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Modelamiento Matemático y Análisis Dinámico del    Proceso de Edición del ARN en Leishmania sp.                           ...
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Title Mathematical modeling and dynamic analysis of RNA         editing process in Leishmania sp.                         ...
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1    IntroducciónEn la literatura de relativa a predador-presa podemos encontrar una gran var-iedad de modelos, pero los m...
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[4] A. Rojas-Palma, B. González-Yañez , E. Gonzalez-Olivares. Metastability     in a Gause type predator-prey models with ...
[18] C. Hui and Z. Li, Dynamical complexity and metapopulation persistence,     Ecological modelling, 2003. 164 201-209.[1...
Una situación paradójica en que hay variables predictoras perfectas      de la presencia de una enfermedad pero el modelo ...
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[6] R. Godinez and G. Urbina. Simulacion de la actividad electrica de las celulas beta del    pancreas. Rev Mex de Ing Bio...
Manejo óptimo de un recurso pesquero       considerando un área marina protegida        Jaime Huincahue-Arcos y Eduardo Go...
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[4] C. W. Clark, The worldwide crisis in …sheries: Economic models and hu-     man behavior, Cambridge University Press (2...
VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática
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VI CONGRESO LATINOAMERICANO DE BIOLOGÍA. MATEMÁTICA. XV CLAB y X ELAEM. Acapulco, México. 16/11/2009 – 20/11/2009.

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  1. 1.    i VÉÇzÜxáÉ _tà|ÇÉtÅxÜ|vtÇÉ wx U|ÉÄÉz•t `tàxÅöà|vt XV CLAB‐X ELAEM  fÉv|xwtw _tà|ÇÉtÅxÜ|vtÇt wx U|ÉÄÉz•t `tàxÅöà|vt Del 16 al 20 de noviembre del 2009      Unidad Académica de Matemáticas Nodo Acapulco    Acapulco, México
  2. 2. Comité Organizador: José Geiser Villavicencio Pulido (Coordinador) Juan Carlos Hernández Gómez Crisólogo Dolores Flores Efrén Marmolejo Vega Claudia Nila Luévano Ignacio Miranda Vargas   Comité Científico  Ignacio Barradas Bribiesca (UG., México) Rodney Bassanezi (Universidad. Estadual de Campinas, Brasil) Jorge González Guzmán (Universidad. Católica de Valparaíso, Chile) Josefina Hernández (Universidad Central de Venezuela, Venezuela)  Jaime Mena Lorca (Universidad. Católica de Valparaíso, Chile)  Joao Frederico Meyer (Universidad Estadual de Campinas, Brasil) Faustino Sánchez Garduño (UNAM, México) Jorge X. Velasco Hernández (Instituto Mexicano del Petróleo, México) Graciela Canziani (Exactas, UNCPBA) José Geiser Villavicencio Pulido (Universidad Autónoma de Guerrero, México)  Juan Carlos Hernández Gómez (Universidad Autónoma de Guerrero, México) Daniel Olmos Liceaga (Universidad de Sonora, México)   Brenda Tapia de los Santos (Universidad Veracruzana, México)  Fernando Momo (Universidad  Nacional de General Sarmiento, Argentina)   Comité de Apoyo  Vicente Castro Salgado José Guadalupe de la Torre Suárez   Conferencistas convidados:Dr. Jorge X. Velasco-Hernández - Inst. Mexicano del Petróleo, MéxicoDr. Fernando Momo – UNGS, ArgentinaDr. Rodney C. Bassanezi – UFABC, BrasilDr. Ignacio Barradas Bribiesca –UG, MéxicoDr. Faustino Sánchez Garduño – UNAM, MéxicoDr. Michel de Lara – CERMICS, FranciaDr. Jorge González Guzmán –UPCV, Chile    
  3. 3. Temas Principales Dinámica Poblacional Ecología Matemática Biomedicina Epidemiología Biología Computacional     
  4. 4. Actividades  Conferencias Magistrales Conferencias Sesión de Posters Asamblea  Reseña Histórica El VI Congreso Latinoamericano de Biología Matemática surge a partir un compromiso asumido por investigadores latinoamericanos para desarrollar y fortalecer el trabajo interdisciplinario de modelación matemática en las biociencias, promoviendo el intercambio de conocimientos a través de las fronteras, uniendo esfuerzos en proyectos conjuntos y participando en la formación de recursos humanos a escala regional.  La propuesta tuvo sus inicios en las actividades desarrolladas por la Asociación Latino Americana de Biomatemática (ALAB) por un lado y la Red Latino Americana de Ecología Matemática por el otro. Luego de varios años de desarrollar actividades paralelas, una con los Congresos Latino Americanos de Biomatemática (CLAB) y la otra con los Encuentros Latino Americanos sobre Ecología Matemática (ELAEM), y a propuesta de los colegas brasileños, se planteó la posibilidad de unir a los respectivos miembros en una única entidad. En 2001 se llevó a cabo en Campinas, Brasil, el primero de estos Congresos (X CLAB y V ELAEM). En 2002, el Congreso tuvo lugar en Guanajuato, México, en 2003 en Armenia, Colombia, en 2005 en Tandil, Argentina y en 2007 en Campinas, Brasil.   Durante el Congreso 2002 en Guanajuato, se sentaron las bases de la nueva Sociedad Latinoamericana de Biología Matemática (SOLABIMA) según las cuales la Comisión Directiva será integrada por colegas de un único país. Durante la Asamblea Anual, se eligen el país y los integrantes de la Comisión Directiva que actuará durante el año subsiguiente y que a ella le es encomendada la organización del Congreso. En la Asamblea realizada durante el Congreso 2007 se eligió a Acapulco, México, como sede del Congreso 2009, siendo integrantes de la Comisión Directiva Presidente: Dr. José Geiser Villavicencio Pulido (Unidad Académica de Matemáticas, UAG)  Vice‐presidente: Dr. Jorge X. Velasco Hernández (Instituto Méxicano del Petróleo)  Secretaria: M. en C. Claudia Nila Luévano  (Unidad Académica de Matemáticas, UAG)  Tesorero: M. en C. Ignacio Miranda Vargas  (Unidad Académica de Matemáticas, UAG)   
  5. 5. Anclado de Ondas en Espiral en el regimen divagador en obstáculos para las ecuaciones de Fitzhugh-Nagumo y Beeler Reuter. Dr. Daniel Olmos Liceaga Departamento de Matemáticas Universidad de SonoraLa interacción de ondas en espiral y obstáculos en tejido cardiaco es un problema desuma importancia en la transición de diferentes tipos de arritmias cardiacas. Cuando unaespiral en régimen divagador se ancla a un obstáculo se obtiene una arritmia máslocalizada y controlable.En esta plática, se presentan cuatro propiedades necesarias para que una onda en espiralse ancle al obstáculo. Dichas propiedades se basan en conceptos de excitabilidad delmedio, el tamaño y la geometría del obstáculo; y que por tanto no dependen del modeloiónico considerado. En esta plática se consideran dos modelos, como lo son una versiónmodificada de la ecuación de Fitzhugh-Nagumo (FHN) y la ecuación de Beeler-Reuter.
  6. 6. Analisis cualitativo de modelos de depredación considerando efecto Allee en una de las poblaciones Ana Romina Vicencio-Cumillaf, Eduardo González Olivares Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso email: ana.vicencio.c@mail.ucv.cl, ejgonzal@ucv.cl julio de 20091 INTRODUCCIÓNEn este trabajo se hace un estudio de dos modelos depredador-presa tiempocontinuo propuestos en [8], considerando que el crecimiento de las presas es detipo malthusiano y alguna de las poblaciones está afectada por el efecto Allee[1, 5]. Existen muchas formas matemáticas para expresar este importante fenómemoecológico [4] pero en este trabajo emplearemos la función dx x dt = r x+n x (01) x donde x = x (t) indica el tamaño poblacional; el factor a (x) = x+n , modelael efecto Allee, fenómeno que puede ser producido por diferentes causas [1, 2] Uno de los objetivos del trabajo será determinar la naturaleza de los puntosde equilibrio, de acuerdo a los diferentes parámetros del modelo.2 LOS MODELOSLos modelos a estudiar son modi…caciones del conocido modelo de Lotka-Volterra,y el primer de ellos es del tipo Gause [3] o de transferencia de masa, descritopor el siguiente sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales no linealesautónomo del tipo Kolmogorov [3]. dx x dt = r x+n x qxy X : dy (1) dt = (px c ) y 1
  7. 7. donde x = x (t) e y = y (t) son los tamaños poblacionales de las poblacionespresa y depredador, respectivamente; la función h (x) = qx es la respuestafuncional o tasa de consumo de los depredadores del tipo Holling I o lineal[6, 7]. Los parámetros son todos positivos, o sea, = (r; n; q; p; c) 2 R5 y tienen +diferentes signi…cados ecológicos. El segundo modelo es ( dx dt = r x qxy Y : dy y (2) dt = px y+b c y donde = (r; q; p; b; c) 2 R5 , esto es, los parámetros son todos positivos y +tienen diferentes similares signi…cados ecológicos a los del modelo (1). En particular, se estudia el acotamiento de las soluciones porque de acuerdoa las simulaciones que aparecen en [8], habría soluciones que tienden al punto(0; 1), obteniendose una situación que no es ecológicamente sustentable. En trabajos futuros revisaremos otros de los modelos propuestos en [8], ootro donde se incorpore la función de crecimiento logística para las presas.References[1] L. Berec, E. Angulo and F. Courchamp, Multiple Allee e¤ects and population management,Trends in Ecology and Evolution Vol. 22 (2007) 185-191.[2] F. Courchamp, L. Berec and J. Gascoigne, Allee e¤ ects in Ecology and Con- servation, Oxford University Press 2008.[3] H. I. Freedman, Deterministic Mathematical Models in Population Ecology, Marcel Dekker 1980.[4] E. González-Olivares, B. González-Yañez, J. Mena-Lorca and R. Ramos- Jiliberto. Modelling the Allee e¤ect: are the di¤erent mathematical forms proposed equivalents?, In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of the 2006 Inter- national Symposium on Mathematical and Computational Biology BIOMAT 2006 E-papers Serviços Editoriais Ltda. Rio de Janeiro (2007) 53-71.[5] P. A. Stephens, W. J. Sutherland, R. P. Freckleton, What is the Allee e¤ect?, Oikos 87 (1999) 185-190.[6] R. J. Taylor. Predation. Chapman and Hall, 1984.[7] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthesis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press, 2003.[8] S-R. Zhou, Y-F. Liu, G. Wang, The stability of predator-prey systems sub- ject to the Allee e¤ect, Theoretical Populations Biology 67 (2005) 23-31. 2
  8. 8. MODELACIÓN DE LA RED REGULATORIA GENÉTICA INDUCIDA PORETILENO EN RESPUESTA A INFECCIÓN POR PATÓGENOS EN Arabidopsisthaliana. Rafael Verduzco Vázquez & José DíazGrupo de Biología Teórica y Computacional, Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma del Estado deMorelos, Av. Universidad 1001, Colonia Chamilpa, Cuernavaca, Morelos. CP: 62209.Los mecanismos que permiten a un organismo realizar toda clase de funciones estánbasados en la compleja interacción de proteínas y ARN. El ADN de cada célulacontiene un conjunto de genes que, a través de los procesos de traducción ytranscripción hacen posible la expresión. Algunas proteínas actúan como factores detranscripción, que regulan la tasa de transcripción de otros genes, de modo que alanalizar las relaciones entre factores y genes se llega a una estructura llamadared regulatoria genética. Se han propuesto distintos modelos para poder entender tantolas propiedades estructurales como la dinámica de estas redes. Esta dinámicacorresponde a patrones de expresión genética que producen un fenotipo particular.Abundan técnicas de modelado que permiten estudiar dicha dinámica desde variosenfoques teóricos. Dentro de estos enfoques, las redes Booleanas consideran a cada genen uno de dos estados posibles a un tiempo discreto dado. En una red Boolena losgenes -o nodos en terminología de redes– actualizan su estado de acuerdo a un conjuntode reglas lógicas que suelen inferirse a partir de datos experimentales de expresióngenética. Esta clase de modelos requiere relativamente poca información acerca delconjunto de genes y sus interacciones, a la par que brinda resultados biológicamenterelevantes. En este trabajo se presenta un modelo de red Boolena para una pequeña redde regulación genética relacionada con la defensa contra patógenos en Arabidopsisthaliana estimulada por las hormonas etileno y jasmonato. Uno de los aspectosrelevantes del modelo propuesto es que tras revisar la literatura se incorporó ERF4, unfactor de transcripción de la familia de factores de respuesta a etileno ERF que no habíasido incluido en la vía de señalización de etileno en trabajos anteriores. Tras analizar lasconfiguraciones del sistema en el conjunto de puntos estacionarios para diferentescondiciones iniciales, tanto en WT como en mutantes, se obtuvieron resultados que trassu interpretación coinciden con algunos fenotipos reportados en la literatura.
  9. 9. Modelo matemático del proceso mecanobiológico de reparación delligamentoRosy Paola Cárdenas Sandoval*Liliana Mabel Peinado CortésDiego Alexander Garzón Alvarado* National University of Colombia Carrera 30 N°45-03 Edificio 407 rpcardenass@unal.edu.co ABSTRACT: Coagulation, inflammation, proliferation and remodelling are the stages performed in thewound healing in connective tissues injured, one of these is the ligament. The wound healing depends ofbiological and mechanical manifold factors, they release key elements and stimulate the right fibersorganization. The aim of this work is to provide a mathematical model based in hyperelasticity equations of thecontinuum mechanics for to describe the biological changes and the mechanotransduction process happened inthe ligament wound healing when it is subjected to mechanical load. The model proposed is solved using thefinite elements method. The results obtained simulate the ligament answer in the remodeling phase in presenceof mechanical loads, which is to enlarge the cellular and extracellular size components, increase the fibroblastproliferation, collagen production and other proteins, and the formation of the new fibers net, morehomogeneous and mostly dense. This model offers a biological and mechanical framework about the effect ofthe tension load in the ligament wound healing for the health care professionals that make use of the mechanicalloads prescription as tool’s work. RESUMEN: Coagulación, inflamación, proliferación y remodelación, son las fases llevadas a cabo en elproceso de reparación en la mayoría de los tejidos conectivos lesionados, uno de ellos es el ligamento. Lacicatrización de este tejido depende de múltiples factores biológicos y mecánicos, los cuales estimulan lasíntesis de componentes claves en la reparación y la organización correcta del ligamento. El objetivo de estetrabajo es proporcionar un modelo matemático fundamentado en las ecuaciones de hiperelasticidad de lamecánica de medio continuo para describir los cambios biológicos y los mecanismos de mecanotransducciónocurridos en el ligamento en reparación cuando está sometido a carga mecánica. El modelo propuesto estáresuelto mediante el método de elementos finitos. Los resultados obtenidos simulan la respuesta del ligamentoante cargas mecánicas en la etapa de remodelación, es decir, incremento en el tamaño de los componentescelulares y extracelulares del tejido, aumento de la proliferación de fibroblastos, producción de colágeno y otrasproteínas, y la formación de una nueva red de fibras más homogénea y densa. En conclusión, este modeloofrece un marco de referencia mecánico y biológico, del efecto de la carga de elongación en la reparación delligamento, útil para los profesionales de las ciencias de la salud que utilizan la prescripción de cargas mecánicascomo herramienta de trabajo.
  10. 10. FITOREMEDIACIÓN DE AGUAS RESIDUALES SECUNDARIAS CONPLÁNTULAS DE Rhizophora mangle BAJO CONDICIONES EXPERIMENTALESC. Chan-Keb*, C. M. Agraz-Hernández**, J. Osti-Saenz**, C. García-Zaragoza**Miguel A. Valera Pérez*, Gladys Linares Fleites*.*Posgrado en Ciencias Ambientales, Instituto de Ciencias. Benemérita UniversidadAutónoma de Puebla. karloschank2@hotmail.com** Centro de Ecología, Pesquerías y Oceanografía del Golfo de México. UAC. Av.Agustín Melgar s/n entre Juan de la Barrera y Calle 20. Col. Buenavista. SanFrancisco de Campeche; Campeche, México. Tel (981) 8119800. Ext. 62309. RESUMENLos bosques de manglar son considerados como ecosistemas de gran valoreconómico, ecológico y social, debido a los múltiples usos y beneficios que estosproporcionan. Es por ello que esta halófita es reconocida a nivel mundial en sufunción como agentes de remediación de contaminación de descargas de aguasresiduales con altas concentraciones de metales pesados, herbicidas, plaguicidas ocon exceso de nutrientes, esto como una alternativa de tratamiento de agua en lazona costera. Por lo cual, esta investigación tuvo como propósito el evaluar el uso dela forestación y fitorremediación con plántulas de Rhizophora. mangle para mitigar laeutrofización causada por las descargas de aguas residuales secundarias, bajocondiciones controladas de temperatura ambiental, humedad, hidroperiodo y nivelmicrotopografico en un invernadero, con salinidad de 25 ± 5 ups. A través de lacolecta de hipocotilos de R. mangle en bosques de manglar sin impacto antrópico ymediante la forestación de seis estanques (100 hipocotilos por estanque), condimensiones de:1.5 x 0.45 x 0.95 m y un filtro compuesto de grava gruesa (0.081 m3)y fina (0.081 m3), de arena (0.081 m3) y turba natural (0.222 m3) del mismo bosquede colecta de los propágulos. Cada estanque presento un reservorio individual de0.250 m3 para efectuar por gravedad el flujo y por bombeo el reflujo de la marea. Seestablecieron dos tipos de vertidos, donde en tres estanques se vertieron con aguaresidual y tres con agua de mar. La intensidad de muestreo fue semanal paradeterminar la concentración de los nutrientes, la salinidad y el valor de pH y potencialredox del agua intersticial. Para evaluar la respuesta fisiológica de las plántulassimultáneamente a los parámetros químicos, se monitoreo el incremento diametral,longitud total, inter nodal y la producción de las hojas. Al realizar mediante la pruebaANOVA de una vía entre los dos tipos de vertido, se encontraron diferenciassignificativas (p‹0.05) entre la concentración de NO2-, NH4+ y el valor de redox,observándose acumulación de los nutrientes y condiciones más anaeróbicas en elgua intersticial de los estanques con agua residual. Con respecto a la respuestafisiológicas, se observo mayor tasa de crecimiento diametral (0,014 mm.dia-1) ydisminución en la longitud total (0.049 cm.dia-1) para las plántulas tratadas con aguaresidual, que con respecto a las tratadas con agua de mar (0.0057 mm.dia-1 y 0.064
  11. 11. cm.dia-1, respectivamente). El incremento internodal y la producción de hojas nopresentaron diferencias significativas entre los vertidos. Estos resultados indican quela función de los manglares como agentes fitoremediador es una alternativa paratratar cuerpos de agua costeras eutrofizados, utilizando la forestación. Sin embargo,a su vez los resultados obtenidos para esta investigación indican estrés en lasplántulas al incrementar el número de vertidos y al acumularse los nutrientes en elagua intersticial. Es por ello que se recomienda considerar durante el uso delmanglar como fitoremediador, el control de la concentración de nutrientes en elvertido y la intensidad de los vertidos, así como la extensión disponible de coberturadel bosque de mangle.
  12. 12. Análisis del modelo general de Lotka-Volterra considerando comportamientos sociales del depredador Sebastián Valenzuela-Figueroa, Ruth Becerra-Klix, Eduardo González-Olivares Grupo de Ecología, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso email: sebastiancvf@gmail.com; rbecerraklix@gmail.com; ejgonzal@ucv.cl http://ima.ucv.cl julio de 20091 IntroducciónEs ampliamente conocido el hecho que en el modelo general de Lotka-Volterra[5] (considerando crecimiento logístico en las presas), cuando existe un puntode equilibrio al interior del primer cuadrante este es global asintóticamenteestable [2] y esta propiedad se mantiene cuando existe colaboración entre losdepredadores. El objetivo fundamental de este trabajo es describir el comportamientomatemático de un modelo de depredación, considerando colaboración entre losdepredadores. De acuerdo a los resultados obtenidos, planteamos que la incorporación deeste fenómeno ecológico en este modelo derivado del modelo general de Lotka-Volterra, no es adecuado porque se obtienen conclusiones ecológicas incompati-bles.2 El modeloEl modelo a estudiar es descrito por el sistema bidimensional de ecuacionesdiferenciales autónomo del tipo Kolmogorov [3]: dx x dt = r(1 K ) qy x X ; : dy (1) dt = (px c + y ) y con = (r; K; q; p; c; ) 2 R5 , donde los parámetros tienen diferente signi…- +cados ecológicos y 2 R. Si > 0, el parámetro expresa la colaboración entre 1
  13. 13. los depredadores, si = 0, se tiene el modelo de Lotka-Voltera usual y si < 0,el sistema representa un modelo con interferencia entre los depredadores. En particular, si 1 el sistema fue estudiado parcialmente por Pacheco& al. [4] y en [6] consideraron el caso en que = 1, demostrando que existecondiciones para la existencia de un centro. En este trabajo se muestra, entre otros resultados, que si > 0, existe unsubconjunto en el espacio de parámetros, donde el sistema no tiene solucionesacotadas, concluyendo que el sistema no representa adecuadamente un modelode depredación. Sin embargo, es posible determinar condiciones en los parámetros para lascuales el único punto de equilibrio al interior del primer cuadrante este es globalasintóticamente estableReferences[1] A. D. Bazykin, Nonlinear Dynamics of interacting populations, World Sci- enti…c, 1998.[2] C. Chicone, Ordinary di¤erential equations with applications, Texts in Ap- plied Mathematics 34 Springer, 2006.[3] H. I. Freedman, Deterministic Mathematical Model in Population Ecology, Marcel Dekker, 1980.[4] J. M. Pacheco, C. Rodríguez and I. Fernández, Hopf bifurcations in predator–prey systems with social predator behaviour, Ecological Modelling 105 (1997) 83–87.[5] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthe- sis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press, 2003.[6] M. Uribe y M. Wallace, The period function in a class of quadratic Kol- mogoro¤ systems, Proyecciones Vol 19 (2000) 197-205. 2
  14. 14. Mauro A.E. Chaparro Un modelo matemático de la fase parasitaria de Ostertagia ostertagi basado en sistemas de inferencia difusa, con especial referencia a hipobiosisOstertagia ostertagi es un nematodo que se encuentra muy frecuentemente en el ganado bovino de laregión pampeana argentina. La fase parasitaria de Ostertagia comienza cuando la larva infectante (L3)es ingerida por los bovinos al alimentarse en las pasturas contaminadas. Continúa su desarrollo en elsistema digestivo durante aproximadamente tres semanas hasta iniciar la puesta de huevos.Dependiendo de las condiciones climáticas a las que estuvieron expuestas las L3 durante su vida libre,éstas pueden inhibir su proceso de desarrollo (hipobiosis) extendiendo el período de prepatencia hastacinco meses. Así la hipobiosis permite al parásito “saltar” períodos del año en los que las condicionesclimáticas son adversas para la supervivencia de la progenie. Desde el punto de vista sanitario, esimportante destacar que las larvas hipobióticas están deprimidas metabólicamente y por lo tanto sonmenos susceptibles a ciertos antihelmínticos.En la región de la Pampa Húmeda en Argentina este fenómeno se produce mayoritariamente en laprimavera. Ensayos realizados a campo determinaron tres factores que acondicionan a las larvasinfectantes a detener su desarrollo: tiempo de espera en las pasturas, temperatura ambiente y cantidadde horas de luz (fotoperíodo) diarias.Se construyó un modelo matemático que describe la dinámica poblacional de los parásitos adultosdentro del hospedador, en relación con el grado de infección de las pasturas y las condicionesclimáticas. Para describir la dinámica de los adultos se utilizó una ecuación en diferencias con pasodiario mientras que para el proceso de inhibición se usó un sistema de inferencia difuso. Con lacombinación de estos dos modelos se describe la dinámica poblacional satisfactoriamente. Losresultados obtenidos fueron comparados con ensayos realizados en condiciones naturales, obteniéndoseun coeficiente de bondad de ajuste de R2=0.85, siendo este un buen indicador de la calidad de ajustedel modelo. A mathematical model based on a fuzzy logic inference system for the parasitic stage of Ostertagia ostertagi, including to hypobiosisOstertagia ostertagi is a nematode frequently found in cattle in the pampean region of Argentina. Theparasitic phase of Ostertagia initiates when the infecting larvae (L3) are ingested by cattle feeding oninfected pastures. The larva continues its development in the digestive tract of the animal for aboutthree week until it starts producing eggs. Depending on the climatic conditions to which the L3 larvaewere exposed during their free living stage, they can inhibit their development (hypobiosis) byextending the prepatent period for up to five months. Thus hypobiosis allows them to skip someperiods during which weather conditions are negative for their offspring in the free living cycle. Fromthe sanitarian perspective, it is important to point out that hypobiotic larvae are metabolically depressedand thus are less susceptible to antihelmintics.In the Humid Pampas of Argentina, this phenomenon occurs mostly in spring. Field trials helpedidentify three factors that condition the development arrestment of ingested larvae: waiting time in thepasture, environmental temperature, and photoperiod. A mathematical model was built for describing the population dynamics of adult parasites inside thehost, depending on the degree of infection of the pasture and on the weather conditions. Differenceequations with daily time-step were used for describing the adult population dynamics, while theinhibition process was modeled using a fuzzy inference system. The combination of both models yieldsa satisfactory description of the dynamics. The simulation results were compared to field trials undernatural conditions and the goodness-of-fit coefficient R2=0.85 was obtained, indicating the quality ofthe model.
  15. 15. Captura óptima en un modelo depredador-presacon respuesta funcional sigmoidea y efecto Allee en las presas Alejandro Rojas-Palma 1 , Eduardo González-Olivares 2 1 Instituto de Matemática, Universidad Austral de Chile Casilla 567, Valdivia, Chile alejandro.rojas@docentes.uach.cl http://www.ciencias.uach.cl/instituto/matematicas 2 Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso. Casilla 4059 Valparaíso, Chile ejgonzal@ucv.cl http://ima.ucv.cl Julio 20091 IntroducciónLa modelación bioeconómica de la explotación de recursos renovables comopesquerías y bosques, los conceptos esenciales requeridos y las herramientasmatemáticas necesarias han sido dadas en detalle por Clark [5], en especialcuando una sola especie es sometida a captura. Sin embargo, modelos que con-sideran más especies han sido estudiados solamente en algunos trabajos, debidoa las complicaciones propias del análisis cualitativo de los sistemas de ecuacionesdiferenciales no lineales [5, 3]. Este trabajo considera el análisis de la captura no selectiva de dos pobla-ciones en donde una de ellas es depredadora de la otra. Se asume que el esfuerzode pesca es el mismo para ambas poblaciones y la captura por unidad de esfuerzo(CPUE) es proporcional a los tamaños poblacionales de cada población, es de-cir, se asume la bien conocida hipótesis de Schaefer de explotación pesquera.Basados en el análisis cualitativo, se establece la política de control óptima quela industria pesquera debe aplicar con el …n de la maximización de los bene…-cios económicos presentes. Entonces, se de…ne un problema de control óptimoconsistente en maximizar los ingresos netos totales que la sociedad deriva de lapesquería, sujeto a las ecuaciones de estado aplicando el Principio del Máximode Pontragyn [11]. 1
  16. 16. 2 El ModeloSe considera un modelo depredador-presa de tipo Gause [6] en el cual la presaes afectada por el fenómeno biológico conocido como efecto Allee [1, 13, 14] yla respuesta funcional es sigmoidea [15]. Existen muchas formas de expresar elefecto Allee [8], pero se empleará la más usual y la interacción es dada por unsistema de ecuaciones diferenciales autónomo del tipo Kolmogorov [6, 7]. ( dx x s x2 dt = r 1 K (x m) x x2 + a2 y X : dy p x2 (1) dt = x2 + a2 c ydonde x = x(t) e y = y(t) indican los tamaños poblacionales de la presa y eldepredador respectivamente, los parámetros son todos positivos, esto es, =(r; K; m; p; a; c; s) 2 R7 , y tienen distintos signi…cados ecológicos y por razones +biológicas a; m < K. Este sistema fue analizado en [12] y ahora se asumirá que ambas poblacionesson explotadas y la captura es proporcional al stock corriente, obteniendo elsistema ( dx x s x2 dt = r 1 K (x m) x x2 + a2 y q1 Ex Y : dy p x2 (2) dt = x2 + a2 c y q2 Eydonde E = E(t) representa el esfuerzo de pesca, 0 < E < Emax y q1 , q2 soncantidades positivas. El funcional objetivo, que representa el valor presente J de un ‡ de gana- ujocias continuo en el tiempo, es dado por Z1 t J= (x; y; E; t) e dt (3) 0donde es la tasa anual de descuento instantanea y (x; y; E; t) = p1 q1 Ex + p2 q2 Ey CE (4)es el ingreso económico neto del pescador o renta percibida y es representadocomo la diferencia entre el ingreso total y el costo total asociado al esfuerzo depesca.References [1] L. Berec, E. Angulo and F. Courchamp, Multiple Allee e¤ects and pop- ulation management. Trends in Ecology and Evolution Vol. 22, 185-191. (2007). [2] F. Brauer and C. Castillo-Chávez, Mathematical models in Population Bi- ology and Epidemiology, TAM 40, Springer.Verlag, (2001). 2
  17. 17. [3] K. S. Chaudhuri. A bioeconomic model of harvesting a multispecies …shery, Ecol. Model., 32, 12 pp., (1986). [4] C. Chicone. Ordinary di¤ erential equations with applications, Texts in Ap- plied Mathematics 34, Springer, (1999). [5] C. W. Clark, Mathematical Bioeconomic: The optimal management of re- newable resources, (2nd ed). John Wiley and Sons, (1990). [6] H. I. Freedman. Deterministic Mathematical Model in Population Ecology. Marcel Dekker, 254 pp., (1980). [7] B-S. Goh. Management and Analysis of Biological Populations. Elsevier Scienti…c Publishing Company, (1980). [8] E. González-Olivares, B. González-Yañez, J. Mena-Lorca and R. Ramos- Jiliberto. Modelling the Allee exect: are the dixerent mathematical forms o o proposed equivalents?, In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of the 2006 In- ternational Symposium on Mathematical and Computational Biology BIO- MAT 2006 E-papers Serviços Editoriais Ltda. Rio de Janeiro, 53-71. (2007). [9] E. González-Olivares, H. Meneses-Alcay and B.González-Yañez, Metastable dynamics in a Gause type predator-prey model considering Allee e¤ect on prey. in preparation, (2008).[10] T.K. Kar, K.S. Chaudhuri.On non-selective harvesting of a multispecies …shery. int. j. math. educ. sci. technol.,33, (2002).[11] L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R. V. Gamkrelidze and E. F. Mishchenko, The Mathematical Theory of Optimal Processes. London: Pergamon Press. (1964).[12] A. Rojas-Palma, E. González-Olivares and B. González-Yañez. Metastabil- ity in a Gause type predator-prey models with sigmoid functional response and multiplicative Allee e¤ect on prey. In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of International Symposium on Mathematical and Computational Biology,E- papers Serviços Editoriais Ltda. 295-321. (2007) .[13] P. A. Stephens and W. J. Sutherland. Consequences of the Allee e¤ect for behaviour, ecology and conservation. Trends in Ecol. Evo., Vol. 14 No 10 401-405.(1999).[14] P. A. Stephens, W. J. Sutherland, and R. P. Freckleton, What is the Allee e¤ect?, Oikos 87, 185-190. (1999).[15] P. Turchin. Complex population dynamics. A theoretical/empirical syn- thesis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press. (2003). 3
  18. 18. Análisis del modelo de depredación de Holling-Tanner modi…cado considerando un alimento alternativo para los depredadores Analysis of the modi…ed Holling-Tanner predator-prey model considering an alternative food for predator Claudio Arancibia-Ibarra, Eduardo González-Olivares Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso. Casilla 4059 Valparaíso, Chile clanarib@gmail.com, ejgonzal@ucv.cl http://ima.ucv.cl julio 20091 ResumenEn este trabajo analizamos un modelo depredador-presa tiempo continuo asum-iendo que: i) la respuesta funcional es de tipo Holling II, ii) el crecimiento de los depredadores es de tipo logístico [4]. Este último supuesto caracteriza a los modelos del tipo Leslie-Gower [1], enlos cuales la capacidad de soporte convencional de los depredadores es propor-cional a la abundancia de presas x = x (t), es decir, Ky = K(x) = nx, tal comoes asumida en el modelo de May-Holling-Tanner model [6, 5]. Aqui, consderaremos que K(x) = nx + c, suponiendo que los depredadorestienen un alimento alternativo cuando las presas disminuyen, esto es, cuandox ! 0. El modelo es descrito por el siguiente sistema bidiemnsional de ecuacionesdiferenciales del tipo Kolmogorov [3]: 8 < dx = r 1 x q dt K x+a y x X : (1) : dy = s 1 y y dt nx+c 1
  19. 19. donde x = x(t) e y = y(t) indican los tamaños poblacionales de presas ydepredadores, respectivamente; = (r; K; q; a; s; n; c) 2 R7 , y los parámetros +tienen diferentes signi…cados ecológicos, pero a, m < K. Mediante una reparametrización y un reescalamiento del tiempo, obtenemosel sistema du d = (u + C) ( (1 u) (u + A) Qv) u Y : dv (2) d = S (u + A) ( u + C v) v que es topológicalmente equivalente al sistema(1) [2]; los puntos de equilibrioson (0; 0), (1; 0), (0; C) and Qe = (ue ; ve ), dependient de la intersección entre 1las isoclinas v = u + C and v = Q (1 u) (u + A); entonces el sitema puedetener uno, dos o ningún punto de equilibrio positivo. Uno de los principales objetivos es determinar la cantidad de ciclo límitesdel sistema bifurcando de un centro-foco al interior del primer cuadrante.2 SummaryIn this work we analyze a continuous-time predator-prey model assuming that: i) the functional response or predator consumption rate is Holling type II orhyperbolic [6], and iii) the growth of the predator population is of logistic form [4]. This last assumption characterize the Leslie-Gower type models [1], in whichthe conventional environmental carrying capacity Ky measuring their resources,is proportional to prey abundance x = x (t), that is Ky = K(x) = nx, such asis assumed in the May-Holling-Tanner model [6, 5]. We will consider that K(x) = nx + c, assuming that the predators have analternative food when the quantity of prey diminish, this is, when x ! 0. The model is describe by the following bidimensional di¤erential equationssystems of Kolmogorov type system [3]: 8 < dx = r 1 x q dt K x+a y x X : (1) : dy = s 1 y y dt nx+c where x = x(t) and y = y(t) indicate the predator and prey populationsizes, respectively; = (r; K; q; a; s; n; c) 2 R7 , the parameters have di¤erent +ecological meanings, but a, m < K. By mean of a reparameterization and time rescaling we obtain the polyno-mial system du d = (u + C) ( (1 u) (u + A) Qv) u Y : dv (2) d = S (u + A) ( u + C v) v which is topologically equivalent to original [2]; the equilibrium points are(0; 0), (1; 0), (0; C) and Qe = (ue ; ve ), which dependent of the intersection of 2
  20. 20. 1the isoclines v = u + C and v = Q (1 u) (u + A); then, the system can havetwo, one, or none positive equilibrium point. One of the main objectives is establish the quantity of limit cycles bifurcatingof a center-focus at interior of the …rst quadrant.References[1] M. A. Aziz-Alaoui and M. Daher Okiye, Boundedness and global stability for a predator-prey model with modi…ed Leslie-Gower and Holling-type II schemes, Applied Mathematics Letters 16 (2003) 1069-1075.[2] C. Chicone, Ordinary di¤erential equations with applications, Texts in Ap- plied Mathematics 34, Springer, 2006.[3] H. I. Freedman. Deterministic Mathematical Model in Population Ecology. Marcel Dekker, 1980.[4] R. May, Stability and complexity in model ecosystems (2nd ed.), Princeton University Press, 2001.[5] E. Sáez and E. González-Olivares. Dynamics on a Predator-prey Model. SIAM Journal of Applied Mathematics 59(5) (1999) 1867-1878.[6] P. Turchin, Complex population dynamics. A theoretical/empirical synthe- sis, Mongraphs in Population Biology 35 Princeton University Press 2003. 3
  21. 21. Modelamiento Matemático y Análisis Dinámico del Proceso de Edición del ARN en Leishmania sp. Autores Andrés Florez1, Carlos Muskus1, Jairo Espinosa2, Luz Castellanos3, Diego A. Muñoz3 1 Programa de Estudio y Control de Enfermedades Tropicales, PECET. Universidad de Antioquia. 2 Grupo de Automática, GAUNAL, Universidad Nacional-sede Medellín. 3 Grupo de Investigación en Matemáticas, GMat. Universidad Pontificia BolivarianaCorreo electrónico: Andres_Florez@hms.harvard.eduIntroducciónLa leishmaniasis es una enfermedad tropical que constituye un problema desalud pública debido a su alta morbilidad y que en la forma clínica visceralpuede ser letal. Adicionalmente, no existen medicamentos seguros, ni vacunasefectivas [1]. El proceso de edición del RNA del kinetoplasto (kRNA) consisteen la modificación post-transcripcional mediante la inserción y/o delección deuracilos para generar transcritos funcionales [2]. Este proceso, además, noocurre de la misma forma en el ser humano. Esto genera el interés deproteínas involucradas en este proceso como blanco de nuevos fármacos quepuedan inhibirlo y por tanto eliminar al patógeno.La descripción de dicho proceso biológico puede ser expresada como el arregloo acomodo de mecanismos y dinámicas para el procesamiento de materia yenergía “cruda” con el fin de obtener un producto con especificacionesdeseadas [3]. En tal sentido, si se dispone de un modelo que describa losmecanismos y dinámicas factibles para realizar el proceso, es posible usardicho modelo para encontrar condiciones de operación del proceso, de modoque con esos valores se logre el producto deseado sin violentar lasrestricciones que el proceso mismo impone.Basado en la anterior premisa, se construye un modelo matemático del procesode edición del RNA basado en el conjunto de reacciones que lo describen, conla intención de establecer el comportamiento dinámico de este. Adicionalmentese hace el análisis de sensibilidad para predecir posibles blancos demedicamentos, es decir, identificar los parámetros más susceptibles a lasperturbaciones y que bloquen la generación del producto final que es el ARNmensajero editado. Con éste análisis se identificó una enzima responsable deuna reacción muy sensible, y que se convierte en un blanco atractivo para unfuturo desarrollo de medicamentos inhibidores.Cuando se aborda el análisis de un proceso biológico, aparece un grupodisponible de modelos diferentes, que van desde los simbólico simples
  22. 22. (diagrama de bloques) hasta los matemáticos sofisticados (modelo dinámicodel proceso basado en principios fenomenológicos). Tal evolución en lacomplejidad de la representación usada va de la mano con la complejidad de latarea que se desarrolla y con lo cual se espera del modelo. En tal sentido, elmodelo se plantea con una estructura basada en principios físicos utilizandoparámetros determinados mediante experimentos de las cinéticas de reacción.Modelamiento y análisisA partir de una revisión extensa de la literatura se construyó un esquemacualitativo de las reacciones involucradas en el proceso y de las cualesexistieran parámetros cinéticos determinados experimentalmente [4]. Con baseen este esquema se construyó un modelo matemático basado en ecuacionesdiferenciales ordinarias que representan cinéticamente las reacciones químicasinvolucradas. Las leyes cinéticas de las reacciones fueron asignadas deacuerdo a la literatura, donde 5 fueron asignadas como Michaelis-Mentenirreversible y la restante por la ley de acción de masas. El análisis desensibilidad para la detección de blancos moleculares se hizo realizandocambios en los vectores de parámetros y analizando las perturbaciones delmodelo mediante los coeficientes de sensibilidad. El análisis de sensibilidad ylas simulaciones fueron realizados utilizando el Toolbox de Matlab “SimBiology”[5].ResultadosLas simulaciones realizadas con el modelo demuestran una correspondenciacon lo descrito en los datos experimentales de manera cualitativa, pues lainformación paramétrica es incompleta y no existen datos de perturbacionesexperimentales del modelo que permitan su validación. El análisis desensibilidad muestra que la reacción de unión del RNA guía (gRNA) con elRNA mensajero (mRNA) es la más susceptible a la perturbación con respectoal producto, lo cual sugiere a las proteínas MRP1/MRP2 como probablesblancos. Estas predicciones serán refinadas en futuros proyectos que permitanla validación experimental del modelo.Referencias[1] Herwaldt, B.L., Leishmaniasis. Lancet, 1999. 354(9185): p. 1191-9.[2] Lukes, J., H. Hashimi, and A. Zikova, Unexplained complexity of the mitochondrialgenome and transcriptome in kinetoplastid flagellates. Curr Genet, 2005. 48(5): p. 277-99.[3] Alvarez, H. and Muñoz D.A. About models of chemical processes and their use incontrol (In Spanish). Proceedings XII Latin-American Congress on Automatic Control,Salvador Bahía-Brazil, 2006.[4] Gao, G., et al., Functional complementation of Trypanosoma brucei RNA in vitroediting with recombinant RNA ligase. Proc Natl Acad Sci U S A, 2005. 102(13): p.4712-7.[5] http://www.mathworks.com/products/simbiology/
  23. 23. Title Mathematical modeling and dynamic analysis of RNA editing process in Leishmania sp. Authors Andrés Florez1, Carlos Muskus1, Jairo Espinosa2, Luz Castellanos3, Diego A. Muñoz3 1 Programa de Estudio y Control de Enfermedades Tropicales, PECET. Universidad de Antioquia. 2 Grupo de Automática, GAUNAL, Universidad Nacional-sede Medellín. 3 Grupo de Investigación en Matemáticas, GMat. Universidad Pontificia BolivarianaIntroductionLeishmaniasis is a tropical disease that constitutes a public health problem forits high morbidity and which can be fatal in the visceral form. In addition, there islack of safe drugs and of an effective vaccine [1]. The process of kRNA editionin the kinetoplast (kRNA) consists of the posttranscriptional modification by theinsertion and/or deletion of uracils for generating functional transcripts [2]. Onthe other hand, this process does not occur similarly in humans. This has raisedthe interest of studying this process for finding new potential drugs that caninhibit this process and therefore to remove the pathogen.The description of such biological process can be expressed by thearrangement of mechanisms and dynamics to process matter and energy withthe intention to get a product with the desired specifications [3]. In this sense, ifwe have a process model describing the feasible mechanisms and dynamics, itis possible to use such model to find operation conditions, which can beobtained the desired product without violate the constraints that the processitself imposes.Based on the former premise, a mathematical model is constructed for theprocessing of the RNA edition in a set of reactions that best describe it, in orderto set up the dynamical behavior of the process. Furthermore, the analysis ofsensitivity is carried out to predict potential or candidate drug targets, in order toidentify the most susceptible parameters to disturb the final product, themessenger RNA. With this analysis, an enzyme responsible of a very sensitive
  24. 24. reaction was identified, which render it as an attractive drug target for futureexperimental evaluation.When the analysis of a biological process is studied, an available group ofdifferent models arise, span from the simple symbolism (diagram of blocks) tothe mathematics sophisticated (dynamic model of the process supported inphenomenological principles). Such evolution in the complexity of the usedrepresentation is articulated with the complexity of the developed task and fromwhich the model is expected. In this way, the model is proposed with a structurebased on physical principles using specified parameters through experimentstaken of the kinetics of reaction.Modeling and AnalysisFrom an extensive literature revision, a qualitative scheme of the reactioninvolved was built taking into account that kinetic parameters experimentallydetermined were available [4]. From this scheme, a mathematical model wasbuilt based on ordinary differential equations, which kinetically represent, thechemical reactions involved. The kinetic laws of the reactions were assignedaccording to the literature, where 5 were assigned as irreversible MichaelisMenten and the remaining by the law of action of masses. The sensitivityanalysis for molecular targets detection was made carrying out changes in theparameter vectors and analyzing the perturbations of the model through thesensivity coefficients. The sensitivity analysis and simulations were carried outusing the toolbox of Matlab “SimBiology” [5].ResultsThe simulations carried out with the model show a correspondence with theexperimental data described in a qualitative way, since the parametricinformation is incomplete and there are not data of experimental perturbationsof the model that allow its validation.The sensitivity analysis shows that the joint reaction of the gRNA with themRNA is the most susceptible to the perturbation regarding the product, whichidentified to the proteins MRP1/MRP2 as possible drug targets. Thesepredictions will be refined in future projects that allow the experimentalvalidation of the model.References[1] Herwaldt, B.L., Leishmaniasis. Lancet, 1999. 354(9185): p. 1191-9.[2] Lukes, J., H. Hashimi, and A. Zikova, Unexplained complexity of the mitochondrialgenome and transcriptome in kinetoplastid flagellates. Curr Genet, 2005. 48(5): p. 277-99.[3] Alvarez, H. and Muñoz D.A. About models of chemical processes and their use incontrol (In Spanish). Proceedings XII Latin-American Congress on Automatic Control,Salvador Bahía-Brazil, 2006.
  25. 25. [4] Gao, G., et al., Functional complementation of Trypanosoma brucei RNA in vitroediting with recombinant RNA ligase. Proc Natl Acad Sci U S A, 2005. 102(13): p.4712-7.[5] http://www.mathworks.com/products/simbiology/
  26. 26. Modelamiento matemático del potencial larvicida de algunas especies de la familia Asteracea frente a larvas de Aedes aegypti 1 2 3 Irene Duarte Gandica , Oscar Alexander Aguirre Obando , Jorge Alberto Jiménez Montoya , Juan Carlos 4 Álvarez LondoñoLos mosquitos son vectores de agentes causales de enfermedades humanas con granimportancia, como es el caso del dengue, cuyo vector es el mosquito Aedes aegypti. El controldel vector con insecticidas en principio produjo resultados, pero debido a la resistencia a lospesticidas, la contaminación ambiental y los altos costos, se hace necesaria la búsqueda dealternativas de solución con menos riesgos, como lo es el control biológico, particularmente eluso de extractos vegetales.Este trabajo evaluó el potencial larvicida de extractos vegetales de algunas especies de lafamilia Asteraceae presentes en el Departamento del Quindío, Colombia, frente a larvas detercero y cuarto instar de A. aegypti .Se recolectaron 24 especies , obteniendo extractoscrudos etanólicos, analizados mediante marcha fitoquímica preliminar para la identificación demetabolitos secundarios. Estos extractos se concentraron para preparar diluciones de 1000,500, 100, 10, 1 y 0,1 ul/L, que finalmente fueron evaluadas según protocolo estandarizado porla OMS. Las especies analizadas fitoquímicamente mostraron una presencia alta de alcaloides,terpenos, entre otros metabolitos secundarios. De las 24 especies evaluadas sólo algunasmostraron actividad biológica a 500 y 1000 ul/L, con mortalidades a las 48 horas del 100% dela población. Además, se calcularon las dosis CL 50 y 95 en 24 y 48 horas para todas lasplantas analizadas.Se escogieron las dos especies con más alta actividad biológica y en ellas se evaluó laactividad biológica de alcaloides frente a larvas de A. aegypti. Para ello, se realizó un extractoa partir de 500 gramos de peso. Se hizo una extracción líquido-líquido con solventes polares alos alcaloides, estando en esta fase los alcaloides. Se realizó un análisis de confirmación delcontenido para proceder a la separación e identificación de fracciones de algunos de losalcaloides presentes. Por medio de cromatografía de placa delgada (TLC),espectrofotometríade infrarrojo (FT-IR ) y el uso de reactivos específicos se identificaron preliminarmentefracciones de alcaloides, los que finalmente fueron evaluados en larvas de tercero-cuarto instarde A. aegypti. Se determinó la susceptibilidad en las larvas, dando mortalidad deaproximadamente 100% para la fase que contiene los alcaloides.Posteriormente, se construyó un modelo matemático en ecuaciones diferenciales, que usó losdatos arrojados por estos trabajos experimentales, para describir el comportamiento de laspoblaciones.1 Escuela de Investigación en Biomatemática, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia.iduarte@uniquindio.edu.co2 Licenciatura en Biología y Educación Ambiental, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia.oscaraguirre@uniquindio.edu.co3Maestria en Ciencias Biomédicas. Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia,Colombia.jorjinmon@gmail.com4 Programa de Biología, Universidad del Quindío, Cra.15 Calle 12 Norte. Armenia, Colombia. ayoira21@gmail.com
  27. 27. Mathematical model for the larvicidal potential of some species of the family Asteracea against larvae of Aedes aegypti 1 2 3Irene Duarte Gandica , Oscar Alexander Aguirre Obando , Jorge Alberto Jiménez Montoya , Juan Carlos 4 Álvarez LondoñoThe mosquitos are vectors of causal agents of human diseases with great importance, as it isthe case of the dengue, which vector is the mosquito Aedes aegypti. The control of the vectorwith insecticides at first produced results, but due to the resistance to the pesticides, theenvironmental pollution and the high costs, there becomes necessary the search of alternativesof solution by fewer risks, as it is the biological control, particularly the use of plant extracts.This work evaluated the potential larvicidal of plant extracts of some species of the familyAsteraceae present in the Department of the Quindío, Colombia, against to larvas of third andfourth state of A. aegypti, they gathered 24 species obtaining raw Ethanol extracts analyzed bymeans of preliminary phytochemistry march for the identification of secondary methabolyts.These extracts centered to prepare dilutions of 1000, 500, 100, 10, 1 and 0,1 ul/L, that finallywere evaluated according to protocol standardized by the WHO. The analyzed speciesphytochemistry showed a high presence of alkaloids, among other secondary metabolits.The24 species evaluated only some of them showed biological activity to 500 and 1000 ul/L, withmortalities at 48 hours of 100 % of the population. In addition, the doses calculated LD 50 and95 in 24 and 48 hours for all the analyzed plants.We chose two species with the highest biological activity and are assessed the biologicalactivity of alkaloids against larvae of A. aegypti. To do this was performed extract from 500grams in weight. It was a liquid-liquid extraction with polar solvents for alkaloids and was performed the analysisof the contents confirmation, with the separation and identification of fractions of some of thepresent alkaloids. Through thin plate chromatography (TLC), infrared spectrometry (FT-IR) andthe use of specific reagents were identified preliminarily fractions of alkaloids, which were finallyevaluated in third-fourth larval instar A. aegypti. Susceptibility was determined in larvae, withmortality of approximately 100% for the phase that contains the alkaloids.A differential equations model was constructed in, which it used the information thrown by theseexperimental works, to describe the behavior of the populations.
  28. 28. Modelos Matemáticos de la epidemia de Influenza Humana A(H1N1) de origen porcino en el 2009 en México.Alavez Justino1, Gómez Guillermo2, Hernández Luis2, López Jesús3, Vargas Cruz2 1 UJAT, 2FC-UNAM, 3IM(Cuernavaca)-UNAM gomal@servidor.unam.mx ResumenSe reportará los resultados de dos tipos de modelación de la epidemia deInfluenza Humana A(H1N1) de origen porcino en el 2009 en México. Elprimero se refiere a un modelo de tipo inglés en el que se estimanparámetros y se estudia la estabilidad local y global de sus soluciones. Elsegundo modelo está referido al modelo tipo soviético donde se logranresultados a medio plazo prediciendo un total de 4 brotes epidémicos quecualitativamente deberían aparecer durante su primer año de aparición.
  29. 29. Does density dependency inpredator-prey models with Allee e¤ect create periodic oscillations?Jaime Mena-Lorca1 ;Eduardo González-Olivares1 , Jaime Mena-Lorca1 ; Pilar Carrasco Espinoza1 1 Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemáticas, Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso ejgonzal@ucv.cl; jmena@ucv.cl; pilar.carrasco.e@gmail.com Julio 2009 Abstract El principal propósito de este trabajo es analizar la denso dependen- cia en modelos predador presa con efecto Allee en cuanto ella produce o no soluciones periódicas, para eso se hará un estudio comparativo entre modelos con denso dependencia y modelos sin denso dependencia, ambos con la población presa con efecto Allee. Ocuparemos modelos tipo Gause y Modelos tipo Leslie similares (con respuesta funcional y Allee) a los que se ha probado la existencia de soluciones periódicas, pero sin denso dependencia. Las respuestas funcionales y la forma de modelar el efecto Allee que se ocupan en los nuevos modelos estudiados son las que más son utilizadas en los trabajos del área. Abstract The central aim of this work is to analyze whether density dependency in predator prey models with Allee e¤ect creates or not periodic solutions. To achieve this we will do a comparison among models with and without density dependency, in both cases prey population with allee e¤ect. We will use Gause and Leslie type models (with functional response and Allee) similar those where the existence of periodic solutions has been proved (except for the density dependency). The functional response and the manner used to model the Allee e¤ect used in the new models studied are the most commonly used in this area. Palabras claves: Efecto Allee, depredador-presa, ciclos límites. 1
  30. 30. 1 IntroducciónEn la literatura de relativa a predador-presa podemos encontrar una gran var-iedad de modelos, pero los más utilizados son los llamados modelos tipo Gausey los modelos tipo Leslie, cuya diferencia fundamental está en la forma que esmodelado en la ecuación de depredador el "input" que este logra como frutode la depredación sobre la presa. Una buen resumen del estado del arte enel caso modelos tipo Gause lo encontramos en [6], varios de estos modeloshan sido estudiado por González-Olivares con el grupo de ecología matemática([1],[2],[5],[3],[20],[4]), quienes se han dedicado últimamente al estudio de estetipo de modelos introduciendo el efecto Allee en la presas. Por otra parte unamuy buena referencia para modelos con efecto Allee lo tenemos en Courchamp[11], que corresponde a la visión que tiene el otro grupo que ha estudiado el efectoAllee desde una perspectiva más cercana a la ecología debido principalmente ala línea que desarrolla con su grupo y Berec [10], la misma visión la tenemos enlos trabajos de Stephens ([9],[8]). Otros que han abordado esta problemática,pero en una mirada más matemática, son Zhou and Wang ([18],[16],[17]). Sinduda hay otros trabajos que han cooperado en el entendimiento de este tipode modelos tanto en sus consecuencias ecológicas como matemática, ellos hanusado distintas formas de modelar estos procesos y la mayoría de ellos estáncitados por Berec o González-Olivares. En los modelos bidimensionales plasmados en ecuaciones diferenciales ordi-narias, es claro que el hecho de poner denso dependencia en la ecuación de laspresas hace que se cree en el espacio de fase una región acotada por la capacidadde carga de presas que soporta el hábitat, que junto con la variedad inestableproducida por el efecto Allee podría de…nir una región acotada compacta, quejunto a otros elementos del modelos puede ayudar a generar soluciones per-iódicas. En este trabajo se estudian modelos sin denso dependencia, la regióncompacta invariante no se creará y por lo tanto la posibilidad de ciclos límitesno es factible como antes y de existir estos deberían provenir de otras causas. Este estudio de carácter teórico se hace en base al análisis comparativos demodelos con denso dependencia y que tienen ciclos, creemos que el hecho que lapoblación de las presas puedan crecer sólo hasta cierto valor se conjugada conla respuesta funcional respectiva para obtener ciclos límites, es así que estudi-amos dos clases de modelos en donde el crecimiento de la población, despuésde superar el umbral Allee, es "tipo" exponencial, así tenemos los siguientesmodelos: TIPO GAUSE 8 > dx < = r (x m) x x (x) y G : dt (Gause 1) > dy : = px (x) y y dt 8 > dx < rnx = rx x+b x (x) y G : dt (Gause 2) > dy = px (x) y : y dt 2
  31. 31. TIPO LESLIE 8 > dx < = r (x m) x x (x) y L : dt (Leslie 1) > dy : = s 1 nx+q yy dt 8 > dx < rnx = rx x+b x (x) y L : dt (Leslie 2) > dy = s 1 : y dt nx+q y Donde x = x (t) e y = y (t) son el tamaño de la población de presas ydepredadores respectivamente para t > 0, los parámetros r; m; s; n; b; p; ; qtienen diferentes signi…cados ecológicos. La función h (x) = x (x) es la respuesta funcional y satisface las siguientescondiciones [12]: 0 0 (x) 0; (x) 0; (x (x)) 0 y x (x) es acotada cuando x ! 1 . Se estudian analíticamente los modelos con las funciones genéricas dadasmás arribas, el estudio comparativo se hace con respuestas funcionales concretascorrespondiente a los modelos ya estudiados por González-Olivares et al. Se concluye que realmente estos modelos no tiene soluciones periódicas, adiferencia de los modelos con efecto Allee estudiados anteriormente, esto quieredecir que para modelar situaciones en que se presente ‡ uctuaciones periódicasse debe incluir otros elementos en el modelo que de cuenta de ellos, por ejemploel crecimiento no puede ser de "tipo" como los planteados en los modelos dearriba.2 ReferenciasReferences [1] P. Aguirre, E. González-Olivares and E. Sáez, Three limit cycles in a Leslie- Gower predator-prey model with additive Allee e¤ect, SIAM Journal on Applied Mathematics 69 (5) (2009), 1244-1269. [2] J.D. Flores, J. Mena-Lorca, B. González-Yañez , E. Gonzalez-Olivares. Consequences of Depensation in a Smith´s Bioeconomic Model for Open- Access Fishery, In (R. Mondaini and R. Dilao Eds.) Proceedings of Interna- tional Symposium on Mathematical and Computational Biology, E-papers Serviços Editorial Ltda. (2007), 219-232. [3] E. González-Olivares, J. Mena-Lorca, H. Meneses-Alcay, B. González- Yañez, J. D. Flores, Allee e¤ect, emigration and immigration in a class of predator-prey models, Biophysical Reviews and Letters (BRL), 3 (1/2) (2008) 195 –215. 3
  32. 32. [4] A. Rojas-Palma, B. González-Yañez , E. Gonzalez-Olivares. Metastability in a Gause type predator-prey models with sigmoid functional response and Multiplicative Allee e¤ect on prey (2006). [5] B. González-Yañez and E. González-Olivares, Consequences of Allee ef- fect on a Gause type predator-prey model with nonmonotonic functional response, In R. Mondaini (Ed.) Proceedings of the Third Brazilian Sym- posium on Mathematical and Computational Biology, E-Papers Serviços Editoriais Ltda, Río de Janeiro Vol. 2 (2004) 358-373. [6] E. González-Olivares. Allee e¤ect in Gause type predator-prey mod- els:Existence of multiple attractors, limit cycles and separatrix curves. A brief review (submited). [7] Peter Turchin. Complex Population Dynamics: a Theorical/Empirical Syn- thesis Princeton university Press, 2001. [8] Stephens P. A., W. J. Sutherland, Consequences of the Allee e¤ect for behaviour, ecology an conservation, Trends in Ecology and Evolution, Vol. 14 N 10 , (1999), 401-405, . [9] Stephens, P. A., W. J. Sutherland, and R. P. Freckleton, What is the Allee e¤ect?, Oikos Vol. 87„(1999), 185-190,[10] L. Berec, E. Angulo and F. Courchamp, Multiple Allee exects and popula- o tion management,Trends in Ecology and Evolution 22 (2007) 185-191.[11] Courchamp, F., Berec, L., Gascoigne, J. Allee e¤ects in ecology and con- servation. Oxford University Press, 2008.[12] F. Brauer and C. Castillo-Chávez, Mathematical models in Population Bi- ology and Epimediology, TAM 40 Springer-Verlag 2001.[13] D. S. Boukal and L. Berec, Single-species models and the Allee e¤ect: Ex- tinction boundaries, sex rations and mate encounters, Journal of Theoret- ical Biology 218 (2002), 375-394.[14] G. Wang, X-G. Liang and F-Z. Wang, The competitive dynamics of popu- lations subject to an Allee e¤ect, Ecological Modelling 124 (1999), 183-192.[15] S-R. Zhou and G. Wang, Allee-like e¤ects in metapopulation dynamics, Mathematical Biosciences 189 103-113.[16] S-R. Zhou, C-Z. Liu and G. Wang, 2004. The competitive dynamics of metapopulations subject to the Allee-like efecto, Theorical Populations Bi- ology (2004). 65 29-37.[17] S-R. Zhou, C-Z. Liu and G. Wang, The stability of predator-prey systems subject to the Allee e¤ect, Theorical Populations Biology (2005). 67 23-31. 4
  33. 33. [18] C. Hui and Z. Li, Dynamical complexity and metapopulation persistence, Ecological modelling, 2003. 164 201-209.[19] C. Hui and Z. Li, Distribution patterns of metapopulation determined by Allee e¤ects, Population Ecology 46 2003, 55-63.[20] J.Mena-Lorca, B. González-Yañez and E. González-Olivares, The Leslie- Cower Predator Prey model with Allee e¤ect on prey: A simple model with a rich and interesting dynamics. Proceedings of International Symposium on Mathematical and Computational Biology, 2006. 5
  34. 34. Una situación paradójica en que hay variables predictoras perfectas de la presencia de una enfermedad pero el modelo falla Elia Barrera Rodriguez, he-lya@hotmail.com; Flaviano Godínez Jaimes, fgodinezj@gmail.com; Francisco Julian Ariza Hernandez, fjah@colpos.mx; Ramón Reyes Carreto, rcarreto1@yahoo.com, Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero ResumenEn epidemiologia es común que la presencia o ausencia de una enfermedad se trate depredecir a partir de una variable explicatoria o una combinación lineal de variablesexplicatorias. Si para valores de una variable explicatoria menores que una constante losindividuos están sanos y para valores mayores que la constante están enfermos entonces lavariable explicatoria predice perfectamente la presencia de la enfermedad. El modeloapropiado para modelar respuestas binarias es el de regresión logística. En presencia de unavariable explicatoria perfecta el estimador de máxima verosimilitud del modelo deregresión logística produce resultados incorrectos. La colinealidad en las variablesexplicatorias es otro problema que puede presentarse en regresión logística binaria y cuyosefectos también pueden llevar a resultados erróneas. Ambos problemas causan que losestimadores sean sesgados y se presentan con más frecuencia cuando se utiliza el modelode regresión logística en el análisis de microarreglos. En este trabajo se hace una revisiónde los estimadores existentes en presencia de ambos problemas mediante simulación secomparan en función del sesgo y error cuadrático medio.
  35. 35. Influˆncia dos fatores intr´ e ınsecos e extr´ ınsecos na dinˆmica da C´lera a o Rosˆngela Peregrina Sanchesa , Claudia Pio Ferreira1b e Roberto Andre Kraenkelc a a Programa de P´s Gradua¸˜o em Biometria, IBB, UNESP, Brasil o ca b Depto de Bioestat´ ıstica, IBB, UNESP, Brasil c Instituto de F´ısica Te´rica - IFT, UNESP, Brasil o A c´lera ´ uma infec¸˜o intestinal aguda caracterizada por diarr´ia severa, cuja o e ca e ´ ´distribui¸˜o espacial abrange o sub-continente indiano, Asia, Africa e Am´rica Latina. ca eO agente etiol´gico ´ o Vibrio cholerae, o qual coloniza o intestino delgado e produz o euma enterotoxina respons´vel pela doen¸a. Sem tratamento imediato um indiv´ a c ıduoinfectado podem morrer de desidrata¸˜o em quest˜o de horas. O tratamento reduz o ca an´ mero de mortes para 1% dos casos diagn´sticados. No entanto, 50% dos indiv´ u o ıduosinfectados s˜o assintom´ticos e constituem uma importante fonte de infec¸˜o. a a ca A transmiss˜o pode ocorrer de duas formas, pelo contato direto com o vibri˜o via a afezes contaminadas ou atrav´s do contato indireto com ´gua e/ou comida contaminada. e aNas regi˜es onde a c´lera ´ endˆmica, sua dinˆmica exibe um ou dois picos anuais com o o e e apronunciada variabilidade inter-anual. A ` semelhan¸a de outras doen¸as endˆmicas, os c c esurtos de c´lera est˜o associados a sazonalidade, a deteriora¸˜o do meio ambiente, a o a cavirulˆncia da bact´ria e a imunidade do indiv´ e e ıduo. Portanto, a intera¸˜o entre esses cafatores determina a dinˆmica da c´lera em uma regi˜o espec´ a o a ıfica. Uma tarefa dif´ na preven¸˜o desta doen¸a reside na concep¸˜o de alternativas ıcil ca c cade baixo custo que s˜o eficazes e sustent´veis. O controle cl´ssico engloba melho- a a arias no sistema de saneamento, tratamento da ´gua e campanhas de divulga¸˜o sobre a caa transmiss˜o da doen¸a, as quais ressaltam a importˆncia da higiene pessoal e ali- a c amentar no controle da c´lera. V. cholerae resistentes ao tratamento por antibi´ticos o oforam identificadas pela primeira vez no M´xico em 1991 e rapidamente se espalharam epela Am´rica Central. Desde ent˜o, resistˆncia bacterial se tornou um problema na e a epreven¸˜o e controle da c´lera. Vacina¸˜o constitue uma op¸˜o real para o controle ca o ca cada c´lera, entretando uma vacina efetiva e de baixo custo ainda n˜o foi desenvolvida. o aEfeitos colaterias, baixa eficiˆncia, alto custo, existˆncia de bact´rias resistentes e baixa e e eimunidade tornam as campanhas de vacina¸˜o impratic´veis. Por ultimo, a tendˆncia ca a ´ eglobal do aumento de viagens para regi˜es endˆmicas para a c´lera consititue um risco o e opara a dissemina¸˜o desta doen¸a para outras regi˜es. ca c o Um desafio impotante na epidemiologia da c´lera ´ explicar como os surtos podem o eser t˜o explosivos e, ao mesmo tempo, limitados ao ponto de epidemias ocorrerem aduas vezes ao ano. Alguns trabalhos associam este fato a estados hiper-infecciosos da 1 pio@ibb.unesp.br 1
  36. 36. bact´ria, outros as infec¸˜es assintom´ticas e outros a fatores clim´ticos. A possibili- e co a adade de que o V. cholerae possa sobreviver em ambientes aqu´ticos por meses ou anos, aem um estado vi´vel mas n˜o cultiv´vel, sugere ainda que o ambiente aqu´tico pode a a a aagir como um reservat´rio deste pat´geno em regi˜es endˆmicas. o o o e Neste trabalho ´ proposto um modelo de equa¸˜es diferenciais ordin´rias para a e co adinˆmica de c´lera, com o objetivo de explorar e caracterizar o car´ter sazonal da a o adoen¸a e discutir poss´ c ıveis mecanismos de controle. 2
  37. 37. Titulo: Análisis y Control de Bifurcaciones Estacionarias.  M.C. David Baca Carrasco.  Departamento de Matemáticas  Universidad de Sonora  davidbc@hades.mat.uson.mx  davidbaca_12@hotmail.com  Resumen. En los sistemas biológicos se presentan con mucha frecuencia diversos tipos de bifurcaciones, las cuales tienen  una  interpretación  de  acuerdo  al  modelo  que  las  presenta.  Por  otro  lado,  el  control  de bifurcaciones  se  refiere  a  la  tarea  de  designar  un  control  que  pueda  modificar  las  propiedades  de  la bifurcación de un sistema dado, así como alcanzar algún comportamiento deseable en la dinámica. Los  objetivos  típicos  del  control  de  bifurcaciones  incluye  el  retraso  del  inicio  de  una  bifurcación inherente introduciendo una nueva bifurcación en un valor de parámetro deseado; cambiando el valor del parámetro en un punto de bifurcación existente; modificando la forma o el tipo de una bifurcación en  cadena;  estabilizando  una  solución  bifurcada  o  rama;  monitoreando  la  multiplicidad;  amplitud  y/o frecuencia  de  algunos  ciclos  límite  que  emergen  de  bifurcaciones;  optimizando  el  funcionamiento  del sistema cerca de un punto de bifurcación, o una combinación de alguno de estos objetivos.  En  el  trabajo  que  a  continuación  se  presenta,  se  hace  un  estudio  sobre  el  análisis  y  el  control  de  las bifurcaciones  estacionarias:  silla‐nodo,  transcrítica  y  trinche.  Así  mismo,  se  presentan  algunas aplicaciones a modelos biológicos.   
  38. 38. Simulation of Calcium Oscillations and the Electrical Activity of the Pancreatic β Cells During an Oral Glucose Tolerance Test ´ Roberto Avila-Pozos 1 , J. Azpiroz Leehan 2 , H. Trujillo 2 and J.R. God´ 2,∗ ınez ´ 1. Area Acad´mica de Matem´ticas y F´ e a ´ ısica, UAEH, Pachuca, Hgo., MEXICO 2. Departamento de Ingenier´ El´ctrica, UAM-Iztapalapa, M´xico, D.F., MEXICO ıa e e ´ ∗ e-mail: ravila@uaeh.edu.mxIntroductionThe Type 2 Diabetes Mellitus constitutes a serious problem of public health. For a precisediagnosis of the diabetes, a denominated Oral Glucose Tolerance test is made. DiabetesMellitus is diagnosed when the levels of the glucose concentration in the blood exceed acertain limit after ingesting a standard glucose load. This excess in the glucose concentrationin the blood is caused fundamentally by an insufficient liberation of the insulin, released bythe pancreatic β-cells. Electrophysiological studies of the β-cells have shown the mechanismsby which the insulin is secreted to the circulatory torrent. The β-cells store the insulin inpackages, and when the glucose concentration in blood arises, the insulin is released byexocytosis. So that the exocytosis process goes off is required as well of a pulsating elevationof the concentration of the intracellular Ca++ ([Ca++ ]). The source of Ca++ comes from ithe extracellular medium, and enter to the β-cell via voltage dependent Ca++ channels[1, 6]. The pulsating elevation of the [Ca++ ] in the β-cell is product of the burst of electrical iactivity, that consists of action potentials over a depolarized plateau [2, 6]. The actionpotentials are generated by currents of Ca++ that increase the [Ca++ ] [1, 7]. When the iglucose concentration is in its basal level, the β-cells shown a resting potential withoutelectrical activity. The resting potential is mediated by K+ channels, such as the KAT Pchannels. KAT P channels are open in absence of ATPi and they close on depending by theconcentration of intracellular ATPi ([ATPi]) [9]. When [glucose] in blood is increased, andintroduces into the β-cells causing an increase in the basal level of ATPi [1], which diminishesthe fraction of opened KAT P channels, depolarized the cell [9]. This depolarization reachesa level threshold that generates burst of action potentials with the consequent pulsatingelevation of Ca++ and insulin liberation [7]. Electrophysiological techniques have contributed ito a detailed description of the voltage dependence and the kinetic of the ionic channels inthe β-cells, which has allowed to formulate equations that describe their behavior. Also,has been reported functions that describe the behavior of KAT P channels with respect to[ATPi ] [7]. Furthermore, experimental graphs offer information about the temporary courseof the increase on ATPi before an extracellular glucose load. In this work, we described thesimulation of the electrical activity of the β-cells induced during an oral glucose tolerance testin normal subjects. The model describes the glucose level in blood, the increase of associatedATPi , the burst of action potentials and the pulsating elevation of Ca++ indispensable for ithe liberation of insulin. The model reproduces experimental data at systemic and cellularlevel. The model predicts a basal level of optimal ATPi for a suitable electrical answer beforean extracellular glucose load. This could indicate that the alteration in the basal level ofATPi can be one of the mechanisms that generate Type 2 Diabetes Mellitus.
  39. 39. MethodsSimulations were developed in MatLab v.7 (The MathWorks, Inc.). For the quantitativedescription of [glucose] in blood during the oral glucose tolerance test, we used the modeldeveloped by Trujillo [8]. Mathematical model for the description of the electrical activityof the β-cells was taken from Godinez [6], that is a modified version of Chay [4, 3, 5] whichdescribes the electrical properties of the β-cells and also considere the changes in [Ca++ ]. To ithis model, we incorporate the change in the membrane resistance generated by the action ofthe glucose, for which the mathematical description reported by Fridlyand [7] was used. Themodel completed when incorporating the increase of the ATPi according to the extracellularglucose levels, for which the data published by Ainscow [1] were used. To the experimentalgraph of the temporary course of the change in the basal level of ATPi that reports theseauthors, we fit an exponential function with time constant of 100 seconds.ResultsWe simulate the electrical activity of a β-cells in absence of extracellular glucose (not shown);the membrane potential VM is greater than -50 mV and the concentration of Ca++ was 150inM.Fig 1A, shows the results obtained at the beginning of the OGTT after a glucose load. Att=0 with normal glycemia, the β-cells are silent but show a reduction in the resting potentialand increases the basal level of Ca++ . iAt t=60 min, when the maximum glucose is reached (Fig 1B), burst activity causes a depo-larization. Associated to this type of electrical activity, an increase in the Ca++ is induced. iThe level average of the Ca++ was increased and it was accompanied by oscillations at the iend of each burst of action potentials.DiscussionSeveral models have seen used to describe the electrical activity of pancreatic β-cells. Eachone of them makes emphasis in some topic related to some recent experimental finding. Nev-ertheless, there is not a model of the electrical activity and the changes in [Ca++ ] in terms of ithe values of [glucose] in blood. The electrophysiological studies at cellular level report a de-polarization and increase in the electrical activity of the β-cells when increasing extracellularglucose. Our model reproduces these results. Due the importance of the oscillation of Ca++ iin the pulsating insulin liberation, diverse mechanisms have seen proposed to explain thetransitory of Ca++ . Our results indicate that the increase average of the ATPi induced by ihiperglycemia, is the factor generates burst of action potentials and the oscillating increaseof the Ca++ is product of the activation and inactivation of ionic channels. In addition, basal i[ATPi ] is critical for a suitable induction of the insulin release in response to an increase ofglucose.
  40. 40. Figure 1: A. Reduction of resting potencial (top), increase of Ca++ (bottom) due an increase in iblood glucose (5 mM) in oral glucose tolerance test at t=0 min. B. Burst of action potential (top),oscillations in Ca++ (bottom) at maximum glycemia (15 mM), 60 min after a glucose load. iReferences[1] D. E. K. Ainscow and G. A. Rutte. Glucose-stimulated oscillations in free cytosolic ATP concentration imaged in single islet β-cells. Diabetes, 51(1), (2002).[2] R. M. Barbosa, A. M. Silva, A. R. Tom´, J. A. Stamford, R. M. Santos, and L. M. e Rosario. Control of pulsatile 5-HT/insulin secretion from single mouse pancreatic islets by intracellular calcium dynamics. J Physiol., 510:135–143, (1998).[3] T. Chay. Minimal model for membrane oscillation in the pancreatic β-cell. Biophys J, 42:181–190, (1983).[4] T. Chay. On the effect of the intracelular calcium-sensitive K+ channel in the bursting pancreatic β-cell. Biophys J, 50:765–777, (1986).[5] T. Chay and J. Kaizer. Theory of the effect of extracellular potassium on oscillations in the pancreatic β-cell. Biophys J, 48:815–827, (1985).
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  42. 42. Manejo óptimo de un recurso pesquero considerando un área marina protegida Jaime Huincahue-Arcos y Eduardo González-Olivares Grupo de Ecología, Instituto de Matemáticas, Facultad de Ciencias Ponti…cia Universidad Católica de Valparaíso email: jhuincahuearcos@gmail.com; ejgonzal@ucv.cl http://ima.ucv.cl Julio 20091 INTRODUCCIÓNEn este trabajo analizamos el comportamiento de modelos determinista tiempocontinuo considerando la optimización del manejo de un recurso pesquero [3, 4].Se asume que la población está dividida en dos áreas separadas espacialmente:una parte de la población se desarrolla en una zona marina protegida (MPA)[2, 6, 11] y otra está en una zona donde se efectúa la pesca o explotación delrecurso en acceso abierto [5]. Si se establece prohibición de explotación en el área protegida se transformaen una reserva marina [12, 14, 17], la puede asumirse como un refugio de laespecie explotada [9, 16]. Si la población se reproduce sólo en la reserva marinase tiene un modelo fuente-sumidero, en el cual el área marina protegida se puedeconsiderar como la fuente y el área de explotación como un sumidero [1, 13]. En este trabajo consideraremos que existe un ‡ de población sólo desde la ujozona protegida hacia la zona de libre explotación, pero también podría consider-arse un ‡ en ambos sentidos, dejando de ser así un modelo fuente-sumidero. ujo Uno de los objetivos del trabajo será la determinación de la política decaptura optimal de la industria pesquera considerando que se debe maximizarel valor presente de las ganancias netas de la industria. Se efectuarán comparaciones de los resultados obtenidos en modelos sin reser-vas marinas o con los resultados obtenidos para modelos diferentes [1, 2, 6].2 EL MODELOEl modelo a analizar es descrito por el sistema bidimensional de ecuacionesdiferenciales no lineales autónomo 1
  43. 43. ( dx1 x1 m x1 dt = r1 1 K x1 x1 + a x1 q1 x1 E1 X : dx2 x2 m x1 (1) dt = r2 1 L x2 + x1 + a x1 q2 x2 E2 donde x1 = x1 (t) y x2 = x2 (t) son los tamaños poblacionales de las pobla- m xciones fuente y sumidero, respectivamente, la función m (x1 ) = x1 +1 a es lafunción de migración, h (xi ) = qi xi Ei con i = 1; 2, indica la función de capturao extracción y el crecimiento de la población explotada es del tipo logístico,dejando de ser un sistema del tipo Kolmogorov [7, 8]. Los parámetros son todos positivos, o sea, = (r1 ; K; m; a; q1 ; s; L; r2 ; q2 ) 2R9 y tienen diferentes signi…cados ecológicos. + Si se considera q1 = 0, el sistema representa un modelo de reserva marinaen la cual no es permitida la pesca, mientras que si 0 < q1 E1 < q2 E2 , el sistemarepresenta un modelo de extracción en áreas marinas protegidas, es decir, enla primera podría ser destinada a pesquería artesanal o de orilla, y la segundarepresentar una pesquería de alta mar, representando una pesquería no selectivadel recurso.2.1 EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓNPara establecer la determinación de la política de captura optimal de la industriapesquera se buscará maximizar el valor presente de la industria descrito por elfuncional de costo o índice de desempeño [10, 15] Z 1 J= e t (x1 ; x2 ; E1 ; E2 ) dt (2) 0 donde (x1 ; x2 ; E1 ; E2 ) = p1 q1 x1 E1 c1 E1 + p2 q2 x2 E2 c2 E2 , es la ganancia neta de la industria. Usando el Principio del Máximo de Pontryagin [3] se deberá obtener elHamiltoniano con el objeto de determinar la política optimal. Posteriormentese mostrarán algunas simulaciones para evidenciar los resultados obtenidos.References [1] C. W. Armstrong and A. Skonhoft, Marine reserves: A bio-economic model with asymmetric density-dependent migration. Ecological Economics 57 (2005) 466-476. [2] P. Cartigny, W. Gómez and H. Salgado, The spatial distribution of small- and large-scale …sheries in a marine protected area, Ecological Modelling 212 (2008) 513– 521. [3] C. W. Clark, Mathematical Bioeconomics: the Optimal Management of Renewable Resources, 2nd ed. Wiley, 1990. 2
  44. 44. [4] C. W. Clark, The worldwide crisis in …sheries: Economic models and hu- man behavior, Cambridge University Press (2006). [5] F. Córdova-Lepe, E. González-Olivares and M. Pinto, Source-sink impul- sive Bio-economic models. Fixed and variables close-seasons, submitted to Journal of Di¤erence Equations and Applications (2008). [6] B. Dubey, P. Chandra, P. Sinha. A model for …shery resource with reserve area. Nonlinear Analysis: Real World Applications 4 (2003) 625–637. [7] H. I. Freedman. Deterministic Mathematical Model in Population Ecology. Marcel Dekker 1980. [8] B-S Goh. Management and Analysis of Biological Populations. Elsevier Sci- enti…c Publishing Company, 1980. [9] E. González-Olivares and R. Ramos-Jiliberto, Dynamic consequences of prey refuges in a simple model system: more prey, fewer predators and enhanced stability, Ecological Modelling 106 135-146, 2003.[10] T. K. Kar and H. Matsuda, A bioeconomic model of a single-species …shery with a marine reserve, Journal of Environmental Management 86 (2008) 171-180.[11] M. G., Neubert, Marine reserves and optimal harvesting, Ecology Letters 6 (2003) 843–849.[12] J. C. V. Pezzey, C. M. Roberts, B. T. Urdal, A simple bioeconomic model of a marine reserve, Ecological Economics 33 (2000) 77–91.[13] H. R. Pulliam, Sources, sinks, and population regulation. The American Naturalist 132 (1988) 652-661.[14] J. Sanchirico and J. Wilen, A bioeconomic model of marine reserve creation. Journal of Environmental Economics and Management 42 (2001) 257– 276.[15] P. D. N. Srinivasu, Bioeconomics of a renewable resource in presence of a predator, Nonlinear Analysis: Real World Applications 2 (2001) 497– 506.[16] P. D. N. Srinivasu and I. L. Gayitri, In‡uence of prey reserve capacity on predator-prey dynamics.Ecological Modelling 181 (2005) 191-202.[17] C. White, B. E. Kendall, S. Gaines, D. A. Siegel and C. Costello, Marine reserve e¤ects on …shery pro…t, Ecology Letters 11 (2008) 370–379 3

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