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Intervalos de confianza

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  • 1. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREONIntervalos de confianzaLUIS ALONSO GALLEGOS ARIAS
  • 2. Problema 1.-En una muestra de 1000 nacimientos el número de varones ha sido542 ¿Puede considerarse, con un nivel de significación del 10%, que en generalnacen más niños que niñas?SOLUCIÓN:1º La hipótesis nula sería que nacen igual número de niños que de niñas, o lo quees lomismo que la proporción de niños nacidos es igual 1/2.Por consiguiente: Ho P = 0,52º H1 P > 0,53º El estadístico de contraste es:4º Como la proporción maestral es 542/1000 = 0,542, sustituyendo se obtieneel valordel estadístico: = = = 2.665º Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la Normal el valorde lavariable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9, este valor es 1,282.6º El valor del estadístico 2,66 es mayor que el valor crítico 1,282 porconsiguiente, serechaza la hipótesis nula.7º Efectivamente, nacen en mayor proporción niños que niñas.Problema 2.-En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una corte de 412mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el
  • 3. 17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporciónde mujeres hipertensas en la Región Metropolitana está dado por:Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139, 0,212) con unaconfianza de 95%.Problema 3.-Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matrizde 15 estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513,492, 534,523, 452, 464, 562, 584, 507, 461Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determineun intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.Solución:Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestral vale 505,35 yla desviación típica 42,54.Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad,obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de lamedia tenemos:(505,35 - 2,12 · 42,54 / 4, 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4)Operando( 482,80 ,, 527,90 )
  • 4. Problema 4.-En una muestra de 66 alumnos se ha calculado el coeficiente de correlación dePearson entre sus puntuaciones en el primer parcial de Análisis de Datos y eltiempo que se emplea en desplazarse desde su domicilio hasta la Facultad,obteniéndose que r vale 0,24. Podemos mantener, con un nivel de confianza del95%, la idea de que estas variables son incorreladas, o por el contrariodebemos rechazarla.SOLUCIÓN:1º Ho = 0 2º H1 0  3º El estadístico de contraste es: t=4º Sustituyendo tenemos:t= = t= = t= = t= 1.985º El contraste es bilateral, por ello buscamos en las tablas de la t de Student,con 60grados de libertad (el valor más próximo a 64 que figura en nuestras tablas), elvalor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 que es 2. Por tanto laregión de aceptación será el intervalo (-2 ,, 2).6º El valor del estadístico pertenece a la región de aceptación, porconsiguiente se acepta la hipótesis nula.7º No existe correlación entre ambas variables, de donde se deduce que eltiempoempleado no influye en la calificación.Problema 5.-
  • 5. En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversióntienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, aun nivel del 90%, para la media de la población.b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error quepodríamos cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en laestimación puntual.Solución: a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos: Operando: (30,06 ,, 35,34) b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de lavariable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia aun nivel de confianza del 95% la media de la población puede valerProblema 6.-De una población se toma una muestra de 40 observaciones. La media muestrales de 102 y la desviación estándar 5. De otra población se toma una muestra de50 observaciones. La media mustral es ahora 99 y la desviación estándar es 6.Realice la siguiente prueba de hipótesis usando como nivel de significancia0,04.
  • 6. Ho: u1 =u2Ho:u1 ≠ u2a) Es esta una prueba de una o de dos colas? Esta es una prueba de hipótesis de dos colasb ) Establezca la regla de decisión Si Z > que le valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta lahipótesis alternativac) Calcule el valor del estadístico de pruebaSi Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y seacepta H1d) Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? Como su valor calculado Z (2,59) > 2,05; se rechaza la hipótesis nula y seacepta la hipótesis alternativa Si Z tabulada es 0,5 - 0,02 = 0,48 este valor en la tabla es 2,05e) Cuál es el valor p?
  • 7. Z = 2,59 Area 0,4952 0,5 - 0,4952 = 0,0048 * 2 = 0,0096Problema 7.-Calcule a un nivel de confianza del 90% un intervalo de confianza para lavarianza e indique cual sería el máximo error por exceso y por defecto quepodría cometerse utilizando el estimador insesgado de la varianza.Solución:Mediante cálculos básicos obtenemos que la varianza de la muestra vale1809,29 y la cuasi varianza 1922,37En las tablas de la Ji-cuadrado encontramos que el valor que deja por debajouna probabilidad de 0,05 es 7,96 y que 26,30 deja por debajo una probabilidadde 0,95.Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la varianzatenemos:( 17 · 1809,29 / 26,30 ,, 17 · 1809,29 / 7,96 )Operando( 1169,50 ,, 3864,06 )Por tanto el error por defecto sería 1922,37 - 3864,06 = -1941,69y el error por exceso 1922,37 – 1169,50 = 752,87Problema 8.-En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asistesemanalmente al cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel de confianzadel 95%, la proporción de universitarios que acude todas las semanas al cine.Solución:
  • 8. En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja pordebajo una probabilidad de 0,975 es 1,96.Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para una proporción