ECUACIONES DIFERENCIALES DEL       FLUJO DE FLUIDOSSon ecuaciones generales que permiten resolverdiferentes sistemas sin n...
1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD    • Se aplica la ley de conservación de la materia a      un pequeño volumen de fluido en movi...
• Balance de materia      Velocidad de      Velocidad de       Velocidad de     acumulación de =    entrada de    −     sa...
Por tanto, el balance de materia queda:• Dividiendo la ecuación por ∆x∆y∆z y tomando  límites cuando estas dimensiones tie...
• En términos vectoriales:• Si la densidad del fluido permanece constante:
2. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO                            τzxz+Δz                   τyxy+Δy            z                     ...
 Balance de cantidad de movimiento en  estado no estacionario  Velocidad de  Velocidad de  Velocidad       Suma de  acumu...
• Transporte convectivo La cantidad de movimiento por transporte convectivo, en dirección x, que entra por la cara y es:  ...
• Transporte viscoso La cantidad de movimiento por transporte viscoso en dirección x que entra por la cara y es: La cantid...
• Fuerzas externas Si las fuerzas externas que actúan sobre el sistema son las debidas a la presión y a la fuerza gravitac...
 Sustituyendo todos los términos en la ecuación de  balance de cantidad de movimiento, dividiendo  por ΔxΔyΔz y tomando e...
 De la misma forma se obtienen las componentes  en y y z:
 En notación vectorial, estas tres ecuaciones se  resumen en: Para obtener las distribuciones de velocidad con  la anter...
Esfuerzos normales:Esfuerzos cortantes:
 Cuando la densidad y la viscosidad son  constantes, la ecuación de movimiento recibe el  nombre de Navier-Stokes
TABLAS DE EC. CONTINUIDAD Y MOVIMIENTO Y          LEY NEWTON (ESFUERZOS)EDICIÓN ANTIGUA DEL BIRDTabla 3.4-1: Ec. Continuid...
PROBLEMAEn una operación de fundición de cobre se hace pasar escoria fundida, rica encobre, sobre un mate con el fin de re...
FLUJO A TRAVÉS DE DOS TUBOSCOAXIALES                                     Salida del                                       ...
FLUJO ADYACENTE DE DOS FLUIDOS INMISCIBLES Encontrar las distribuciones de velocidad, esfuerzo cortante,  las velocidades...
FLUJO TANGENCIAL DE UN FLUIDONEWTONIANO ENTRE DOS TUBOS CONCÉNTRICOS                                          Determinar ...
FLUJO DE UN FLUIDO NO NEWTONIANO ATRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR                               Entrada del Deducir la forma a...
VISCOSÍMETRO DE CONO Y PLATODeducir la expresión que permite determinar la viscosidad de unfluido newtoniano por medio de ...
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Ecuaciones flujo fluidos

  1. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DEL FLUJO DE FLUIDOSSon ecuaciones generales que permiten resolverdiferentes sistemas sin necesidad de aplicarbalances de cantidad de movimiento:• Ecuación de continuidad (conservación de materia)• Ecuación de movimiento
  2. 2. 1. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD • Se aplica la ley de conservación de la materia a un pequeño volumen de fluido en movimiento. z ∆y (x+∆x,y+∆y,z+∆z)y Elemento (ρx)x (ρx)x+∆x estacionario de ∆z volumen, ∆x∆y∆z, a (x,y,z) través del cual circula ∆x un fluido. x ρx: Velocidad de flujo de materia por unidad de área
  3. 3. • Balance de materia Velocidad de Velocidad de Velocidad de acumulación de = entrada de − salida de materia materia materia Donde: Velocidad de Velocidad de Volumen acumulación de = cambio de x del materia densidad elemento En cada dirección: Velocidad de Densidad del Velocidad Área flujo de = fluido en la x perpendicular x de la materia cara a la cara cara
  4. 4. Por tanto, el balance de materia queda:• Dividiendo la ecuación por ∆x∆y∆z y tomando límites cuando estas dimensiones tienden a cero:
  5. 5. • En términos vectoriales:• Si la densidad del fluido permanece constante:
  6. 6. 2. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO τzxz+Δz τyxy+Δy z (x+∆x,y+∆y,z+∆z) Direcciones del transporte de cantidad de τxxx τxxx+∆x movimiento debido a lay τyxy componente x de la (x,y,z) velocidad τzxz x τzxz+Δz Direcciones de las τyxy+Δy fuerzas viscosas debido τxxx τyxy τxxx+∆x al transporte de cantidad de τzxz movimiento
  7. 7.  Balance de cantidad de movimiento en estado no estacionario Velocidad de Velocidad de Velocidad Suma de acumulación = entrada de − de salida de + fuerzas que de cantidad de cantidad de cantidad de actúan sobre movimiento movimiento movimiento el sistema• La cantidad de movimiento de entrada y de salida se debe a dos mecanismos: - Transporte convectivo - Transporte viscoso
  8. 8. • Transporte convectivo La cantidad de movimiento por transporte convectivo, en dirección x, que entra por la cara y es: Cantidad de movimiento Flujo másico Componente por transporte = a través de x de velocidad = (ρyΔxΔz)(x)|y convectivo la cara y en dirección x Teniendo en cuenta el flujo en todas las caras del cubo, el transporte convectivo neto en dirección x es:
  9. 9. • Transporte viscoso La cantidad de movimiento por transporte viscoso en dirección x que entra por la cara y es: La cantidad de movimiento neta por transporte viscoso en dirección x es:
  10. 10. • Fuerzas externas Si las fuerzas externas que actúan sobre el sistema son las debidas a la presión y a la fuerza gravitacional, la resultante de estas fuerzas en la dirección x es:• La acumulación de cantidad de movimiento en dirección x es:
  11. 11.  Sustituyendo todos los términos en la ecuación de balance de cantidad de movimiento, dividiendo por ΔxΔyΔz y tomando el límite cuando Δx, Δy y Δz tienden a cero, se llega a la componente x de la ecuación de movimiento:
  12. 12.  De la misma forma se obtienen las componentes en y y z:
  13. 13.  En notación vectorial, estas tres ecuaciones se resumen en: Para obtener las distribuciones de velocidad con la anterior ecuación, se debe conocer la relación entre los esfuerzos y los gradientes de velocidad, la cual está dada por la generalización de la ley de Newton de la viscosidad:
  14. 14. Esfuerzos normales:Esfuerzos cortantes:
  15. 15.  Cuando la densidad y la viscosidad son constantes, la ecuación de movimiento recibe el nombre de Navier-Stokes
  16. 16. TABLAS DE EC. CONTINUIDAD Y MOVIMIENTO Y LEY NEWTON (ESFUERZOS)EDICIÓN ANTIGUA DEL BIRDTabla 3.4-1: Ec. ContinuidadTablas 3.4-2 a 3.4-4: Ec. MovimientoTablas 3.4-5 a 3.4-7: Ley NewtonNUEVA EDICIÓN DEL BIRDApéndice B1: Ley NewtonApéndice B4: Ec. ContinuidadApéndices B5 y B6: Ec. Movimiento
  17. 17. PROBLEMAEn una operación de fundición de cobre se hace pasar escoria fundida, rica encobre, sobre un mate con el fin de recuperar la mayor parte del cobre contenido enla escoria. La operación es llevada a cabo en un horno (ver figura) de 20 metros delargo y 7,5 metros de ancho. Asumiendo que:- El mate permanece quieto.- La escoria fluye continuamente a 2,5 m3/h (con flujo laminar) sobre el mate.- La profundidad media de la escoria es de 0,5 m. Determinar: La ecuación para la distribución de velocidad y de esfuerzo en la capa de escoria, dibujar perfiles. La fracción de material que permanece en el horno durante por lo menos el doble Escoria del tiempo medio de Mate residencia. 7° 20 m
  18. 18. FLUJO A TRAVÉS DE DOS TUBOSCOAXIALES Salida del fluido Encontrar las distribuciones de PL velocidad, esfuerzo cortante, las velocidades máxima y media y el flujo volumétrico aR (caudal), de un fluido que fluye L entre dos tubos coaxiales por acción de una diferencia de presión entre los planos de P0 entrada y salida del mismo. R Entrada del fluido
  19. 19. FLUJO ADYACENTE DE DOS FLUIDOS INMISCIBLES Encontrar las distribuciones de velocidad, esfuerzo cortante, las velocidades máxima y media y el flujo volumétrico (caudal), de dos líquidos inmiscibles que fluyen horizontalmente por un gradiente de presión entre dos planos horizontales. W Entrada del fluido y Fluido II Salida del z 2δ fluido x Fluido I Propiedades de L los fluidos: X=0 X=L ρI > ρII P0 PL μI < μII
  20. 20. FLUJO TANGENCIAL DE UN FLUIDONEWTONIANO ENTRE DOS TUBOS CONCÉNTRICOS  Determinar los perfiles de r z velocidad y de esfuerzo cortante para el flujo laminar tangencial de un fluido incompresible, en el aR ω espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro externo gira con una velocidad angular ω. R
  21. 21. FLUJO DE UN FLUIDO NO NEWTONIANO ATRAVÉS DE UN TUBO CIRCULAR Entrada del Deducir la forma análoga a fluido P0 la ecuación de Hagen- Poiseulli para un fluido pseudoplástico. n  dvz  L  rz       dr  (n <1) PL Salida del R fluido
  22. 22. VISCOSÍMETRO DE CONO Y PLATODeducir la expresión que permite determinar la viscosidad de unfluido newtoniano por medio de un viscosímetro de cono y plato. El viscosímetro consta de un Cono girando plato plano que permanece quieto y sobre el cual se pone el ω fluido, y de un cono invertido ϕ que se introduce en la muestra r hasta que la punta toca el plato.  Fluido 1 El cono se hace girar a una 0 velocidad angular (ω) constante y la viscosidad se determina midiendo el torque necesario Plato quieto para hacer girar el cono. R 0 ≈ ½°
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