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Transcript

  • 1. [ Sistemas Operativos ] Präsentation MIC3181 Algebra de Boole … continuación Eduardo Peña J. Edopena Microprocesadores Universidad de Magallanes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería en Computación
  • 2. [ Algebra de Boole ] Präsentation Edopena Microprocesadores Indice Temario: Métodos de minimización Método mapas de Karnaugh Método tabular Quine McCluskey Información extraída de: http://www.cic.unb.br/docentes/jacobi/ensino/circuitos/DoisNiveis/sld001.htm
  • 3. Suma de productos es una forma de representación de funciones booleanas constituida por operaciones lógicas o sobre un conjunto de términos formados por la operación. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Suma de Productos SUMA DE PRODUCTOS
  • 4. El producto de sumas es otra forma de representación de funciones booleanas caracterizadas por la aplicación de operación sobre un conjunto de operaciones o sobre las entradas [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Producto de Suma PRODUCTO DE SUMA
  • 5.
    • Un minterm es un término producto que vale 1 en al menos un punto del dominio de una función booleana.
    • Es definido por un producto (AND) donde cada variable aparece al menos una vez directa o complementada.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Minterms MINTERMS
  • 6.
    • Un maxterm es un término suma que vale 0 en al menos un punto del dominio de la función.
    • Es determinado por una adición (OR) donde cada variable aparece al menos una vez, directa o complementada.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Maxterms MAXTERMS
  • 7.
    • Una tabla de verdad es una firma que identifica inequívocamente una función booleanas.
    • Expresiones booleanas diferentes pueden representar una misma función booleana.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Formas canónicas FORMAS CANÓNICAS
  • 8.
    • Las formas canónicas son representaciones únicas de funciones booleanas.
    • Ej. Una suma de productos es una forma canónica.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Formas canónicas FORMAS CANÓNICAS DE DOS NIVELES
  • 9.
    • Las formas canónicas son representaciones únicas de funciones booleanas.
    • Ej. Un producto de sumas es otra forma canónica.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Formas canónicas
  • 10.
    • Notación para suma de minterms.
    • Notación para producto de maxterms.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Formas canónicas
  • 11. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores SIMPLIFICACION DE SUMAS DE MINTERMS Formas canónicas
  • 12.
    • Es posible obtener un producto de maxterms a partir de una suma de minterms o viceversa aplicando De Morgan sobre el complemento de la función.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores MINTERMS X MAXTERMS Formas canónicas
  • 13.
    • Estas son las funciones para las cuales algunas combinaciones de valores de entrada nunca ocurren.
    • Ej. Decodificador de display de 7 segmentos para dígitos BCD.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores FUNCIONES INCOMPLETAS Funciones Incompletas
  • 14.
    • Las funciones incompletas mapean puntos del dominio de una función en tres valores posibles.
    • Los dominios de puntos donde F vale {0 , 1 X} son denominados, respectivamente, de:
    • F puede ser descrita definiendo dos de sus tres conjuntos.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Funciones Incompletas
  • 15.
    • Manipulación Algebraica:
    • Difícil de determinar un orden y qué transformaciones aplicar.
    • Cómo sabes si se localizó una mejor solución.
    • Herramientas de auxilio:
    • No consiguen tratar problemas de forma exacta.
    • Se basan en heurísticas y criterios de costo.
    Métodos manuales, al menos para fines didácticos y funciones muy simples [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Minimización lógica de dos niveles MINIMIZACIÓN LÓGICA DE DOS NIVELES
  • 16.
    • Idea base : Aplicación de distribución y complemento .
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Minimización lógica de dos niveles
  • 17.
    • Un espacio booleano n-dimensional puede ser visualizado espacialmente.
    • Los productos de literales son llamados cubos.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Cubos CUBOS
  • 18.
    • Puntos adjacentes difieren en un bit.
    • Todos los puntos de la función están en una cara.
    • Y y Z varían mientras que X permanece inalterable: Y y Z pueden ser eliminados de la expresión.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Cubos VISUALIZACIÓN DE CUBOS
  • 19.
    • Visualización del dominio de una función en forma matricial.
    • Puntos del dominio están dispuestos siguiendo el código Gray, pares adjacentes difieren en un bit.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh MAPAS DE KARNAUGH
  • 20.
    • Los elementos extremos de las columnas y filas son adjacentes .
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh ADJACENCIA DEL MAPA DE KARNAUGH
  • 21.
    • El cubo obtenido es definido por las variables que no cambian de cara en todos sus minterms.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh
  • 22.
    • La agrupación obtenida es definida por las variables que no cambian de cara en todos sus minterms.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh
  • 23. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh
  • 24. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh COMPLEMENTO DE UNA FUNCIÓN
  • 25. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh
  • 26. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh KARNAUGH DE CUATRO VARIABLES
  • 27. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh
  • 28.
    • Los puntos irrelevantes pueden ser considerados como un 1 o un 0 en el mapa de Karnaugh.
    • Son utilizados para formar agrupaciones mayores, simplificando una función.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh MINIMIZACIÓN CON IRRELEVANTES
  • 29. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS
  • 30. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS
  • 31. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS
  • 32.
    • La minimización de dos niveles busca obtener las sumas del producto con un número mínimo de productos y literales.
    • Minimizándose el número de productos se está reducido la altura de la implementación y, por consiguiente, su área.
    • Estando reducido el número de literales, se reduce el número de transistores de la implementación digital, lo que minimiza la potencia disipada.
    • Ej Sumador de 1 bit
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh MINIMIZACIÓN LÓGICA EN DOS NIVELES
  • 33.
    • Conceptos Básicos
    • Implicante: una agrupación c es un implicante de una función f si para todo vector x donde c(x) = 1, tenemos que f(x) = 1. O sea c  f
    • En álgebra Booleana “²” es una relación de orden parcial, análoga a relación "está contenido en" entre conjuntos. Puede ser definida como “un conjunto de minterms de c está contenido en f”.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh
  • 34.
    • Conceptos Básicos
    • Implicante primo: es una agrupación que no está contenida en ninguna otra agrupación de la función (o, no puede ser mas expandido)
    • Implicante primo esencial: es un implicante primo que contiene al menos un minterm que no está contenido en ningún otro implicante de la función.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh
  • 35.
    • Una cobertura de una función f y una suma de productos que contienen todos los minterms de f (cobre f) Una cobertura prima es aquella compuesta apenas por implicantes primos
    • Una cobertura irredundante es aquella en que ninguno de las dos agrupaciones puede ser removida sin alterar la función.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh
  • 36. Ejemplos [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh
  • 37.
    • Seleccione un minterm m i de la función.
    • Expanda m i en todas las direcciones posibles, generando así todos los implicantes primos que cubren m i .
    • Repita los pasos anteriores para todos los minterms de la función, generando todos los implicantes primos posibles.
    • Identifique y separe los implicantes esenciales. Los minterms cubiertos por ellos pueden ser considerados como puntos irrelevantes.
    • Seleccione un conjunto mínimo de implicantes que cubra los minterms restantes.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh COBERTURA MÍNIMA CON MAPA DE KARNAUGH
  • 38. Ejemplo [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh
  • 39. Continuación Ejemplo [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Mapas de Karnaugh
  • 40.
    • Tome los minterms de la función y expanda sucesivamente los minterms en todas direcciones posibles (variables en espacio Booleano).
    • Obtener así todos los implicantes primos de la función.
    • Seleccione un subconjunto que cubra la función que tenga un costo mínimo.
    • Detección y remoción de primos esenciales.
    • Dominancia de línea y de columna.
    • Branch and bound cuando no hay dominancia.
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Quine McClusky MÉTODO DE QUINE McCLUSKY
  • 41.
    • McCluskey:
    • Representar los implicantes en notación binaria :
    • X= {x1, x2, x3}
    • Tabular los implicantes en grupos de mismo peso (1's) para reducir el número de comparaciones .
    x 1 ·x 3 ' -> 1-0 x 3 -> --1 x 1 '·x 2 '·x 3 -> 001 [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Quine McClusky
  • 42. Expansión de minterms Ejemplo: F =  Expansión de los minterms de los implicantes. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Quine McClusky
  • 43. Implicantes Primos: [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Quine McClusky p6 = x 3 ·x 2 '·x 0 ' p4 = x 3 '·x 0 p2 = x 2 ·x 0 p7 = x 3 ·x 2 ·x 1 ' p5 = x 3 ·x 1 '·x 0 ' p3 = x 2 '·x 1 p1 = x 1 ·x 0
  • 44. Cobertura de función [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Quine McClusky
  • 45. Cobertura de función
    • Dominancia de Línea: si todos los minterms de una línea l x están contenidos en una línea l y , entonces l y domina a l x y l x puede ser removida de la tabla esto indica que el implicante p y cubre al implicante p x
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Quine McClusky
  • 46. Cobertura de función
    • Dominancia de columna : si todos los minterms de una columna c x están contenidos en una columna c y , entonces c y domina a c x y c y puede ser removida de la tabla cubriendo el minterm m x automáticamente se cubre m y
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Quine McClusky
  • 47.
    • Problemas con el método de Quine:
    • Computacionalmente es ineficiente
    • Genera todos los implicantes primos
    • Complejidad de: (3 ^ n)/n
    • Parte de los minterms de la función
    • Complejidad de: 2n-1
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Quine McClusky CAD PARA MINIMIZACIÓN
  • 48.
    • Punto de partida: una suma de productos (no mintermos)
    • Respete iterativamente la secuencia de operaciones:
    • Expand: Expande los implicantes hasta su tamaño máximo
    • Extraer esenciale primos
    • Cobertura Irredundante: generar una cobertura irredundante
    • Reducir: reduzca los implicantes hasta su tamaño mínimo
    • Respete los pasos anteriores hasta no obtener ganancias
    • Last gasp: la inserción de un primo cualquiera no puede llevar a eliminación de dos primos de la cobertura
    [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Resumen RESUMEN
  • 49. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Resumen
  • 50. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Resumen
  • 51. [ Algebra de Boole ] Edopena Microprocesadores Resumen

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