4. ecuaciones con valor absoluto

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4. ecuaciones con valor absoluto

  1. 1. • La idea de valor absoluto está directamente relacionada con el de distancia en la recta numérica.• La distancia de un número al origen se representa por medio de un número positivo.• La distancia de los números 5 y -5 al origen (0) es la misma y vale 5.• Finalmente la distancia de 5 y -5 al origen se representa por medio de una expresión llamada valor absoluto de estos, que se denota así: |-5| = |5| = 5
  2. 2. Definición: El valor absoluto de un número real “x” sedenota por | x | y se define como: x si x ≥ 0 x = x ≥0 − x si x < 0 Esto quiere decir que los números x y –x están a la misma distancia del origen. Entonces |x| representa la distancia de cualquiera de los números x y –x al origen.
  3. 3. Ejemplos: 6 =6 −6 = 6 −3 = 3 0 =0 5 = 5Responde¿Qué valores puede tomar x si: | x | = 7 Rpta: 7 ó −7 Esto también puede denotarse así: x = ± 7¿Qué valores puede tomar x si: | x − 5 | = 9 Rpta: 14 ó −4¿Existirá algún valor de x que cumpla la siguienteigualdad: |x|= −7? Rpta: NO porque el valor absoluto de cualquier número real siempre es no negativo.
  4. 4. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO1. | a | ≥ 0; ∀ a ∈ R2. | −a | = | a | ; ∀ a ∈ R3. Si: | x | = a | a≥ 0 ⇒ x = a ó x = −a4. x2 =| x | ; ∀ x ∈ R5. | a.b | = | a |.| b | a a6. = b b7. | x | = | y | ; si y sólo si: x = y ó x = −y
  5. 5. Para resolver ecuaciones con valor absoluto se aplica la definición de valorabsoluto o algunas propiedades de valor absoluto.Resolver una ecuación con valor absoluto, es hallar su conjunto solución; (C.S.)es decir los valores de la variable “X”.
  6. 6. Ejemplo N°1 Resolver 2 x + 5 = 11Resolución:2 x + 5 = 11 2x + 5 = 11 ó 2x + 5 = −11 2x = 6 ó 2x = −16 x =3 ó x = −8 C.S: = { −8; 3}
  7. 7. 2Ejemplo N°2 Resolver x −5 = 4Resolución: 2x −5 = 4 x2 − 5 = 4 ó x2 − 5 = −4 x2 = 9 ó x2 = 1 Extrayendo raíz cuadrada ambos miembros: |x| =3 ó |x|=1 x =±3 ó x =±1 C.S, = { −3; −1; 1; 3 }
  8. 8. Ejemplo N°3 Resolver x + 2 = 7 x − 10Resolución:x + 2 = 7 x − 10 x + 2 = 7x – 10 ó x + 2 = – (7x – 10) −6x = −12 ó 8x = 8 x =2 ó x=1 Deben verificarse los valores calculados en la ecuación originalx = 2 : |2 + 2| = 7(2) – 10 x = 1 : |1 + 2| = 7(1) – 10 4=4 3 = −3 ( sí cumple) ( no cumple) ∴ C.S = { 2 }
  9. 9. 3x − 4| |= 7 −2

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