Función proposicional y cuantificadores

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Como convertir los Enunciados Abiertos en Proposiciones, utilizando los Cuantificadores. Es un tema interesante que se utiliza en el Lenguaje Cotidiano y en el lenguaje Matemático.

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Función proposicional y cuantificadores

  1. 1. FUNCIÓNPROPOSICIONALYCUANTIFICADORESAutor: Luis Rolando Pacheco Huarotto
  2. 2. FUNCIÓN PROPOSICIONALUna función proposicional es un enunciado abiertoP(x), en la que figura la variable “x” como sujeto uobjeto directo; la cual se convierte en unaproposición para cada especificación de “X”.Ejemplos:a) P (x): X es imparP ( - 4 ): - 4 es impar ( F ) P ( 5 ): 5 es impar ( V )b) P ( x, y): X es divisor de YP ( -2,6): - 2 es divisor de 6 (V)p (10,2): 10 es divisor de 2 ( F )Nota.- Al conjunto de todos los valores convenidos para “x”, se denominaDOMINIO DE LA VARIABLE.c) P(x): x+1 < 9. Si x Є Z, entonces p(x) es una función proposicionalcuyo dominio son los Números enteros.p (-2): -2 + 1 < 9 (V) P(10): 10 + 1 < 9 (F)
  3. 3. CUANTIFICADORESSon expresiones “PARA TODO” o “ALGUNOS”, etc.; quese anteponen a un enunciado abierto para convertirlo enproposición. Estas proposiciones indican dos opciones:que todos los elementos intervienen o que algunoselementos intervienen.Se utilizan en el lenguaje cotidiano y también en ellenguaje matemático.Ejemplos:a) Todos los Iqueños son Peruanosb) Algunos números enteros son naturalesc) Todas las ciudades son bellasd) Algunas pruebas se quedaron en casaNota.- A través de la Cuantificación, también se puedencrear proposiciones desde una función proposicional.
  4. 4. CLASES DE CUANTIFICADORESEntre ellos tenemos el Cuantificador Universal y el CuantificadorExistencial.1.- CUANTIFICADOR UNIVERSAL: Es una generalización de laConjunción. Por ello es Verdadero cuando todos los valores de“x” que pertenecen al Dominio de A son Verdaderos.Se denota:∀x ; p(x) Se lee: “Para Todo x”, “Para cada x”,“Todos (as) las x”, “Todo (a) x”; etc.2.- CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: Es una generalización de laDisyunción Inclusiva. Por ello, es Verdadero cuando al menosun valor de “x” perteneciente al Dominio de A, es Verdadero.Se denota;∃ x / P (x) Se lee: “Existe al menos un x”, “Algunos x”,“ Hay x”, “Existe un x”, etc.
  5. 5. EJEMPLOS:1.- Formaliza las siguientes proposiciones:a) Todo número natural , es mayor o igual que unoR: ∀x Є N; x ≥ 1b) Existe al menos un número entero, cuya raíz cuadrada esun número irracional.R: ∃ x Є Z / Є I2.- Sea A = { 1, 2, 3, 4, 5 }. Determine el valor deverdad de cada uno de los enunciados siguientes:a) ∃ x ∈ A/ x+3 =10 ……………. Es ( F )Porque, ningún número de A es una solución de x + 3 = 10b) ∀ x ∈ A: x+3 < 10 ………….. Es ( V )Porque, cualquier número de A cumple que x + 3 < 10.
  6. 6. NEGACIÓN DE LOS CUANTIFICADORESLa negación de cualquiera de los cuantificadores, se realizanegando la proposición p(x) y cambiando el cuantificadoruniversal por el cuantificador existencial, o viceversa. Así: ~ [ ∀x ; p(x) ] Ξ ∃ x / ~ P (x) ~ [∃ x / P (x)] Ξ ∀x ; ~ p(x)Ejemplos:1.- Simboliza y Niega las siguientes proposiciones:a) Todos los números enteros son imparesSea el Dominio Z y la función Proposicional p(x): x es unnúmeroimpar.Simbolicamente: ∀x Є Z ; p(x)Negamos: ~ [ ∀x Є Z ; p(x) ] Ξ ∃ x Є Z / ~ P (x)Interpretamos: Existe al menos un número entero que no esimpar
  7. 7. b) Algunos estudiantes aprobaron elexamenSimbolizamos: ∃ x / P (x)Negamos: Todos los estudiantes noaprobaron el examen ( ∀x ; ~ p(x) )c) Todos los gatos maullan : ∀x ; p(x)Algunos gatos no maulla : ∃ x / ~ P (x)d) Algunos triángulos son equiláterosTodos los triángulos no son equiláterose) Todo número entero es negativoAlgunos números enteros no sonnegativos
  8. 8. EJERCICIOS PROPUESTOS1.- Simboliza las proposiciones considerando como universo elconjunto de estudiantes de tu aula.a) Todos llegaron a tiempob) Algunos estudianc) Hay pocos que son aplicadosd) Todos estudian aunque algunos no aprueban2.- Sea A ⁼ { x/x Є N, x<10} y las funciones proposicionales P(x): x≤9,Q(x): x>9 y R(x): x<5a) Utiliza Cuantificadores y convierte las funciones en proposiciones.b) Determina su valor de verdad3.- Expresa la negación de:a) Algunos números primos no son imparesb) Todos los metales son buenos conductores de calorc) El doble de todo número entero positivo es un número par4.- Decodifica las notaciones y exprésalas en lenguaje verbala) ∀ x ∈ N: x+3 < 10 c) ∀ x ∈ Z: x ≥ 0b) ∃ x ∈ Z/ 2x es par d) ∃ x ∈ N/ x ≤ 0Docente: Luis Rolando Pacheco Huarotto

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