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  • 1. Ejemplos de Distribuciones de Probabilidad *Bernoulli *Binomial *Poisson *Normal *Gamma *T de student Laura Anguiano Acosta 2 “A”
  • 2. Distribución Bernoulli1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es laprobabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.8882) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poderdarles un premio, pero la maestra los seleccionará con los ojoscerrados, ¿Cual es la probabilidad de que salga el alumno numero16?° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 =0.0625° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.93753) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, almomento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay para quepueda salir premiado el boleto número 342?° La probabilidad de que saque el boleto número 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 =0.00292
  • 3. ° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342. P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 =0.997074) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: eléxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) quesaliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en unlanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ningunacruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumpletodos los requisitos.° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
  • 4. Distribución Binomial1) Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad deque el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y laprobabilidad sería P(X=20):2) La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a lalectura:1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?B (4, 0.2) p = 0.8 q = 0.22. ¿Y cómo máximo 2?3) Un agente de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:1. Las cinco personas.B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/32. Al menos tres personas.
  • 5. 3. Exactamente dos personas.4) Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salganmás caras que cruces.B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.55) La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?B(10, 1/4) p = 1/4q = ¾
  • 6. Distribución Poisson1) Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muyinteligentes ¿Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5de ellos sean muy inteligentes n= 100 P=0.03 =100*0.03=3 x=52) La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad dedefecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener laprobabilidad que existan 4 televisores con defectos. n=85 P=0.02 P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746 X=4 =1.73) Una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad deque si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso n=20 P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418 X=3 =3
  • 7. 4) El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema,si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de queexistan 5 registros con problemas? n=40 P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793 =3.2 X=55) Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista sitomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular Probabilidad queexistan 5 registros con problemas?n=40P=0.08=10
  • 8. Distribución Normal1) Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0 µ = 80 σ = 14 z a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90 Probabilidad μ acumulada. z = 0.7611 z = 0.3594 p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017 b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ≤ 75) Probabilidad acumulada. z 0.3594 p(x ≤ 75) = 0.3594 75 80 μ c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p (55 ≤ x ≤ 70) Probabilidad acumulada. z = 0.2389 z = 0.0367 55 70 80 p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= μ 0.2022
  • 9. 2) Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en DownRiver Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000 yuna desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud depréstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que: µ= $70,00 σ =$20,0 z a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x ≥ 80,000) Probabilidad acumulada. – z = 0.6915 p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085 70000 80000 μ b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) Probabilidad – acumulada. z = 0.6915 – z = 0.4013 65000 70000 80000 μ p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902 c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x ≥ 65,000) Probabilidad acumulada. – z = 0.4013
  • 10. p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987 65000 70000 μ3) Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos.El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde eltiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos deviaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normaly la desviación estándar es de 7.5 minutos. µ = 38.3 min. σ = 7.5 min. z a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x ≤ 30) Probabilidad acumulada. – z = 0.1335 p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3 μ b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad acumulada. – z = 0.3300 – z = 0.1335 30 35 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%
  • 11. c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? p(30 ≤ x ≤ 40) Probabilidad acumulada. – z 0.5910 = – µ = 1,200 z σ = 225 = 0.1335 Probabilidad 30 38.3 acumulada. z μ p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 5% = .0500 0.1335 = 0.4575 = 45.75%4) Las ventas mensuales de silenciadores enel área de Richmond, Virginia, tiene unadistribución normal, con una media de$1,200 y una desviación estándar de $225.Al fabricante le gustaría establecer nivelesde inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten lasexistencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario? 1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 – 5% ó 0.0500 z 1.65 X= x = 1,571.25 1,571.255) En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privadaen Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costosanuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación
  • 12. estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadaspaga menos de ¿Qué cantidad? – z 1.64 95% ó 0.9500 x = 27,462. X= 27,462 75 µ = 20,082 z σ = 4,500 Probabilidad Valor acumulada. de z 95% = .9500 =
  • 13. Distribución Gamma1) El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue unadistribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidadde que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hastala llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (ap)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue elsegundo paciente es 0,98.2) Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que sonsometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue unadistribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que0,1.
  • 14. Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  • 15. Gamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  • 16. T de student1) Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focoscada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentrasatisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de unamuestra de 25 focos cuya duración fue?: 520 521 511 513 510 µ=500 h 513 522 500 521 495 n=25 496 488 500 502 512 Nc=90% 510 510 475 505 521 X=505.36 506 503 487 493 500 S=12.07 t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24t = 2.22 Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig:
  • 17. 2) El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 días. Además,ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el despertador acabano levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10días en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primeraclase.(a) Idéntica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar suprimera clase?En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamosrealizando. Este consiste en tomar un día al azar en la vida del profesor Pérezy analizarlo en base a los siguientes sucesos.(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertadorT ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos.A continuación traducimos en términos de probabilidad de los sucesosanteriores todos los datos que nos dan en el enunciado. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .(b) El suceso “llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tantonos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo desucesos, podemos aplicar la formulas de la probabilidad total, de dondetenemos que: P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos haproporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos directamente el valorde P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que
  • 18. P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior sepuede escribir como: P(T¯) = + =0.693) La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10 mmy desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamañon=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:P (μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados delibertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)P (T<2.5) = 0.9902P (μ<20.5)=0.9902La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferiora 20.5 mm es del 99.02%4) Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica: S [W · w0=95] = 0=95Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:
  • 19. - ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso:0=95=- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hastacruzarnos en el punto w0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad seráel valor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta laprimera columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemosverticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidadacumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colasprobabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentilw0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con los datos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al casoanterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:
  • 20. w0=95 = 1=6973Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=68285) Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos detener en cuenta que:df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

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