Your SlideShare is downloading. ×
Contoh soal Teori antrian khusus Poisson
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Introducing the official SlideShare app

Stunning, full-screen experience for iPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Contoh soal Teori antrian khusus Poisson

21,411
views

Published on

Published in: Education

4 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
21,411
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
754
Comments
4
Likes
4
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Teori AntrianBy: Dwi Liest yowat i
  • 2. Pengertian dan Definisi• Antrian adalah gambaran kondisi kinerja suatu sistem produksi/pelayanan yang ditandai dengan adanya suatu panjang antrian dan waktu tunggu tertentu.• Antrian terjadi karena adanya unsur random (memoriless) dalam sistem kedatangan dan pelayanan.• Beberapa contoh antrian: – Kendaraan yang menunggu di lampu lalulintas – Kendaraan yang meunggu di loket jalan tol – Pasien yang menunggu di rumah sakit – Kendaraan yang menunggu giliran di bengkel – Surat yang menunggu pengetikan oleh sekretaris – Sistem inventory barang di gudang Elemen dasar Model Antrian• Model antrian adalah model yang menggambarkan kondisi elemen suatu antrian secara matematis.• Elemen Antrian umumnya terdiri dari: – Gambaran distribusi kedatangan (arrival process) – Gambaran distribusi waktu pelayanan (service time) – Desain fasilitas pelayanan – Disiplin pelayanan – Kapasitas jumlah antrian – Gambaran sumber permintaan (calling source) – Perilaku orang yang antri Sistem Produksi / Pelayanan Model Model Kedatangan Pelayanan INPUT PROCES OUTPU Distribusi S Disiplin T kedatangan Antrian pelayanan Perilaku Fasilitas orang pelayanan Sumber Kapasitas permintaan antrian Slide 2
  • 3. Jenis dan Tipologi Antrian• Sistem Antrian 1 Antrian atau Lajur tunggu 2 xxxxxxxxx | Keberangkatan Kedatangan | Pelanggan Pelanggan | c Fasilitas Pelayanan Notasi Antrian • Kodifikasi / Notasi Kendall-Lee D.G. Kendall (1953) dan A.M. Lee (1966) (a/b/c) : (d/e/f) a = distribusi kedatangan b = distribusi waktu pelayanan c = jumlah server paralel (1,2…∞) d = disiplin pelayanan (FCFS, LCFS, SIRO) e = kapasitas sistem (antrian + service) f = ukuran sumber permintaan. Pola Distribusi Kedatangan dan PelayananPola distribusi kedatangan dan waktu pelayananM = Ditribusi kedatangan/keberangkatan Poisson (Markovian) atau distribusi waktu antar kedatangan/ waktu pelayanan exponential.D = waktu antar kedatangan dan pelayanan konstan atau deterministikEk = Distribusi Erlang atau gamma dengan parameter kGI = Distribusi independen umum untuk kedatangan atau waktu antar kedatanganG = Distribusi umum untuk keberangkatan atau waktu pelayanan. Slide 3
  • 4. Model Antrian1. Pola Distribusi Kedatangan/Keberangkatan Tingkat kedatangan/keberangkatan umumnya mengikuti distribusi diskrit Poison: mean = variance = λt λ = tingkat kedatangan per satuan waktu2. Pola Distribusi waktu antar-kedatangan ( interarrival ) / waktu pelayanan umumnya mengikuti distribusi kontinyu exponential: f (T) = α e -αT T>0… mean = 1/α ; variance = 1/α2 α = tingkat kedatangan per satuan waktu Ukuran Kinerja AntrianPada kondisi stabil, ukuran kinerja antrian dapat digambarkan oleh parameter berikut: Ls = rata-rata jumlah orang dalam sistem Lq = rata-rata panjang antrian Ws = rata-rata waktu tunggu dalam sistem (dalam antrian + dalam pelayanan) Wq = rata-rata waktu tunggu dalam antrian Intensitas = ρ = λ/ µ < 1.0 Ukuran Kinerja Antrian Tingkat Kedatangan = λ Tingkat pelayanan = µ Ls = λ Ws Lq = λ Wq Ws = Wq + 1/µ Slide 4
  • 5. Rumus Antrian Tipe Ukuran Kinerja Antrian (M/M/1): (GD/ ∞/ ∞) Pn = Probabilitas n Pn = (1-ρ) ρ n Ls = Σ n.pn Ls = ρ/(1-ρ) Ws = Ls/λ Ws = 1/ µ(1- ρ) Wq = Ws-1/µ Wq = ρ/ µ(1- ρ) Lq = λWq Lq = ρ 2 /(1-ρ)Notasi Dalam Sistem Antrian n = jumlah pelanggan dalam sistem Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuan waktu μ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem P = tingkat intensitas fasilitas pelayanan L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam sistem W = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem Wq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalamantrian 1/ μ = waktu rata-rata pelayanan 1/ λ = waktu rata-rata antar kedatangan Slide 5 jumlah fasilitas pelayanan S =
  • 6. Contoh Antrian Tipe (M/M/1): (GD/ ∞/ ∞)Contoh Soal 1:Sebuah gerbang tol memiliki tingkat kedatangan rata-rata 400 kendaraan per jam mengikutidistribusi Poisson. Rata-rata kendaraan dilayani selama 7 detik yang sebarannya mengikutidistribusi exponensial.Hitung Panjang antrian rata-rata (Lq) dan waktu antrian rata-rata Wq.Jawab:Tingkat kedatangan = λ = 400 kendaraan/jamTingkat pelayanan = µ = 3600/7= 514 kendaraan/jamTingkat intensitas ρ = λ/ µ = 400/514 = 0.778 < 1Mengingat tipe antrian adalah (M/M/1), makaLs = ρ/(1-ρ) = 0.778/(1-0.778) = 3.5 kendaraanWs = 1/ µ(1- ρ) = 1/514(1-0.778)=31.5 dtkWq = ρ/ µ(1- ρ) = 0.778/514(1-0.778)=24.5 dtkLq = ρ2/(1-ρ) =0.7782/(1-0.778)=2.72 ≈ 3 kendaraanJadi panjang antrian rata-rata adalah = 3 kendaraan, dengan waktu antrian rata-rata 24.5 detik.Contoh Soal 2 :UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson, yaitu 20 kendaraan/jam. Alidapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yangdigunakan adalah M/M/1, hitunglah:1) Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan2) Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem3) Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian4) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan)5) Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrianJawab.Diketahui: λ = 20, μ = 25 p = λ / μ = 20/25 = 0.80Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan 20% dariwaktunya (1-p) untuk istirahatL = λ / (μ – λ) = 20 / (25 - 20) = 4, atau L = p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4Angka 4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalamsistemLq = λ2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraanW = 1 / (μ – λ) = 1 / (25 - 20) = 0.2 jam atau 12 menitJadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menitWq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25 - 20) = 0.16 jam atau 9.6 menitJadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9.6 menit Slide 6
  • 7. Latihan Soal.1.Sebuah Airport dapat menerima 2 pesawat dalam kurun waktu 3 menit dengan variasimengikuti distribusi poisson. Rata-rata waktu tunggu mempunyai distribusi exponentialsebesar 5 menit a) Berapa rata-rata waktu antar kedatangan pesawat ? b) Berapa peluang sistem dalam keadaan sibuk guna melayani pesawat-2 tersebut ? c) Berapa jumlah rata-rata pesawat yang dapat dilayani dalam sistem ? Jawab: Kronologis simulasi antrian Tabel 1. Waktu antar Kedatangan (menit) Tabel 2. Waktu Service (menit) Antar Jam waktu Waktu Customer Customer Kedatangan Kedatangan Pelayanan 1 0 0 1 2 2 2 2 2 1 3 4 6 3 3 4 1 7 4 2 5 2 9 5 1 6 6 15 6 4 Tabel 3. Hasil Simulasi Nomor Waktu (jam) Awal Waktu Akhir Customer Kedatangan Pelayanan Pelayanan Pelayanan 1 0 (jam) 0 (durasi) 2 (jam) 2 2 2 2 1 3 3 6 6 3 9 4 7 9 2 11 5 9 11 1 12 6 15 15 4 19 Tabel 4. Kronologis Urutan Kejadian Nomor Waktu Tipe Kejadian Pelanggan (jam) Kedatangan 1 0 Keberangkatan 1 2 Kedatangan 2 2 Keberangkatan 2 3 Kedatangan 3 6 Kedatangan 4 7 Keberangkatan 3 9 Kedatangan 5 9 Keberangkatan 4 11 Keberangkatan 5 12 Kedatangan 6 15 Keberangkatan 6 19 Slide 7
  • 8. 2. Perusahaan A sedang mencoba menentukan rata-rata customer menunggu dalam sistem , jika customer rata-rata menunggu lebih dari 10 menit maka pihak perusahaan akan menambah kasir dan memberikan bonus. Data yang didapat pada tabel A.8.5 dan tabel A.8.6 Kasir buka jam 9 pagi. Pertanyaannya: a) Apakah perlu menambah kasir dengan simulasi 15 kali ? b) Customer ke berapa yang mendapatkan bonus ? Jawab: Tabel 5. Waktu Pelayanan Tabel 6. Waktu Kedatangan Waktu Probabilitas Waktu antar Probabilitas Pelayanan Frequensi Kedatangan (Frequensi) 0 0 0 0,1 1 0,35 1 0,25 2 0,25 2 0,2 3 0,15 3 0,4 4 0,1 4 0,15 5 0,05 Tabel 7. Interval Bilangan Acak Kedatangan Pelayanan Antar Kumulatif Interval Waktu Kumulatif Interval Kedatangan Probabilitas Bilangan acak Pelayanan Probabilitas Bilangan acak 0 0,1 1 - 10 0 0 - 1 0,45 11 - 45 1 0,25 1 - 25 2 0,7 46 - 70 2 0,45 26 - 45 3 0,85 71 - 85 3 0,85 46 - 85 4 0,95 86 - 95 4 1 86 - 99 5 1 99 Tabel Bilangan Acak untuk Service dan Kedatangan No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Service 52 37 82 69 98 96 33 50 88 90 50 27 45 81 66 Arrival 50 28 68 36 90 62 27 50 18 36 61 21 46 1 14 Pertanyaan: Apakah perlu menambah Kasir dengan simulasi 15 kali? Customer ke berapa yang mendapatkan Bonus? Slide 8
  • 9. Penyelesaian:Tabel 8. Antar Kedatangan dan Waktu Pelayanan Bil acak Antar Bil acak Waktu No. Cust Kedatangan Kedatangan Service Service 1 50 2 52 3 2 28 1 37 2 3 68 2 82 3 4 36 1 69 3 5 90 4 98 4 6 62 2 96 4 7 27 1 33 2 8 50 2 50 3 9 18 1 88 4 10 36 1 90 4 11 61 2 50 3 12 21 1 27 2 13 46 2 45 2 14 01 0 81 3 15 14 1 66 3Tabel 9. Perhitungan antrian Antar Waktu Waktu Awal Akhir Waktu Waktu Waktu No. Cust Kedatangan Kedatangan Service Service Service Tunggu dlm Sistem Idle 1 2 9.02 3 9.02 9.05 0 3 2 2 1 9.03 2 9.05 9.07 2 4 0 3 2 9.05 3 9.07 9.10 2 5 0 4 1 9.07 3 9.10 9.13 4 7 0 5 4 9.10 4 9.13 9.17 3 7 0 6 2 9.12 4 9.17 9.21 5 9 0 7 1 9.13 2 9.21 9.23 8 10 0 8 2 9.15 3 9.23 9.26 8 11 0 9 1 9.16 4 9.26 9.30 10 14 0 10 1 9.17 4 9.30 9.34 13 17 0 11 2 9.19 3 9.34 9.37 15 18 0 12 1 9.20 2 9.37 9.39 17 19 0 13 2 9.22 2 9.39 9.41 17 19 0 14 0 9.22 3 9.41 9.44 19 21 0 15 1 9.23 3 9.44 9.47 21 24 0 45 144 188 2Slide 9
  • 10. Penyelesaian:Tabel 8. Antar Kedatangan dan Waktu Pelayanan Bil acak Antar Bil acak Waktu No. Cust Kedatangan Kedatangan Service Service 1 50 2 52 3 2 28 1 37 2 3 68 2 82 3 4 36 1 69 3 5 90 4 98 4 6 62 2 96 4 7 27 1 33 2 8 50 2 50 3 9 18 1 88 4 10 36 1 90 4 11 61 2 50 3 12 21 1 27 2 13 46 2 45 2 14 01 0 81 3 15 14 1 66 3Tabel 9. Perhitungan antrian Antar Waktu Waktu Awal Akhir Waktu Waktu Waktu No. Cust Kedatangan Kedatangan Service Service Service Tunggu dlm Sistem Idle 1 2 9.02 3 9.02 9.05 0 3 2 2 1 9.03 2 9.05 9.07 2 4 0 3 2 9.05 3 9.07 9.10 2 5 0 4 1 9.07 3 9.10 9.13 4 7 0 5 4 9.10 4 9.13 9.17 3 7 0 6 2 9.12 4 9.17 9.21 5 9 0 7 1 9.13 2 9.21 9.23 8 10 0 8 2 9.15 3 9.23 9.26 8 11 0 9 1 9.16 4 9.26 9.30 10 14 0 10 1 9.17 4 9.30 9.34 13 17 0 11 2 9.19 3 9.34 9.37 15 18 0 12 1 9.20 2 9.37 9.39 17 19 0 13 2 9.22 2 9.39 9.41 17 19 0 14 0 9.22 3 9.41 9.44 19 21 0 15 1 9.23 3 9.44 9.47 21 24 0 45 144 188 2Slide 9