Sobre la teor´ de la relatividad             ıa                        Albert Einstein                Escaneado por C. Alado
Pr´logo  o    El presente librito pretende dar una idea lo m´s exacta posible de la                                       ...
Sobre la teor´ de la relatividad especial             ıa1. El contenido f´                 ısico de los teoremas geom´tric...
3    El que, a pesar de todo, nos sintamos inclinados a calificar de “verdaderos”los teoremas de la Geometr´ tiene f´cil ex...
4un segmento (regla S) que podamos utilizar de una vez para siempre y quesirva de escala unidad. Si A y B son dos puntos d...
5       cuenta las propiedades de propagaci´n de la luz— qu´ longitud habr´                                            o  ...
6aire) que la piedra cae en l´ ınea recta. Un peat´n que asista a la fechor´ des-                                         ...
7Este principio se pronuncia no s´lo sobre el movimiento de los cuerpos, sino                                    otambi´n ...
8    Mientras se mantuvo la creencia de que todos los fen´menos naturales se                                              ...
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10hip´tesis de que esta velocidad de propagaci´n depende de la direcci´n “en    o                                         ...
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12    Tras alg´n tiempo de reflexi´n haces la siguiente propuesta para constatar             u                       ola si...
13   Esta definici´n entra˜a otra hip´tesis f´                 o        n           o     ısica de cuya validez, en ausenci...
14velocidad, permanecer´ constantemente en M , y los rayos de luz que parten                          ıade las chispas A y...
15cia, transportando en l´ınea recta una regla sobre el suelo de los vagones, porejemplo, hasta llegar desde uno de los pu...
16cuando se conocen el lugar y el tiempo del suceso con respecto a las v´      ıas?¿Esta pregunta tiene alguna respuesta d...
17por las ecuaciones:                                                  x − vt                                    x       =...
18    El siguiente ejemplo muestra claramente que, seg´n la transformaci´n de                                             ...
19estos dos puntos distan entre s´ 1 − v 2 /c2 . Ahora bien, el metro se mueve                                   ırespecto...
2013. Teorema de adici´n de velocidades. Experimento de Fizeau                    o    Dado que las velocidades con que en...
21sobre la siguiente cuesti´n. Supongamos que la luz se propaga en un cierto                            ol´ ıquido en repo...
22Maxwell-Lorentz, sobre la cual descansaba la teor´ original, no est´ para                                               ...
2315. Resultados generales de la teor´                                   ıa     De las consideraciones anteriores se echa ...
24la teor´ de la relatividad especial concierne al concepto de masa. La f´        ıa                                      ...
25en la forma                                        mc2 + E0                                                v2           ...
Albert einstein   sobre la teoría de la relatividad
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  1. 1. Sobre la teor´ de la relatividad ıa Albert Einstein Escaneado por C. Alado
  2. 2. Pr´logo o El presente librito pretende dar una idea lo m´s exacta posible de la ateor´ de la relatividad, pensando en aquellos que, sin dominar el aparato ıamatem´tico de la f´ a ısica te´rica, tienen inter´s en la teor´ desde el punto o e ıade vista cient´ ıfico o filos´fico general. La lectura exige una formaci´n de o obachillerato aproximadamente y —pese a la brevedad del librito— no pocapaciencia y voluntad por parte del lector. El autor ha puesto todo su empe˜o nen resaltar con la m´xima claridad y sencillez las ideas principales, respetando apor lo general el orden y el contexto en que realmente surgieron. En aras dela claridad me pareci´ inevitable repetirme a menudo, sin reparar lo m´s o am´ınimo en la elegancia expositiva; me atuve obstinadamente al precepto delgenial te´rico L. Boltzmann, de dejar la elegancia para los sastres y zapateros. oLas dificultades que radican en la teor´ propiamente dicha creo no hab´rselas ıa eocultado al lector, mientras que las bases f´ısicas emp´ıricas de la teor´ las he ıatratado deliberadamente con cierta negligencia, para que al lector alejado dela f´ ısica no le ocurra lo que al caminante, a quien los ´rboles no le dejan ver ael bosque. Espero que el librito depare a m´s de uno algunas horas de alegre aentretenimiento. Diciembre de 1916. A. EINSTEIN 1
  3. 3. Sobre la teor´ de la relatividad especial ıa1. El contenido f´ ısico de los teoremas geom´tricos e Seguro que tambi´n t´, querido lector, entablaste de ni˜o conocimiento e u ncon el soberbio edificio de la Geometr´ de Euclides y recuerdas, quiz´ con ıa am´s respeto que amor, la imponente construcci´n por cuyas altas escalinatas a ote pasearon durante horas sin cuento los meticulosos profesores de la asigna-tura. Y seguro que, en virtud de ese tu pasado, castigar´ con el desprecio ıasa cualquiera que declarase falso incluso el m´s rec´ndito teoremita de esta a ociencia. Pero es muy posible que este sentimiento de orgullosa seguridad teabandonara de inmediato si alguien te preguntara: “¿Qu´ entiendes t´ al e uafirmar que estos teoremas son verdaderos?”. Deteng´monos un rato en esta acuesti´n. o La Geometr´ parte de ciertos conceptos b´sicos, como el de plano, pun- ıa ato, recta, a los que estamos en condiciones de asociar representaciones m´s oamenos claras, as´ como de ciertas proposiciones simples (axiomas) que, sobre ıla base de aquellas representaciones, nos inclinamos a dar por “verdaderas”.Todos los dem´s teoremas son entonces referidos a aquellos axiomas (es decir, ason demostrados) sobre la base de un m´todo l´gico cuya justificaci´n nos e o osentimos obligados a reconocer. Un teorema es correcto, o “verdadero”, cuan-do se deriva de los axiomas a trav´s de ese m´todo reconocido. La cuesti´n e e ode la “verdad” de los distintos teoremas geom´tricos remite, pues, a la de la e“verdad” de los axiomas. Sin embargo, se sabe desde hace mucho que estaultima cuesti´n no s´lo no es resoluble con los m´todos de la Geometr´ sino´ o o e ıa,que ni siquiera tiene sentido en s´ No se puede preguntar si es verdad o no ı. ´que por dos puntos s´lo pasa una recta. Unicamente cabe decir que la Geo- ometr´ eucl´ ıa ıdea trata de figuras a las que llama “rectas” y a las cuales asignala propiedad de quedar un´ ıvocamente determinadas por dos de sus puntos.El concepto de “verdadero” no se aplica a las proposiciones de la Geometr´ ıapura, porque con la palabra “verdadero” solemos designar siempre, en ultima ´instancia, la coincidencia con un objeto “real”; la Geometr´ sin embargo, ıa,no se ocupa de la relaci´n de sus conceptos con los objetos de la experiencia, osino s´lo de la relaci´n l´gica que guardan estos conceptos entre s´ o o o ı. 2
  4. 4. 3 El que, a pesar de todo, nos sintamos inclinados a calificar de “verdaderos”los teoremas de la Geometr´ tiene f´cil explicaci´n. Los conceptos geom´tri- ıa a o ecos se corresponden m´s o menos exactamente con objetos en la naturaleza, aque son, sin ning´n g´nero de dudas, la unica causa de su formaci´n. Aunque u e ´ ola Geometr´ se distancie de esto para dar a su edificio el m´ximo rigor l´gi- ıa a oco, lo cierto es que la costumbre, por ejemplo, de ver un segmento como doslugares marcados en un cuerpo pr´cticamente r´ a ıgido est´ muy afincada en anuestros h´bitos de pensamiento. Y tambi´n estamos acostumbrados a per- a ecibir tres lugares como situados sobre una recta cuando, mediante adecuadaelecci´n del punto de observaci´n, podemos hacer coincidir sus im´genes al o o amirar con un solo ojo. Si, dej´ndonos llevar por los h´bitos de pensamiento, a˜adimos ahora a a a nlos teoremas de la Geometr´ eucl´ ıa ıdea un unico teorema m´s, el de que a dos ´ apuntos de un cuerpo pr´cticamente r´ a ıgido les corresponde siempre la mismadistancia (segmento), independientemente de las variaciones de posici´n a oque sometamos el cuerpo, entonces los teoremas de la Geometr´ eucl´ ıa ıdea seconvierten en teoremas referentes a las posibles posiciones relativas de cuer-pos pr´cticamente r´ a ıgidos1 . La Geometr´ as´ ampliada hay que contemplarla ıa ıcomo una rama de la f´ ısica. Ahora s´ cabe preguntarse por la “verdad” de los ıteoremas geom´tricos as´ interpretados, porque es posible preguntar si son e ıv´lidos o no para aquellos objetos reales que hemos asignado a los conceptos ageom´tricos. Aunque con cierta imprecisi´n, podemos decir, pues, que por e o“verdad” de un teorema geom´trico entendemos en este sentido su validez en euna construcci´n con regla y comp´s. o a Naturalmente, la convicci´n de que los teoremas geom´tricos son “ver- o edaderos” en este sentido descansa exclusivamente en experiencias harto in-completas. De entrada daremos por supuesta esa verdad de los teoremasgeom´tricos, para luego, en la ultima parte de la exposici´n (la teor´ de la e ´ o ıarelatividad general), ver que esa verdad tiene sus l´ ımites y precisar cu´les ason ´stos. e2. El sistema de coordenadas Bas´ndonos en la interpretaci´n f´ a o ısica de la distancia que acabamos dese˜alar estamos tambi´n en condiciones de determinar la distancia entre dos n epuntos de un cuerpo r´ ıgido por medio de mediciones. Para ello necesitamos 1 De esta manera se le asigna tambi´n a la l´ e ınea recta un objeto de la naturaleza. Trespuntos de un cuerpo r´ıgido A, B, C se hallan situados sobre una l´ ınea recta cuando, dadoslos puntos A y C, el punto B est´ elegido de tal manera que la suma de las distancia AB ay BC es lo m´s peque˜a posible. Esta definici´n, defectuosa desde luego, puede bastar en a n oeste contexto.
  5. 5. 4un segmento (regla S) que podamos utilizar de una vez para siempre y quesirva de escala unidad. Si A y B son dos puntos de un cuerpo r´ ıgido, su rectade uni´n es entonces construible seg´n las leyes de la Geometr´ sobre esta o u ıa;recta de uni´n, y a partir de A, llevamos el segmento S tantas veces como sea onecesario para llegar a B. El n´mero de repeticiones de esta operaci´n es la u omedida del segmento AB. Sobre esto descansa toda medici´n de longitudes2 . o Cualquier descripci´n espacial del lugar de un suceso o de un objeto oconsiste en especificar el punto de un cuerpo r´ ıgido (cuerpo de referencia) conel cual coincide el suceso, y esto vale no s´lo para la descripci´n cient´ o o ıfica,sino tambi´n para la vida cotidiana. Si analizo la especificaci´n de lugar e o“en Berl´ en la Plaza de Potsdam”, veo que significa lo siguiente. El suelo ın,terrestre es el cuerpo r´ ıgido al que se refiere la especificaci´n de lugar; sobre o´l, “Plaza de Potsdam en Berl´ es un punto marcado, provisto de nombre,e ın”con el cual coincide espacialmente el suceso 3 . Este primitivo modo de localizaci´n s´lo atiende a lugares situados en la o osuperficie de cuerpos r´ ıgidos y depende de la existencia de puntos distingui-bles sobre aqu´lla. Veamos c´mo el ingenio humano se libera de estas dos e olimitaciones sin que la esencia del m´todo de localizaci´n sufra modificaci´n e o oalguna. Si sobre la Plaza de Potsdam flota por ejemplo una nube, su posici´n, oreferida a la superficie terrestre, cabr´ fijarla sin m´s que erigir en la plaza a aun m´stil vertical que llegue hasta la nube. La longitud del m´stil medida a acon la regla unidad, junto con la especificaci´n del lugar que ocupa el pie odel m´stil, constituyen entonces una localizaci´n completa. El ejemplo nos a omuestra de qu´ manera se fue refinando el concepto de lugar: e a) Se prolonga el cuerpo r´ ıgido al que se refiere la localizaci´n, de modo o que el cuerpo r´ ıgido ampliado llegue hasta el objeto a localizar. b) Para la caracterizaci´n del lugar se utilizan n´meros, y no la nomen- o u clatura de puntos notables (en el caso anterior, la longitud del m´stil a medida con la regla). c) Se sigue hablando de la altura de la nube aun cuando no se erija un m´stil que llegue hasta ella. En nuestro caso, se determina —mediante a fotograf´ de la nube desde diversos puntos del suelo y teniendo en ıas 2 Se ha supuesto, sin embargo, que la medici´n es exacta, es decir, que da un n´mero en- o utero. De esta dificultad se deshace uno empleando escalas subdivididas, cuya introducci´n ono exige ning´n m´todo fundamentalmente nuevo. u e 3 No es preciso entrar aqu´ con m´s detenimiento en el significado de “coincidencia ı aespacial”, pues este concepto es claro en la medida en que, en un caso real, apenas habr´ ıadivisi´n de opiniones en torno a su validez o
  6. 6. 5 cuenta las propiedades de propagaci´n de la luz— qu´ longitud habr´ o e ıa que dar al m´stil para llegar a la nube. a De estas consideraciones se echa de ver que para la descripci´n de lugares oes ventajoso independizarse de la existencia de puntos notables, provistos denombres y situados sobre el cuerpo r´ ıgido al que se refiere la localizaci´n, y outilizar en lugar de ello n´meros. La f´ u ısica experimental cubre este objetivoempleando el sistema de coordenadas cartesianas. Este sistema consta de tres paredes r´ ıgidas, planas, perpendiculares entres´ y ligadas a un cuerpo r´ ı ıgido. El lugar de cualquier suceso, referido alsistema de coordenadas, viene descrito (en esencia) por la especificaci´n de ola longitud de las tres verticales o coordenadas (x, y, z)(cf. Fig. 2, p. ) quepueden trazarse desde el suceso hasta esas tres paredes. Las longitudes deestas tres perpendiculares pueden determinarse mediante una sucesi´n de omanipulaciones con reglas r´ ıgidas, manipulaciones que vienen prescritas porlas leyes y m´todos de la Geometr´ euclidiana. e ıa En las aplicaciones no suelen construirse realmente esas paredes r´ ıgidasque forman el sistema de coordenadas; y las coordenadas tampoco se deter-minan realmente por medio de construcciones con reglas r´ ıgidas, sino indirec-tamente. Pero el sentido f´ ısico de las localizaciones debe buscarse siempre enconcordancia con las consideraciones anteriores, so pena de que los resultados ısica y la astronom´ se diluyan en la falta de claridad4 .de la f´ ıa La conclusi´n es, por tanto, la siguiente: toda descripci´n espacial de o osucesos se sirve de un cuerpo r´ ıgido al que hay que referirlos espacialmente.Esa referencia presupone que los “segmentos” se rigen por las leyes de laGeometr´ eucl´ ıa ıdea, viniendo representados f´ ısicamente por dos marcas sobreun cuerpo r´ ıgido.3. Espacio y tiempo en la Mec´nica cl´sica a a Si formulo el objetivo de la Mec´nica diciendo que “la Mec´nica debe a adescribir c´mo var´ con el tiempo la posici´n de los cuerpos en el espacio”, o ıa osin a˜adir grandes reservas y prolijas explicaciones, cargar´ sobre mi con- n ıaciencia algunos pecados capitales contra el sagrado esp´ ıritu de la claridad.Indiquemos antes que nada estos pecados. No est´ claro qu´ debe entenderse aqu´ por “posici´n” y “espacio”. Su- a e ı opongamos que estoy asomado a la ventanilla de un vag´n de ferrocarril que olleva una marcha uniforme, y dejo caer una piedra a la v´ sin darle ning´n ıa, uimpulso. Entonces veo (prescindiendo de la influencia de la resistencia del 4 No es sino en la teor´ de la relatividad general, estudiada en la segunda parte del ıalibro, donde se hace necesario afinar y modificar esta concepci´n. o
  7. 7. 6aire) que la piedra cae en l´ ınea recta. Un peat´n que asista a la fechor´ des- o ıade el terrapl´n observa que la piedra cae a tierra seg´n un arco de par´bola. e u aYo pregunto ahora: las “posiciones” que recorre la piedra ¿est´n “realmente” asobre una recta o sobre una par´bola? Por otro lado, ¿qu´ significa aqu´ mo- a e ıvimiento en el “espacio”? La respuesta es evidente despu´s de lo dicho en e§2. Dejemos de momento a un lado la oscura palabra “espacio”, que, pa-ra ser sinceros, no nos dice absolutamente nada; en lugar de ella ponemos“movimiento respecto a un cuerpo de referencia pr´cticamente r´ a ıgido”. Lasposiciones con relaci´n al cuerpo de referencia (vag´n del tren o v´ o o ıas) hansido ya definidas expl´ ıcitamente en el ep´ıgrafe anterior. Introduciendo en lu-gar de “cuerpo de referencia” el concepto de “sistema de coordenadas”, quees util para la descripci´n matem´tica, podemos decir: la piedra describe, ´ o acon relaci´n a un sistema de coordenadas r´ o ıgidamente unido al vag´n, una orecta; con relaci´n a un sistema de coordenadas r´ o ıgidamente ligado a las v´ ıas,una par´bola. En este ejemplo se ve claramente que en rigor no existe una atrayectoria5 , sino s´lo una trayectoria con relaci´n a un cuerpo de referencia o odeterminado. Ahora bien, la descripci´n completa del movimiento no se obtiene sino oal especificar c´mo var´ la posici´n del cuerpo con el tiempo, o lo que es lo o ıa omismo, para cada punto de la trayectoria hay que indicar en qu´ momento se eencuentra all´ el cuerpo. Estos datos hay que completarlos con una definici´n ı odel tiempo en virtud de la cual podamos considerar estos valores tempora-les como magnitudes esencialmente observables (resultados de mediciones).Nosotros, sobre el suelo de la Mec´nica cl´sica, satisfacemos esta condici´n a a o—con relaci´n al ejemplo anterior— de la siguiente manera. Imaginemos dos orelojes exactamente iguales; uno de ellos lo tiene el hombre en la ventanilladel vag´n de tren; el otro, el hombre que est´ de pie en el terrapl´n. Cada uno o a ede ellos verifica en qu´ lugar del correspondiente cuerpo de referencia se en- ecuentra la piedra en cada instante marcado por el reloj que tiene en la mano.Nos abstenemos de entrar aqu´ en la imprecisi´n introducida por el car´cter ı o afinito de la velocidad de propagaci´n de la luz. Sobre este extremo, y sobre ouna segunda dificultad que se presenta aqu´ hablaremos detenidamente m´s ı, aadelante.4. El sistema de coordenadas de Galileo Como es sabido, la ley fundamental de la Mec´nica de Galileo y Newton, aconocida por la ley de inercia, dice: un cuerpo suficientemente alejado de otroscuerpos persiste en su estado de reposo o de movimiento rectil´ ıneo uniforme. 5 Es decir, una curva a lo largo de la cual se mueve el cuerpo.
  8. 8. 7Este principio se pronuncia no s´lo sobre el movimiento de los cuerpos, sino otambi´n sobre qu´ cuerpos de referencia o sistemas de coordenadas son per- e emisibles en la Mec´nica y pueden utilizarse en las descripciones mec´nicas. a aAlgunos de los cuerpos a los que sin duda cabe aplicar con gran aproximaci´n ola ley de inercia son las estrellas fijas. Ahora bien, si utilizamos un sistema decoordenadas solidario con la Tierra, cada estrella fija describe, con relaci´n a o´l y a lo largo de un d´ (astron´mico), una circunferencia de radio enorme,e ıa oen contradicci´n con el enunciado de la ley de inercia. As´ pues, si uno se o ıatiene a esta ley, entonces los movimientos s´lo cabe referirlos a sistemas ode coordenadas con relaci´n a los cuales las estrellas fijas no ejecutan mo- ovimientos circulares. Un sistema de coordenadas cuyo estado de movimientoes tal que con relaci´n a ´l es v´lida la ley de inercia lo llamamos “sistema o e ade coordenadas de Galileo”. Las leyes de la Mec´nica de Galileo-Newton s´lo a otienen validez para sistemas de coordenadas de Galileo.5. El principio de la relatividad (en sentido restringido) Para conseguir la mayor claridad posible, volvamos al ejemplo del vag´n ode tren que lleva una marcha uniforme. Su movimiento decimos que es unatraslaci´n uniforme (“uniforme”, porque es de velocidad y direcci´n constan- o otes; “traslaci´n”, porque aunque la posici´n del vag´n var´ con respecto a la o o o ıav´ no ejecuta ning´n giro). Supongamos que por los aires vuela un cuervo ıa, uen l´ınea recta y uniformemente (respecto a la v´ No hay duda de que el ıa).movimiento del cuervo es —respecto al vag´n en marcha— un movimiento ode distinta velocidad y diferente direcci´n, pero sigue siendo rectil´ o ıneo y uni-forme. Expresado de modo abstracto: si una masa m se mueve en l´ ınea rectay uniformemente respecto a un sistema de coordenadas K, entonces tambi´n ese mueve en l´ ınea recta y uniformemente respecto a un segundo sistema decoordenadas K , siempre que ´ste ejecute respecto a K un movimiento de etraslaci´n uniforme. Teniendo en cuenta lo dicho en el p´rrafo anterior, se o adesprende de aqu´ lo siguiente: ı Si K es un sistema de coordenadas de Galileo, entonces tambi´n lo esecualquier otro sistema de coordenadas K que respecto a K se halle en unestado de traslaci´n uniforme. Las leyes de la Mec´nica de Galileo-Newton o avalen tanto respecto a K como respecto a K. Demos un paso m´s en la generalizaci´n y enunciemos el siguiente prin- a ocipio: Si K es un sistema de coordenadas que se mueve uniformemente ysin rotaci´n respecto a K, entonces los fen´menos naturales transcurren con o orespecto a K seg´n id´nticas leyes generales que con respecto a K. Esta u eproposici´n es lo que llamaremos el “principio de relatividad” (en sentido orestringido).
  9. 9. 8 Mientras se mantuvo la creencia de que todos los fen´menos naturales se opod´ representar con ayuda de la Mec´nica cl´sica, no se pod´ dudar de la ıan a a ıavalidez de este principio de relatividad. Sin embargo, los recientes adelantos a ´de la Electrodin´mica y de la Optica hicieron ver cada vez m´s claramente aque la Mec´nica cl´sica, como base de toda descripci´n f´ a a o ısica de la natura-leza, no era suficiente. La cuesti´n de la validez del principio de relatividad ose torn´ as´ perfectamente discutible, sin excluir la posibilidad de que la so- o ıluci´n fuese en sentido negativo. Existen, con todo, dos hechos generales que ode entrada hablan muy a favor de la validez del principio de relatividad. Enefecto, aunque la Mec´nica cl´sica no proporciona una base suficientemente a aancha para representar te´ricamente todos los fen´menos f´ o o ısicos, tiene queposeer un contenido de verdad muy importante, pues da con admirable preci-si´n los movimientos reales de los cuerpos celestes. De ah´ que en el campo de o ıla Mec´nica tenga que ser v´lido con gran exactitud el principio de relativi- a adad. Y que un principio de generalidad tan grande y que es v´lido, con tanta aexactitud, en un determinado campo de fen´menos fracase en otro campo es, oa priori, poco probable. El segundo argumento, sobre el que volveremos m´s adelante, es el si- aguiente. Si el principio de relatividad (en sentido restringido) no es v´lido, aentonces los sistemas de coordenadas de Galileo K, K , K , etc., que se mue-ven uniformemente unos respecto a los otros, no ser´n equivalentes para la adescripci´n de los fen´menos naturales. En ese caso no tendr´ o o ıamos m´s re- amedio que pensar que las leyes de la naturaleza s´lo pueden formularse con oespecial sencillez y naturalidad si de entre todos los sistemas de coordena-das de Galileo eligi´semos como cuerpo de referencia uno (K0 ) que tuviera eun estado de movimiento determinado. A ´ste lo calificar´ e ıamos, y con raz´n o(por sus ventajas para la descripci´n de la naturaleza), de “absolutamente oen reposo”, mientras que de los dem´s sistemas galileanos K dir´ a ıamos queson “m´viles”. Si la v´ fuese el sistema K0 , pongamos por caso, entonces o ıanuestro vag´n de ferrocarril ser´ un sistema K respecto al cual regir´ le- o ıa ıanyes menos sencillas que respecto a K0 . Esta menor simplicidad habr´ que ıaatribuirla a que el vag´n K se mueve respecto a K0 (es decir, “realmente”). oEn estas leyes generales de la naturaleza formuladas respecto a K tendr´ ıanque desempe˜ar un papel el m´dulo y la direcci´n de la velocidad del vag´n. n o o oSer´ de esperar, por ejemplo, que el tono de un tubo de ´rgano fuese distinto ıa ocuando su eje fuese paralelo a la direcci´n de marcha que cuando estuviese operpendicular. Ahora bien, la Tierra, debido a su movimiento orbital alrede-dor del Sol, es equiparable a un vag´n que viajara a unos 30 km por segundo. oPor consiguiente, caso de no ser v´lido el principio de relatividad, ser´ de a ıaesperar que la direcci´n instant´nea del movimiento terrestre interviniera en o alas leyes de la naturaleza y que, por lo tanto, el comportamiento de los siste-
  10. 10. 9mas f´ısicos dependiera de su orientaci´n espacial respecto a la Tierra; porque, ocomo la velocidad del movimiento de rotaci´n terrestre var´ de direcci´n en o ıa oel transcurso del a˜o, la Tierra no puede estar todo el a˜o en reposo res- n npecto al hipot´tico sistema K0 . Pese al esmero que se ha puesto en detectar euna tal anisotrop´ del espacio f´ ıa ısico terrestre, es decir, una no equivalenciade las distintas direcciones, jam´s ha podido ser observada. Lo cual es un aargumento de peso a favor del principio de la relatividad.6. El teorema de adici´n de velocidades seg´ n la Mec´nica cl´sica o u a a Supongamos que nuestro tan tra´ y llevado vag´n de ferrocarril viaja ıdo ocon velocidad constante v por la l´ ınea, e imaginemos que por su interior cami-na un hombre en la direcci´n de marcha con velocidad w. ¿Con qu´ velocidad o eW avanza el hombre respecto a la v´ al caminar? La unica respuesta posible ıa ´parece desprenderse de la siguiente consideraci´n: o Si el hombre se quedara parado durante un segundo, avanzar´ respecto ıa,a la v´ un trecho v igual a la velocidad del vag´n. Pero en ese segundo ıa, orecorre adem´s, respecto al vag´n, y por tanto tambi´n respecto a la v´ a o e ıa,un trecho w igual a la velocidad con que camina. Por consiguiente, en esesegundo avanza en total el trecho W =v+wrespecto a la v´ M´s adelante veremos que este razonamiento, que expresa el ıa. ateorema de adici´n de velocidades seg´n la Mec´nica cl´sica, es insostenible o u a ay que la ley que acabamos de escribir no es v´lida en realidad. Pero entre atanto edificaremos sobre su validez.7. La aparente incompatibilidad de la ley de propagaci´n de la luz ocon el principio de la relatividad Apenas hay en la f´ ısica una ley m´s sencilla que la de propagaci´n de a ola luz en el espacio vac´ Cualquier escolar sabe (o cree saber) que esta ıo.propagaci´n se produce en l´ o ınea recta con una velocidad de c = 300,000km/s. En cualquier caso, sabemos con gran exactitud que esta velocidad esla misma para todos los colores, porque si no fuera as´ el m´ ı, ınimo de emisi´n oen el eclipse de una estrella fija por su compa˜era oscura no se observar´ n ıasimult´neamente para los diversos colores. A trav´s de un razonamiento si- a emilar, relativo a observaciones de las estrellas dobles, el astr´nomo holand´s o eDe Sitter consigui´ tambi´n demostrar que la velocidad de propagaci´n de la o e oluz no puede depender de la velocidad del movimiento del cuerpo emisor. La
  11. 11. 10hip´tesis de que esta velocidad de propagaci´n depende de la direcci´n “en o o oel espacio” es de suyo improbable. Supongamos, en resumen, que el escolar cree justificadamente en la sen-cilla ley de la constancia de la velocidad de la luz c (en el vac´ ¿Qui´n dir´ ıo). e ıaque esta ley tan simple ha sumido a los f´ ısicos m´s concienzudos en grand´ a ısi-mas dificultades conceptuales? Los problemas surgen del modo siguiente. Como es natural, el proceso de la propagaci´n de la luz, como cualquier ootro, hay que referirlo a un cuerpo de referencia r´ ıgido (sistema de coorde-nadas). Volvemos a elegir como tal las v´ del tren e imaginamos que el aire ıasque hab´ por encima de ellas lo hemos eliminado por bombeo. Supongamos ıaque a lo largo del terrapl´n se emite un rayo de luz cuyo v´rtice, seg´n lo e e uanterior, se propaga con la velocidad c respecto a aqu´l. Nuestro vag´n de e oferrocarril sigue viajando con la velocidad v, en la misma direcci´n en que se opropaga el rayo de luz, pero naturalmente mucho m´s despacio. Lo que nos ainteresa averiguar es la velocidad de propagaci´n del rayo de luz respecto al ovag´n. Es f´cil ver que el razonamiento del ep´ o a ıgrafe anterior tiene aqu´ apli- ıcaci´n, pues el hombre que corre con respecto al vag´n desempe˜a el papel o o ndel rayo de luz. En lugar de su velocidad W respecto al terrapl´n apareceeaqu´ la velocidad de la luz respecto a ´ste; la velocidad w que buscamos, la ı ede la luz respecto al vag´n, es por tanto igual a: o w =c−v As´ pues, la velocidad de propagaci´n del rayo de luz respecto al vag´n ı o oresulta ser menor que c. Ahora bien, este resultado atenta contra el principio de la relatividadexpuesto en §5, porque, seg´n este principio, la ley de propagaci´n de la u oluz en el vac´ como cualquier otra ley general de la naturaleza, deber´ ser ıo, ıala misma si tomamos el vag´n como cuerpo de referencia que si elegimos olas v´ lo cual parece imposible seg´n nuestro razonamiento. Si cualquier ıas, urayo de luz se propaga respecto al terrapl´n con la velocidad c, la ley de epropagaci´n respecto al vag´n parece que tiene que ser, por eso mismo, otra o odistinta. . . en contradicci´n con el principio de relatividad. o A la vista del dilema parece ineludible abandonar, o bien el principio derelatividad, o bien la sencilla ley de la propagaci´n de la luz en el vac´ o ıo.El lector que haya seguido atentamente las consideraciones anteriores espe-rar´ seguramente que sea el principio de relatividad —que por su naturalidad ay sencillez se impone a la mente como algo casi ineludible— el que se man-tenga en pie, sustituyendo en cambio la ley de la propagaci´n de la luz en el ovac´ por una ley m´s complicada y compatible con el principio de relativi- ıo adad. Sin embargo, la evoluci´n de la f´ o ısica te´rica demostr´ que este camino o o
  12. 12. 11era impracticable. Las innovadoras investigaciones te´ricas de H. A. Lorentz osobre los procesos electrodin´micos y ´pticos en cuerpos m´viles demostra- a o oron que las experiencias en estos campos conducen con necesidad imperiosaa una teor´ de los procesos electromagn´ticos que tiene como consecuencia ıa eirrefutable la ley de la constancia de la luz en el vac´ Por eso, los te´ricos de ıo. ovanguardia se inclinaron m´s bien por prescindir del principio de relatividad, apese a no poder hallar ni un solo hecho experimental que lo contradijera. Aqu´ es donde entr´ la teor´ de la relatividad. Mediante un an´lisis de ı o ıa alos conceptos de espacio y tiempo se vio que en realidad no exist´ ninguna ıaincompatibilidad entre el principio de la relatividad y la ley de propagaci´n de ola luz, sino que, ateni´ndose uno sistem´ticamente a estas dos leyes, se llegaba e aa una teor´ l´gicamente impecable. Esta teor´ que para diferenciarla de ıa o ıa,su ampliaci´n (comentada m´s adelante) llamamos “teor´ de la relatividad o a ıaespecial”, es la que expondremos a continuaci´n en sus ideas fundamentales. o8. Sobre el concepto de tiempo en la F´ ısica Un rayo ha ca´ en dos lugares muy distantes A y B de la v´ Yo a˜ado la ıdo ıa. nafirmaci´n de que ambos impactos han ocurrido simult´neamente. Si ahora te o apregunto, querido lector, si esta afirmaci´n tiene o no sentido, me contestar´s o acon un “s´ contundente. Pero si luego te importuno con el ruego de que me ı”expliques con m´s precisi´n ese sentido, advertir´s tras cierta reflexi´n que a o a ola respuesta no es tan sencilla como parece a primera vista. Al cabo de alg´n tiempo quiz´ te acuda a la mente la siguiente respuesta: u a“El significado de la afirmaci´n es claro de por s´ y no necesita de ninguna o ıaclaraci´n; sin embargo, tendr´ que reflexionar un poco si se me exige de- o ıaterminar, mediante observaciones, si en un caso concreto los dos sucesos sono no simult´neos”. Pero con esta respuesta no puedo darme por satisfecho, apor la siguiente raz´n. Suponiendo que un experto meteor´logo hubiese ha- o ollado, mediante agud´ ısimos razonamientos, que el rayo tiene que caer siempresimult´neamente en los lugares A y B, se plantear´ el problema de compro- a ıabar si ese resultado te´rico se corresponde o no con la realidad. Algo an´logo o aocurre en todas las proposiciones f´ ısicas en las que interviene el conceptode “simult´neo”. Para el f´ a ısico no existe el concepto mientras no se brindela posibilidad de averiguar en un caso concreto si es verdadero o no. Hacefalta, por tanto, una definici´n de simultaneidad que proporcione el m´todo o epara decidir experimentalmente en el caso presente si los dos rayos han ca´ ıdosimult´neamente o no. Mientras no se cumpla este requisito, me estar´ en- a etregando como f´ ısico (¡y tambi´n como no f´ e ısico!) a la ilusi´n de creer que opuedo dar sentido a esa afirmaci´n de la simultaneidad. (No sigas leyendo, oquerido lector, hasta concederme esto plenamente convencido.)
  13. 13. 12 Tras alg´n tiempo de reflexi´n haces la siguiente propuesta para constatar u ola simultaneidad. Se mide el segmento de uni´n AB a lo largo de la v´ y se o ıacoloca en su punto medio M a un observador provisto de un dispositivo (dosespejos formando 900 entre s´ por ejemplo) que le permite la visualizaci´n ı, oo´ptica simult´nea de ambos lugares A y B. Si el observador percibe los dos arayos simult´neamente, entonces es que son simult´neos. a a Aunque la propuesta me satisface mucho, sigo pensando que la cuesti´n ono queda aclarada del todo, pues me siento empujado a hacer la siguienteobjeci´n: “Tu definici´n ser´ necesariamente correcta si yo supiese ya que la o o ıaluz que la percepci´n de los rayos transmite al observador en M se propaga ocon la misma velocidad en el segmento A → M que en el segmento B → M Sin embargo, la comprobaci´n de este supuesto s´lo ser´ posible si se o o ıadispusiera ya de los medios para la medici´n de tiempos. Parece, pues, que onos movemos en un c´ ırculo l´gico”. o Despu´s de reflexionar otra vez, me lanzas con toda raz´n una mirada al- e ogo despectiva y me dices: “A pesar de todo, mantengo mi definici´n anterior, oporque en realidad no presupone nada sobre la luz. A la definici´n de simul- otaneidad solamente hay que imponerle una condici´n, y es que en cualquier ocaso real permita tomar una decisi´n emp´o ırica acerca de la pertinencia o nopertinencia del concepto a definir. Que mi definici´n cubre este objetivo es oinnegable. Que la luz tarda el mismo tiempo en recorrer el camino A → Mque el B → M no es en realidad ning´n supuesto previo ni hip´tesis sobre la u onaturaleza f´ısica de la luz, sino una estipulaci´n que puedo hacer a discreci´n o opara llegar a una definici´n de simultaneidad”. o Est´ claro que esta definici´n se puede utilizar para dar sentido exacto al a oenunciado de simultaneidad, no s´lo de dos sucesos, sino de un n´mero arbi- o utrario de ellos, sea cual fuere su posici´n con respecto al cuerpo de referencia6 . oCon ello se llega tambi´n a una definici´n del “tiempo” en la F´ e o ısica. Imagine-mos, en efecto, que en los puntos A, B, C de la v´ (sistema de coordenadas) ıaexisten relojes de id´ntica constituci´n y dispuestos de tal manera que las e oposiciones de las manillas sean simult´neamente (en el sentido anterior) las amismas. Se entiende entonces por “tiempo” de un suceso la hora (posici´n ode las manillas) marcada por aquel de esos relojes que est´ inmediatamente acontiguo (espacialmente) al suceso. De este modo se le asigna a cada sucesoun valor temporal que es esencialmente observable. 6 Suponemos adem´s que cuando ocurren tres fen´menos A, B, C en lugares distintos y a oA es simult´neo a B y B simult´neo a C (en el sentido de la definici´n anterior), entonces a a ose cumple tambi´n el criterio de simultaneidad para la pareja de sucesos A − C. Este esupuesto es una hip´tesis f´ o ısica sobre la ley de propagaci´n de la luz; tiene que cumplirse onecesariamente para poder mantener en pie la ley de la constancia de la velocidad de laluz en el vac´ıo.
  14. 14. 13 Esta definici´n entra˜a otra hip´tesis f´ o n o ısica de cuya validez, en ausenciade razones emp´ ıricas en contra, no se podr´ dudar. En efecto, se supone que atodos los relojes marchan “igual de r´pido” si tienen la misma constituci´n. a oFormul´ndolo exactamente: si dos relojes colocados en reposo en distintos alugares del cuerpo de referencia son puestos en hora de tal manera que laposici´n de las manillas del uno sea simult´nea (en el sentido anterior) a la o amisma posici´n de las manillas del otro, entonces posiciones iguales de las omanillas son en general simult´neas (en el sentido de la definici´n anterior). a o9. La relatividad de la simultaneidad Hasta ahora hemos referido nuestros razonamientos a un determinadocuerpo de referencia que hemos llamado “terrapl´n” o “v´ e ıas”. Supongamosque por los carriles viaja un tren muy largo, con velocidad constante v yen la direcci´n se˜alada en la Fig. 1. Las personas que viajan en este tren o nhallar´n ventajoso utilizar el tren como cuerpo de referencia r´ a ıgido (sistemade coordenadas) y referir´n todos los sucesos al tren. Todo suceso que se aproduce a lo largo de la v´ se produce tambi´n en un punto determinado ıa, edel tren. Incluso la definici´n de simultaneidad se puede dar exactamente oigual con respecto al tren que respecto a las v´ Sin embargo, se plantea ıas.ahora la siguiente cuesti´n: o Dos sucesos (p. ej., los dos rayos A y B) que son simult´neos respecto al aterrapl´n, ¿son tambi´n simult´neos respecto al tren? En seguida demostra- e e aremos que la respuesta tiene que ser negativa. Cuando decimos que los rayos A y B son simult´neos respecto a las v´ a ıas,queremos decir: los rayos de luz que salen de los lugares A y B se re´nen en uel punto medio M del tramo de v´ A − B. Ahora bien, los sucesos A y B se ıacorresponden tambi´n con lugares A y B en el tren. Sea M el punto medio edel segmento A − B del tren en marcha. Este punto M es cierto que en elinstante de la ca´ de los rayos7 coincide con el punto M , pero, como se ıdaindica en la figura, se mueve hacia la derecha con la velocidad v del tren. Unobservador que estuviera sentado en el tren en M , pero que no poseyera esta 7 ¡Desde el punto de vista del terrapl´n! e
  15. 15. 14velocidad, permanecer´ constantemente en M , y los rayos de luz que parten ıade las chispas A y B lo alcanzar´ simult´neamente, es decir, estos dos ıan arayos de luz se reunir´ precisamente en ´l. La realidad es, sin embargo, que ıan e(juzgando la situaci´n desde el terrapl´n) este observador va al encuentro o edel rayo de luz que viene de B, huyendo en cambio del que avanza desdeA. Por consiguiente, ver´ antes la luz que sale de B que la que sale de A. aEn resumidas cuentas, los observadores que utilizan el tren como cuerpo dereferencia tienen que llegar a la conclusi´n de que la chispa el´ctrica B ha o eca´ antes que la A. Llegamos as´ a un resultado importante: ıdo ı Sucesos que son simult´neos respecto al terrapl´n no lo son respecto al a etren, y viceversa (relatividad de la simultaneidad). Cada cuerpo de referencia(sistema de coordenadas) tiene su tiempo especial; una localizaci´n temporal otiene s´lo sentido cuando se indica el cuerpo de referencia al que remite. o Antes de la teor´ de la relatividad, la F´ ıa ısica supon´ siempre impl´ ıa ıcita-mente que el significado de los datos temporales era absoluto, es decir, inde-pendiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia. Pero acabamosde ver que este supuesto es incompatible con la definici´n natural de simul- otaneidad; si prescindimos de ´l, desaparece el conflicto, expuesto en §7, entre ela ley de la propagaci´n de la luz y el principio de la relatividad. o En efecto, el conflicto proviene del razonamiento del ep´ ıgrafe 6, que ahoraresulta insostenible. Inferimos all´ que el hombre que camina por el vag´n y ı orecorre el trecho w en un segundo, recorre ese mismo trecho tambi´n en eun segundo respecto a las v´ Ahora bien, toda vez que, en virtud de las ıas.reflexiones anteriores, el tiempo que necesita un proceso con respecto al vag´n ono cabe igualarlo a la duraci´n del mismo proceso juzgada desde el cuerpo de oreferencia del terrapl´n, tampoco se puede afirmar que el hombre, al caminar erespecto a las v´ recorra el trecho w en un tiempo que —juzgado desde el ıas,terrapl´n— es igual a un segundo. Digamos de paso que el razonamiento de e§6 descansa adem´s en un segundo supuesto que, a la luz de una reflexi´n a origurosa, se revela arbitrario, lo cual no quita para que, antes de establecersela teor´ de la relatividad, fuese aceptado siempre (de modo impl´ ıa ıcito).10. Sobre la relatividad del concepto de distancia espacial Observamos dos lugares concretos del tren8 que viaja con velocidad v porla l´ ınea y nos preguntamos qu´ distancia hay entre ellos. Sabemos ya que epara medir una distancia se necesita un cuerpo de referencia respecto al cualhacerlo. Lo m´s sencillo es utilizar el propio tren como cuerpo de referencia a(sistema de coordenadas). Un observador que viaja en el tren mide la distan- 8 El centro de los vagones primero y cent´simo, por ejemplo. e
  16. 16. 15cia, transportando en l´ınea recta una regla sobre el suelo de los vagones, porejemplo, hasta llegar desde uno de los puntos marcados al otro. El n´merouque indica cu´ntas veces transport´ la regla es entonces la distancia buscada. a o Otra cosa es si se quiere medir la distancia desde la v´ Aqu´ se ofrece ıa. ıel m´todo siguiente. Sean A y B los dos puntos del tren de cuya distancia ese trata; estos dos puntos se mueven con velocidad v a lo largo de la v´ ıa.Pregunt´monos primero por los puntos A y B de la v´ por donde pasan e ıaA y B en un momento determinado t (juzgado desde la v´ En virtud ıa).de la definici´n de tiempo dada en §8, estos puntos A y B de la v´ son o ıadeterminables. A continuaci´n se mide la distancia entre A y B transportando orepetidamente el metro a lo largo de la v´ ıa. A priori no est´ dicho que esta segunda medici´n tenga que proporcionar a oel mismo resultado que la primera. La longitud del tren, medida desde lav´ puede ser distinta que medida desde el propio tren. Esta circunstancia se ıa,traduce en una segunda objeci´n que oponer al razonamiento, aparentemente otan meridiano, de §6. Pues si el hombre en el vag´n recorre en una unidad ode tiempo el trecho w medido desde el tren, este trecho, medido desde la v´ ıa,no tiene por qu´ ser igual a w. e11. La transformaci´n de Lorentz o Las consideraciones hechas en los tres ultimos ep´ ´ ıgrafes nos muestranque la aparente incompatibilidad de la ley de propagaci´n de la luz con el oprincipio de relatividad en §7 est´ deducida a trav´s de un razonamiento que a etomaba a pr´stamo de la Mec´nica cl´sica dos hip´tesis injustificadas; estas e a a ohip´tesis son: o 1. El intervalo temporal entre dos sucesos es independiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia. 2. El intervalo espacial entre dos puntos de un cuerpo r´ ıgido es indepen- diente del estado de movimiento del cuerpo de referencia. Si eliminamos estas dos hip´tesis, desaparece el dilema de §7, porque el oteorema de adici´n de velocidades deducido en §6 pierde su validez. Ante onosotros surge la posibilidad de que la ley de la propagaci´n de la luz en oel vac´ sea compatible con el principio de relatividad. Llegamos as´ a la ıo ıpregunta: ¿c´mo hay que modificar el razonamiento de §6 para eliminar la oaparente contradicci´n entre estos dos resultados fundamentales de la expe- oriencia? Esta cuesti´n conduce a otra de ´ o ındole general. En el razonamientode §6 aparecen lugares y tiempos con relaci´n al tren y con relaci´n a las o ov´ ¿C´mo se hallan el lugar y el tiempo de un suceso con relaci´n al tren ıas. o o
  17. 17. 16cuando se conocen el lugar y el tiempo del suceso con respecto a las v´ ıas?¿Esta pregunta tiene alguna respuesta de acuerdo con la cual la ley de la pro-pagaci´n en el vac´ no contradiga al principio de relatividad? O expresado o ıode otro modo: ¿cabe hallar alguna relaci´n entre las posiciones y tiempos de olos distintos sucesos con relaci´n a ambos cuerpos de referencia, de manera oque todo rayo de luz tenga la velocidad de propagaci´n c respecto a las v´ o ıasy respecto al tren? Esta pregunta conduce a una respuesta muy determinaday afirmativa, a una ley de transformaci´n muy precisa para las magnitudes oespacio-temporales de un suceso al pasar de un cuerpo de referencia a otro. Antes de entrar en ello, intercalemos la siguiente consideraci´n. Hasta oahora solamente hemos hablado de sucesos que se produc´ a lo largo de la ıanv´ la cual desempe˜aba la funci´n matem´tica de una recta. Pero, siguien- ıa, n o ado lo indicado en el ep´ ıgrafe 2, cabe imaginar que este cuerpo de referenciase prolonga hacia los lados y hacia arriba por medio de un andamiaje devarillas, de manera que cualquier suceso, ocurra donde ocurra, puede loca-lizarse respecto a ese andamiaje. An´logamente, es posible imaginar que el atren que viaja con velocidad v se prolonga por todo el espacio, de maneraque cualquier suceso, por lejano que est´, tambi´n pueda localizarse respecto e eal segundo andamio. Sin incurrir en defecto te´rico, podemos prescindir del ohecho de que en realidad esos andamios se destrozar´ uno contra el otro ıandebido a la impenetrabilidad de los cuerpos s´lidos. En cada uno de estos oandamios imaginamos que se erigen tres paredes mutuamente perpendicula-res que denominamos “planos coordenados” (“sistema de coordenadas”). Alterrapl´n le corresponde entonces un sistema de coordenadas K, y al tren eotro K . Cualquier suceso, dondequiera que ocurra, viene fijado espacialmen-te respecto a K por las tres perpendiculares x, y, z a los planos coordenados,y temporalmente por un valor t. Ese mismo suceso viene fijado espacio-temporalmente respecto a K por valores correspondientes x , y , z , t , que,como es natural, no coinciden con x, y, z, t. Ya explicamos antes con detallec´mo interpretar estas magnitudes como resultados de mediciones f´ o ısicas. Es evidente que el problema que tenemos planteado se puede formularexactamente de la manera siguiente: Dadas las cantidades x, y, z, t de unsuceso respecto a K, ¿cu´les son los valores x , y , z , t del mismo suceso arespectoa K ? Las relaciones hay que elegirlas de tal modo que satisfagan laley de propagaci´n de la luz en el vac´ para uno y el mismo rayo de luz (y o ıoadem´s para cualquier rayo de luz) respecto a K y K . Para la orientaci´n a oespacial relativa indicada en el dibujo de la figura , el problema queda resuelto
  18. 18. 17por las ecuaciones: x − vt x = v2 1− c2 y = y z = z vx t− c2 t = v2 1− c2 Este sistema de ecuaciones se designa con el nombre de “transformaci´n o 9de Lorentz ”. Ahora bien, si en lugar de la ley de propagaci´n de la luz hubi´semos o etomado como base los supuestos impl´ıcitos en la vieja mec´nica, relativos al acar´cter absoluto de los tiempos y las longitudes, en vez de las anteriores aecuaciones de transformaci´n habr´ o ıamos obtenido estas otras: x = x − vt y = y z = z t = tsistema que a menudo se denomina “transformaci´n de Galileo”. La transfor- omaci´n de Galileo se obtiene de la de Lorentz igualando en ´sta la velocidad o ede la luz c a un valor infinitamente grande. 9 En el Ap´ndice se da una derivaci´n sencilla de la transformaci´n de Lorentz e o o
  19. 19. 18 El siguiente ejemplo muestra claramente que, seg´n la transformaci´n de u oLorentz, la ley de propagaci´n de la luz en el vac´ se cumple tanto respecto al o ıocuerpo de referencia K como respecto al cuerpo de referencia K . Supongamosque se env´ una se˜al luminosa a lo largo del eje x positivo, propag´ndose ıa n ala excitaci´n luminosa seg´n la ecuaci´n o u o x = ctes decir, con velocidad c. De acuerdo con las ecuaciones de la transformaci´n ode Lorentz, esta sencilla relaci´n entre x y t determina una relaci´n entre x o oy t . En efecto, sustituyendo x por el valor ct en las ecuaciones primera ycuarta de la transformaci´n de Lorentz obtenemos: o (c − v)t x = v2 1− c2 v 1− c t t = v2 1− c2de donde, por divisi´n, resulta inmediatamente o x = ct La propagaci´n de la luz, referida al sistema K , se produce seg´n esta o uecuaci´n. Se comprueba, por tanto, que la velocidad de propagaci´n es tam- o obi´n igual a c respecto al cuerpo de referencia K ; y an´logamente para rayos e ade luz que se propaguen en cualquier otra direcci´n. Lo cual, naturalmente, ono es de extra˜ar, porque las ecuaciones de la transformaci´n de Lorentz n oest´n derivadas con este criterio. a12. El comportamiento de reglas y relojes m´viles o Coloco una regla de un metro sobre el eje x de K , de manera que unextremo coincida con el punto x = 0 y el otro con el punto x = 1. ¿Cu´l aes la longitud de la regla respecto al sistema K? Para averiguarlo podemosdeterminar las posiciones de ambos extremos respecto a K en un momentodeterminado t . De la primera ecuaci´n de la transformaci´n de Lorentz, para o ot = 0, se obtiene para estos dos puntos: v2 xorigen de la escala = 0 · 1− c2 v2 xextremo de la escala = 1 · 1− 2 c
  20. 20. 19estos dos puntos distan entre s´ 1 − v 2 /c2 . Ahora bien, el metro se mueve ırespecto a K con la velocidad v, de donde se deduce que la longitud deuna regla r´ ıgida de un metro que se mueve con velocidad v en el sentidode su longitud es de 1 − v 2 /c2 metros. La regla r´ ıgida en movimiento esm´s corta que la misma regla cuando est´ en estado de reposo, y es tanto a am´s corta cuando m´s r´pidamente se mueva. Para la velocidad v = c ser´ a a a ıa 1−v 2 /c2 = 0 para velocidades a´ n mayores la ra´ se har´ imaginaria. u ız ıaDe aqu´ inferimos que en la teor´ de la relatividad la velocidad c desempe˜a ı ıa nel papel de una velocidad l´ ımite que no puede alcanzar ni sobrepasar ning´n ucuerpo real. A˜adamos que este papel de la velocidad c como velocidad l´ n ımite se si-gue de las propias ecuaciones de la transformaci´n de Lorentz, porque ´stas o epierden todo sentido cuando v se elige mayor que c. Si hubi´semos procedido a la inversa, considerando un metro que se halla een reposo respecto a K sobre el eje x, habr´ ıamos comprobado que en relaci´n oa K tiene la longitud de 1 − v 2 /c2 , lo cual est´ totalmente de acuerdo con el aprincipio de la relatividad, en el cual hemos basado nuestras consideraciones. A priori es evidente que las ecuaciones de transformaci´n tienen algo que odecir sobre el comportamiento f´ ısico de reglas y relojes, porque las cantidadesx, y, z, t no son otra cosa que resultados de medidas obtenidas con relojes yreglas. Si hubi´semos tomado como base la transformaci´n de Galileo, no e ohabr´ ıamos obtenido un acortamiento de longitudes como consecuencia delmovimiento. Imaginemos ahora un reloj con segundero que reposa constantemente enel origen (x = 0) de K . Sean t = 0 y t = 1 dos se˜ales sucesivas de este nreloj. Para estos dos tics, las ecuaciones primera y cuarta de la transformaci´n ode Lorentz dar´n: a t = 0 1 t = v2 1− c2 Juzgado desde K, el reloj se mueve con la velocidad v; respecto a estecuerpo de referencia, entre dos de sus se˜ales transcurre, no un segundo, sino n1/ 1 − v 2 /c2 segundos, o sea un tiempo algo mayor. Como consecuencia de su movimiento, el reloj marcha algo m´s despacio aque en estado de reposo. La velocidad de la luz c desempe˜a, tambi´n aqu´ n e ı,el papel de una velocidad l´ımite inalcanzable.
  21. 21. 2013. Teorema de adici´n de velocidades. Experimento de Fizeau o Dado que las velocidades con que en la pr´ctica podemos mover relojes y areglas son peque˜as frente a la velocidad de la luz c, es dif´ que podamos n ıcilcomparar los resultados del ep´ıgrafe anterior con la realidad. Y puesto que,por otro lado, esos resultados le parecer´n al lector harto singulares, voy aa extraer de la teor´ otra consecuencia que es muy f´cil de deducir de lo ıa aanteriormente expuesto y que los experimentos confirman brillantemente. En el §6 hemos deducido el teorema de adici´n para velocidades de la omisma direcci´n, tal y como resulta de las hip´tesis de la Mec´nica cl´sica. o o a aLo mismo se puede deducir f´cilmente de la transformaci´n de Galileo (§11). a oEn lugar del hombre que camina por el vag´n introducimos un punto que se omueve respecto al sistema de coordenadas K seg´n la ecuaci´n u o x = wt Mediante las ecuaciones primera y cuarta de la transformaci´n de Galileo ose pueden expresar x y t en funci´n de x y t obteniendo o x = (v + w)t Esta ecuaci´n no expresa otra cosa que la ley de movimiento del pun- oto respecto al sistema K (del hombre respecto al terrapl´n), velocidad que edesignamos por W , con lo cual se obtiene, como en §6: W =v+w (1) Pero este razonamiento lo podemos efectuar igual de bien bas´ndonos en ala teor´ de la relatividad. Lo que hay que hacer entonces es expresar x y t ıaen la ecuaci´n o x = wten funci´n de x y t, utilizando las ecuaciones primera y cuarta de la trans- oformaci´n de Lorentz. En lugar de la ecuaci´n (1) se obtiene entonces esta o ootra: v+w W = (2) 1 + vw c2que corresponde al teorema de adici´n de velocidades de igual direcci´n seg´n o o ula teor´ de la relatividad. La cuesti´n es cu´l de estos dos teoremas resiste ıa o ael cotejo con la experiencia. Sobre el particular nos instruye un experimentoextremadamente importante, realizado hace m´s de medio siglo por el genial af´ ısico Fizeau y desde entonces repetido por algunos de los mejores f´ ısicosexperimentales, por lo cual el resultado es irrebatible. El experimento versa
  22. 22. 21sobre la siguiente cuesti´n. Supongamos que la luz se propaga en un cierto ol´ ıquido en reposo con una determinada velocidad w. ¿Con qu´ velocidad se epropaga en el tubo R de la figuraen la direcci´n de la flecha, cuando dentro de ese tubo fluye el l´ o ıquido convelocidad v? En cualquier caso, fieles al principio de relatividad, tendremos que sentarel supuesto de que, respecto al l´ ıquido, la propagaci´n de la luz se produce osiempre con la misma velocidad w, mu´vase o no el l´ e ıquido respecto a otroscuerpos. Son conocidas, por tanto, la velocidad de la luz respecto al l´ ıquidoy la velocidad de ´ste respecto al tubo, y se busca la velocidad de la luz erespecto al tubo. Est´ claro que el problema vuelve a ser el mismo que el de §6. El tubo adesempe˜a el papel de las v´ o del sistema de coordenadas K; el l´ n ıas ıquido,el papel del vag´n o del sistema de coordenadas K ; la luz, el del hombre oque camina por el vag´n o el del punto m´vil mencionado en este apartado. o oAs´ pues, si llamamos W a la velocidad de la luz respecto al tubo, ´sta ı evendr´ dada por la ecuaci´n (1) o por la (2), seg´n que sea la transformaci´n a o u ode Galileo o la de Lorentz la que se corresponde con la realidad. El experimento10 falla a favor de la ecuaci´n (2) deducida de la teor´ de o ıala relatividad, y adem´s con gran exactitud. Seg´n las ultimas y excelentes a u ´mediciones de Zeeman, la influencia de la velocidad de la corriente v sobre lapropagaci´n de la luz viene representada por la f´rmula (2) con una exactitud o osuperior al 1 por 100. Hay que destacar, sin embargo, que H. A. Lorentz, mucho antes de esta-blecerse la teor´ de la relatividad, dio ya una teor´ de este fen´meno por ıa ıa ov´ puramente electrodin´mica y utilizando determinadas hip´tesis sobre la ıa a oestructura electromagn´tica de la materia. Pero esta circunstancia no merma epara nada el poder probatorio del experimento, en tanto que experimentumcrucis a favor de la teor´ de la relatividad. Pues la Electrodin´mica de ıa a 10 Fizeau hall´ W = w +v(1−1/n2 ), donde n = c/w es el ´ o ındice de refracci´n del l´ o ıquido.Por otro lado, debido a que vw/c2 es muy peque˜o frente a 1, se puede sustituir (2) por nW = (w + v)(1 − vw/2), o bien, con la misma aproximaci´n, w + v(1 − 1/n2 ), lo cual oconcuerda con el resultado de Fizeau.
  23. 23. 22Maxwell-Lorentz, sobre la cual descansaba la teor´ original, no est´ para ıa anada en contradicci´n con la teor´ de la relatividad. Esta ultima ha ema- o ıa ´nado m´s bien de la Electrodin´mica como resumen y generalizaci´n asom- a a obrosamente sencillos de las hip´tesis, antes mutuamente independientes, que oserv´ de fundamento a la Electrodin´mica. ıan a14. El valor heur´ ıstico de la teor´ de la relatividad ıa La cadena de ideas que hemos expuesto hasta aqu´ se puede resumir ıbrevemente como sigue. La experiencia ha llevado a la convicci´n de que, por oun lado, el principio de la relatividad (en sentido restringido) es v´lido, y apor otro, que la velocidad de propagaci´n de la luz en el vac´ es igual a una o ıoconstante c. Uniendo estos dos postulados result´ la ley de transformaci´n o opara las coordenadas rectangulares x, y, z y el tiempo t de los sucesos quecomponen los fen´menos naturales, obteni´ndose, no la transformaci´n de o e oGalileo, sino (en discrepancia con la Mec´nica cl´sica) la transformaci´n de a a oLorentz. En este razonamiento desempe˜´ un papel importante la ley de propa- nogaci´n de la luz, cuya aceptaci´n viene justificada por nuestro conocimiento o oactual. Ahora bien, una vez en posesi´n de la transformaci´n de Lorentz, o opodemos unir ´sta con el principio de relatividad y resumir la teor´ en el e ıaenunciado siguiente: Toda ley general de la naturaleza tiene que estar constituida de tal modoque se transforme en otra ley de id´ntica estructura al introducir, en lugar de elas variables espacio-temporales x, y, z, t del sistema de coordenadas originalK, nuevas variables espacio-temporales x , y , z , t de otro sistema de coor-denadas K , donde la relaci´n matem´tica entre las cantidades con prima o ay sin prima viene dada por la transformaci´n de Lorentz. Formulado bre- ovemente: las leyes generales de la naturaleza son covariantes respecto a latransformaci´n de Lorentz. o Esta es una condici´n matem´tica muy determinada que la teor´ de la o a ıarelatividad prescribe a las leyes naturales, con lo cual se convierte en valiosoauxiliar heur´ıstico en la b´squeda de leyes generales de la naturaleza. Si se uencontrara una ley general de la naturaleza que no cumpliera esa condici´n, oquedar´ refutado por lo menos uno de los dos supuestos fundamentales de la ıateor´ Veamos ahora lo que esta ultima ha mostrado en cuanto a resultados ıa. ´generales.
  24. 24. 2315. Resultados generales de la teor´ ıa De las consideraciones anteriores se echa de ver que la teor´ de la rela- ıatividad (especial) ha nacido de la Electrodin´mica y de la ´ptica. En estos a ocampos no ha modificado mucho los enunciados de la teor´ pero ha simpli- ıa,ficado notablemente el edificio te´rico, es decir, la derivaci´n de las leyes, y, o olo que es incomparablemente m´s importante, ha reducido mucho el n´mero a ude hip´tesis independientes sobre las que descansa la teor´ A la teor´ de o ıa. ıaMaxwell-Lorentz le ha conferido un grado tal de evidencia, que aqu´lla se ha- ebr´ impuesto con car´cter general entre los f´ ıa a ısicos aunque los experimentoshubiesen hablado menos convincentemente a su favor. La Mec´nica cl´sica precisaba de una modificaci´n antes de poder armo- a a onizar con el requisito de la teor´ de la relatividad especial. Pero esta modi- ıaficaci´n afecta unicamente, en esencia, a las leyes para movimientos r´pidos o ´ aen los que las velocidades v de la materia no sean demasiado peque˜as frente na la de la luz. Movimientos tan r´pidos s´lo nos los muestra la experiencia en a oelectrones e iones; en otros movimientos las discrepancias respecto a las leyesde la Mec´nica cl´sica son demasiado peque˜as para ser detectables en la a a npr´ctica. Del movimiento de los astros no hablaremos hasta llegar a la teor´ a ıade la relatividad general. Seg´n la teor´ de la relatividad, la energ´ cin´tica u ıa ıa ede un punto material de masa m no viene dado ya por la conocida expresi´n o v2 m 2sino por la expresi´n o mc2 v2 1− c2 Esta expresi´n se hace infinita cuando la velocidad v se aproxima a la ovelocidad de la luz c. As´ pues, por grande que sea la energ´ invertida en ı ıala aceleraci´n, la velocidad tiene que permanecer siempre inferior a c. Si se odesarrolla en serie la expresi´n de la energ´ cin´tica, se obtiene: o ıa e v2 3 v2 mc2 + m + m 2 + ··· 2 8 c El tercer t´rmino es siempre peque˜o frente al segundo (el unico conside- e n ´rado en la Mec´nica cl´sica) cuando v 2 /c2 es peque˜o comparado con 1. a a n El primer t´rmino mc2 no depende de la velocidad, por lo cual no entra een consideraci´n al tratar el problema de c´mo la energ´ de un punto mate- o o ıarial depende de la velocidad. Sobre su importancia te´rica hablaremos m´s o aadelante. El resultado m´s importante de ´ a ındole general al que ha conducido
  25. 25. 24la teor´ de la relatividad especial concierne al concepto de masa. La f´ ıa ısicaprerrelativista conoce dos principios de conservaci´n de importancia funda- omental, el de la conservaci´n de la energ´ y el de la conservaci´n de la masa; o ıa oestos dos principios fundamentales aparecen completamente independientesuno de otro. La teor´ de la relatividad los funde en uno solo. A continuaci´n ıa oexplicaremos brevemente c´mo se lleg´ hasta ah´ y c´mo hay que interpretar o o ı oesta fusi´n. o El principio de relatividad exige que el postulado de conservaci´n de la oenerg´ se cumpla, no s´lo respecto a un sistema de coordenadas K, sino res- ıa opecto a cualquier sistema de coordenadas K que se encuentre con relaci´n aoK en movimiento de traslaci´n uniforme (dicho brevemente, respecto a cual- oquier sistema de coordenadas “de Galileo”). En contraposici´n a la Mec´nica o acl´sica, el paso entre dos de esos sistemas viene regido por la transformaci´n a ode Lorentz. A partir de estas premisas, y en conjunci´n con las ecuaciones funda- omentales de la electrodin´mica maxwelliana, se puede inferir rigurosamente, amediante consideraciones relativamente sencillas, que: un cuerpo que se mue-ve con velocidad v y que absorbe la energ´ E0 en forma de radiaci´n11 sin ıa ovariar por eso su velocidad, experimenta un aumento de energ´ en la canti- ıadad: E0 v2 1− c2 Teniendo en cuenta la expresi´n que dimos antes para la energ´ cin´tica, o ıa ela energ´ del cuerpo vendr´ dada por: ıa a E0 m+ c2 c2 v2 1− c2 El cuerpo tiene entonces la misma energ´ que otro de velocidad v y masa ıam + E0 /2. Cabe por tanto decir: si un cuerpo absorbe la energ´ E0 , su masa ıainercial crece en E0 /c2 ; la masa inercial de un cuerpo no es una constante,sino variable seg´n la modificaci´n de su energ´ La masa inercial de un u o ıa.sistema de cuerpos cabe contemplarla precisamente como una medida de suenerg´ El postulado de la conservaci´n de la masa de un sistema coincide ıa. ocon el de la conservaci´n de la energ´ y s´lo es v´lido en la medida en que el o ıa o asistema no absorbe ni emite energ´ Si escribimos la expresi´n de la energ´ ıa. o ıa 11 E0 es la energ´ absorbida respecto a un sistema de coordenadas que se mueve con el ıacuerpo.
  26. 26. 25en la forma mc2 + E0 v2 1− c2se ve que el t´rmino mc2 , que ya nos llam´ la atenci´n con anterioridad, e o o 12no es otra cosa que la energ´ que pose´ el cuerpo antes de absorber la ıa ıaenerg´ E0 . ıa El cotejo directo de este postulado con la experiencia queda por ahoraexcluido, porque las variaciones de energ´ E0 que podemos comunicar a un ıasistema no son suficientemente grandes para hacerse notar en forma de unaalteraci´n de la masa inercial del sistema. E0 /c2 es demasiado peque˜o en o ncomparaci´n con la masa m que exist´ antes de la variaci´n de energ´ A o ıa o ıa.esta circunstancia se debe el que se pudiera establecer con ´xito un principio ede conservaci´n de la masa de validez independiente. o Una ultima observaci´n de naturaleza te´rica. El ´xito de la interpreta- ´ o o eci´n de Faraday-Maxwell de la acci´n electrodin´mica a distancia a trav´s o o a ede procesos intermedios con velocidad de propagaci´n finita hizo que entre olos f´ ısicos arraigara la convicci´n de que no exist´ acciones a distancia ins- o ıantant´neas e inmediatas del tipo de la ley de gravitaci´n de Newton. Seg´n a o ula teor´ de la relatividad, en lugar de la acci´n instant´nea a distancia, o ıa o aacci´n a distancia con velocidad de propagaci´n infinita, aparece siempre la o oacci´n a distancia con la velocidad de la luz, lo cual tiene que ver con el pa- opel te´rico que desempe˜a la velocidad c en esta teor´ En la segunda parte o n ıa.se mostrar´ c´mo se modifica este resultado en la teor´ de la relatividad a o ıageneral.16. La teor´ de la relatividad especial y la experiencia ıa La pregunta de hasta qu´ punto se ve apoyada la teor´ de la relatividad e ıaespecial por la experiencia no es f´cil de responder, por un motivo que ya amencionamos al hablar del experimento fundamental de Fizeau. La teor´ de ıala relatividad especial cristaliz´ a partir de la teor´ de Maxwell-Lorentz de o ıalos fen´menos electromagn´ticos, por lo cual todos los hechos experimentales o eque apoyan esa teor´ electromagn´tica apoyan tambi´n la teor´ de la rela- ıa e e ıatividad. Mencionar´ aqu´ por ser de especial importancia, que la teor´ de la e ı, ıarelatividad permite derivar, de manera extremadamente simple y en conso-nancia con la experiencia, aquellas influencias que experimenta la luz de lasestrellas fijas debido al movimiento relativo de la Tierra respecto a ellas. Setrata del desplazamiento anual de la posici´n aparente de las estrellas fijas ocomo consecuencia del movimiento terrestre alrededor del Sol (aberraci´n) o 12 Respecto a un sistema de coordenadas solidario con el cuerpo.

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