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El concepto de Fracción de forma didáctica para la enseñanza

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26.concepto de fracción 26.concepto de fracción Document Transcript

  • EL CONCEPTO DE FRACCI´ONMartha Cecilia Mosquera UrrutiaProfesora Universidad Distrital Francisco Jos´e de CaldasBogot´a D.C, Colombiatangrams49@hotmail.comPresentaci´onEs muy frecuente encontrar que estudiantes que se desempe˜nan con ´exito enel ´area de matem´aticas tienen grandes dificultades en las otras ´areas cuan-do deben aplicar un concepto para resolver un problema; el simple hecho deplantear una regla de tres, interpretar una gr´afica, utilizar una f´ormula, iden-tificar variables en una ecuaci´on... procesos muy frecuentes en matem´aticas),se convierte en un problema que ocasiona bajos niveles de conceptualizaci´ony alta mortalidad especialmente en las ´areas de ciencias. Una amplia reflexi´onsobre este y otros aspectos, me movi´o a buscar alternativas en la ense˜nan-za, con el fin de lograr que los y las aprendientes desarrollaran altos nivelesde conceptualizaci´on que les permitieran transferir los conceptos aprendidosen el ´area de matem´aticas a otras ´areas del conocimiento, utiliz´andolos demanera significativa.Para su desarrollo, he dividido el cursillo en tres partes: En la primera planteolos aspectos referentes a la transferencia de conceptos, recursos y estrate-gias did´acticas para lograr aprendizajes significativos. En la segunda abordoel concepto de fracci´on desde cuatro diferentes interpretaciones: la relaci´onparte todo y la medida, la fracci´on como cociente, la fracci´on como raz´on y lafracci´on como operador y en la tercera realizo un taller para poner en pr´acticala transferencia del concepto de fracci´on en diferentes contextos; utilizandocomo recursos did´acticos el tangram y sus amigos, la matriz de cambio con-ceptual SQAT y la pregunta como punto de partida para la investigaci´on enel aula.La metodolog´ıa que se propone es de tipo constructivista y se apoya funda-mentalmente en las bases te´oricas de la pedagog´ıa para el desarrollo del apren-
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticadizaje aut´onomo. Los resultados que se presentan corresponden al proceso deinvestigaci´on que se adelanta en el aula con l@s estudiantes de licenciaturaen qu´ımica de la Universidad Distrital Francisco Jos´e de Caldas y l@s estudi-antes de los grados 7oy 9odel IED RAFAEL BERNAL JIM´ENEZ SEDE AJ.T.. el cual busca en esencia que l@s estudiantes aprendan a aprender y de-sarrollen h´abitos mentales de autorregulaci´on, actitudes para la convivencia,la producci´on y el trabajo en equipo.Con la divulgaci´on de esta experiencia espero contribuir al debate perma-nente sobre la ense˜nanza y el aprendizaje de las matem´aticas escolares y lautilizaci´on de recursos did´acticos para lograr aprendizajes significativos.Finalmente, agradezco al comit´e organizador del encuentro en especial a “mimaestro”el DOCTOR CARLOS LUQUE ARIAS por confiar en m´ı para larealizaci´on de este cursillo, a mis aprendientes: quienes se han constituidoen la principal motivaci´on que gu´ıa mi b´usqueda de nuevas alternativas paracompartir el saber y a mis compa˜neros y compa˜neras de trabajo en especialal Doctor Hugo Cer´on G. por su colaboraci´on y apoyo para la realizaci´on deeste trabajo.Objetivos1. MOTIVAR EN LOS Y LAS DOCENTES LA REFLEXI´ON EN CUAN-TO A C´OMO DEBE SER LA PR´ACTICA, PARA PROMOVER EFEC-TIVAMENTE EL PENSAMIENTO DE ALTO NIVELa) Ayudar a los y las docentes a conceptualizar, comprender y utilizarformas de pensamiento que les permitan reconocer la importanciaque tienen los procesos frente a la simple adquisici´on de contenidosb) Modelar estrategias para el aprendizaje de habilidades de pen-samiento que permitan conocer alternativas a los m´etodos tradi-cionales de charlas y conferencias.c) Ofrecer a los y las docentes oportunidades para dise˜nar, ejecutary evaluar estrategias para ense˜nar a pensar, mediante procesos deaprendizaje cooperativo.508
  • El Concepto de Fracci´ond) Ayudar a los y las docentes a establecer en el aula de clase la cul-tura del pensamiento que consiste en que todos se esfuerzan parapensar y actuar de forma reflexiva, imaginativa, cr´ıtica, inquisido-ra y creativa.e) Estimular a los y las docentes a reflexionar y analizar sus propiasformas de pensamiento en diversas situaciones problema, desper-tar su entusiasmo por la ense˜nanza de las habilidades de pen-samiento en todo momento y motivarl@s para transferir a la ac-ci´on el conocimiento inerte o pasivo que ya poseen.2. EXPLICAR EN QUE CONSISTE LA TRANSFERENCIA Y SUSPRINCIPALES IMPLICACIONES PARA EL LOGRO DE APREN-DIZAJES SIGNIFICATIVOS.3. MOSTRAR CAMINOS PARA LOGRAR LA TRANSFERENCIA DECONCEPTOS4. PRESENTAR EJEMPLOS CONCRETOS SOBRE CUATRO INTER-PRETACIONES DEL CONCEPTO DE FRACCI ´ON Y SU TRANS-FERENCIA A DIFERENTES AREAS MOSTRANDO LA UTILIDADDE LOS TANGRAMS PARA LOGRARLO.1. La Transferencia de Conceptos, Recursos yEstrategias Did´acticas Para Lograr Apren-dizajes SignificativosSe entiende la transferencia como un fen´omeno del pensamiento y aprendiza-je humanos que busca adquirir conocimientos en un contexto para luego po-nerlos en funcionamiento en otros, aplicando estrategias y predisposiciones alpensamiento en varios contextos, conectando ´areas del conocimiento aparente-mente diferentes viendo como una informa a la otra.Para comprender este fen´omeno se trabajan con l@s maestr@s talleresen los cuales fundamentalmente aprendemos a conocer utilizando los tan-grams como material did´actico para conceptualizar. Aprendemos a dise˜nar509
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticay utilizar diferentes materiales y estrategias para orientar el curso de laacci´on pedag´ogica y trabajamos en el desarrollo de habilidades de pensamien-to que posteriormente implementaremos en el trabajo de aula. Aprendemosa construir y utilizar la matriz de cambio conceptual SQAT paraorientar la planeaci´on de los cursos de acci´on pedag´ogica basados en el de-sarrollo de estrategias cognitivas y metacognitivas, aprendemos a evaluarlos aprendizajes y los resultados de la acci´on, aprendemos a transferirconocimientos aprovechando los conocimientos de nuestra especialidad y adise˜nar ambientes de aprendizaje que propicien el desarrollo de los y lasaprendientes.Con l@s aprendientes: para aprender a aprender matem´aticas (para al-gunos aprender a pensar), se trabaja el desarrollo de los temas en cuatrounidades fundamentales que se desarrollan naturalmente al aprendera diligenciar la matriz de cambio conceptual SQAT. En la y pormedio de la auto, co y heteroevaluaci´on determinamos c´omo estamos enellos para fijar el punto de partida de la acci´on. En la segunda columnaQ (QUE QUIERO APRENDER) fijamos las metas de aprendizaje decontenido, de pensamiento, actitudes y h´abitos a desarrollar, me-diante el uso consciente de estrategias cognitivas. La tercera columna (QUEAPREND´I) es de evaluaci´on para evaluar el grado de aprendizaje y laforma como aprendemos mediante el uso de estrategias metacognitivas yen la cuarta columna T (TRANSFERIR) investigamos sobre el uso delconcepto en contextos diferentes de aquellos en que los aprendimos,estos contextos son de tipo acad´emico y cotidiano.Metodolog´ıa: para el desarrollo de los temas el aula f´ısicamente se divideen cuatro espacios denominados “RINCONES DEL SABER”que correspon-den a los cuatro grandes bloques de la matem´atica a saber : RINC´ON DELOS N´UMEROS. RINCON DEL TIEMPO, RINCON DE LOS OBJETOSY RINCON DEL ESPACIO. Por las actividades que se realizan en cada unode los rincones la presencia del maestro en algunos de ellos no es fundamentalproporcionando la ventaja de atender con mayor atenci´on a l@s estudiantesque m´as lo necesitan y fomentando el desarrollo de la autonom´ıa a´un cuandoel grupo de estudiantes sea grande. L@s estudiantes del curso dividid@s enpeque˜nos grupos rotan de manera constante por el sal´on pu´es cada d´ıa rea-lizan las actividades correspondientes a uno de los rincones y el ´ultimo d´ıase trabaja en gran grupo. Se privilegian con esta metodolog´ıa el aprendizaje510
  • El Concepto de Fracci´oncooperativo, el estudio independiente a distancia y el estudio independientepresencial.Evaluaci´on: se han dise˜nado instrumentos que posibilitan la auto evaluaci´on(monitoreo de los aprendizajes y realizaci´on de tareas) estrategias para coevaluar como la veedur´ıa en parejas y t´ecnicas tan eficientes como la disneyy finalmente la heteroevaluaci´on en plenaria para mirar la efectividad de lasacciones, estrategias, metodolog´ıa y recursos utilizados.Materiales: principalmente utilizamos los tangrams y cualquier cantidadde juegos de destreza, embrollos, juegos de encajar ... cada uno con unafinalidad determinada. En clase realizamos an´alisis de problemas de ciencias,de geograf´ıa, de qu´ımica y f´ısica principalmente.MATRIZ DE CAMBIO CONCEPTUAL SQAT: Este instrumento seutiliza en dos momentos, el primero es a la hora de planear el curso de laacci´on pedag´ogica y el segundo es con los ni˜nos y las ni˜nas para que en ellaregistren los saberes: la matriz consta de cuatro columnas en las cuales seregistran: los conocimientos previos, las metas de aprendizaje de pensamientode contenido, la evaluaci´on y la transferencia.COLEGIO:AREA:TEMA:ESTUDIANTE:¿QU´E S´E? ¿QU´E QUIEROAPRENDER?¿QU´E APREND´I? TRANSFERIRConocimientosb´asicos nece-sarios paracomprenderel concepto atratarMetas de pen-samiento, metasdisciplinares, habil-idades, actitudes,h´abitos y valoresque se ejercitar´anparalelo al desar-rollo del conceptoEjecuci´on de es-trategias cognitivasy metacognitivaspara monitorearaprendizajes Dili-genciar r´ubricasde evaluaci´on yautoevaluaci´onContextosacad´emicos ycotidianos en loscuales el con-cepto adquieresignificadoTabla: 1511
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticaR ´UBRICAS PARA LA EVALUACI´ON: Son matrices que se elaboranpara ser diligenciadas por los y las docentes y por los y las estudiantes con elfin de monitorear aprendizajes, el objetivo central es el de aprender a hacerseguimiento y autorregular el proceso formativo.CATEGOR´IAS ¿PARAQU´E APREN-DER?¿C´OMOAPRENDER?¿C¨OMO DE-MOSTRARAPREN-DIZAJE?¿C´OMOVALORARAPREN-DIZAJE?¿QU´E ACCIO-NES DEMEJORA-MIENTOREALIZAR?SubCategor´ıas Intencionalidades 2* 3* 4* 5* 6* 7* 8* 9* 10* Autorregulaci´onCondiciones Identificar lasintencionalidadespropuestas parael periodoPlanear ydesarrollaracciones demejoramientoNivel ABCDETabla: 2*2 CONCEPTUALIZACI´ON DE CURSO DE ACCI´ON: Teneruna representaci´on mental del procedimiento impl´ıcito del proyecto3 CONSTRUCCI´ON DE SENTIDO AL CURSO DE ACCI´ON:Encontrar razones al curso de acci´on propuesto en el contexto del pro-ceso personal4 CRITERIOS DE EVALUACI´ON DEL CURSO DE ACCI´ON:Determinar los referentes a la luz de los cuales es posible evaluar uncurso de acci´on.5 CONCEPTUALIZACI´ON DE PRODUCTOS: Tener una repre-sentaci´on mental de los productos a elaborar6 CONSTRUCCI´ON DE SENTIDO A LOS PRODUCTOS AELABORAR: Encontrar razones para la elaboraci´on de los productospropuestos en el contexto del proceso personal512
  • El Concepto de Fracci´on7 CRITERIOS DE EVALUACI´ON DE LOS PRODUCTOS: De-terminar los referentes a partir de los cuales es posible evaluar cadaproducto elaborado.8 COMPARACI´ON IDEAL Vs: REAL: Poner en relaci´on las condi-ciones ideales con la propia construcci´on y concluir.9 COMPARACI´ON DE REALES: Poner en relaci´on las construccio-nes elaboradas a trav´es del tiempo y concluir.10 REFLEXI´ON: Tomar como base las conclusiones y comprender lasrazones del desfase.2. Aspectos a Tener en Cuenta para el De-bate1. FACTORES POSITIVOS Y NEGATIVOS: la l´udica es un aspec-to que motiva la realizaci´on del trabajo por parte de l@s aprendientes,los tangrams se constituyen para ellos y ellas en algo novedoso y unavez se hacen conscientes de las posibilidades de uso y comprueban lafacilidad con la que adquieren los conceptos la motivaci´on aumenta demanera considerable. Los clubes de jugador@s de Nim, juegos de inge-nio etc. Son una manera maravillosa de acercar a l@s estudiantes y alconocimiento. Me complace much´ısimo ver como l@s estudiantes espe-ran la clase, hacen las tareas y han ido mejorando en la parte acad´emi-ca prueba de ello es la mejora en los resultados de las evaluaciones decompetencias b´asicas y los resultados acad´emicos que obtienen en otras´areas del conocimiento, la forma como verbalizan, describen, expresany usan los conceptos de manera natural y la forma como operan sobretodo con las fracciones de manera mental.Otro aspecto positivo lo constituye la facilidad para conseguir el ma-terial, ya que ell@s mism@s cortan los tangrams favoreciendo as´ı eldibujo, el desarrollo de la motricidad y el uso de instrumentos de me-dida, de corte etc.ENTRE LOS NEGATIVOS hay dos bastante relevantes; el primerohace referencia a la dificultad que encierra el convencer a los y las apren-513
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticadientes, para ser protagonistas de su propio aprendizaje y emprenderpor s´ı mism@s la tarea de conocer, ya que ell@s quieren que uno lesdiga y les entregue todo masticado, a´un tardan bastante en adquirirh´abitos de autorregulaci´on y autocontrol pero con el paso de los d´ıasse va logrando, sobre todo cuando empiezan a evidenciar los resultadospositivos del trabajo. Lo m´as dif´ıcil consiste en desarrollar el h´abito dela persistencia ya que tienden a abandonar la tarea cuando les parecedif´ıcil o sienten incapacidad para hacerla; y el segundo son l@s propi@sdocentes ya que hay mucha resistencia al cambio, sobre todo cuandoeste implica emprender de nuevo la tarea de aprender y m´as cuandopensamos que todo lo sabemos; un tercero que tambi´en influye aunquede manera tangencial es la falta de compromiso de los padres y lasmadres de familia y la imposibilidad de muchos para acompa˜nar desdela casa los procesos de aprendizaje de los ni˜nos y las ni˜nas.2. PRODUCTOS: entre ellos cuento: cartilla TANGRAMS MAS QUEENTRETENIMIENTO en la cual desarrollo completamente el temade las fracciones utilizando el tangram y sus amigos, gu´ıas de trabajocon los diferentes tangrams y sus amigos: tangram chino, cardiotangra-ma, un nuevo tangram, armonigrama, hexatangrama, tri´angulos enca-jables y pentomin´os, m´as de veinte juegos de estrategia, de armado y dedestreza. cartilla MODELO DE MEDIACI´ON PEDAG´OGICA PARAEL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEM´ATICO en la cualdesarrollo el m´etodo planteado en esta experiencia, m´as de siete confe-rencias dise˜nadas tanto para maestros como para estudiantes, unidadesde aprendizaje de temas espec´ıficos, tengo en proceso de construcci´onuna cartilla MUESTRAME UN SITIO DONDE NO ENCUENTRESFRACCIONES en el cual se presentan diferentes contextos acad´emicosy cotidianos en los cuales el concepto de fracci´on adquiere significado.3. RESULTADOS: Alta motivaci´on de los y las estudiantes por el tra-bajo en el ´area.Se fomenta la investigaci´on y la curiosidad por conocer aspectos delas otras ´areas, en el caso de l@s estudiantes de primer y segundosemestre de licenciatura en qu´ımica se hace al finalizar el semestrela exposici´on de trabajos de aula en la cual ellos y ellas desarrollanaplicaciones de temas espec´ıficos del ´area de matem´aticas a laqu´ımica.514
  • El Concepto de Fracci´onEn el caso del trabajo con fracciones los y las estudiantes de 7 y9 desarrollan habilidades que les permiten consultar y compren-der conceptos de los libros de f´ısica, de qu´ımica, de c´alculo, ....esta facilidad les motiva a consultar de manera permanente y allegar a la clase con el producto de sus investigaciones (anexo a lapresentaci´on las dos primeras ediciones del bolet´ın de circulaci´oninterna en el IED RAFAEL BERNAL JIM´ENEZ “TANGRAMSMAS QUE ENTRETENIMIENTO”)Mejora en los resultados acad´emicos al elevar la comprensi´on sobreel origen de los conceptosLa experiencia enriquece al PEI en lo referente a la trascenden-cia por cuanto se trabaja en el desarrollo de h´abitos de estudio,actitudes y valoresEn lo referente al desarrollo de competencias resumir´ıa el impactoen que no solo aprenden a conocer sino a hacer algo con lo quesaben, el nivel de logro es alto y el desempe˜no eficiente, los re-sultados en la evaluaci´on de competencias han ido mejorando yesperamos en este a˜no lograr el reconocimiento. En relaci´on conlas otras ´areas del conocimiento este tipo de experiencia posibilitael encuentro entre los maestros y las maestras y la formulaci´onde n´ucleos probl´emicos alrededor de los cuales se desarrolla laense˜nanzaEl potencial innovador de la experiencia radica en adem´as depropiciar el aprendizaje significativo de los conceptos, ayuda alos y a las aprendientes a desarrollar actitudes positivas haciael aprendizaje y h´abitos mentales de autorregulaci´on que con-tribuyen a mejorar su calidad de vida al permitirles lograr el ´exitoen las tareas que emprenden.515
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´etica3. El Concepto de Fracci´on Desde Cuatro Di-ferentes InterpretacionesDIFERENTES INTERPRETACIONES DEL CONCEPTO DE FRACCI´ON1. La relaci´on parte todo y lamedida3. las fracciones comocociente2. la fracci´on comoraz´on4. la fracci´on como ope-radora. representaciones en con-textos continuos y discretosa. divisi´on indicada a. probabilidadesb. decimales b. como elemento de uncuerpo cocienteb. porcentajesc. recta num´ericaTabla: 3La Relaci´on Parte Todo y La Medida¿QU´E S´E?Conocimientos previosnecesarios para desarrollarel concepto¿QU´E QUIEROAPRENDER?Metas de aprendizaje de launidad¿QU´E APREND´I?✓Utilizar estrategiasmetacognitivas paravalorar la formacomo se aprende elconcepto y como sedesarrolla la tarea✓Reconocer la capaci-dad para realizaruna tareaTRANSFERENCIAReconocer los dife-rentes contextos en losque la fracci´on comorelaci´on parte - todoadquiere significado✓Tener interiorizada la no-ci´on de inclusi´on de clases✓Identificaci´on de la unidad(qu´e todo es el que se con-sidera como unidad en ca-da caso concreto)✓Noci´on de conservaci´on dela cantidad✓Manejo de la idea de ´areapara las representacionescontinuas✓habilidades de pensamien-to clasificaci´on compara-ci´on✓percibir anal´ıticamente laspartes que componen untodo✓reconocer y utilizar ade-cuadamente la informaci´on✓representar fracciones encontextos continuos, dis-cretos, en forma decimal yen la recta num´erica✓establecer la diferencia en-tre un conjunto continuo yun conjunto discreto✓valorar la importancia delsaber previo en la construc-ci´on de nuevos conceptos✓respetar y valorar la opi-ni´on de otros✓analizar la informaci´on condetenimientoTabla: 4516
  • El Concepto de Fracci´onMateriales AdecuadosLas regletas de Cousenaire, los tangrams con sus amigos, otros fabricados porl@s ni˜n@s bajo la orientaci´on del profesor, ideal utilizar reglas, escuadras, cin-tas m´etricas, term´ometros, balanzas, dinam´ometros entre otros instrumentosde medida.CUADRO UNO: HABILIDAD MENTAL: COMPARACI´ONCONCEPTOS: UNIDAD - ESTADO UNIDAD - CONJUNTOSDISCRETOS Y CONJUNTOS CONTINUOSExisten varias maneras de repre-sentar o nombrar una unidad: Enun contexto cont´ınuo en el quelas representaciones m´as comunes sehacen en dos dimensiones utilizan-do para ello: c´ırculos y rect´angulosaqu´ı por ejemplo14indica que de lascuatro partes en que se ha divido launidad se ha tomado una. . .Otra forma es en un contexto dis-creto, en el que la unidad es eln´umero de elementos de un conjun-to com´unmente se le llama esta-do unidad, por ejemplo si tomamoscomo estado unidad el n´umero decolombinas que hay en un paque-te; el todo se encuentra represen-tado por las cuatro colombinas delas cuales vamos a tomar una ,aqu´ı14representa la relaci´on entre eln´umero de colombinas que tomamos(1) y el n´umero total de colombinas(4).Tabla: 5517
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticaActividades Propuestas1. Buscar ejemplos de conjuntos continuos y discretos2. Ejercitar la habilidad de comparaci´on y clasificaci´on (n´umero de estu-diantes en el sal´on, relaci´on de n´umero de ni˜nas con el n´umero de ni˜nos,estatura de los ni˜nos y las ni˜nas, cantidad de tela que se emplea parahacer el uniforme, medida del tablero, ...)3. Utilizar para los diagramas la magnitud: longitud, es decir dividir unsegmento en partes iguales. Tener bastante cuidado de identificar enla recta el segmento unidad y extender la recta m´as all´a del uno (sininteresar el grado en que nos encontramos se extiende a izquierda yderecha y de manera natural se utiliza la rayita “-”para indicar de-splazamientos hacia la izquierda; verbalizar “menos tanto”)4. Pintar la recta en forma vertical y repetir los ejercicios (para arriba yabajo)5. Utilizar otras magnitudes como el tiempo, la masa, la temperatura...en este punto se utilizan todas las fundamentales.6. Utilizar de manera natural fracciones impropias y en igual forma lanotaci´on como n´umeros mixtos (ver las fracciones como extensiones delos n´umeros enteros)7. Conectar con la idea de medida utilizando escalas y proporcionar con-textos naturales para la suma (uni´on de dos medidas) y para la intro-ducci´on de los decimales (notaci´on decimal)8. El manejo de la representaci´on de las fracciones a trav´es de la rectanum´erica debe ser utilizado para conceptualizar las relaciones partetodo en un contexto y reconocer contextos equivalentes que procedende nuevas divisiones de la unidad (para esto es ideal utilizar las reglasy las escuadras que los ni˜nos y las ni˜nas poseen) con el fin de introducirla noci´on de equivalencia cuando la misma parte de la unidad recibenombres diferentes en funci´on del n´umero de divisiones.518
  • El Concepto de Fracci´onLa Fracci´on como CocienteCONOCIMIENTOSPREVIOSMETAS DE APRENDIZAJE EVALUACI´ONDE APREN-DIZAJESTRANSFERENCIA✓Operaciones b´asicasentre n´umeros na-turales: suma, restamultiplicaci´on y so-bre todo:✓Divisi´on✓Utilizaci´on de letrasy otros s´ımbolospara representar lascantidades✓Como bajo esta inter-pretaci´on se concibe a lasfracciones (n´umeros racionales)pertenecientes a un sistemaalgebr´aico abstracto donde lasrelaciones entre los elementosson de ´ındole deductiva, estainterpretaci´on debe tenerun car´acter globalizador yser posterior en la secuenciade ense˜nanza a las dem´asinterpretaciones.✓Las habilidades de pensamientoque se ejercitan son: inducci´on,deducci´on, generalizaci´on.✓Los conceptos que se constru-yen: variable, constante, expre-si´on algebr´aica, estructura alge-br´aica y cuerpo conmutativo.✓Lectura y escritura de expre-siones✓Manejo de representaciones devarios ´ordenes distintos✓H´abitos tan importantes comola persistencia, el realizar lastareas en forma ordenada,✓El trabajar con otros generandoactitudes positivas en relaci´oncon los aportes del otro parala construcci´on de conocimien-tos y teor´ıas.✓Uso de estrate-gias cognitivas ymetacognitivaspara describirlos procesos,procedimientosy la forma comollegamos a losresultados✓Hacer generaliza-ciones.✓Aqu´ı un buenelemento lo consti-tuye el manejo einterpretaci´on def´ormulasTabla: 6519
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticaCUADRO N ´UMERO DOS: HABILIDAD MENTAL: DE-DUCCI´ON CONCEPTOS: COCIENTE INDICADO EXPRE-SIONES ALGEBR´AICASOtra forma de interpre-tar las fracciones es aso-ci´andolas a la ope-raci´on de dividir unn´umero natural porotro as´ı entonces14=0,25 . . . y equivale a di-vidir una unidad entrecuatro personas a estose le denomina unaacci´on de reparto.Esto ya empieza acomplicarse, ¿c´omoas´ı qu´eab+cd=(ad + bc)bdLa profesora dice que enesta forma las fraccionesest´an consideradas comon´umeros racionales olo que es igual como loselementos de una es-tructura algebr´aica, esdecir como los elementosde un conjunto num´ericoen el que se ha definidouna relaci´on de equiva-lencia . . .Tabla: 7Actividades Propuestas1. Interpretar de manera gr´afica la divisi´on de dos n´umeros naturales,inicialmente asociada a problemas de reparto: “se tienen tres panes yhay que repartirlos de manera equivalente entre cinco personas ¿cu´antole tocar´a a cada una?”.2. Utilizar la notaci´on apropiada verificando siempre que los procedimien-tos se hagan y se verbalicen (35, 3 : 5, 3 ÷ 5), verificar la formulaci´on dereglas y hacer comprensi´on sobre el poder de las generalizaciones.3. Ejercitar de manera suficiente los casos en que a = b, a > b y a < b.Verificar la conceptualizaci´on sobre la notaci´on decimal y trabajar endiferentes bases y en contextos cont´ınuos y discretos.4. Hacer las construcciones con base en la propia actividad de los ni˜nos ylas ni˜nas, estimaci´on, sentido del orden, tama˜no ...520
  • El Concepto de Fracci´on5. Valorar el trabajo de los ni˜nos y las ni˜nas y los m´etodos y procedimien-tos por ellos y ellas utilizados aunque difieran de las aproximacionesformales.6. Hacer actividades en los que los ni˜nos y las ni˜nas deban comparary ordenar para que construyan procedimientos de soluci´on medianteprocesos de dividir, ordenar, medir, componer, ....7. Utilizar modelos de apoyo: tangrams y sus amigos, regletas, instrumen-tos de medida, escalas, y situaciones de la vida diaria que sirvan comopuente entre las situaciones problem´aticas en diferentes contextos y eltrabajo num´erico (L. STREEFLAND, 1984)8. Representar las situaciones mediante ecuaciones (para el caso del ejem-plo es 5 · x = 3 siendo x la cantidad de pan que le corresponde acada persona) distinguir los dos aspectos que se pueden presentar enuna situaci´on: a. Cuando nos proporcionan la cantidad y el n´umero departes en que hay que dividirla y nos preguntan cu´anto vale cada parte.Y b. Cuando nos proporcionan la cantidad y lo que vale cada parte ynos piden el n´umero de partes (medida).9. La consideraci´on de las fracciones como elementos de una estructura al-gebr´aica se empieza a hacer cuando se define el conjuntode los n´umerosracionales como elementos de la formaab, siendo a y b naturales y b = 0que representan la soluci´on de la ecuaci´on b·x = a ¿alguna vez se ha pre-guntado desde que edad forzamos a los ni˜nos y a la ni˜nas a hacer estosprocedimientos que para ellos y ellas no tienen ning´un tipo de signifi-cado?, o cuando empleamos f´ormulas para generalizar las operacionesab+cd=(a · d + b · c)b · d´oab−cd= ((a · d − b · c)b · d) ´oab×cd=a · cb · d...?521
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticaLa Fracci´on como Raz´onCONOCIMIENTOSPREVIOSMETAS DE APREN-DIZAJEEVALUACI´ON TRANSFERENCIA✓Relaciones✓Como en ´esta parte semaneja una concepci´ontotalmente diferente esimportante verificar laconceptualizaci´on sobrelas dos interpretacionesanteriores✓Raz´on de cambio de unamagnitud en relaci´on conotra✓Proporciones✓Identificar situaciones enlas cuales no existe demanera natural la unidadcomo un todo que se di-vide en partes✓Habilidades de pen-samiento: comparaci´on,clasificaci´on, deducci´on✓Representaci´on gr´afica derelaciones en el plano✓Uso de criteriospara compararmagnitudes✓Dotar de sentidolas magnitudesderivadas como porejemplo la velocidad,la aceleraci´on, ladensidad, la fuerza. . .Tabla: 8Actividades Propuestas1. En este caso las fracciones dejan de usarse en situaciones de compara-ci´on parte - todo, para ser utilizadas como un ´ındice comparativo. Eneste caso no existe de manera natural una unidad como s´ı ocurre en loscasos anteriores, por ello para realizar los procesos de conceptualizaci´onse requiere ubicar a los ni˜nos y las ni˜nas en diferentes contextos en loscuales puedan clarificar esta interpretaci´on.Relaci´on entre los elementos de dos conjuntosRelaci´on de tama˜no entre dos figuras semejantesManejo de escalas en los dibujos de los mapas, los planos, lasmaquetas ..., elaboraci´on de modelos geom´etricos.Recetarios, mezclas, aleaciones, velocidades, aceleraciones, ...2. Manejo de problemas sobre probabilidades522
  • El Concepto de Fracci´on3. Manejo de situaciones en las que se establece la proporcionalidad entreun n´umero y cien (porcentajes)4. Aqu´ı adquiere especial importancia la interpretaci´on de los fen´omenosnaturales y la representaci´on de las trayectorias por medio de gr´aficas.Materiales AdecuadosAqu´ı la variada gama de materiales que puede utilizarse tanto para hacermodelos como para conceptualizar es tan variada que se deja a la creatividadde los y las docentes el ver como utilizan los tangrams y sus amigos, lasregletas encajables, los textos de otras ´areas, las fotograf´ıas, en fin .......La Fracci´on Como Operador 1CONOCIMIENTOSPREVIOSMETAS DE APREN-DIZAJEEVALUACI´ON DESABERESTRANSFERENCIA✓Operaciones b´asicassuma, resta, multi-plicaci´on y divisi´on.✓Conteo✓Reversibilidad de losprocesos✓Operadores✓Comprensi´on de las frac-ciones en el papel de trans-formaciones.✓Comprensi´on de las cadenasestado - operador - estadoconstruidas al tomar un es-tado unidad y aplicar sobre´el una sucesi´on de multipli-caciones y divisiones o unasucesi´on de divisiones y mul-tiplicaciones✓Deducir las propiedades delas operaciones con potenciasde la misma base✓Conceptualizar las ope-raciones b´asicas entrefracciones✓Conceptualizar sobre ope-radores equivalentes y sobreestados equivalentes✓Aplicar estrategiascognitivas para laconstrucci´on delos conceptos ygeneralizaciones✓Aplicar estrategiasmetacognitivas paraexplicar la formacomo se consiguenlos resultados de lasoperaciones✓Utilizar las frac-ciones en diferentescontextos descri-biendo una ordeno acci´on a realizary describiendo unestado de cosas, esdecir, describiendouna situaci´onTabla: 9523
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticaCUADRO N ´UMERO CUATRO: HABILIDAD MENTALCLASIFICACI´ON COMPARACI´ON CONCEPTOS ESTA-DOS Y OPERADORES· · · c´omo aplicar al conjunto for-mado por los estudiantes del cur-so el operador23¡Muy f´acil¡ con este operador sequiere decir “dos ni˜nos o ni˜nas porcada tres ni˜nos o ni˜nas que hay en elsal´on”. Es decir que: como somos 30dividimos por 3 y nos quedan 10grupos y luego multiplicamospor dos es decir tomamos dosni˜nos o ni˜nas de cada grupo ynos quedan 20, es decir que lasdos terceras partes de 30 son 20Tabla: 10Actividades Sugeridas1. En esta interpretaci´on es importante aprender a identificar diferentesestados unidad (puntos de partida) en conjuntos cont´ınuos y discretos2. Trabajar la comparaci´on entre el estado unidad y el estado final (trans-formaci´on) al aplicar el operadoraben los tres casos a = b, a > b ya < b.3. Representar por medio de gr´aficas y hacer los cuadros resumen de lastransformaciones y siempre verbalizar.ESTADO UNIDADSITUACI ´ONOPERADORUNOESTADO UNO OPERADOR DOS ESTADO FINALTRANSFORMACI ´ON30 :3 10 ×2 20Tabla: 114. Trabajar la equivalencia de operadores haciendo actuar diferentes ope-radores fraccionarios sobre el mismo estado unidad para conseguir elmismo estado final524
  • El Concepto de Fracci´onESTADOUNIDADSITUACI ´ONOPERADORUNOESTADOUNOOPERADORDOSESTADO FI-NALOPERADOR30 :3 10 ×2 20 2330 :6 5 ×4 20 4630 :15 2 ×10 20 1015Tabla: 125. Equivalencia de estados, presentado un mismo operador que al actuarsobre estados diferentes produce la misma transformaci´on (comparandoel estado inicial y el final en el sentido descrito por las proporciones)ESTADO UNIDAD SITUACI ´ON OPERADOR ESTADO FINAL TRANSFORMACI ´ON30 232015 23106 234Tabla: 13NOTAR EN EL EJEMPLO QUE LA RELACI´ON ENTRE EL ESTA-DO INICIAL Y EL ESTADO FINAL SIEMPRE ES COMO DOS ESA TRES.6. Esta interpretaci´on ofrece un contexto natural para la composici´on detransformaciones (funciones operador), la idea de inversa (el operadorque reconstruye el estado unidad), la idea de identidad (el operador queno modifica el estado unidad) que deber´an ser trabajadas ampliamentepara lograr altos niveles de conceptualizaci´on por parte de los ni˜nos ylas ni˜nas.7. Realizar ejemplos con los diferentes TANGRAMS considerando comoestado unidad diferentes piezas resulta muy interesante22V´ease por ejemplo la Gu´ıa de trabajo EL ARMONIGRAMA para m´as actividades.525
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticaA MANERA DE S´INTESIS: Debido a las diversas interpretacionesque ofrece el concepto de fracci´on, algunos autores lo considerancomo un MEGACONCEPTO refiri´endose al n´umero racional co-mo sintetizador de todas las interpretaciones descritas, constituidopor diferentes subconceptos las llamadas interpretaciones. Porello, si la idea es APRENDER A TRANSFERIR empezar por ´estepunto proporciona una gran ventaja por el amplio dominio que selogra frente a la ESTRUCTURAS COGNITIVAS entendidas co-mo esquemas subyacentes a las acciones necesarias para desarrol-lar tareas que implican el manejo de un concepto desde muchasperspectivas. ESTE EJEMPLO proporciona una excusa para quelos diferentes especialistas presenten las diferentes interpretacionesque desde su campo adquiere un concepto determinado, en busca deuna ense˜nanza que sea para la vida y no para un examen. ESPEROENTONCES QUE EL OBJETIVO DEL TRABAJO SE LOGRETallerPara poner en pr´actica los conceptos trabajados en las dos sesiones anterioresdesarrollaremos un taller sobre fracciones utilizando como material did´acti-co EL ARMONIGRAMA Y SUS AMIGOS. La gu´ıa de trabajo es una enla serie que trabajo con mis aprehendientes, por ello a lo largo de ´esta sehar´a referencia a los ni˜nos y las ni˜nas, cada una de las gu´ıas de la serie tienela posibilidad de ser adaptada por el maestro de acuerdo con el grado en quela utilice.Plano de Corte para El Armonigrama y sus AmigosConstruir el armonigrama y sus amigos es una tarea sencilla, necesitar´as 4rect´angulos en madera, fomi, cart´on grueso o pevec´ın. Cuyos lados est´en enla relaci´on 4 : 5.526
  • El Concepto de Fracci´on1. CUADR´ICULA.En el primer rect´angulo marcar´as claramente las unidades cuadradas,´este rect´angulo es muy ´util a la hora de hacer c´alculo de ´areas, per´ımet-ros y hacer construcciones proporcionales, para hacerlo interactivo con-viene que en un grupo todos sean de la misma medida y ojal´a en elmismo material 12cm × 15cm. es un tama˜no ideal. Si este es el casolas unidades cuadradas ser´an de 3cm×3cm y para mejorar los c´alculospodr´ıas inclusive marcar con l´ıneas de un color diferente los cm2.Figura: 12. UNIDADES CUADRADASToma otro rect´angulo marca las unidades cuadradas como en el casoanterior y luego rec´ortalas.Figura: 2527
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´etica3. FIGURAS B´ASICASEL ARMONIGRAMA es un tangram que no posee figura b´asica (esdecir una pieza que quepa un n´umero determinado de veces en las otraspiezas) por eso hay necesidad de construirlas; para hacerlo toma untercer rect´angulo, marca en ´el las unidades cuadradas y posteriormentetraza las diagonales de las unidades cuadradas en solo sentido, observaque han quedado marcados cuarenta tri´angulos rect´angulos is´osceles de´area media unidad cuadrada. Rec´ortalos.4. ARMONIGRAMAToma el cuarto rect´angulo y realiza de manera cuidadosa los trazosque aparecen en la figura, luego recorta las piezas (antes de cortarobserva bien para determinar la regularidad en el patr´on) Para facilitarla observaci´on el rect´angulo tiene la cuadr´ıcula pintada y las piezasaparecen en diferentes tramas y colores, tambi´en lo puedes observar enla primera p´agina de ´esta gu´ıa.Figura: 3ARMONIGRAMA528
  • El Concepto de Fracci´onFigura: 4TANGRAMS M ´AS QUE ENTRETENIMIENTOPROGRAMA DE FORMACI ´ON DETALENTOS EN MATEM ´ATICASArmonigramaEl ARMONIGRAMA es un interesante TANGRAM que se obtiene al reali-zar cortes especiales a un rect´angulo. LOS AMIGOS DEL ARMONIGRA-MA SON: un tablero rectangular de 5U por 4U con la cuadr´ıcula dibujada,20 unidades cuadradas, y 40 tri´angulos rect´angulos is´osceles de ´area mediaunidad. Cada uno de esos tri´angulos ser´a llamado figura b´asica ya que elarmonigrama no posee una.PIEZA UNOFigura: 5529
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticaLo vamos a utilizar para ejercitar las habilidades mentales de comparaci´ony clasificaci´on. y para reforzar conceptos referentes a las fracciones y a lasoperaciones entre ellas.Actividades:Con Cada una de las Piezas1. Identifica las 8 piezas que componen el armonigrama y describe la figurageom´etrica que representan. Por ejemplo: la pieza n´umero uno es untrapecio recto escaleno.2. Halla el per´ımetro de cada una de las ocho piezas. Por ejemplo elper´ımetro de la pieza n´umero uno es 6 +√2 unidades.3. Halla la relaci´on de tama˜no entre los lados de cada una de las piezas.Por ejemplo: en la pieza n´umero uno los lados paralelos est´an en larelaci´on 2 : 3, los lados no paralelos est´an en la relaci´on 1 :√2, ytambi´en podemos establecer las relaciones 1 : 2, 1 : 3, 2 :√2 y 3 :√2y viceversa, 2 : 1, 3 : 2, ...Las Piezas En Relaci´on Con La Figura B´asica4. Halla el ´area de cada una de las ocho piezas en unidades b´asicas Porejemplo: el ´area de la pieza n´umero uno es 5 unidades b´asicas.Las Piezas En Relaci´on Con La Unidad Cua-drada5. Halla el ´area de cada una de las ocho piezas en unidades cuadradas.Por ejemplo: el ´area de la pieza n´umero uno es 212unidades cuadradas.530
  • El Concepto de Fracci´onLas Piezas En Relaci´on Con El Rect´anguloBase6. Halla el tama˜no de cada una de las ocho piezas en relaci´on con elrect´angulo base. Por ejemplo: la pieza n´umero uno es18(una octavaparte del rect´angulo base)¿Es posible hacer ´este ejercicio con todas las piezas? JUS-TIFICA TU RESPUESTALas Piezas Entre EllasUtiliza el conocimiento que ya tienes de cada una de las ocho piezasdel armonigrama para clasificarlas en diferentes grupos.7. Las que tienen la misma forma8. Las que tienen el mismo n´umero de lados9. Las que tienen el mismo tama˜no10. Las que tienen la misma forma pero diferente tama˜no11. Las que guardan las mismas relaciones entre sus lados12. Las que tienen un lado de la misma medida.13. Otros grupos.RompecabezasPol´ıgonos ConvexosCada una de las ocho piezas del armonigrama es un pol´ıgono convexo, juegaa armar otros pol´ıgonos convexos utilizando: dos piezas, tres piezas, cuatro531
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticapiezas, cinco piezas, seis piezas, siete piezas y las ocho piezas. Observa acontinuaci´on cinco de los que puedes armar con las ocho piezas ¡No OlvidesGraficar Las Soluciones!Figura: 6UTILIZANDO M´ETODOS DE RAZONAMIENTO APREN-DIDOS EN ALGEBRA ES POSIBLE PROBAR QUE CONEL ARMONIGRAMA SOLO ES POSIBLE CONSTRUIRESTOS CINCO POLIGONOS CONVEXOSPREGUNTAS DE ORO¿POR QU´E NO ES POSIBLE CONSTRUIRUN CUADRADO CON LAS OCHO PIEZASDEL ARMONIGRAMA¿CON CU ´ANTAS DE ELLAS ES POSIBLECONSTRUIR UNO?Ejercicios Con FraccionesEn los ejercicios que encontrar´as a continuaci´on las fracciones ser´an consid-eradas como operadores, para resolverlos construiremos cadenas de la formaestado - operador - estado... y el objetivo central es el de recordar el car´acterarbitrario de las unidades.532
  • El Concepto de Fracci´on1. Escoge como unidad la pieza mayor del armonigrama, en relaci´oncon ella las otras piezas recibir´an el nombre de partes de launidad.Empleando exclusivamente figuras b´asicas disponlas de tal modo quelo que construyas contenga tanta cantidad de madera como la que hayen la pieza unidad, realiza el mismo ejercicio utilizando exclusivamenteunidades cuadradas, es posible realizar de nuevo el ejercicio utilizandodos piezas iguales del armonigrama. Construye diferentes figuras quecontengan igual cantidad de madera que la pieza unidad. Toda cons-trucci´on que contenga igual cantidad de madera que una pieza unidadse llamar´a ESTADO UNIDAD.Divide el estado unidad en partesiguales tantas veces como sea posible, no olvides representar gr´afica-mente las soluciones.Construye de varias maneras diferentes una vez y media el estadounidad, dos veces y media el estado unidad... Realiza varios ejerciciosde este estilo eligiendo otras piezas del armonigrama como unidad ytambi´en con el rect´angulo base.2. Construye cadenas de conjuntos de tal forma que cada conjunto puedaconstruirse a partir del precedente siguiendo una cierta regla. Tomemospor ejemplo un conjunto de 4 objetos ´este ser´a nuestro primer conjunto;a partir de este primer conjunto construyamos un segundo conjuntocolocando dos objetos en ´el por cada uno de los objetos que tengamosen el primer conjunto2por cada1Figura: 7Ahora construye un tercer conjunto colocando un objeto en ´el por cadacuatro objetos que haya en el segundo conjunto. Verbaliza y escribelas transformaciones: multiplicamos el n´umero de objetos que hay en533
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticael primer conjunto por dos y obtenemos el n´umero de objetos que hayen el segundo conjunto, dividimos el n´umero de objetos que hay en elsegundo conjunto por cuatro y obtenemos el n´umero de objetos quehay en el tercer conjunto.3. Empieza considerando como estado unidad un conjunto de 20 objetos,construye un segundo conjunto colocando en ´el 1 objeto por cada 4objetos que haya en el primer conjunto, construye un tercer conjun-to colocando en ´el 3 objetos por cada objeto que haya en el segundoconjunto. ¿cu´antos objetos habr´a en el tercer conjunto?4. Toma de nuevo un conjunto de 20 objetos como estado unidad, cons-truye un segundo conjunto colocando en ´el 2 objetos por cada 5 objetosque haya en el primer conjunto y un tercer conjunto colocando en ´el1 objeto por cada cuatro objetos que haya en el segundo conjunto.¿cu´antos objetos habr´a en el tercer conjunto?5. Considera de nuevo el ejercicio 2 y trata de encontrar otro sistemadiferente para obtener el tercer conjunto a partir del conjunto inicial;realiza el mismo procedimiento con los ejercicios 3 y 4. Si lo considerasnecesario, puedes construir otros conjuntos intermedios.6. Representa los datos obtenidos en una tablaESTADO UNIDAD OPERADOR UNO ESTADO UNO OPERADOR DOS ESTADO FINAL4 ×2 8 : 4 2Tabla: 147. Realiza otros ejercicios considerando estados unidad y operadores dife-rentes.8. En cada uno de los ejercicios anteriores resume las reglas en una sola,por ejemplo: para llegar de un estado unidad de cuatro objetos a unestado de dos objetos tomamos dos objetos por cada cuatro objetos,esta situaci´on se puede expresar mediante el operador compuesto 2por cada cuatro y se nota24, el mismo resultado se obtiene al tomardos objetos por cada objeto es decir uno por cada dos y se nota12534
  • El Concepto de Fracci´onesta situaci´on se expresa en la forma: el conjunto tres contiene las doscuartas partes de objetos que el conjunto uno o lo que es igual, en elconjunto tres hay la mitad de objetos que en el conjunto uno.Para garantizar la comprensi´on del concepto convienerealizar muchos ejercicios, representar gr´aficamente yhacer las cadenas correspondientes9. Para aprender a comparar fracciones toma un estado unidad fijo yapl´ıcale los operadores que deseas comparar y luego compara los esta-dos finales, realiza una cantidad suficiente de ejercicios y luego gener-aliza los resultados. Por ejemplo para comparar13,26y39toma comoestado unidad un conjunto de 18 objetos y forma un nuevo conjuntocolocando en ´el un objeto por cada 3 objetos que haya en el primerconjunto, cuenta los objetos que hay en el segundo conjunto, seguida-mente toma de nuevo un estado unidad de 18 objetos y forma un nuevoconjunto colocando en ´el dos objetos por cada seis objetos que haya enel primer conjunto, determina el n´umero de objetos que hay en el se-gundo conjunto, repite de nuevo el ejercicio tomando tres objetos porcada nueve objetos, luego compara y concluye.Un objeto porcada tresobjetos 1/3Dos objetospor cada seisobjetos 2/6Tres objetos porcada nueveobjetos 3/9Figura: 8535
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticaSituaciones ...La se˜nora Clara tiene dos ni˜nos y la se˜nora Betty 4, la se˜nora Clarareparte en partes iguales una chocolatina entre sus dos hijos, la se˜noraBetty quiere dar a sus hijos la misma cantidad de chocolatina quela se˜nora Clara le ha dado a los suyos. ¿cu´antas barras de chocolatedeber´a comprar para conseguirlo?Don Pablo tiene 3 ni˜nas y 9 ni˜nos y desea repartir entre ellos un lote deforma que una hect´area se distribuya en partes iguales entre las ni˜nasy a cada uno de los muchachos le corresponda igual cantidad de tierraque a cada una de las ni˜nas. ¿cu´al es la superficie del lote?Tangramina reparte en partes iguales 3 naranjas entre sus cinco amigasy Tangramin reparte en la misma forma 6 naranjas entre sus amigos.¿cu´antos amigos tiene Tangramin?Inventa nuevos problemas que justifiquen el uso de las fracciones yproponlos para trabajar en clase.ProblemasCON EL ARMONIGRAMA AL IGUAL QUE CON CUALQUIER OTROTANGRAM ES POSIBLE FORMAR UNA INFINIDAD DE FIGURAS ES-TRUCTURALES, AL TRATAR DE ARMARLAS MEJORAS TU UBI-CACI´ON ESPACIAL, LA DESTREZA Y LA AGILIDAD MENTAL.LO MAS IMPORTANTE ES QUE CUANDO LOGRES ARMARCADA UNA GRAFIQUES LA SOLUCI´ON CONSERVANDO LASPROPORCIONES.RECUERDA QUE PARA ARMAR CADA FIGURA DEBES US-AR LAS OCHO FICHAS SIN SUPERPONERLAS.536
  • El Concepto de Fracci´onFigura: 9ObjetosEjercicios De C´alculo Con FraccionesFigura: 10Al tomar las cuarenta figuras b´asicas como estado unidad es posible deter-minar la fracci´on que representa cada una de las piezas del armonigrama Ysus equivalentes:110,18,320, y14.identif´ıcalas y utiliza el material para hacerlos siguientes c´alculos:537
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´eticaLa mitad de640La tercera parte de640La quinta parte de1040La cuarta parte de440La mitad de110Las tres cuartas partes de440Las dos terceras partes de320Las cuatro terceras partes de640Las seis quintas partes de181. En algunos de los ejercicios has encontrado estados fraccionarios queson mayores que el estado unidad y otros que son menores que ´el, encada caso se dice que la fracci´on es superior a uno o inferior a unorespectivamente.2. Determina (sin hacer c´alculos) cu´ales de las siguientes fracciones sonmayores que uno➣34➣43➣65➣56➣23➣323. ¿Hay alg´un modo r´apido para determinar si una fracci´on es mayor queuno? Intenta encontrar un sistema.4. Si la fracci´on tiene la formaabgeneraliza el resultado5. Toma la pieza538
  • El Concepto de Fracci´onComo representante del estado unidad, entonces la pieza representa65pero:=+Figura: 11Entonces podemos expresar65como 1 +15.6. Realiza este ejercicio con las otras piezas del armonigrama.7. Toma otra de las piezas del armonigrama como estado unidad y realizade nuevo el ejercicio.8. Realiza la siguiente adici´on:(1 +15)+(2 +35)+(3 +45)Construye la respuesta agrupando tanto como sea posible los estadosunidad de tal forma que solo falte a˜nadir un estado fraccionario inferiora la unidad.9. Escribe el resultado de la suma anterior en forma de fracci´on ordinariaALGUNAS VECES NO SE EMPLEA EL SIGNO DE ADI-CI´ON ENTRE ESTADOS UNIDAD Y ESTADOS FRAC-CIONARIOS, POR EJEMPLO 2 +35SE ESCRIBE SIMPLE-MENTE 235Y SE LEE: DOS ENTEROS TRES QUINTOS539
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´etica10. Transforma las siguientes expresiones fraccionarias en fracciones sim-ples:➣ 227➣ 312➣ 123➣ 314➣ 25611. Cuando termines de hacer los ejercicios de adici´on realiza ejercicios desustracci´on y formula las reglasEn algunos casos encontrar´as que debes quitar mas de lo quetienes... cuando as´ı sea presta y expresa esta situaci´on comouna DIFERENCIA NEGATIVA Y PARA REPRESENTARLOESCRIBE UN SIGNO MENOS ANTES DEL RESULTADO ELCUAL INDICA “LO QUE LE HACE FALTA”AL PRIMEROPARA SER IGUAL AL SEGUNDO. INVESTIGA Y REALI-ZA CONSTRUCCIONES PARA PROBAR LA EXISTENCIA YAPRENDER A IDENTIFICAR:EL OPERADOR NEUTROEL OPERADOR INVERSOReferencias[1] J. Acevedo, Para Hacer Historietas, Editorial Popular, Madrid Espa˜na1987 tercera edici´on.[2] Tom Apostol, Calculus, Volumen I Editorial Revert´e Madrid Espa˜na1988.[3] J Bandet, G Mialaret y R Brandicourt, Los Comienzos Del C´alculo,Editorial Kapeluz, Buenos Aires Argentina 1965.[4] J Bandet y M Abbadie, C´omo Ense˜nar a trav´es Del Juego, EditorialFontanella ...[5] Ricardo Berlanga, Las Matem´aticas: Perejil de Todas Las Salsas, Ed.Fondo de Cultura Econ´omica, M´exico 2002.[6] B Bolt, 101 PROYECTOS MATEMATICOS, Ed. LABOR S.A.Barcelona Espa˜na 1992540
  • El Concepto de Fracci´on[7] B Bolt, DIVERTIMENTOS MATEMATICOS, Ed. LABOR S.A.,Barcelona Espa˜na 1991[8] J Bruner, EL PROCESO EDUCATIVO, Ed. PAIDOS Buenos AiresArgentina 1973[9] F De Escalona, Y M NORIEGA,DIDACTICA DE LA MATEMATI-CA EN LA ESCUELA PRIMARIA Ed. KAPELUZ S.A. Buenos AiresArgentina, 1975.[10] Diccionario Planeta De la Lengua Espa˜nola Usual, Editorial Planeta,S.A. Bogot´a 1992[11] Z. P Dienes ,FRACCIONES, Ed. TEIDE, BARCELONA, Espa˜na,Primera Edici´on 1972.[12] Z. P Dienes ,Las Seis Etapas Del Aprendizaje En Matem´atica, Editorialteide, S.A. Barcelona Espa˜na 1970.[13] Jody Doran y Eugenio Hern´andez,LAS MATEM ´ATICAS EN LA VI-DA COTIDIANA, Addison - wesley ediciones Universidad Aut´onomade Madrid Iberoamericana S.A. 1999.[14] Doman, J Glenn ¿C´omo Ense˜nar Matem´aticas A Su Beb´e? EditorialAguilar. Madrid Espa˜na 1981.[15] J Elfers,EL TANGRAM JUEGO DE FORMAS CHINO,Ed. LABORS.A. Barcelona Espa˜na 1989.[16] H. M. Enzensberger, El Diablo De Los N´umeros, Editorial Siruela,Madrid Espa˜na 1987[17] David Escovedo , Hern´an, Desarrollo De Competencias Para PensarCient´ıficamente, Colciencias Bogot´a 2002.[18] R Florez, EVALUACION PEDAGOGICA Y COGNICION . Ed. Mc-GRAW Hill Interamericana S:A: Bogot´a 1999.[19] R Florez, HACIA UNA PEDAGOGIA DEL CONOCIMIENTO, Ed.McGRAW Hill Interamericana S.A. Mexico 1995.541
  • Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´etica[20] Howard Gardner, Educaci´on Para La Comprensi´on En Los PrimerosA˜nos; Educaci´on Para La Comprensi´on En Los A˜nos De La Adolescen-cia, En “La Mente No Escolarizada”. Editorial Paidos, Barcelona 1993.[21] G. E Holloway, Concepciones Del Espacio Seg´un Piaget, Editorial Pai-dos, Barcelona Espa˜na 1982.[22] L. D Insuasty, GUIAS DE APRENDIZAJE AUTONOMO A,B,C,D,DEPARTAMENTO DE POSTGRADO CAFAM 2001.[23] F Jaulin-Mannoni, LA REEDUCACION DEL RAZONAMIENTOMATEMATICO Pablo Del Rio Editor S.A. MADRID ESPA˜NA 1980[24] Edward Kasner, y James Newman, Matem´aticas e Imaginaci´on, Edi-ciones Orbis, New York : Harcourt Brace 1955.[25] S. Kothe, ¿C´omo Utilizar Los Bloques L´ogicos de Z. P. Dienes?, Edito-rial Teid´e. Barcelona Espa˜na 1981.[26] Jaume Llibre, El tangram de los ocho elementos 1977.[27] S Llinares, y M Sanchez, Fracciones: La Relaci´on Parte Todo. EditorialS´ıntesis Universidad de Sevilla Espa˜na 1999.[28] R. J Marzano, DIMENSIONES DEL APRENDIZAJE, Adaptado porINSUASTY LUIS DELFIN. Especializaci´on En Pedagog´ıa Para El De-sarrollo del Aprendizaje Aut´onomo UNAD- CAFAM 2001.[29] MEN. ESTANDARES CURRICULARES AREA DE MATEMATICASBOGOT´A 2003.[30] MEN. LINEAMIENTOS CURRICULARES AREA DE MATEMATI-CAS Serie Lineamientos Curriculares. Bogot´a Julio de 1998.[31] Martha Cecilia Mosquera Urrutia, CIRCULOS DE CALIDAD PED-AGOGICA TESIS DE GRADO MAESTRIA EN EDUCACION UNI-VERSIDAD DE LA SABANA CHIA-CUND, Sep. 1997. El RAE de estatesis se encuentra publicado en el libro: 10 a˜nos de investigaci´on de laMaestr´ıa en Educaci´on. Universidad de la Sabana Ch´ıa 2001. Un comen-tario a cerca del mismo t´opico se encuentra publicado en las Memoriasdel Segundo Foro Educativo Distrital “¿C´omo formar Ciudad y Ciu-dadanos Competentes?”SED 1997.542
  • El Concepto de Fracci´on[32] Martha Cecilia Mosquera Urrutia, De La Geometr´ıa al ´Algebra Pasandopor EL TANGRAM, En MEMORIAS DEL XI ENCUENTRO DE GE-OMETRIA Y SUS APLICACIONES. Universidad Pedag´ogica Nacional.Bogot´a, 2000.[33] Martha Cecilia Mosquera Urrutia, TANGRAMS MAS QUE EN-TRETENIMIENTO, producci´on personal 2002 algunos comentarios ac-erca de esta experiencia se encuentran en las menorias de XVI ColoquioDistrital de Matem´aticas y Estad´ıstica Universidad Nacional De Colom-bia. Bogot´a, diciembre de 1999.[34] Martha Cecilia Mosquera Urrutia, Modelo de Mediaci´on Pedag´ogicaPara el Desarrollo Del Pensamiento Matem´atico, TESIS DE GRA-DO ESPECIALIZACI ´ON EN PEDAGOGIA PARA EL DESARROLLODEL APRENDIZAJE AUT´ONOMO UNAD-CAFAM. Bogot´a 2003.[35] Juan H Quintana Lozano, Plan De Estudios y Metodolog´ıas Para ElDesarrollo De Procesos de Pensamiento, SED Bogot´a. Mayo de 2000.[36] Jos´e A Rodriguez, Aprendizaje Del Adulto, Temas 17 y 18. UNAD -CAFAM. Bogot´a 1999.[37] SED DIVISION DE ENRIQUECIMIENTO INSTRUMENTAL: Progra-ma De Enriquecimiento Instrumental En el marco de aplicaci´on del De-creto 3011 de 1998[38] Carlos E VASCO, Enfoque de Sistemas Para la Ense˜nanza de lasMatem´aticas, MEN. Bogot´a 1986543