El documento resume diferentes métodos de conteo utilizados en probabilidad y estadística, incluyendo el principio de la multiplicación, el principio de la suma, permutaciones, combinaciones y particiones. Explica cómo aplicar cada método a diferentes ejemplos numéricos.

1. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
METODOS DE CONTEO
Como se vio, para calcular la probabilidad de un evento A, es necesario contar
el número de elementos del espacio muestral S y el número de elementos de
evento A.
Cuando el conjunto es pequeño no hay problema, pero cuando los conjuntos
contienen muchos elementos toca acudir a unas técnicas de conteo especiales
llamadas métodos de conteo.
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN
La primera de estas técnicas de conteo o métodos de conteo es la regla de la
multiplicación la cual dice que si una operación se puede llevar a cabo en n1
formas y si para cada una de estas se puede realizar una segunda operación
en n 2 y para cada una de dos primeras se puede realizar una tercera operación
n3 formas, y así sucesivamente, entonces la serie de k operaciones se puede
realizar en n1 n 2 ,..., n k formas
Ejemplo ¿Cuántos almuerzos que consisten en una sopa, emparedado, postre
y una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3 tipos de
emparedados, 5 postres y 4 bebidas?
Como n1 = 4, n 2 = 3, n3 = 5 y n4 = 4 hay en total
n1 X n 2 X n3 X n4 = 4 X 3 X 5 X 4 = 240 almuerzos diferentes para
elegir
PRINCIPIO DE LA SUMA.
Supongamos que un procedimiento, designado con 1, se puede hacer de n1
formas. Supongamos que un segundo procedimiento, designado con 2, se
puede hacer de n2 formas. Supongamos además que no es posible que
ambos, 1 y 2, se hagan juntos. Entonces, el número de maneras como se
puede hacer 1 o 2 es n1 + n2.
Ejemplo.
Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre transportamos
por autobús o por tren. Si hay tres rutas para el autobús y dos para el tren,
entonces hay 3 + 2 = 5 rutas diferentes disponibles para el viaje.

2. PERMUTACIONES.
Una permutación es un arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos.
El número de permutaciones de n objetos distintos es n!.
Ejemplo:
De cuantas maneras se pueden ubicar 6 personas en una fila.
7x 6x 5x 4x 3x 2x 1
7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! = 5040.
Ejemplo.
El número de permutaciones de 4 letras: a, b, c, d. será 4! = 24.
El número de permutaciones de n objetos distintos de r a la vez es.
r n!
pn =
(n − r )!
Ejemplo
El número de permutaciones de las cuatro letras a, b, c, d al tomar dos a la vez
será:
Ab, ac, ad, ba, ca, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.
4x 3
4!
4*3 = 12, = 12
2!
El número de permutaciones de n objetos distintos arreglados en un
círculo es:
(n-1)!.
Ejemplo.
De cuantas formas se pueden plantar cinco árboles diferentes en un circulo?
Solución n = 5 entonces el número de permutaciones es : ( 5 – 1 ) ¡ = 4! =
24.
El número de permutaciones distintas de n cosas de las que n1 son de una
forma, n2 de una segunda forma, …, n k de una k-ésima forma es:

3. n!
n1 n 2 n3L n k
Ejemplo
De cuántas formas diferentes se pueden arreglar 3 focos rojos, 4 amarillos y 2
azules en una serie de luces navideña com9 portalámparas?
Solución
El número total de arreglos es:
9!
= 1260
3!4!2!
El número de formas de partir un conjunto de n objetos en r celdas con n1
elementos en la primera celda, n2 elementos en la segunda, y así
sucesivamente, es:
 n  n!

 n n L n  = n !n !L n !

 1 2 r  1 2 r
Donde n1 + n2 + L + nr = n
Ejemplo
¿En cuántas formas se pueden asignar siete científicos a una habitación de
hotel triple y a dos dobles?
Solución
El número total de particiones posibles sería:
 7  7!

 3,2,2  = 3!2!2! = 210

 
COMBINACIONES
En muchos problemas nos interesamos en el número de formas de seleccionar
r objetos de n sin importar el orden. Estas selecciones de llaman
combinaciones. Una combinación es realmente una partición con dos celdas,
una celda contiene los r objetos seleccionados y la otra contiene los (n – r )
objetos restantes.
El número de tales combinaciones, denotado por:

4.  n   n

 ,
 por lo general se reducea  
r
 r, n − r   
El número de combinaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es
n n!
 =
 r  r!(n − r )!
 
Ejemplo
De cuatro químicos y tres físicos encuentre el número de comités que se
pueden formar que consistan en dos químicos y un físico.
Solución
 4  4!
El número de formas de seleccionar a dos químicos, de cuatro es   =
 2  2!2! = 6
 
.
 3  3!
El número de formas de seleccionar un físico, de tres es   =
 1  1!2! = 3
 
Al usar la regla de la multiplicación tenemos n1 = 6 y n2 = 3 , podemos formar:
n1 n2 = (6)(3) = 18
Comités con 2 químicos y 1 físico.