Your SlideShare is downloading. ×
INTEGRAL KALKULUS    (TEKNIK INTEGRASI)Contoh soal dan penyelesaiannya Dra. Dwi Liestyowati, MM
INTEGRALKONSEP INTEGRAL   Kita telah mengenal operasi invers (balikan fungsi). Berikut ini adalah contohpasangan operasi i...
1. INTEGRAL TAK TENTU    Jika F’(x) = f(x) dan f kontinu, maka :                              dx = F ( x) + C , (C = konst...
Perhatikan diagram dibawah ini :    Integral fungsi Trigonometri    1.   ∫ sin x dx = − cos x + c    2.   ∫ cos x dx = sin...
Contoh 10 : a) ∫ sin 3θ dθ = − 1 cos 3θ + c                  b)                               3                           ...
3         π  π        6 + π = sin 2  + 3  + C          4         4 4                  3            =1+ π + C  ...
Contoh 15       Tentukan persamaan kurva dengan gradient garis singgung di titik (x, y) sama       dengan 2x – 3, dan kurv...
b). Berapa jauh posisi benda pada saat t = 4 ?           a). s(t) = ∫(8t - 1) dt = 4t2 - t + c , diketahui : s(1) = 6     ...
Untuk contoh 14 kita bisa langsung memakai 3G :                                    (2 x + 5) 7 +1      (2 x + 5)8        ∫...
Contoh 21 :        Hitunglah integral berikut ini dengan menggunakan metode parsial        a.   ∫x     ax + b dx = ....   ...
x ax + b − 2 (ax + b ) (ax + b ) + c                                     2            4                                 = ...
3G4. INTEGRAL TERTENTU   Teorema dasar Integral tertentu    b    ∫ f ( x)dx =[F ( x)]a = F (b) − F (a)                    ...
Contoh 23 :    3                               1                3 1                1                     ∫ (x       − ...
 Dua kurva     y = f(x) diatas y = g(x)                         x = f(y) dikanan x = g(y)         Contoh 22 :         Ten...
Contoh 23 :       Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini       Jawab:             π                    ...
Contoh 25 :       Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini       Perhatikan jika luas daerah dihitung den...
2. Luas daerah dengan melihat gambar (pendekatan secara geometri)                                  Luas daerah yang diarsi...
1. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 – 4x – 5 dengan sumbu x.Soal-soal dan pembahasan :   Titik potong dengan...
3. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 - 2x + 1 dengan y = -x2 + 8x - 7 .   Titik potong dengan sumbu x :      ...
5. Tentukan Luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh y = 16 − x 2                         x2 + y2 = R2 adalah lingkaran...
Contoh 26 :   berapakah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi oleh kurva   y = x2 dan garis y = 3x di...
Contoh 27 :                                     Daerah yang diarsir pada gambar di samping diputar                        ...
 b 2t − 2abt + a 2t 3abt  1       = π                   3                              +                              ...
Contoh 31 :   Daerah yang diarsir disamping diputar mengelilingi sumbu x. Tentukan volume yang   terbentuk                ...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Teknik pengintegralan

16,275

Published on

Cara cepat untuk menyelesaikan soal-soal Integral pada Ujian Nasional dan UMPTN

Published in: Education
4 Comments
25 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
16,275
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
4
Likes
25
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Teknik pengintegralan"

  1. 1. INTEGRAL KALKULUS (TEKNIK INTEGRASI)Contoh soal dan penyelesaiannya Dra. Dwi Liestyowati, MM
  2. 2. INTEGRALKONSEP INTEGRAL Kita telah mengenal operasi invers (balikan fungsi). Berikut ini adalah contohpasangan operasi invers dalam matematika: penjumlahan, pengurangan, perkalian danpembagian, pangkat dan akar. Pada bab ini akan dipelajari invers dari turunan yangdisebut antiturunan. Definisi: Integral adalah fungsi invers dari turunan Suatu fungsi F dikatakan sebagai antiturunan (antiderivatif) dari fungsi f apabila F’(x) = f(x) untuk setiap x dalam domain dari fJika kita mengatakan turunan dari A adalah B, maka dikatakan bahwa Integral dari Aadalah B.Misalnya jika c adalah sebuah konstanta, turunan dari x2 + c adalah 2x, maka integraldari 2x adalah x2 + c.Lambang “ ∫dx “ digunakan untuk menyatakan integralPerhatikan diagram dibawah ini :Dwi liestyowati 1
  3. 3. 1. INTEGRAL TAK TENTU Jika F’(x) = f(x) dan f kontinu, maka : dx = F ( x) + C , (C = konstanta) ∗ Operasi pada Integral ∫ f ( x) ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx ∫ [kf ( x)]dx = k ∫ f ( x)dx , (k = konstanta) ∗ Rumus dasar Integral Integral fungsi Aljabar 1. ∫ a dx = ax + c , a = konstanta 2. 1 ∫x n x n +1 + c, n ≠ −1 dx = 3. ∫ kx dx = n +1 k n x n +1 + c, n ≠ −1 n +1Contoh 1 : ∫x dx =..... 7 x 7 +1 x8 1 8 ∫ x dx = 7 + 1 + c = 8 + c = 8 x + c 7Contoh 2 : ∫ x dx =..... 1 +1 1 x2 2 ∫ x dx = ∫x 2 dx = 1 +c= x 3 x +c +1Contoh 3 : 2 dx ∫ x3 =..... dx 1 −3 x −3+1 1 ∫ x3 = ∫ x3 dx = ∫ x dx = − 3 +1 +c = 2x2 +cContoh 4 : ∫ ( x − x + x)dx =..... 3 2 ∫ ( x − x + x)dx = ∫ x dx − ∫ x dx + ∫ xdx 3 2 3 2 1 4 1 3 1 2 = x − x + x +cContoh 5 : 4 3 2 ∫ (x + 1) 2 dx =..... 2 ∫ (x 2 ( + 1) 2 dx = ∫ x 4 + 2 x 2 + 1 dx = ) 1 5 2 3 5 x + x + x+c 3Dwi liestyowati 2
  4. 4. Perhatikan diagram dibawah ini : Integral fungsi Trigonometri 1. ∫ sin x dx = − cos x + c 2. ∫ cos x dx = sin x + c 3. ∫ sec x dx = tan x + c 2 4. ∫ cosec x dx = − cot x + c 2 5. 1 ∫ x dx = ln x + cContoh 6 : ∫ 2 sin x dx =..... ∫ 2 sin x dx =2∫ sin x dx = −2 cos x + cContoh 7 : ∫ 9 − 9 sin 2 x dx =..... ∫ 9 − 9 sin 2 x dx =3∫ 1 − sin 2 x dxContoh 8 : = ∫ 3 sin x dx =3 cos x dx = 3∫ cos x dx = 3 sin x + c ∫ (2 cos x + 3) dx =..... ∫ (2 cos x + 3) dx =∫ 2 cos x dx + ∫ 3dx 3 x 0 +1 = 2 ∫ cos x dx + 3∫ x 0 dx = 2 sin x + + = 2 sin x + 3 x + cContoh 9 : 0 +1 Karena cos x = 1 – 2sin2 ½x , maka sin2 ½x = ½ - ½ cos x, sehingga ; ∫ sin x dx =..... 2 1 2 1 ∫ sin 1 x dx =∫ ( 1 − 1 cos x)dx = ∫ 2 dx − ∫ 1 cos x dx 2 2 2 2 2 1 1 1 = ∫ dx − 1 ∫ cos x dx = x − sin x + c 2 2 2 2Dwi liestyowati 3
  5. 5. Contoh 10 : a) ∫ sin 3θ dθ = − 1 cos 3θ + c b) 3 1 ∫t dt = t 3 + c 2 c) 3 1 ∫ y 4 dy = y 5 + c 52. PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU2.1. Menentukan Rumus Fungsi, jika turunan Fungsi dan Nilai Fungsi Pada bentuk dx = F ( x) + C , disebut solusi umum dari persamaan diketahui differensial,karena berisi tak hingga banyak kemungkinan. Tetapi jika diketahui ∫ f ( x) sebuah nilai F(a) untuk suatu x = a, maka kita bisa mendapatkan solusi tunggal dari persamaan differensial dengan cara mensubitusikan nilai fungsi yang diketahui pada solusi umum. Solusi yang demikian disebut solusi khusus. Contoh 11 Diketahui f ’(x) = 6 - x dan f(1) = . Tentukan f(x)! 4 3 Jawab: 1 2 3 f ( x) = ∫ (6 − x ) dx = ∫ 6dx − ∫ x 2 dx = 6 x − x2 +C 3 4 2 3 4 f(1) =  f (1) = 6.1 − .1 2 + C =  C=-4 3 3 3 2 4  6− +C = Jadi, f ( x) = 6 x − x 2 − 4 3 3 2 3 Contoh 12 3 Diketahui f ‘(x)= 2 cos 2x + 3. Tentukan f(x), jika f ( x) = 6 + π pada saat x = 3 π 4 4 Jawab: = sin 2x + 3x + C f ( x) = ∫ (2 cos 2 x + 3)dx = ∫ 2 cos 2 xdx + ∫ 3dx π 3 x = ⇒ f ( x) = 6 + π 4 4Dwi liestyowati 4
  6. 6. 3 π  π  6 + π = sin 2  + 3  + C 4 4 4 3 =1+ π + C 4 3 3 1+ π + C = 6 + π ⇒ C = 5 Jadi, f(x) = sin 2x + 3x + 5 4 4 dy2.2. Menentukan persamaan kurva y = f(x) jika diketahui dan sebuah dx Pada bahasan ini akan ditunjukkan penggunaan integral tak tentu untuk titik pada kurva menentukan persamaan suatu kurva. Contoh 13 Diketahui fungsi turunan suatu kurva adalah = 2( x − 1) tentukan persamaan dy kurva jika diketahui kurva tersebut melalui titik (3, 2). dx Jawab: dy = 2( x − 1) ⇒ y = ∫ 2( x − 1) dx = 2 ∫ ( x − 1)dx y = 2( ½x2 –x ) + C = x2 - 2x + C Kurva melalui titik (3,2) ⟹ 2 = 32 – 2.3 + C ⟹ C = -1 dx Jadi persamaan kurva adalah y = x2 - 2x -1 Contoh 14 Suatu kurva mempunyai titik stasioner (2, 3) dan diketahui garis singgung kurva adalah 2x – k, k suatu konstanta. Tentukan: a) Nilai k b) Persamaan kurva Gradient garis singgung Catatan: kurva adalah a) Jawab: dy dy = 2x − k dx titik stasioner adalah titik dimana = 0 . Diketahui titik stasioner kurva dx dy adalah (2, 3). dx = 0 ⟹ 2x – k = 0 dy 2.2 – k = 0, (x = 2) k=4 dx b) karena k = 4, maka = 2 x − 4 ⟹ y = ∫ ( 2 x − 4)dx = x 2 − 4 x + C dy kurva melalui titik (2, 3), maka 3 = 22 – 4.2 + C ⟹ C = 7 Jadi, persamaan kurva adalah y = x2 – 4x + 7 dxDwi liestyowati 5
  7. 7. Contoh 15 Tentukan persamaan kurva dengan gradient garis singgung di titik (x, y) sama dengan 2x – 3, dan kurva melalui titik (1, -3) ! Jawab : dy = ( 2 x − 3) → dy = ( 2 x − 3) dx dx → y =x2 – 3x + C dx ∫ dy = ∫ (2 x − 3) Kurva melalui (1, -3) maka -3 = 1 – 3 + C → C = 1 ∴ Persamaan kurvanya adalah y = x2 – 3x – 1 Kita telah mengetahui bahwa turunan dari jarak s(t) yang ditempuh benda2.3. Persamaan gerak bergerak adalah kecepatan v(t) dari benda tersebut, dimana t adalah waktu. Sehingga integral dari kecepatan v(t) adalah jarak s(t).sehingga bisa ditulis sebagai : s(t) = ∫v(t) dt Jika t adalah percepatan, kita telah mengetahui bahwa = a (t ) maka : dv(t ) v(t) = ∫a(t) dt dt Contoh 16. Percepatan sebuah benda yang bergerak diberikan oleh rumus : A(t) = 6t + 4 Percepatan a(t) dinyatakan dalam m/det2 dan waktu t dinyatakan dalam detik Pada saat t = 1 detik, kecepatan benda adalah 12 m/det dan jarak yang ditempuh benda adalah 13 m. Tentukan : a) Kecepatan awal benda b) Jarak yang ditempuh benda pada saat t = 2 detik a) v(t) = ∫(6t+4) dt = 3t2 + 4t + c Jawab : v(1) = 3(1)2 + 4(1) + c = 12 → c = 5 v(t) = 3t2 + 4t + 5 kecepatan awal : v(0) = 4(0) + 5 = 5 m/det b) s(t) = ∫v(t) dt = ∫(3t2 + 4t + 5) dt = t3 + 2t2 + 5t + c s(1)n = (1)2 + 2(1)2 + 5(1) + c = 13 → c = 5 s(t) = t3 + 2t2 + 5t + 5 s(2) = 23 + 2(2)2 + 5(2) + 5 = 31 m Contoh 17. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan v m perdetik. Pada saat t detik persamaan kecepatannya adalah v = 8t – 1 . Pada saat t = 1, posisi benda yaitu s = 6 m. a). Tentukan persamaan posisi benda sebagai fungsi t ?Dwi liestyowati 6
  8. 8. b). Berapa jauh posisi benda pada saat t = 4 ? a). s(t) = ∫(8t - 1) dt = 4t2 - t + c , diketahui : s(1) = 6 Jawab : jadi 4(1)2 – (1) + c = 6 → c = 3 maka : s = 4t2 – t + 3 b). s(4) = 4(4)2 – 4 + 3 = 63 m3. TEKNIK PENGINTEGRALAN: Fungsi-fungsi yang ada pada kalkulus disebut fungsi-fungsi elementer, yaitu fungsikonstanta, fungsi pangkat, fungsi logaritma dan fungsi eksponen, fungsi trigonometridan fungsi invers trigonometri, serta semua fungsi yang diperoleh dari hasilpenambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan komposisi dari fungsi-fungsitersebut yang dinamakan fungsi-fungsi elementer. Diferensiasi suatu fungsi elementer dapat dilakukan langsung dengan menggunakanaturan-aturan yang telah kita pelajari. Dan hasilnya selalu berupa fungsi elementer.Sedangkan Integrasi (antidiferensiasi) adalah persoalan yang berbeda sama sekali.Integrasi melibatkan sedikit teknik dan lebih banyak akal; lebih buruk lagi hasilnya tidakselalu berupa fungsi elementer. Teknik dasar untuk integrasi adalah subtitusi dan integrasi parsial (Integration byparts) dan dekomposisi integran menggunakan pecahan parsial, sekaligus jugadiperkenalkan teknik integrasi dg cara singkat, yaitu jalan pintas menggunakan rumus-rumus integral yg sudah jadi, dikenal dengan nama 3G (Goggle Guidance Goals) ∗ Pengintegralan dengan metode Subtitusi Contoh 18 : ∫ (2 x + 5) 7 dx Misalkan v = 2x + 5 , maka dv dv = 2 ⇔ dx = Sehingga dx 2 dv 1 7 1 v 7 +1 ∫ (2 x + 5) dx = ∫ v = ∫ v dv = . +c 7 7 2 2 2 7 +1 1 1 = v 8 + c = (2 x + 5)8 + c 16 16 Perhatikan Integral : ∫ (ax + b) n dx dimana n ≠ -1 Misalkan v = ax + b maka dv dv = a ⇔ dx = Sehingga dx a dv v n +1 (ax + b) n +1 ∫ (ax + b) dx = ∫ v = +c = +c n n a a(n + 1) a(n + 1) Jadi jika n ≠ -1 maka + c kita namakan 3G (ax + b) n +1 ∫ (ax + b) dx = n a (n + 1)Dwi liestyowati 7
  9. 9. Untuk contoh 14 kita bisa langsung memakai 3G : (2 x + 5) 7 +1 (2 x + 5)8 ∫ (2 x + 5) dx = +c = +c 7 Pengintegralan dengan metode Subtitusi 3G lainnya : 2.(7 + 1) 16 1. 1 +1 (ax + b) 2 2(ax + b) (ax + b) ∫ ax + b dx = a( 1 + 1) +c = 3a +c 2. 2 n (ax + b) n (ax + b) ∫ n (ax + b) dx = n +1 a +c 3. n m −1 (ax m + b) n +1 ∫ (ax + b) x dx = +c m ma(n + 1) 4. n (ax + b) (ax + b) m n m m −1 ∫ (ax + b) .x dx = +c n m n +1 ma 5. ∫ − 1 +1 n −1 x m −1(ax m + b) n n n (ax + b) m dx = +c = . +c n ax + b m ma(− 1 + 1) n n −1 ma 6. n +1 g ( x) [ f ( x)] ∫ [ f ( x)] n g ( x) dx = . +c f ( x) n +1 Contoh 19 : ∫ (3x − 6) 9 dx = ..... Dengan cara 3G : (3 x − 6)9 +1 (3 x − 6)10 ∫ (3x − 6) dx = +c = +c 9 Contoh 20 : 3(9 + 1) 30 ∫ (3x + 2 x + 4) (7 x + 4 x ) dx = ..... 7 6 5 6 5 7x6 + 4x5 (3 x 7 + 2 x 6 + 4) 6 ∫ (3x + 2 x + 4) (7 x + 4 x ) dx = 3(7 x 6 + 4 x 5 ) . +c 7 6 5 6 5 6 (3 x 7 + 2 x 6 + 4) 6 = +c 18 ∗ Pengintegralan dengan metode Parsial Biasanya ditulis dengan singkat : ∫ u dv = uv − vduDwi liestyowati 8
  10. 10. Contoh 21 : Hitunglah integral berikut ini dengan menggunakan metode parsial a. ∫x ax + b dx = .... b. x ∫ ax + b dx = .... c. ∫ x. cos x dx = .... Jawab : a. Karena (ax + b) 2 = (ax + b ) 2 −1 (a ) = d 3 3 3 3a ax + b maka dx 2 2 2 3 ax + b dx = d (ax + b) 2 3a sehingga 3 ∫ x d (ax + b )2 2 ∫x ax + b dx = ∫ u dv u v 3a x(ax + b ) 2 − 2 3 2 2 3 3a ∫ 3a ∫ ∫ u dv = uv − vdu 3 x.d (ax + b) 2 = (ax + b) 2 dx 3a 2 (ax + b ) 2 +1 3 x(ax + b ) 2 − 2 3 = +c 3a 3a  3  a + 1 2  2 (ax + b )2 [5ax − 2(ax + b )] + c 3 = Jadi 15a 2 ∫x 2 (3ax − 2b )(ax + b )2 3 ax + b dx = 2 15a b. Karena (ax + b) = (ax + b )− 2 (a ) = d 1 1 a dx 2 2 ax + b maka dx 2 = d (ax + b) ax + b a sehingga ∫ x d( ) xdx 2 ∫ = ax + b ∫ u dv vu ax + b a 2 2 2 a ∫ x.d ax + b = a x ax + b − a ∫ ax + b dx ∫ u dv = uv − vdu = x ax + b − 2 ∫ (ax + b ) 2 d (ax + b ) 2 2 1 a aDwi liestyowati 9
  11. 11. x ax + b − 2 (ax + b ) (ax + b ) + c 2 4 = a 3a 2 ax + b ax + b = [3ax − 2(ax + b )] + c = 2 (ax − 2b ) + c Jadi 2 3a 3a 2 = 2 (ax − 2b ) ax + b + c xdx 2 ∫ c. Misal : v = x dan u = sin x , maka ax + b 3a du = cos x ⇔ cos x.dx = du sehingga dx ∫ x. cos x dx = ∫ v.du = uv − ∫ v.du = x sin x − ∫ sin x.dx = x sin x + cos x + c Dan dalam penulisan yang lebih sederhana, kita dapatkan: ∫ x. cos x dx = ∫ x.d (sin x) = x sin x − ∫ sin x.dx = x sin x + cos x + cContoh 22 :Dwi liestyowati 10
  12. 12. 3G4. INTEGRAL TERTENTU Teorema dasar Integral tertentu b ∫ f ( x)dx =[F ( x)]a = F (b) − F (a) b dengan F ( x) = f ( x) aDwi liestyowati 11
  13. 13. Contoh 23 : 3 1 3 1  1  ∫ (x − 2 x + 3)dx = [ x 3 − x 2 + 3 x] =  33 − 32 + 3.3  −  03 − 0 2 + 3.0  = 9 2 Contoh 24 : 3 0 3  3  0 Jika − 4 x)dx = 10 , berapakah nilai a ? a ∫ (3x 2 1 a a3 – 2a2 – (1 – 20) = 10 Jawab : [ x 3 − 2 x 2 ] = 10 a3 – 2a2 + 1 = 10 1 a3 – 2a2 - 9 =0 (a2 + a + 3)(a – 3) =0  a=3 Jadi nilai a = 3 Contoh 25 : π ∫ (2 cos x − 3 sin x)dx = [2 sin x + 3 cos x] π = (2 sin π + 3 cos π ) − (2 sin π + 3 cos π ) = −5 π 2 2 π 2 24.1. Menentukan Luas Daerah  Satu kurva y = f(x), di atas sumbu x y = f(x), di atas sumbu x x = f(y), di kanan sumbu y x = f(y), di kiri sumbu yDwi liestyowati 12
  14. 14.  Dua kurva y = f(x) diatas y = g(x) x = f(y) dikanan x = g(y) Contoh 22 : Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah iniDaerah dibatasi pada x = -1 dan x = 2Jawab :Mencari persamaan garis lurus pada titik (-1, 1) dan (2, 4), yaitu : y −1 x +1 y −1 x +1 = ⇒ = ⇒ y −1 = x +1 ⇒ y = x + 2Persamaan parabola y = x2, maka luas daerah yang diarsir adalah :4 −1 2 +1 3 3 2 2 2L = ∫ (( x + 2) − x 2 )dx = ∫ ( x + 2)dx − ∫ x 2 dx −1 −1 −1 1  2 1 3  2  1  1   1   1  =  x 2 + 2 x  −  x  =  2 2 + 2.2  −  (− 1)2 + 2.(− 1) −  2 3  −  (− 1)3  = (2 + 4 ) −  − 2  −  +  =  6 +  − 3 = 7 1 − 3 = 4 1 satuan luas 2  − 1  3  − 1  2  2   3   3   1   8 1   2  2   3 3   3 2 2Dwi liestyowati 13
  15. 15. Contoh 23 : Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini Jawab: π π L = ∫ sin xdx = [− cos x] = (− cos π ) − (− cos 0 ) = 1 + 1 = 2 Contoh 24 : 0 0 Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini Jawab : 2π 2π L= ∫ sin xdx = [− cos x] = (− cos 2π ) − (− cos π ) = − 1 − 1 = − 2 = 2 π π Catatan : tanda harga mutlak digunakan karena posisi grafik ada di daerah negative, sedangkan nilai Luas harus positif.Dwi liestyowati 14
  16. 16. Contoh 25 : Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini Perhatikan jika luas daerah dihitung dengan cara berikut ini, Jawab : 2π 2π L= ∫ sin xdx = [− cos x] = (− cos 2π ) − (− cos 0 ) = −1 + 1 = 0 Maka cari dahulu luas daerah diatas sumbu x kemudian cari luas dibawah sumbu 0 0 x, lalu tambahkan. π 2π L = ∫ sin x dx + ∫ sin x dx = 2 + 2 = 4 0 πSelanjutnya akan dibahas soal-soal yang diselesaikan dengan 3GCARA 3G MENGHITUNG LUAS DAERAH1. Jika dalam menentukan luas atau diperoleh bentuk y2 – y1 = ax2 + bx + c dengan m dan n masing- masing adalah absis titik potong pertama dan kedua dari kurva y1 dan y2, luas tersebut sama dengan : Hal ini terjadi ketika menghitung luas antara garis lurus dan parabola atau antara dua buah parabola yang bertolak belakangDwi liestyowati 15
  17. 17. 2. Luas daerah dengan melihat gambar (pendekatan secara geometri) Luas daerah yang diarsir/diwarnai pada gambar adalah L = x luas persegi panjang Luas daerah yang diarsir/diwarnai pada gambar adalah L = 2. .ab = x luas persegi panjang 2 4 3 3 Luas daerah yang diarsir/diwarnai pada Luas daerah yang diarsir/diwarnai pada gambar adalah gambar adalah L= L= x luas persegi panjangHal ini terjadi ketika menghitung luas daerah antara parabola yang memiliki puncakdengan sebuah garis. 3G Perhatikan gambar-gambar berikut ini :Dwi liestyowati 16
  18. 18. 1. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 – 4x – 5 dengan sumbu x.Soal-soal dan pembahasan : Titik potong dengan sumbu x  y = 0 Jawab : x2 – 4x – 5 = 0 ( x + 1)( x – 5) = 0  x = -1 atau x = 5 Gambar grafik menjadi : ( ) [ ]−51 5 L = − ∫ x 2 − 4 x − 5 dx = − 1 x 3 − 2 x 2 − 5 x 3 −1 ( ) ( = − 125 − 50 − 25 + − 1 − 2 + 5 = − 3 3 ) 126 3 + 78 = 36 y = x2 – 4x – 5 D = b2 – 4ac 3G D = 16 + 20 = 36 D D 36.6 L= = = 36 6a 2 6.12. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 + 8x dengan y = 2x + 8 . Titik potong dengan sumbu x : 2x2 + 8x = 0  2x ( x + 4 ) = 0  x = 0 atau x = -4 Jawab : Titik potong kedua grafik : 2x2 + 8x = 2x + 8  2x2 + 6x – 8 = 0 x2 + 3x – 4 = 0  ( x + 4 )( x – 1 ) = 0 x = -4 atau x = 1 gambar grafik menjadi : ∫ (2 x + 8) −(2 x + 8 x ) ∫ (− 2 x ) 1 1 L= 2 dx = 2 − 6 x + 8 dx −4 −4 [ = − 2 x 3 − 3x 2 + 8 x 3 ]−14 =  − 23 − 3 + 8  −  128 − 48 − 32  3 2x2 + 8x = 2x + 8 130 125 = + 85 = 2x2 + 6x – 8 = 0 3 3 D = 36 – 4.2.(-8) = 100 D D 100.10 125 3G L= 6a 2 = 6.4 = 3Dwi liestyowati 17
  19. 19. 3. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 - 2x + 1 dengan y = -x2 + 8x - 7 . Titik potong dengan sumbu x : x2 - 2x + 1 = 0 dan -x2 + 8x – 7 = 0 Jawab : ( x – 1 )2 = 0 x2 - 8x + 7 = 0 x=1 ( x – 1 )( x – 7 ) = 0 x = 1 atau x = 7 Titik potong kedua grafik : x2 - 2x + 1 = -x2 + 8x – 7  2x2 - 10x + 8 = 0 x2 - 5x + 4 = 0  ( x - 4 )( x – 1 ) = 0 x = 4 atau x = 1 gambar grafik menjadi : ( )( ) 4 L = ∫ − x 2 + 8 x − 7 − x 2 − 2 x + 1 dx 1 ( ) 4  2 4 L = ∫ − 2 x 2 + 10 x − 8 dx = − x 3 + 5 x 2 − 8 x  1  3 1 128  2  126 =− + 80 − 32 −  − + 5 − 8  = − + 51 = 9 3  3  3 x2 - 2x + 1 = -x2 + 8x - 7 2x2 - 10x + 8 = 0 D = 100 – 4.2.(8) = 36 3G L= D D = 36.6 =9 6a 2 6.44. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan x = y3 Titik potong kedua grafik : y = x2 dan y2 = x  (x2)2 = x Jawab : x( x3 – 1) = 0  x = 0 atau x = 1 gambar grafik menjadi : ( ) 1  2 2 1 1 2 1 1 L=∫ x − x 2 dx = − x 3 − x 3  = − = 0  3 3 0 3 3 3 3G L1 = ⅓.□ = ⅓ L2 = ⅓.□ = ⅓ L□ = 1 L = L□ – L1 – L2 L=1-⅓-⅓Dwi liestyowati 18
  20. 20. 5. Tentukan Luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh y = 16 − x 2 x2 + y2 = R2 adalah lingkaran dengan jari-jari R Jawab : y = 16 − x 2 artinya x2 + y2 = 16, jadi merupakan persamaan lingkaran dengan jari-jari 4 (lihat gambar) Luas di kuadran I = ¼.Luas lingkaran = ¼.π.R2 = 4π6. Tentukan panjang busur kurva y = 36 − x 2 dari x = -6 sampai x = 6 36 − x 2 artinya x2 + y2 = 36, jadi merupakan Jawab : persamaan lingkaran dengan jari-jari 6 (lihat gambar) y= Panjang busur = ½ .keliling lingkaran = ½.2π.R = πR = 6π4.2. Menentukan Volume Benda PutarDwi liestyowati 19
  21. 21. Contoh 26 : berapakah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 3x diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu y? Ordinat titik potong kurva y = x2 dan y = 3x Jawab : f(y) ≡ garis y = x2 ⟹ x1 = y = y 2 dan g(y) ≡ garis y =3 x ⟹ x 2 = y 1 1 subtitusi x = y ke y = x ⟹ y =  y  = y 3 1 2 1 2 1 2 ⟹ y2 – 9y = 0 ⟹ y(y – 9) = 0 ⟹ y = 0 atau y = 9 3 3  9 Jika daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu y, maka volume benda putarnya adalah : ( ) 1   9 9 2 2  1  V = π ∫ x12 − x2 2 dy = π ∫  y 2  −  y   dy   0 0   3    9 9  1  1 1 3 1 = π ∫  y − y 2  dy = π  y 2 − y  = π  (9 )2 − 1 (9)3    9  2 27  0 2 27  = π  − 27  = 13 1 π satuan volume 0  81  2  2Dwi liestyowati 20
  22. 22. Contoh 27 : Daerah yang diarsir pada gambar di samping diputar mengelilingi sumbu x. Tentukan volume yang terbentuk! Jawab : ( ) a a a 2 2 1  V =π∫ x dx = π ∫ x dx = π  x 5  4 0 0 5 0 1  π = π  a5 − 0  = a5 5  5 Contoh 28 : Cari volume kerucut dengan jari-jari alas r dan tinggi t. Jika daerah yang diarsir di samping ini Jawab : diputar mengelilingi sumbu x maka akan terbentuk sebuah kerucut. Sehingga volume kerucut adalah : t 2 t r  r2 V = π ∫  x  dx = π ∫ 2 x 2 dx 0 t  0 t π .r 2  1 3 t  1 π .r 2  t 3 = x  = 2 3  − 0  = π .r 2t  t2  t 3  3   Contoh 29 : 0 Cari volume kerucut terpancung dengan jari-jari alas b, jari-jari atas a dan tinggi t. Jika daerah yang diarsir di samping ini Jawab : diputar mengelilingi sumbu x maka akan terbentuk sebuah kerucut terpancung. persamaan garis g adalah : b−a Sehingga volume kerucut terpancung y= x+a adalah : t t 2 b−a  V = π ∫ x + a  dx 0  t t t b − a  2 2  b−a  2  b − a  2 x 3 b−a x 2  V = π ∫   x + 2 a  x + a  dx = π   + 2a  + a 2 x 0   t   t     t  3   t  2 0   b − a  2 t 3  b−at 2 2    2   + a t  − 0 = π (b − a ) + (b − a )at + a t  2 t = π   + 2a   t  3   t 2    3 Dwi liestyowati 21
  23. 23.  b 2t − 2abt + a 2t 3abt  1 = π  3 + 3  3 (  = π a 2 + ab + b 2 .t )   Perhatikan jika a = 0 dan b = r, maka V = π .r 2t yaitu merupakan volume kerucut Note : 1 Contoh 30 : 3 Tunjukkan bahwa volume bola berjari-jari r adalah V = π .r 3 4 Sebuah bola terbentuk jika setengah lingkaran yang 3 Jawab : diarsir diputar mengelilingi sumbu x. Sehingga volume bola adalah : r  ( x3  ) r r V = π ∫ y dx = π ∫ r − x dx = π r 2 x −  2 2 2 −r −r   3 −r  3  3 r r 2 2 4 V = π  r 3 −  − π  − r 3 +  = π .r 3 + π .r 3 = π .r 3  3  3 3 3 3   Contoh 31 : Daerah yang diarsir disamping diputar mengelilingi sumbu y. Tentukan volume yang terbentuk Jawab : y y = kx 2 ⇔ x 2 = k ka 2 ka 2 y V =π ∫x dy = π ∫ 2 dy 0 0 k 2 ka π  y2  π  k 2a 4   1 V=   = − 0  = π .k .a 4 k 2   0 k 2   2  3G Perhatikan gambar di bawah ini Kurva parabola y = ax2 + bx + c memotong sumbu x di x1 dan x2. Sehingga x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 . Dan seperti biasa, diskriminan ( D ) dari persamaan kuadrat ini adalah : D = b2 – 4 ac Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu x , maka volume yang terbentuk adalah: π .D 2 D V= 30a 3Dwi liestyowati 22
  24. 24. Contoh 31 : Daerah yang diarsir disamping diputar mengelilingi sumbu x. Tentukan volume yang terbentuk ( x – 1 )( x – 2 ) = x2 – 3x + 2 = 0 Jawab : D = ( -3 )2 – 4.1.2 = 1 π .12 1 π V= = 30.13 30 3G INTEGRAL TRIGONOMETRI a) 1 n −1 ∫ sin x dx = − sin n−1 x. cos x + sin n−2 x dx n ∫ n b) ∫ sin n x. cos x dx = n 1 sin n +1 x + C c) ∫ cos n x dx = cos n−1 x. sin x + n +1 1 n −1 n−2 ∫ cos x dx d) ∫ cos n x. sin x dx = − n n 1 cos n +1 x + C Jika n ganjil, maka rumus ditulis sebagai berikut : n +1 e) π 2 1 n −1 1 n − 3 1 n − 5 1 ∫ sin x.dx = . n . . . . .... n 1 n−2 1 n−4 1 Contoh 32 : 0 1 a) 1 2 −1 1 1 ∫ sin x dx = − sin 2 −1 x. cos x + 2 2−2 ∫ sin x dx = − 2 sin x. cos x + 2 x + C b) ∫ sin 2 x. cos x dx = 2 2 1 1 sin 2 +1 x + C = sin 3 x + C c) ∫ cos3 x dx = cos3−1 x. sin x + 2 +1 3 1 3 −1 3− 2 1 2 ∫ cos x dx = 3 cos x. sin x + 3 sin x + C 2 d) ∫ cos3 x. sin x dx = − 3 3 1 1 cos3+1 x + C = − cos 4 x + C 3 +1 4 e) π 2 1 3 −1 1 1 2 ∫ sin x.dx = . = .2.1 = 3 . 3 1 3−2 3 3 f) 0 π 2 1 5 −1 1 5 − 3 1 4 2 8 ∫ sin x.dx = . = . . . . = 5 . . . 5 1 5−2 1 5−4 5 3 1 15 g) 0 π 2 8 6 4 2 128 ∫ sin x.dx = . . . . . . . . = 9 0 9 7 5 3 1 945Dwi liestyowati 23

×