1. Ejemplos de Concavidad y punto de
inflexion
Luego de definir graficamente concavidad y punto de
inflexion, tomemos la funcion:
−1
f ( x) = 6( x + 3) 2
Definamos en que intervalos es concava hacia arriba
y concava hacia abajo.

2. CONCAVIDAD y PUNTO DE
INFLEXION
 Para ello hallamos su segunda derivada.
36( x − 1)
2
f ( x) = 2
´´
( x + 3) 3
Los valores en x donde se hace cero la
funcion resulante despues de hallar su
segunda derivada (1,-1), son sus
puntos de inflexión.

3. CONCAVIDAD Y PUNTO DE
INFLEXION
 Si remplazamos la ecuacion por 1 y -1
vemos que es igual a cero:
f ( x) =
´´ [
36 ( −1) −1 2
] = 36(0) = 0
[(−1) 2
+3 ]
3
4 3
f ( x) =
´´ [
36 (1) −1 2
] = 36(0) = 0
[(1) 2
+3 ]
3
4 3

4. CONCAVIDAD Y PUNTO DE
INFLEXION
 Teniendo en cuenta los valores en x
donde se hace cero la segunda derivada,
tomamos los siguientes intervalos para
analizar su concavidad:
 Primer intervalo
−∞< x < − 1
 Segundo Intervalo
 Tercer Intervalo − < x <
1 1
1 < x <∞

5. PRIMER INTERVALO
− ∞ < X < −1
Tomamos un valor dentro del intervalo para efectos del ejemplo
tomamos X=-2 y remplazamos en la funcion de la segunda derivada:
36[(−2) − 1] 36(3) 108
2
f ´´
(−2) = = =
[(−2) + 3] 7 7
2 3 3 3
Nos arroja un valor positivo f(x)>0 por tanto el primer
intervalo es concavo hacia arriba.

6. SEGUNDO INTERVALO
−1 < X <1
Tomamos un valor dentro del intervalo para efectos del ejemplo
tomamos X= 0 y remplazamos en la funcion de la segunda derivada:
36[(0) − 1] 36(−1) − 36
2
f ´´
( 0) = = = = −4
[(0) + 3]
2 3
3 9 3
Nos arroja un valor negativo f(x)<0 por tanto el segundo
intervalo es concavo hacia abajo.

7. TERCER INTERVALO
1< X <∞
Tomamos un valor dentro del intervalo para efectos del ejemplo
tomamos X= 2 y remplazamos en la funcion de la segunda derivada:
36[(2) − 1] 36(1) 36
2
f ´´
( 2) = = =
[(2) + 3] 7 7
2 3 3 3
Nos arroja un valor POSITIVO f(x)>0 por tanto el
segundo intervalo es concavo hacia arriba.

8. GRAFICAMENTE Punto de Inflexion
Punto de Inflexion
F(x) = 0, x = 1
F(x) = 0, x = -1
SEGUNDO TERCER
PRIMER INTERVALO
INTERVALO INTERVALO

9. PROCEDIMIENTO PARA
APLICAR CONCAVIDAD
11. SE HALLA LA SEGUNDA DERIVADA DE LA
FUNCION
11. SE ENCUENTRAN LOS VALORES DE X DONDE LA
SEGUNDA DERIVADA SE HACE CERO.
111. PARTIENDO DE LOS VALORES HALLADOS
DONDE LA FUNCION SE HACE CERO,
DETERMINAMOS LOS INTERVALOS A ESTUDIAR LA
CONCAVIDAD.