TRIGONOMETRIALa Trigonometría constituye el quinto y último nivel de Matemáticas en losestudios secundarios; su objeto es ...
INTRODUCCIONSe aplica para medir los desniveles de los terrenos y con la ayuda de laTOPOGRAFIA se encuentran los ángulos, ...
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO                     SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO• EL ÁNGULO  TRIGONOMÉTRICO  SE OBTIENE  GIRANDO UN R...
MEDICION DE ANGULOSLos ángulos pueden sermedidos     con     uninstrumento    llamadoTRANSPORTADOR.ANGULO DE UNA VUELTASe ...
Los sistemas de medición fueron inventados para medir con exactitud y precisiónlos ángulos, recogiendo los datos, para cal...
SISTEMAS DE MEDICIÓN           ANGULAR1.- SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)    GRADO :1  o    MINUTO :   1            S...
En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar     en grados, minutos y segundos                     A B C  A ...
EJEMPLO :   20 36  45                              o   EXPRESAR  EN GRADOS SEXAGESIMALES  20  36  45       o       ...
EJEMPLOCalcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el d...
¿ESTAN      ENTENDIENDO ?NO REPITE POR    FAVOR
SISTEMAS DE MEDICIÓNANGULAR2.- SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)   GRADO :   1             g                  MINUTO : ...
En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en     grados, minutos y segundos                                 ...
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOSy SEGUNDOS          SABES QUE :                9º  10g SABES QUE : NÚMERO DE...
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR3.- SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR) EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE                            ...
RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS         180  200  rad                   0                 gESTA RELACIÓN SE USA PARA C...
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL   2                            2(180o )A)   3      r...
FACTORES DE CONVERSIÓNDE GRADOS SEXAGESIMALES     radA RADIANES                  180 oDE GRADOS SEXAGESIMALES      10 gA ...
ESTAN       ENTENDIENDO ?NO REPITE PORFAVOR
FÓRMULA DE CONVERSIÓN               S     C    R                                     180   200    S : NÚMERO DE GRADOS ...
S   C   R                              S  180k          K                                         R  k180 200      ...
OTRAS RELACIONES IMPORTANTES                                                   * ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN :   90o  ...
EJERCICIOS                                  1. CALCULAR :                          45º     rad                       E ...
2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más   el triple de su número de grados centesimales es 78,   calcular su...
3. Determinar si es verdadero o falso A ) rad  180 B ) El complemento de 30g es 70g       24º 2º C)          g       36...
PRACTICA CALIFICADA Nº 01      http://www.slideshare.net/leninlewis/sistema-de-medidas-angulares1.- Convertir agrados cent...
TRIGONOMETRIA      ¡ MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION !PROF. LUIS ROLANDO PACHECO HUAROTTO
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Angulo Trigonométrico y Sistemas de Medidas Angulares

  1. 1. TRIGONOMETRIALa Trigonometría constituye el quinto y último nivel de Matemáticas en losestudios secundarios; su objeto es la medición de los ángulos y lados de untriángulo rectángulo inscrito o circunscrito en una circunferencia en cuyocentro se ha construido un sistema de coordenadas cartesianas, con elpropósito de establecer las funciones trigonométricas en base a las relacionesentre lados y ángulos del triángulo rectángulo en c/u de los cuadrantes, cuyaaplicación representa uno de los avances más notables del pensamientomatemático.A continuación veremos: - EL ANGULO TRIGONOMÉTRICO - SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES - PRACTICA CALIFICADA Prof. LUIS ROLANDO PACHECO HUAROTTO AREA MATEMÁTICA
  2. 2. INTRODUCCIONSe aplica para medir los desniveles de los terrenos y con la ayuda de laTOPOGRAFIA se encuentran los ángulos, para hacer planos horizontales para laConstrucción civil. Asimismo, los aviones, cohetes, balas tienen un ángulo desalida para llegar al destino, los ingenieros hacen los cálculos necesarios paraencontrar el ángulo adecuado. También se usa en la recreación, en el deportecomo el Windsurfing, etc. Prof. Luis R. Pacheco Huarotto
  3. 3. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO• EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO  ) POSITIVO ALREDEDOR DE SU ORIGEN. B SENTIDO DE GIRO HORARIO O ) A OA : LADO INICIAL ) NEGATIVO OB : LADO FINAL O: VÉRTICE
  4. 4. MEDICION DE ANGULOSLos ángulos pueden sermedidos con uninstrumento llamadoTRANSPORTADOR.ANGULO DE UNA VUELTASe genera por la rotacióncompleta de un rayo; esdecir que el Lado Inicialcoincide con el LadoFinal. Lado Final BAsí: < AOB = 360º Ejercicios Graficar ángulos utilizando el transportador: a) < PQR = 65º b) < A = - 125º c) < M = 400º d) < T = ½ vuelta d) < D = - 1 130 e) < C = ¾ vuelta f) < S = 155º g) < B = 105º
  5. 5. Los sistemas de medición fueron inventados para medir con exactitud y precisiónlos ángulos, recogiendo los datos, para calcular y procesar la información tomadade los hechos. Los sistemas más conocidos son tres:1.- SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLES): S2.- SISTEMA CENTESIMAL ( FRANCES). C3.- SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (INTERNACIONAL): RSiendo el primer sistema mas utilizado, por su aplicación en laIngeniería, topografía y navegación. Prof. Luis R. Pacheco Huarotto
  6. 6. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR1.- SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS) GRADO :1 o MINUTO : 1 SEGUNDO : 1 " EQUIVALENCIAS 1  60 1  60 1  3600 o " o " 1vuelta= 360 o Prof. Luis R. Pacheco Huarotto
  7. 7. En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados, minutos y segundos A B C  A  B  C o o Los números de y C deben ser menores de 60 Para convertir B grados a segundos se multiplica por 3600 RELACIONESdede minutos a segundos se multiplica por 60 Para convertir DE CONVERSIÓN Para convertir grados a minutos se multiplica por 60 x 3600 x 60Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600 x 60 GRADOS MINUTOS SEGUNDOS : 60 : 60 Para convertir de minutos a grados se divide entre 60 : 3600 Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60
  8. 8. EJEMPLO :   20 36 45 o EXPRESAR  EN GRADOS SEXAGESIMALES  20  36  45 o 36 45 o o 3o 1o  20  o   20o   60 3600 5 80 1649o 60 y Al número 36 se le divide entre  CONCLUSIÓN: 45 se le divide entre 3600 Al número 80RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS ySEGUNDOSNÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = SNÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60SNÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S
  9. 9. EJEMPLOCalcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de sunúmero de grados sexagesimales es igual a 155. SOLUCIÓNSea S = número de grados sexagesimalesEntonces el número de minutos sexagesimales = 60S Dato : 60S  2S  155 62S  155 155 5(31) 5 S  S 62 2(31) 2 5º 4º 60 El ángulo mide :   2º 30 2 2
  10. 10. ¿ESTAN ENTENDIENDO ?NO REPITE POR FAVOR
  11. 11. SISTEMAS DE MEDICIÓNANGULAR2.- SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS) GRADO : 1 g MINUTO : 1 m SEGUNDO : 1 s EQUIVALENCIAS1  100 1  100 1  10000 g m m s g s 1vuelta= 400 g Prof. Luis R. Pacheco Huarotto
  12. 12. En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en grados, minutos y segundos C A  B C g m s A B g m s Los números de y C deben ser menores de 100 Para convertir B grados a segundos se multiplica por 10000 RELACIONES DEminutos a segundos se multiplica por 100 Para convertir de de CONVERSIÓN Para convertir grados a minutos se multiplica por 100 x 10 000 x 100Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000 x 100 GRADOS MINUTOS SEGUNDOS : 100 : 100 Para convertir de minutos a grados se divide entre 100 : 10 000 Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100
  13. 13. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOSy SEGUNDOS SABES QUE : 9º  10g SABES QUE : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES 200g SABEMOS QUE 180º 9º  10 g g = C 9(1º )  10(1 ) 9(1º n ) = ) NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES )( 10(1 100C g SIMPLIFICANDO SE OBTIENE 9º CENTESIMALES 10(10000S ) 000C  109(3600 )  ( q ) = 10 g NÚMERO DE SEGUNDOS 10(100m ) 9(60 ) RELACIÓN ENTRE LOS 50 81  250s 27  SISTEMAS SEXAGESIMAL Y mCENTESIMAL 9 O  10g 27  50m 81"  250s GRADOS MINUTOS SEGUNDOS S C m n p q    9 10 27 50 81 250
  14. 14. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR3.- SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR) EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE R MEDIDA ES EL RADIÁN. R UN RADIÁN ES LA . . )1rad MEDIDA DEL R ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA 1vuelta  2rad UN ARCO DE LONGITUD IGUAL 1rad  57 17 45 o AL RADIO.
  15. 15. RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS 180  200  rad 0 gESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UNSISTEMA A OTRO.EJEMPLOSEN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANESA)  540 EL rad DE 3 VUELTA SABES QUEO ÁNGULO  UNA  54  o   rad  180   400  2rad 360º 10 MIDE : gB)  125 g SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :  rad  5 125   g g  rad  200  8
  16. 16. EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL 2 2(180o )A) 3 rad ...........  120 o 3B)70 ................. 70  9  g o  63 g o g   10 EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL 3 3(200g )A) rad ........... 150g 4 4 o  10  gB)27 ................ 27  o   30g o  9 
  17. 17. FACTORES DE CONVERSIÓNDE GRADOS SEXAGESIMALES radA RADIANES 180 oDE GRADOS SEXAGESIMALES 10 gA CENTESIMALES 9 oDE GRADOS CENTESIMALES radA RADIANES 200 gDE GRADOS CENTESIMALES 9 oA SEXAGESIMALES 10 gDE RADIANES A GRADOSSEXAGESIMALES rad  180 o rad  200 gDE RADIANES A GRADOSCENTESIMALES
  18. 18. ESTAN ENTENDIENDO ?NO REPITE PORFAVOR
  19. 19. FÓRMULA DE CONVERSIÓN S C R   180 200  S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES R : NÚMERO DE RADIANESEJEMPLOCALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE: 8R 3S  2C   37  SOLUCIÓNEN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN
  20. 20. S C R S  180k    K R  k180 200  C  200kSE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA 8(k)3(180k)  2(200k)   37,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE 148k  37 1 k  4  1 FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R     4 4 NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA S  9kS C 20R   C  10k9 10  k R  20
  21. 21. OTRAS RELACIONES IMPORTANTES * ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : 90o  100g  rad 2* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN : 180O  200g  rad SISTEMA COMPLEMENTO SUPLEMENTO SEXAGESIMAL S 90 - S 180 - S CENTESIMAL C 100 - C 200 - C  RADIAL R  R R 2* EQUIVALENCIAS USUALES:    rad  60 o rad  45 o rad  30 o 3 4 6
  22. 22. EJERCICIOS  1. CALCULAR : 45º  rad E 12 50g  33º SOLUCIÓN Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA SEXAGESIMAL  180º 9º rad   15º ; 50 ( g )  45º g 12 12 10 Reemplazamos en E 45º 15º 60º E   5 45º 33º 12º
  23. 23. 2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más el triple de su número de grados centesimales es 78, calcular su número de radianes SOLUCIÓNSea S = número de grados sexagesimales C = número de grados centesimales Sabes que : S C  =K S = 9K y C = 10K 9 10Dato : S + 3C = 78 9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K=2 El número de radianes es : k 2  R R  20 20 10
  24. 24. 3. Determinar si es verdadero o falso A ) rad  180 B ) El complemento de 30g es 70g 24º 2º C)  g 36 g 3 D ) Los ángulos interiores de un triángulo suman rad E )   180º F) 1º  1 g G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al 90% de su número de grados centesimales
  25. 25. PRACTICA CALIFICADA Nº 01 http://www.slideshare.net/leninlewis/sistema-de-medidas-angulares1.- Convertir agrados centesimales: a) 225° b) 549° c) 3 π rad d) ¾ π rad2.- Convertir a radianes: a) 15° b) 120° c) 756° d) 210g e) 1200g3.- Convertir a grados sexagesimales: a) 200g b) 40g c) 5/7 πrad d) 3/5 πrad4.- Convertir 82° 240’ 1800” a grados sexagesimales5.- Convertir 305, 81° a grados, minutos y segundos sexagesimales6.- Convertir 12g 43m 12s solo en minutos Centesimales.7.- Los ángulos A y B de un triángulo ABC mide π/6 rad y 80°, respectivamente. ¿Cuánto mide el ángulo C?8.- El radio de una circunferencia mide 23 cm. ¿Cuál es la longitud del arco L, si el ángulo central mide 60° ?9.- Hallar el valor de R en:10.- Simplificar la expresión Prof. Luis R. Pacheco Huarotto.
  26. 26. TRIGONOMETRIA ¡ MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION !PROF. LUIS ROLANDO PACHECO HUAROTTO

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