1. Unidad 4
FUNCIONES Y GRÁFICAS
4.1. Sistemas de coordenadas cartesianas, graficación.
4.2. Funciones definición, clases, variación y paridad.
4.3. Función cuadrática.
4.4. Análisis de la función lineal. Punto medio, distancia
entre puntos y pendiente de una recta
4.5. Ángulo entre dos rectas
4.6. Paralelismo y perpendicularidad entre rectas.
4.7. Formas de la ecuación de la recta.

2. FUNCIONES REALES
Antes de iniciar con este capítulo, recuerde que el término función o aplicación es
uno de los más importantes en el estudio de la matemática. Además, tenga
presente los principales conjuntos numéricos: N, Z, Q, I=R-Q, R, C
Hagamos unas preguntas preliminares:
¿Qué diferencia hay entre funciones recíprocas y funciones inversas?
¿Qué diferencia hay entre valores recíprocos y funciones inversas?
Qué son de lo anteriormente mencionado:
¿El seno y la cosecante?
¿El seno y el arco seno?
¿Cuál es la función inversa de la función seno?, ¿cómo están definidos sus
dominios y recorridos?
Aplicación, dominio, codominio, recorrido
Sean A,B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Se llama Aplicación (o función)
de A en B y se denota f: AB, cuando cada elemento de A se corresponde con
uno y un solo elemento de B.
f: A B
x f(x)
Al conjunto A (donde está definida la función) se lo llama Dominio de la función;
esto es Dom(f) = A
Al conjunto B (donde están los valores de la función) se lo llama Codominio de la
función; esto es Cod(f) = B
Al elemento de B correspondiente de x mediante la función f se llama Imagen de
x, se denota f(x). La correspondencia entre x e y=f(x) se expresa: x y = f(x); o x
f(x)
Al conjunto de todas las imágenes se llama Conjunto Imagen o recorrido de f, se
denota f(A) o Im(f), o también Rec(f). En general f(A)B.
Si yf(A), al elemento x de A tal que y = f(x) se lo llama Pre imagen de y

3. DEF. Se llama gráfico (o grafo) de una función real en y se denota al siguiente
conjunto
= {(x,f(x)) / xDom(f)}
dichos puntos se obtienen con la ecuación de la función y=f(x) por todo x del
dominio de f
NOTA. El término Aplicación es más general que el de Función.
EJEMPLO: De aplicaciones:
1. T:  / T(x,y,z) = (x+y-2z, y+z, 2x-3y) (Aplicación lineal)
2. T: C  R+ / T(a+bi) = (Aplicación módulo de un complejo)
3. T: K / T(A) =A (Aplicación determinante)
4. T: K / T(A) = (Aplicación traza de una matriz)
5. T:x / T(A,B) = A+B (Aplicación adición de matrices)
6. D: K[x] K[x] / D() = (Aplicación derivada de un polinomio)
7. f: R x R  R / f(a,b) = a+b (Aplicación adición de reales)
8. f: R  R / f(x) =2x-3 (esta aplicación está definida en R y toma valores en R)
NOTA. Cuando el dominio y codominio son subconjuntos reales, se prefiere
utilizar el término función.
NOTA. Una función f: AB, más concretamente:
Si A R, B R se dice función real de variable real
Si AZ, B R se dice función real de variable entera
Si A R, BZ se dice función entera de variable real
Si AN, B R se dice función real de variable natural
Si AQ, B R se dice función real de variable racional
Si AC, B R se dice función real de variable compleja

4. Veamos otros ejemplos
f: R  , nZ  función vectorial de variable real
f:  R función real de variable vectorial (campo escalar)
f:  función vectorial de variable vectorial (campo vectorial)
Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
Supongamos de tener un conjunto de enfermeras {a,b,c} con una inyección para
cada persona, y un conjunto de personas {m,n,o,p}.
Cada enfermera debe elegir a una sola persona para inyectarla; así por ejemplo:
La enfermera a elige a la persona m
La enfermera b elige a la persona n
La enfermera c elige a la persona o
La persona p no fue elegida.
Es decir, dos enfermeras distintas inyectan a dos personas distintas. Una
correspondencia de este tipo entre los elementos del dominio y codominio de una
función se dice UNÍVOCA.
Estamos listos para dar la definición de función inyectiva.
DEF. Una función f: AB, se llama INYECTIVA sí:
, A   f()  f()
En las demostraciones, generalmente se utiliza su contra recíproca; es decir:
f es inyectiva  (f() = f()  = )
NOTA. De ser posible se pone como codominio el conjunto imagen; caso
contrario se pone cualquier conjunto que contenga al conjunto imagen. (poner R
siempre está bien si Im(f)R)
Para entender el concepto de función sobreyectiva, supongamos de tener un
conjunto de chicos {a,b,c} y un conjunto de bicicletas {m,n} en número menor o
igual al de los chicos.
Supongamos que el juego consista en que todas las bicicletas deban ser llevadas
por los chicos; y esto suceda de la siguiente manera:
El chico a se lleva la bicicleta m
Los chicos b y c se llevan la bicicleta n.

5. Es evidente que esta vez el conjunto imagen y el codominio coinciden, esto es,
todos los elementos de B son imágenes; es decir:
f(A) = B
Ahora demos la definición:
DEF. Una función f: AB, se llama Sobreyectiva sí:
yB xA / y = f(x)
DEF. Una función f: AB se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
En este caso, entre los elementos de A y B se puede establecer una
correspondencia biunívoca.
EJEMPLO. Demostrar que la siguiente función es biyectiva.
f: R R / f(x) = ax+b; a,bR, a0
Probemos que es inyectiva; en efecto:
f() = f()  a+b = a+b  a= a  =
En la segunda igualdad sumamos b a los dos miembros y luego dividimos por a
los dos miembros.
Probemos que es sobreyectiva; sea y’R, considerando x =, se cumple:
f(x) = f() = a()+b = y’  f(x) = y’
con lo que, hemos probado que para cualquier y’R, xR / f(x) = y’. De esta
manera queda probado que la función es biyectiva.
Una función real graficada en se dice limitada superiormente (inferiormente) si el
conjunto imagen (o recorrido) Im(f) es limitado superiormente (inferiormente); es
decir, si toda la gráfica está bajo (sobre) una recta y = k, kR
Una función real f se dice limitada si es limitada superior e inferiormente.
Monotonía y periodicidad de una función
Monotonía de una función
f: AB se dice estrictamente creciente ssí (sí y sólo sí):
, A < f() < f()

6. f: AB se dice no decreciente ssí:
, A <  f()  f()
f: AB se dice estrictamente decreciente ssí:
, A < f() > f()
f: AB se dice no creciente así:
, A < f()  f()
TEOREMA 1. Toda función estrictamente monótona es biyectiva.
Periodicidad de una función
Una función f: AB se dice periódica de período wR+
si xA, kZ también
x+kwA y se cumple que f(x+kw) = f(x)
Se llama período principal (si existe) al mínimo de los períodos; todos los otros
son múltiplos del período principal.
NOTA. Se debe hacer notar que la función periódica es invariante por
traslaciones; es decir, cada cierto período del dominio se repite su gráfica.
¿Conoce usted funciones periódicas?. Diga cuáles.
EJEMPLO.
Las funciones trigonométricas: seno y coseno son periódicas de período 2,
tangente y cotangente son periódicas de período .
Función par e impar
Una función f : A  B es:
a) Par si xA también xA y se cumple que f(x) = f(x)
b) Impar si xA también xA y se cumple que f(x) = f(x)
NOTA. a) Los puntos (x,y) y (x,y) son simétricos al eje y; por eso, la gráfica de
una función par es simétrica al eje y
b) Los puntos (x,y) y (x, y) son simétricos al origen, por eso la gráfica de una
función impar es simétrica con respecto al origen.
Algunos ejemplos de funciones reales
Función polinomial
Se llama función polinomial en una variable, a la siguiente:
f: R  R / f(x) = a0 + a1x + a2x2
+ ... + an-1xn-1
+anxn
; a0, a1, ... , an  R
si an0, el entero no negativo n se llama grado del polinomio f(x)

7. Función afín y lineal
Se llama función afín a la siguiente función polinomial de primer grado
f: R  R / x f(x) = ax+b; a,bR
La gráfica de los puntos (x,f (x)) / f(x) = ax+b es una recta; luego, la gráfica de la
función afín es una recta no paralela al eje y.
Analicemos la función afín:
a) Si a 0. El número a se llama coeficiente angular o pendiente, y el número b se
llama ordenada en el origen de la recta y = ax + b
b) si a  0 y b = 0, nos queda la función f(x) = ax que se llama lineal porque
verifica la siguiente propiedad:
m,nR )nf(x)mf(x)nxf(mxDom(f)x,x 212121 
En efecto:
 )nxa(mx)nxf(mx 2121 )nf(x)mf(x)n(ax)m(axanxamx 212121 
Para los casos a) y b), si a>0 la función es estrictamente creciente, si a<0 la
función es estrictamente decreciente.
c) Si a =1 y b = 0, la función f(x) = x se llama identidad, su gráfica es la recta
bisectriz del primero y tercer cuadrantes. Si a =1 y b = 0, la gráfica de la función
f(x)= -x es la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes.
d) Si a = 0 y b  0, la función f(x) = b se llama constante, su gráfica es una recta
paralela al eje de las x, intercepta al eje y en b; es: limitada, ya que su recorrido
es {b}; par; monótona, periódica de cualquier período (luego, sin período
principal).
NOTA. En los casos a), b), c) Dom (f) = Rec(f) = R; en el caso
d) Dom(f) = R, Rec(f) ={b}
Función Cuadrática
Se llama función cuadrática a la siguiente función polinomial de segundo grado
f: R  R / xf(x) = ax2
+bx+c; a,b,c  R, a0
La gráfica de una función cuadrática es una parábola de eje paralelo al eje y.
Analicemos esta función:

8. a) Si b = c = 0, a > 0; la función f(x) = ax2
es estrictamente decreciente en ], 0[ y
estrictamente creciente en ]0, +[. Si a<0 es estrictamente creciente en ], 0[ y
estrictamente decreciente en ]0, + [. El único cero de f es 0, luego la función
pasa por el origen.
b) Sea b = 0. Si a>0 y c>0 la gráfica de f no corta el eje x, luego f no tiene ceros
reales; el recorrido de f es [c, +[
Si a>0 y c<0; o, si a<0 y c>0, la gráfica de f corta al eje x en dos puntos, luego
tiene dos ceros reales; en el primer caso el recorrido de f es [c,+ [, y en el
segundo caso el recorrido es ], c]
c) Si a,b,c no son nulos. Ya que:







 








 

2a
4acbb
x
2a
4acbb
xacbxax
22
2
entonces:
- Si b2
4ac>0 la f tiene dos ceros reales: y
- Si b2
4ac = 0 la f tiene un cero real:
- Si b2
4ac<0 la f no tiene ceros reales
- Si a>0: la f es estrictamente decreciente en
y es estrictamente creciente en , su punto mínimo es las coordenadas de su
vértice
- Si a<0 la f es estrictamente creciente en y es estrictamente decreciente en
, su punto máximo es . ¿Por qué?
NOTA. Si tenemos la función f(x) = ax2
+c, el punto (x = 0, f(0) = c) es decir (0,c) es
máximo si a<0, es mínimo si a>0.
Si tenemos la función f(x) = ax2
+bx+c con a,b,c 0; ya que:
poniendo x’=, entonces, el punto es decir es el vértice de la parábola f(x) =
ax2
+bx+c, es máximo si
a<0 , es mínimo si a>0.

9. Función racional fraccionaria
DEF. Sean p(x), q(x)K[x] con q(x)0, se llama función racional fraccionaria la
siguiente:
0q(x);
xb...xbxbb
xa...xaxaa
q(x)
p(x)
f(x) m
m
2
210
n
n
2
210




Nótese que si grad(q)  1 una función racional no es polinomial
NOTA. Un caso particular de función racional fraccionaria es la denominada
función homográfica, cuya ecuación es:
a,b,c,dR,
que geométricamente representa una hipérbola equilátera de centro el punto y
asíntotas: x = , y =
Función valor absoluto
DEF. Se llama función valor absoluto la siguiente:
f: R  R + / x f(x) = x :=





0xsix
0xsix
Analicemos esta función:
a) Como f (R) = [0,+[ la f es limitada inferiormente pero no superiormente.
b) Como -1<0<1 y -1>0<1, la f no es monótona (es monótona a trozos).
c) La f es par, ya que xR x=-x
d) No es periódica, ya que no existe wR+
/ xR y  kZ sea: x+kw=x
Su gráfica son dos semirectas bisectrices del primero y segundo cuadrantes.
NOTA. El punto mínimo de f(x) = x es (x = 0, 0) = (0,0). El punto mínimo de f(x)
= ax+b es (ax+b=0, 0); es decir, el punto de coordenadas

10. Función compuesta
Sean las funciones: f: A B, g: B C
Si xA la función g aplicamos a las imágenes f(x), es decir hacemos g(f(x)),
obtenemos una nueva función h(x) = g(f(x)). Esta nueva función se llama función
compuesta de f con g y se denota gof, misma que queda definida de la siguiente
manera:
h = gof : AC / h(x) = (gof)(x) := g(f(x))
lo que es posible hacerlo sólo cuando Im(f)  Dom (g). Nótese que: Dom gof =
Dom f
Función inversa
Si la función f: AB es biyectiva, podemos considerar la función
g: B A
t.q a cada yB imagen de xA la asocie justamente la x preimagen de y, es decir
g(y)=x
La función g se llama función inversa de f y se denota
Sea xA, sea y = f(x) la imagen de x mediante f, entonces, se cumple:
(gof)(x) = g(f(x)) = g(y) = x = I A
(fog)(y) = f(g(y)) = f(x) = y = I B
NOTA. Se demuestra que si f es estrictamente monótona es biyectiva, luego
invertible.
Demostremos que la inversa de una función estrictamente monótona mantiene la
monotonía.
LEMA 1. Si f es estrictamente creciente [decreciente] su inversa es también
estrictamente creciente [decreciente]