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Aplicaciones de 2do orden

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Aplicaciones de 2do orden

  1. 1. II Aplicaciones de las EDO de Segundo orden Introducción: En esta sección, se van a considerar varios sistemas dinámicos lineales en los que cada modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes junto con condiciones iniciales especificadas en un tiempo que tomaremos como: Recuerde que la función g es la entrada, función de conducción o función forzada del sistema. Una solución de la ecuación en un intervalo I que contiene a que satisface las condiciones iniciales se llama salidao respuesta del sistema. LEY DE HOOKE Suponga que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se le fija una masa a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades diferentes. Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora opuesta a la dirección de la elongación y proporcional a la cantidad de elongación y es expresada en forma simple como , donde es una constante de proporcionalidad llamada constante de resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el número . Por ejemplo, si una masa que pesa 10 [libras] hace que un resorte se alargue pie, entonces implica que . Entonces necesariamente una masa que pesa, digamos, 8 libras alarga el mismo resorte sólo pie . SEGUNDA LEY DE NEWTON
  2. 2. II Después de quese une una masa a un resorte, ésta alarga el resorte una cantidad y logra una posición de equilibrio en la cual su peso se define mediante donde la masa se mide en slugs, kg o gramos y g es la gravedad tomada como . La condición de equilibrio es Si la masa es una cantidad de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces . Suponiendo que no hay fuerzas restauradoras que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas «movimiento libre» se puede igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso. El signo negativo de esta ecuación indica que la fuerza restauradora que actúa opuesta a la dirección de movimiento. Además, se adopta la convención de que los desplazamientos medios debajo de la posición de equilibrio son positivos. ECUACION DIFERENCIAL DE UN MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO Dividiendo la ecuación anterior para , se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden o, Donde . Se dice que la ecuación describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias relacionadas con y , el desplazamiento inicial de la masa, respectivamente. Por ejemplo, si la masa parte de un punto abajo de la posición de equilibrio con una velocidad impartida hacia arriba. Cuando , se dice que la masa se libera a partir del reposo. Por ejemplo, si y , la masa se libera desde el reposo de un punto unidades arribade la posición de equilibrio. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO
  3. 3. II Para resolver la ecuación, se observa que la solución de su ecuación auxiliar son los números complejos y . Así la solución general bien dad por: PERIODO Es descrito por la ecuación es donde el número T representa el tiempo [segundos] que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo es una oscilación completa de la masa. FRECUENCIA Es y es el número de ciclos completado por segundo Ejemplo “Movimiento libre no amortiguado” 1. Una masa que pesa 2 libras alarga 6 pulgadas un resorte. En t = 0 se libera la masa desde un punto que está 8 pulgadas debajo de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de . Determinar la ecuación del Movimiento. Solución: Debido a que se está usando el sistema de unidades de ingeniería, las mediciones dadas en términos de pulgadas se deben convertir: El desplazamiento inicial y la velocidad inicial son x(0) = 2/3 , x(0)=4/3, donde el signo negativo en la última condición es un consecuencia del hecho de que la masa se le da una velocidad inicial en la dirección negativa o hacia arriba. Ahora , por lo que la solución general de la ecuación diferencial es:
  4. 4. II Movimiento vibratorio con amortiguación Todos los osciladores reales están sometidos a alguna fricción. Las fuerzas de fricción son disipativas y el trabajo que realizan es transformado en calor que es disipado fuera del sistema. Como consecuencia, el movimiento está amortiguado, salvo que alguna fuerza externa lo mantenga. Si el amortiguamiento es mayor que cierto valor crítico, el sistema no oscila, sino que regresa a la posición de equilibrio. La rapidez con la que se produce este regreso depende de la magnitud del amortiguamiento, pudiéndose dar casos distintos: el sobre amortiguamiento y el movimiento críticamente amortiguado. Cuando el amortiguamiento no supera este valor crítico el sistema realiza un movimiento ligeramente amortiguado, semejante al movimiento armónico simple, pero con una amplitud que disminuye exponencialmente con el tiempo. Consideremos una masa m en una posición de equilibrio y sujeta a una fuerza de recuperación proporcional al desplazamiento x del equilibrio y opuesta a él según la ecuación F= -kx
  5. 5. II Suponiendo que no actúa ninguna otra fuerza sobre el cuerpo, y aplicando la segunda ley de Newton (F= m.a) obtendremos la ecuación diferencial delmovimientoque describe un oscilador armónico simple. En todos los casos físicos existe alguna fuerza de rozamiento que generalmente se considera proporcional a la velocidad quedando la ecuación diferencial de movimiento donde b es la constante de amortiguamiento. Dado que Fr se opone al movimiento, signo opuesto a la velocidad del objeto, realiza un trabajo negativo y es la causa de que la energía disminuya. Introducido este término en la 2º ley de Newton obtenemos la ecuación diferencial de movimiento de un sistema amortiguado. Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden. Tiene tres tipos de soluciones según el valor de : Si el sistema está sobre amortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico) Si el sistema tiene amortiguamiento crítico. Si el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o sub crítico) OSCILADOR SOBRE AMORTIGUADO En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma: En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma: donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación):
  6. 6. II y y dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio. Recomendaciones Manejar eficientemente las técnicas de derivación e integración Repasar los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden u orden superior.

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