04. leyes de exponentes y logaritmos
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04. leyes de exponentes y logaritmos Document Transcript

  • 1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS LEYES DE EXPONENTES Y LOGARITMOSLEYES DE EXPONENTESSea un número real x . Si se multiplica por sí mismo se obtiene x ⋅ x . Si a este resultado se multiplicanuevamente por x resulta x ⋅ x ⋅ x . De manera sucesiva, si x se multiplica por si misma n veces, seobtiene: x ⋅ x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ x n vecesPara simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que: x ⋅ x = x2 x ⋅ x ⋅ x = x3 x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x4 x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x5y en general: x ⋅ x ⋅ x ⋅⋅⋅ x = xn n vecesDonde x es llamada base y el número n escrito arriba y a su derecha, es llamado exponente. Elexponente indica el número de veces que la base se toma como factor.Primera ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que: x n ⋅ x m = x n+ mAl multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.Ejemplos.1) (x )(x ) = x = x 3 2 3+ 2 52) (4a )(5a ) = 20a 2 6 83) (2k )(− k )(5k ) = −10k 4 2 7 134) (8ab ) a b  = 6 a b 3  3 2 3 4 4   6 3 5  8 6 4  1  48 9 10 15)  p q  − p q  q  = − p q = − p 9 q10 5  4  12  240 5 1
  • 2. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaSegunda ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que: xn m = x n−m xAl dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.Ejemplos. x71) 4 = x 7 −4 = x 3 x 10 a 82) = −2 a 5 − 5a 3 − 28 k 7 m 33) = 4k 2 m 2 − 7k m 5 2 6 a 3 84) 1 = a2 3 a4 4 − 32 x 3 y 6 z 7 25) = − xy 4 z 6 2 2 48 x y z 3Tercera ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero. Si en la ley anterior, se hace que n = m , se tiene que: xn n = x n−n = x 0 . xPero al dividir una expresión por si misma el resultado es la unidad, así que se cumple que: x0 = 1Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia cero es uno. x21) 2 = x 2−2 = x 0 = 1 x2) 5a = 5(1) = 5 03) (xyz )0 = 1 2
  • 3. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 27 a 34) =3 9a 3 x3 x4 x6 x135) = = − x13−13 = − x 0 = −1 −x x6 7 −x 13Cuarta ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.Entonces, se cumple que: (x ) n m = x n⋅mAl elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.Ejemplos.1) (x ) 3 2 = x 3(2 ) = x 6 ( )2) a 3 4 = a 3(4 ) a 123) (e ) = e 5 (3 ) = e15 5 3Quinta ley de los exponentesSean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.Entonces, se cumple que: (xy )n = x n y nEl producto de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto decada factor elevado al exponente.Ejemplos. ( ) = 2 ⋅a1) 2 a 2 5 5 10 = 32 a102) (− 3k ) = (− 3) 4 3 3 ⋅ k 12 = −27 k 12 ( ) = 5 ⋅ a b = 625 a b3) 5ab 3 4 4 4 12 4 124) (4 xy ) = 4 ⋅ x ⋅ y = 16 x y 2 2 2 2 6 2 65) ( m n p ) = 10 ⋅ m ⋅ n p 3 6 10 5 2 6 30 12 18 = 1 000 ,000 m 30 n12 p18Sexta ley de los exponentesSean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.Entonces, se cumple que: 3
  • 4. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa n x xn   = n,  y y≠0   yEl cociente de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual al cociente decada factor elevado al exponente.Ejemplos. 2 x x21)   = 2  y   y  ab  = (ab ) = a 3b 3 3 32)    cd  (cd )3 c 3 d 3  5 p3 3)   = 5 p3 4 ( ) 4 = 54 p 3 ( ) 4 = 625 p 12  3  34 34   81  8k 34)   4  k3  = 2 2   ( ) = 16 k 4  = 24 k3 4 12  4m 2     m   ( ) m2 m 4 8 (− 4 ) (x ) (y ) = 4 ,096 x 6 3 6 5 6  − 4x3 y5  6 18 y 305)   =  3w 4 z 2    (3) (w ) (z ) 6 4 6 729 w2 12 24 12 zSéptima ley de los exponentesSea un número real x diferente de cero. Si n es un número entero diferente de cero, por las leyesanteriores se cumple que: xn n = x n−n = x 0 = x n ⋅ x −n = 1 x 1 1 nPero el recíproco del número real x se definió como n , ya que cumple con xn ⋅ =1. x xnComparando las expresiones, se llega a: 1 x −n = xnElevar una expresión a una potencia entera negativa, equivale a formar una fracción con numerador unoy cuyo denominador es la misma expresión pero con la potencia positiva.Ejemplos. −1 11) x = x −3 62) 6 a = a3 4
  • 5. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 24 p 3 q 5 83) = −8 p − 4 q − 5 = − − 3p q 7 10 4 5 p q 27 a 5 b 3 c 4 3 −6 2 −1 3b 24) a b c = 6 = 18a 11bc 5 2 2a c5) 2 x( ) 3 −4 1 1 = 2 − 4 x −12 = 4 ⋅ 12 = 2 x 1 16 x12LOGARITMOSSea la expresión: a b = x , con a > 0 y a ≠ 1 .Se denomina logaritmo base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base paraobtener dicho número. Es decir: log a x = bque se lee como "el logaritmo base a del número x es b ” y como se puede apreciar, un logaritmorepresenta un exponente.La constante a es un número real positivo distinto de uno, y se denomina base del logaritmo. Lapotencia a b para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a>0.Ejemplos.1) 5 = 25 2 ⇒ log 5 25 = 22) 3 = 81 ⇒ log 3 81 = 4 43) 8 = 512 ⇒ log 8 512 = 3 3 6 1 1 14)   = ⇒ log 1 =6 2 64 2 64 −5 1 15) 4 = ⇒ log 4 = −5 1024 1024Logaritmos Decimales:Se llaman logaritmos decimales a los logaritmos que tienen por base el número diez. Al ser muyhabituales es frecuente no escribir la base: log10 x = log xLogaritmos Naturales:Se llaman logaritmos naturales (también llamados neperianos) a los logaritmos que tienen por base elnúmero irracional e = 2.7182818284 59 ⋅ ⋅ ⋅ , y se denotan como ln o por L : 5
  • 6. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa log e x = ln x = L xEjemplos.log 10 45 = log 45 ≈ 1.653212log e 168 = ln 168 ≈ 5.123963Para potencias enteras de diez, los logaritmos decimales cumplen con:10 −2 = 0.01 ⇒ log 0.01 = −210 −1 = 0.1 ⇒ log 0.1 = −110 0 = 1 ⇒ log 1 = 0101 = 10 ⇒ log 10 = 110 2 = 100 ⇒ log 100 = 210 3 = 1,000 ⇒ log 1,000 = 310 4 = 10 ,000 ⇒ log 10 ,000 = 4Los logaritmos decimales de los números comprendidos entre otros dos, cuyos logaritmos decimales sonnúmeros enteros, son números decimales. Todo número decimal se compone de parte entera y partedecimal. La parte entera recibe el nombre de característica y la parte decimal, mantisa.La parte entera del logaritmo o característica depende del intervalo en el que se defina el número y laparte decimal o mantisa del valor de las cifras significativas del número.Por ejemplo, para log 45 = 1 .653212 ⋅ ⋅ ⋅ , la característica es 1 y la mantisa es 0.653212 ⋅ ⋅ ⋅ .La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número está comprendidoentre 1 y 10 , es positiva, sí el número es mayor que 10 o negativa si el número es menor que 1 . Laspotencias de 10 sólo tienen característica, su mantisa es 0 . En el logaritmo de un número menor que1 la característica es negativa, pero la mantisa es positiva. Por ejemplo log 0 . 5 ≈ − 1 + 0 .698970 yno puede escribirse como − 1.698970 , pues esto indica que tanto la característica como la mantisason negativas. El modo correcto de escribirlo, indicando que sólo la característica es negativa, es1.698970 .Ejemplos.1) Para log 624 ≈ 2.795184 , la característica es 22) Para log 7 ≈ 0 .845098 , la característica es 03) Para log 0 .029 ≈ 2 .462398 , la característica es −2Las propiedades de los logaritmos son las siguientes:1) log a 1 = 02) log a a = 13) log a (u ⋅ v ) = log a u + log a v 6
  • 7. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa u4) log a   = log a u − log a v v5) log a u n = n ⋅ log a u 16) loga n u = loga u nEjemplos.Comprobar las propiedades de los logaritmos.1) log 10 0 = log 1 = 02) log 10 = 13) log (100 ⋅ 1,000 ) = log 100 ,000 = 5que equivale a calcular: log 100 + log 1,000 = 2 + 3 = 5  1 000 ,000 4) log   = log 10 ,000 = 4  100 que equivale a calcular: log 1 000 ,000 − log 100 = 6 − 2 = 45)log 10 2 = log 100 = 2que equivale a calcular: 2 ⋅ log 10 = 2(1) = 26)log 10,000 = log 100 = 2 ⋅ log 10 ,000 = (4 ) = 2 1 1que equivale a calcular: 2 2Ejemplo.  (5a )(3b )  4Aplicando las propiedades de los logaritmos, simplificar la siguiente expresión: log 6   2c  Solución.  (5a )(3b )  (5a )(3b ) 4log 6   2c   = 4 log 6 2c = 4[log 6 (5a )(3c ) − log 6 2c ] = 4(log 6 5a + log 6 3b − log 6 2c )Ejemplo.Sabiendo que log 100 = 2 y que log 4 ≈ 0.6020 , aplicando las propiedades de los logaritmos y sinusar la calculadora, determinar los valores aproximados de: log 400 , log 25 , log 16 , log 2 .Solución.log 400 = log (100 )(4 ) = log 100 + log 4 ≈ 2 + 0.6020 ≈ 2.6020 100log 25 = log = log 100 − log 4 ≈ 2 − 0.0620 ≈ 1.398 4log 16 = log 4 2 = 2 log 4 ≈ 2(0.0620) ≈ 1.204 1 0.6020log 2 = log 4 = log 4 ≈ ≈ 0.3010 2 2 7
  • 8. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Leyes de exponentes y logaritmos Autor: Dr. José Manuel Becerra EspinosaUn antilogaritmo es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso alcálculo del logaritmo de un número. Esto es: log a x = y ⇔ anti log a y = x ⇔ a y = xes decir, consiste en elevar la base al número que resulta.Ejemplo.log10 4,527 ≈ 3.655810 ⇔ anti log10 3.655810 ≈ 4,527 ⇔ 103.655810 ≈ 4,527Cambio de Base:Dada una base conocida b , para calcular un logaritmo de un número x en cualquier base a , se aplica log b xla siguiente expresión: log a x = . log b aPor conveniencia, la base elegida para b generalmente es la diez, así que la expresión queda como: log10 x log a x = log10 aEjemplo.Calcular: log3 570Solución: se identifican las variables: a = 3, x = 570, b = 10 log 570 2.755874log 3 570 = ≈ ≈ 5.776048 log 3 0.477121Comprobación: 35.776048 ≈ 570 8