Ejemplos de distribuciones probabilidad

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Ejemplos de distribuciones probabilidad

  1. 1. Universidad tecnológica de TorreónEjemplos de DistribucionesProbabilidadArmando Saúl García Favela 12
  2. 2. Distribución de bernoulli.1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 =0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 =0.8882) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16,para así poder darles un premio, pero la maestra losseleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es laprobabilidad de que salga el alumno numero 16?° La probabilidad de que seleccione al alumno numero16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 =1/16 = 0.0625° La probabilidad de que NO seleccione al alumnonumero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 =15/16 = 0.9375
  3. 3. 3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar unautomóvil, al momento de sacar alguno de ellos ¿queprobabilidad hay para que pueda salir premiado elboleto número 342?° La probabilidad de que saque el boleto número 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0= 1/342 = 0.00292° La probabilidad de que NO seleccione al alumnonumero 342. P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 =341/342 = 0.997074) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir quesalga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultadosposibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá
  4. 4. 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1- 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces quesalen en un lanzamiento", y sólo existirán dosresultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salircara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli,ya que cumple todos los requisitos.° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5En un examen formado por 20 preguntas, cada una delas cuales se responde declarando“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que,históricamente, en el 75% de los casos larespuesta correcta es “verdadero” y decide responderal examen tirando dos monedas, pone“falso” si ambas monedas muestran una cara y“verdadero” si al menos hay una cruz. Se
  5. 5. desea saber qué probabilidad hay de que tenga almenos 14 aciertos.Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros dela distribución y el punto k a partirdel cual se calculará la probabilidad. En este cason=20, p=0,75 y el punto k=14.Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretasBinomial (n,p)n: Número de pruebas 20p: Probabilidad de éxito 0,7500Punto K 14Probabilidad Pr[X=k] 0,1686Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172Media 15,0000Varianza 3,7500La probabilidad de que el alumno tenga más de 14aciertos se sitúa en 0,61. Distribución poisson
  6. 6. Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el3% de los alumnos de contabilidad son muyinteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que sitomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos seanmuy inteligentes n= 100 P=0.03 =100*0.03=3 x=5 Ejemplo2.- La producción de televisores enSamsung trae asociada una probabilidad dedefecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85televisores, obtener la probabilidad que existan 4televisores con defectos. n=85 P=0.02 P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746 X=4 =1.7
  7. 7. Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de elloshablan ruso calcular la probabilidad de que sitomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruson=20P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418X=3 =3Ejemplo4.-El 8% de los registros contables de unaempresa presentan algún problema, si un auditortoma una muestra de 40 registros ¿Calcularprobabilidad de que existan 5 registros conproblemas?n=40P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793 =3.2X=5 Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular
  8. 8. Probabilidad que existan 5 registros conproblemas?n=40P=0.08 =10
  9. 9. EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL1.-Una población normal tiene una media de 80una desviación estándar de 14.0 µ = 80 σ = 14 za) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90) Probabilidad acumulada. 0.7611 z = 0.3594 z = p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ≤ 75) Probabilidad acumulada. 0.3594 z p(x ≤ 75) = 0.3594
  10. 10. c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p (55 ≤ x ≤ 70) Probabilidad acumulada. 0.2389 z = 0.0367 z = p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022
  11. 11. 2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:µ= $70,00 σ =$20,0 z a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x ≥ 80,000) Probabilidad acumulada. 0.6915 – z = p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085 b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) Probabilidad acumulada. – 0.6915 z = 0.4013
  12. 12. – z = p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x ≥ 65,000) Probabilidad acumulada. 0.4013 – z = p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987 3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos.
  13. 13. µ = 38.3 min. σ = 7.5 min. z a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x ≤ 30) Probabilidad acumulada. 0.1335 – z = p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3 μ b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad acumulada. 0.3300 – z = 0.1335 – z = p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65% c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos?
  14. 14. p(30 ≤ x ≤ 40) Probabilidad acumulada. 0.5910 –z = 0.1335
  15. 15. – z = 30 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – µ = 1,200 0.1335 = 0.4575 = σ = 225 45.75% Probabilidad 4.- Las acumulada. ventas z 5% = .0500 mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario?1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 5% ó 0.0500 – z 1.65 X= 1,571.25
  16. 16. x = 1,571.25 5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad? µ = 20,082 95% ó 0.9500 1.64 σ = 4,500 z z– Probabilidad Valor acumulada. de z 95% = .9500 =x = 27,462. X= 27,462 75
  17. 17. Distribución de gamma.El número de pacientes que llegan a la consulta de unmédico sigue una distribución de Poisson de media 3pacientes por hora. Calcular la probabilidad de quetranscurra menos de una hora hasta la llegada delsegundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria“tiempo que transcurre hasta la llegada del segundopaciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a, p)a : Escala 6,0000p : Forma 2,0000Punto X 1,0000Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667
  18. 18. La probabilidad de que transcurra menos de una horahasta que llegue el segundo paciente es 0,98. Ejercicio 2Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años,de pacientes que son sometidos a una ciertaintervención quirúrgica en un hospital sigue unadistribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81,calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad desupervivencia es menor que 0,1.Resultados con Epidat 3.1
  19. 19. Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de,aproximadamente, 10 años.
  20. 20. Ejemplo 3: El tiempo de reparación, en horas, de unapieza es una g (0.5 , 2). El precio de venta de la mismaes de 5 mil euros y el de fabricación de mil euros. ¿Acuanto debemos cobrar la hora de reparación paraobtener un beneficio medio de 3 mil euros?Se nos pide una cantidad K, de modo que el beneficiomedio, E(B), sea 3.El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K*E(X) = 4 - K* (2 / 0.5) lo igualamos a 3, de donde sededuce que K=1/4, es decir 250 euros, para obtener unbeneficio de 3 mil euros.Un fabricante de focos afirma que su producto duraráun promedio de 500 horas de trabajo. Para conservareste promedio esta persona verifica 25 focos cadames. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05,él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Quéconclusión deberá él sacar de una muestra de 25focos cuya duración fue?: 520 521 511 513 510 µ=500 h 513 522 500 521 495 n=25 496 488 500 502 512 Nc=90%
  21. 21. 510 510 475 505 521 X=505.36 506 503 487 493 500 S=12.07SOLUCIÓN. t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24t = 2.22EJEMPLO2 El profesor Pérez olvida poner sudespertador 3 de cada 10 días. Además, hacomprobado que uno de cada 10 días en los que poneel despertador acaba no levantándose a tiempo de darsu primera clase, mientras que 2 de cada 10 días enlos que olvida poner el despertador, llega a tiempoadar su primera clase.(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecenen el enunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérezllegue a tiempo a dar su primera clase?
  22. 22. Solución: En primer lugar conviene identificar elexperimento aleatorio que estamos realizando. Esteconsiste en tomar un dia al azar en la vida del profesorPérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.(a) Para un día al azar decimos que se ha dado elsuceso:O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner eldespertadorT ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primeraclase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman unsistema completo de sucesos. A continuacióntraducimos en términos de probabilidad de los sucesosanteriores todos los datos que nos dan en elenunciado. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es elcomplementario de T , por tanto nos piden quecalculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistemacompleto de sucesos, podemos aplicar la formulas dela probabilidad total, de donde tenemos que: P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).
  23. 23. En la expresión anterior aparecen varios de los datosque nos ha proporcionando el enunciado, sin embargono conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯).Para calcularlo utilizamos queP(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, laexpresión anterior se puede escribir como:P(T¯) =+ =0.69EJEMPLO3 La longitud de los tornillos fabricados en una fábricatienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcularla probabilidad de que en una muestra de tamañon=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5mm:P (μ<20.5)
  24. 24. Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue unadistribución t de n-1 grados de libertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)P (T<2.5) = 0.9902P (μ<20.5)=0.9902La probabilidad que la longitud media de la muestra de25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del 99.02%EJEMPLO4Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno delos siguientes casos:1. En una distribución t-Student con 3 grados delibertad.2. En una distribución t-Student con 30 grados delibertad.Solución.1. Recordemos que w0=95 es aquel número real queverifica: S [W · w0=95] = 0=95
  25. 25. Para encontrar este valor en la tabla de la distribuciónt-Student bastará:- ) Localizar en la primera columna los grados delibertad, en este caso: 3.- ) Localizar en la primer fila la probabilidadacumulada, en nuestro caso: 0=95=- ) Movernos horizontal y verticalmente desde lasposiciones anteriores hasta cruzarnos en el puntow0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3grados de libertad será el valor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemoshorizontalmente hasta la primera columna, llegaremosal valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemosverticalmente hacia la primera fila la llegaremos alvalor 0.95 (probabilidad acumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que van desde 0=75hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25,tendremos que realizar la siguiente consideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:
  26. 26. w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con los datos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos demodo similar al caso anterior, pero buscando en la fila30 de la tabla. Resultando:w0=95 = 1=6973Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828EJEMPLO5Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentilI8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de latabla)
  27. 27. El valor donde se cruzan todos estos datos será elpercentil buscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

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