OPERACIONES LÓGICAS: Práctica

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  • 1. Prof. Lic. Luis Rolando Pacheco Huarotto
  • 2. LÓGICAEs la ciencia que estudia el razonamiento inductivo ydeductivo. El razonamiento inductivo es aquel que permitellegar a conclusiones generales a partir de observacionesparticulares, por el contrario, el razonamiento deductivo nospermite llegar a conclusiones particulares a partir deobservaciones generales.ENUNCIADO: Es toda frase u oración que informa, expresa odictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones,preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes, etc.ENUNCIADO ABIERTO: Es un enunciado en forma deexpresión matemática que no es verdadero ni falso.Ejemplos: x<9 x + 2 = 10 a+b=1 a 2 + b2 = c 2
  • 3. PROPOSICIÓN LÓGICA (enunciado cerrado) es un enunciado informativo que admite la posibilidad de ser Verdadero o Falso, pero no ambos a la vez. La veracidad o falsedad de una proposición se denomina “Valor de verdad de la proposición” SON PROPOSICIONES: NO SON PROPOSICIONES:39 es un número primo ( F) Resuelve este problemaHuancayo queda en Junín ( V) ¿Puedes prestarme tu libro?1/2 < 1/4 ( F) Buenos días profesor
  • 4. PROPOSICIÓN SIMPLE: Es aquella que contiene unasola afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t,….. a las que llamaremos variables proposicionalesEjemplos: VALOR DE VERDAD1. 15 es un número primo :p ( F)2. Lima es la capital del Perú :q ( V)3. −32 = 9 :r ( F)PROPOSICIONES COMPUESTAS: Son aquellas queestán formadas por dos o más proposiciones simples oes la negación de una proposición simple.En toda proposición compuesta las proposicionessimples están ligadas mediante palabras conocidascomo conectivos lógicos
  • 5. Conectivos lógicos Son palabras que permiten relacionar dos proposiciones o negar una proposición simple. Cuando se les representan por símbolos se les llama operadores lógicos. Los siguientes conectivos son los más recurrentes:1. “si y sólo si”2. “o . . . o”3. “si…entonces…”4. “o”5. “y”6. “no”
  • 6. PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDADp p q p q r Las tablas de verdad son representaciones gráficas,V V V V V V en forma de arreglos, que sirven para analizar losF V F V V F posibles valores de verdad F V V F V que puede tener una proposición21 F F V F F simple o compuesta. F V V 22 F V F En general para “n” proposiciones, F F V se pueden F F F presentar 2n posibilidades 23
  • 7. OPERACIONES LOGICAS1. LA CONJUNCIÓN.- Es un enunciado compuesto en el que dosproposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es“∧” y se llama conjuntor. Ejemplo: “Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica” p q p : Jorge viajó al Cusco Simbología: “p ∧ q” q : Luis viajó a IcaNOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabraspero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc.
  • 8. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN p ∧ q V V V V F F F F V La conjunción sólo es verdadera cuando las dos proposiciones F F F son verdaderas.
  • 9. 2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es unenunciado compuesto en el que dos proposiciones serelacionan con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “∨” y se llamadisyuntor. Ejemplo: “Eliana viajará al Cuzco o a Cajamarca” r s r : Eliana viajará al Cuzco Simbología: “r ∨ s” s : Eliana viajará a Cajamarca
  • 10. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓNDÉBIL p ∨ q V V V La disyunción es falsa solo si V V F ambas proposiciones son falsas F V V F F F
  • 11. 3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “O…..o……. “, cuyo símbolo es “∆” y se llama disyuntor fuerte.Ejemplo: “O Ricardo radica en Miraflores o en Barranco” p q p : Ricardo radica en Miraflores Simbología: “p ∆ q ” q : Ricardo radica en Barranco
  • 12. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓNFUERTE p ∆ q La disyunción fuerte es verdadera solo si ambas proposiciones V F V tienen diferentes valores de verdad V V F La disyunción fuerte es falsa solo si ambas proposiciones F V V tienen idénticos valores de verdad F F F
  • 13. 4. EL CONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “Si…….entonces…….”, cuyo símbolo es “→” y se llama implicador.Ejemplo: “Si 12 es un número par entonces es divisible entre 2” p q p : 12 es un número par ……………….… (antecedente) q : 12 es un número divisible entre 2 ……(consecuente) Simbología: “p → q ”
  • 14. Notas: 1. Existen otras formas de presentarse el condicional: p por consiguiente q; p luego q; p de manera q; etc. 2. También son expresiones condicionales q ya que p; q puesto que p; q siempre que p; q porque p; etc.EjemploLa suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3 por consiguiente es divisible entre 3 (antecedente) p (consecuente) q 426 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (consecuente) q (antecedente) p La simbología para ambos casos es: p → q
  • 15. TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL p → q V V V V F F F V V El condicional solo es falso cuando el antecedente es verdadero F V F y el consecuente es falso.
  • 16. 5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble implicador.Ejemplo: “Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua” p q p : Sicilia es una isla Simbología: “p ↔ q ” q : Sicilia está rodeada de agua
  • 17. TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL p ↔ q El bicondicional es verdadero solo si ambas proposiciones poseen V V V idénticos valores de verdad V F F El bicondicional es falso F F V solo si ambas proposiciones poseen diferentes valores de verdad F V F
  • 18. 6. LA NEGACIÓN.- Es un tipo de proposición compuesta en la que se afirma que algo no existe, que no es verdad, o que no es como alguien cree o afirma. Para negar una proposición se le antecede el conectivo no, o equivalentes a él, cuyo símbolo es “∼ ” y se llama negador.Ejemplo: “Todo número elevado al cuadrado es positivo” pNegación: “No todo número elevado al cuadrado es positivo” ∼p Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al operador de mayor jerarquía en dicha proposición. Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero q r Simbología: ∼( q ∧ r )
  • 19. TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN p ∼p V F F V
  • 20. TABLA RESUMENConector Valor de Condición verdad ↔ V Si ambos tienen igual valor de verdad. ∆ V Si tienen valores diferentes de verdad. → F Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso ∨ F Si ambos son falsos ∧ V Si ambos son verdaderos ~ V Si la proposición es falsa.
  • 21. EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICAEjemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: (p ∧ q) ∨ ∼(p →Solución ∼r) p q r (p∧ q) ∨ ∼ ( p → ∼ r) V V V V V V V V V F F V V F V V V V F V V V V F V V F F V V V F F V F F V F F F F V V V F V V F F V F F F V F F V F F F V F F F V V F F V F F F F F F V F F F F F F F F F F V V
  • 22.  La característica tabular de una fórmula lógica es la columna de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los siguientes casos:1. Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el esquema es una TAUTOLOGÍA.2. Cuando todos los valores de verdad son falsos, el esquema es una CONTRADICCIÓN.3. Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.
  • 23. Ejemplo Nº2 Si se conoce que: (q ∧ ∼r) → p es FALSADeterminar el valor de verdad de: (∼r ∨ ∼p) → (p ∧ ∼r) SOLUCIÓNPrimero analizamos la condición (q ∧ ∼ → p r )V V V F F FLuego de conocer los valores de verdad de cada variable, seevalúa la fórmula planteada ( ∼ r ∨ ∼ p) → (p ∧ ∼ r) V V V F F F V El valor de verdad de la fórmula planteada es FALSO
  • 24. PRACTICA Nº 021. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿Qué puede afirmarse del valor de verdad de cada una las proposiciones siguientes?P Λ Q R→P S→~PR Ѵ P P→Q R → (S → P)R Λ P P→PѴS P Ѵ S → (Q Λ ~ P)S Ѵ ~ P ~P→QΛR QΛ~P→RΛQ2.- Determinar cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías:P Λ Q → P Λ R (P → Q ) → ( ~ Q →P )P → P Λ Q (P ↔ Q) Λ (P Λ ~ Q)P Λ ~ (Q Ѵ P) P Λ ~ ((P Ѵ Q) Ѵ R)(P → (Q Ѵ ~ P)) → ~ Q P Ѵ (~ P Ѵ R) Prof. Luis R. Pacheco Huarotto