50𝑒 ;(𝑠:1) βˆ’ 𝑄(𝑠)𝑄(𝑠) = (𝑠 + 1)2Obtenemos nuestra ecuaciΓ³n 5 donde ya podemos aplicar transformada inversa de Laplace 50𝑒 ;(𝑠:1)𝑄(𝑠) = (𝑠 + 1)2 + 1Aplicamos la inversa del teorema de traslaciΓ³n en el eje s y t al mismo tiempo.π‘ž(𝑑) = 50𝑒 ;𝑑 𝑠𝑒𝑛(𝑑 βˆ’ 1)π‘ˆ(𝑑 βˆ’ 1)Este resultado lo podemos expresar de la siguiente manera 0⁑⁑,⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑0 ≀ 𝑑 < 1π‘ž(𝑑) = { 50𝑒 ;𝑑 𝑠𝑒𝑛(𝑑 βˆ’ 1)⁑, 𝑑 β‰₯ 1Sustituimos nuestra ecuaciΓ³n 5 en 4 50𝑒 ;(𝑠:1) (𝑠 + 1)2 + 1𝐼3 (𝑠) = (𝑠 + 1) 50𝑒 ;(𝑠:1)𝐼3 (𝑠) = (𝑠 + 1)2 + (𝑠 + 1)Para poder aplicar la inversa de los dos teoremas como con 𝑄(𝑠) vamos a expresar nuestraecuaciΓ³n de otra forma. 50𝑒 ;(𝑠:1)𝐼3 (𝑠) = (𝑠 + 1),(𝑠 + 1)2 + 1-Aplicamos los teoremas inversos𝑖3 (𝑠) = 50𝑒 ;𝑑 ,1 βˆ’ π‘π‘œπ‘ (𝑑 βˆ’ 1)-π‘ˆ(𝑑 βˆ’ 1)Al igual que⁑𝑄(𝑠), 𝑖3 (𝑠)⁑ se puede expresar de la siguiente manera: 0⁑⁑,⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑⁑0 ≀ 𝑑 < 1π‘ž(𝑑) = { 50𝑒 ;𝑑 ,1 βˆ’ π‘π‘œπ‘ (𝑑 βˆ’ 1)-⁑, 𝑑 β‰₯ 1
  11. 11. Graficas deβ‘π‘ž(𝑑) e 𝑖(𝑑) respectivamente.

Γ—