PRESENTA ECUACIONES LINEALES Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA Y ELIMINACION DE GAUSS

1. INSTITUTO EDUCATIVO DE LA CUENCA DEL PAPALOAPAN.
MATERIA:
MATEMATICAS.
DOCENTE:
NAYELI DOMÍNGUEZ PÉREZ.
UNIDAD II
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
INTEGRANTES:
Bernardo Cipriano Peña
Marco Eduardo Acosta Jiménez
José Emmanuel Fercano Carlos
Francisco Javier Sevilla Martínez
Martin Gómez Mayora
Lidni Joahana López Hernández
Tres Valles Veracruz
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CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 3
REPRESENTACION GRAFICA ........................................................................................................... 4
ESCALONAMIENTO ........................................................................................................................... 7
ELIMINACION DE GAUSS .................................................................................................................. 8
METODO DE GAUSS-JORDAN ........................................................................................................ 11
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INTRODUCCIÓN
Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir,
Las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre si, ni en el denominador.
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.
Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio.
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:
Figura 7.1: Representación grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1
En el espacio
El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de
Varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones,
o geométricamente representan la misma recta o plano.
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REPRESENTACION GRAFICA
I. Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.
Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a
Determinar) y bj se denominan términos independientes.
En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2
, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el
Sistema.
Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones
del sistema simultáneamente.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
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II. Representación
Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro
sistema será el plano bidimensional, mientras que cada
una de las ecuaciones será representada por una recta, si
es lineal, o por una curva, si no lo es. La solución será
el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas y
curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe
ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo
todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo
mismo, no tiene solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo
será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un
plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en
un único punto, las coordenadas de este serán la solución
al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos
ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá
infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.
Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se
enfocan desde esta óptica.
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III. TIPOS DE SISTEMAS
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden
presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
 Sistema incompatible si no tiene solución.
 Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
 Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
 Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (híper)planos o rectas que se
cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de
(híper) planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se
caracterizan por (híper) planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un
hiperplano de dimensión menor].
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ESCALONAMIENTO
DEFINICION
Un sistema de ecuaciones lineales se denomina escalonado (o reducido) si la matriz del
Sistema verifica que:
1. todos los elementos por debajo de los aii para i = 1; 2… n son nulos.
2. el primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, esta a la derecha del primer
3. elemento diferente de cero (pivote) de la fila anterior.
4. cualquier fila formada únicamente por ceros esta bajo todas las filas con elementos diferentes de cero.
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ELIMINACION DE GAUSS
El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en
uno escalonado, en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas, la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita. De
esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba, calcular el valor de las 3 incógnitas.
Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas,
restándolas, multiplicándolas por un número, etc.)
Ejemplo:
La 1ª ecuación siempre se deja igual, (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe
anular el término que lleva la x.
Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que
lleva la y en la 3ª ecuación
De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta
- y + 9·2 = 13 Þ y = 5
y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :
2x + 3·5 – 7·2 = -1 Þ x = -1
Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)
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Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K, siendo K un número distinto de 0 , tendremos un S.I. ya
que obtenemos un absurdo .
Por ejemplo:
Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª
Quitamos la y de la 3ª ecuación:
Como se observa hemos obtenido un absurdo, ya que 0 no es igual a 12 , por lo que el sistema no tiene
solución .
Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0 , es decir se nos anule alguna ecuación , y el sistema
resultante tenga más incógnitas que ecuaciones tendremos un S.C.I. en función de uno o dos
parámetros (depende de las ecuaciones que se anulen) .
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Por ejemplo:
Dejamos como siempre la 1ª ecuación igual e intentamos quitar la incógnita x de la 2ª y 3ª ecuación .
Si intentamos anular la y de la 3ª ecuación vemos que se nos anula la 3ª ecuación
Obtenemos por tanto un sistema con dos ecuaciones y 3 incógnitas (hay más incógnitas que ecuaciones) por lo
que tendrá infinitas soluciones. Una de ellas sería por ejemplo dar a la z el valor z=0 y así obtendríamos que y =
-13, x = 19
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METODO DE GAUSS-JORDAN
El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es
un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables,
encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los
coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:
Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):
Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una
matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:
Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta,
multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de
la columna, sea el caso.
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Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando
nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del
sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:
d1 = x
d2 = y
d3 = z
Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales por medio de este método.
Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:
Sea el sistema de ecuaciones:
Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:
Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para
transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:
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Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la
matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.
Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto,
buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso
el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de
la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se
multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el
numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto
de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en
columna de la tercera fila.
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Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que
antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este
caso -13/2, cuyo inverso es -2/13
Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo
denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el
denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos
posteriores.
Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz identidad, para hacer esto
buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz con la cual estamos
operando, en este caso -17, cuyo opuesto será 17; lo que hacemos ahora es multiplicar este número por
todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna de
la 3ª fila.
A esta altura podemos observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a parecerse a la
matriz identidad.
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Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la matriz identidad, ahora
bien, aplicamos el mismo procedimiento con el que estábamos trabajando, es decir que vamos a multiplicar
toda la 3ª fila por el inverso del numero que se encuentre en la posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso
96/13, cuyo inverso será 13/96.
Luego debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr esto,
buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por encima del 1 de la 3ª columna de la matriz con la
cual estamos operando, en este caso 11/13 y ½ cuyos opuestos serán - 11/13 y -½, respectivamente.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de
la 3ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se
multiplicara a - 11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus
resultados con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 1ª fila se
multiplicara a -½ (opuesto de ½) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el
número que le corresponda en columna de la primera fila.
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El último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª fila de la matriz identidad, para
hacer esto buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 1ª columna, 2ª fila de la matriz con la que
estamos operando, en este caso es 3/2, cuyo opuesto será - 3/2, lo que hacemos ahora es multiplicar este
número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en
columna de la 1ª fila.
Como podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscábamos, y en la cuarta
columna hemos obtenido los valores de las variables, correspondiéndose de este modo:
x= 1
y= -1
z= 2
Luego, el sistema de ecuaciones está resuelto y por último lo verificamos.
2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4
2*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4
2 -3 +2 =1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4
1 = 1 -3 = -3 4= 4
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