Apresentação1   sistemas numéricos
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Apresentação1   sistemas numéricos Apresentação1 sistemas numéricos Presentation Transcript

  • Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense Ana Paula Reinecke¹ Camilla Moreira Uchoa² Larissa Rozza Peluso³Disciplina: Arquitetura de ComputadoresProfessor: Nildo Carlos da SilvaTurma: BSI11
  • Sistemas de Numeração* Existem várias regras que permitem ler e escreverqualquer número, usando poucas palavras e poucossímbolos.* O conjunto de tais regras constitui um Sistema deNumeração. Estes sistemas, têm variado com asépocas e com os povos.
  • Sistemas de Numeração AntigosEgípcio Babilônio Romano 1.969 = MCMLXIX
  • Exemplos:
  • Exemplos:
  • Exemplos: I : um V: cinco X: dez L: cinqüenta X: cem D: quinhentos M : mil3 = III 9 = IX 21 = XXI 206 = CCVI1.969 = MCMLXIX
  • Base de um SistemaÉ o número de elementos necessários para formarum conjunto padrão que auxilie a contagem deobjetos.Assim, quando falamos em base 10, por exemplo,estamos pensando na formação de conjuntos comdez elementos, isto é, dada uma coleção deobjetos, procuramos saber quantos conjuntos de 10podem ser formados.
  • Bit – menor partícula de informação nocomputador, pode representar 0 ou 1. Esses doissímbolos são opostos e mutuamente exclusivos.Byte – conjunto de 8 bits.
  • • Existiram e existem diversos sistemas de numeração.• No computador, serve para questões de endereçamento, armazenamento, conteúdo de tabelas e representações gráficas.• Bases diferentes usadas nos mais diversos computadores.
  • Representação nas bases * 1011012 - 101101 na base 2 (binária) * 7528 - 752 na base 8 (octal) * 651 - 651 na base 10 (decimal) Quando não é indicada a base, a base é decimal. Mas poderia ser representado assim: 65110 * 42316 - 423 na base 16 (hexadecimal)
  • • Bases • Binária • 0, 1 • Octal • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 • Decimal • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 • Hexadecimal • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
  • SISTEMA DECIMALSistema decimal é um sistema de numeração debase10, com dígitos decimais(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Considere o significadodo número 83. Ele significa oito dezenas e trêsunidades: 83 = (8 x 10) + 3O número 4728 significa quatro milhares, setecentenas, duas dezenas e oito unidades: 4728 = (4 x 1000) + (7 x 100) + (2 x 10) + 8
  • O sistema decimal é assim chamado por usar abase 10. Isso significa que cada dígito donúmero é multiplicado por 10 elevado à potênciacorrespondente a posição do dígito: 83 = (8 x 10¹) + (3 x 100) 4728 = (4 x 10³) + (7 x 10²) + (2 x 10¹) + (8 x 100)
  • Valores fracionários são representados do mesmomodo:472,83 = (4 x 10²) + (7 x 10¹) + (2 x 10°) + (8 x 10-1)+ (3 x 10-2)Em geral, para a representação decimaldeX = {...x2x1x0 ... x-1x-2x-3...}, o valor de X é igual a: X= ∑xi10i i
  • SISTEMA BINÁRIONo sistema decimal, são usados dez dígitosdistintos para representar os números na base10. No sistema binário, temos apenas doisdígitos, 1 e 0. Portanto, números no sistemabinário são representados na base 2.Para evitar confusão, algumas vezesusamos um número subscrito para indicar abase do sistema de numeração adotado. Porexemplo, 8310 e 4728 10 são númerosrepresentados na notação decimal, ou seja,números decimais.
  • Os dígitos 1 e 0, na notação binária, têm o mesmosignificado que na notação decimal: 02 = 010 12 = 110Para representar números maiores, como na notaçãodecimal, cada dígito de um número binário tem um dadovalor, dependendo de sua posição: 10 2 = (1 x 2 1 ) + (0 x 2°) = 2 10 11 2 = (1 x 2 1 ) + (1 x 2°) = 3 10 100 2 = (1 x 2 2) + (0 x 2 1 ) + (0 x 2°) = 4 10e assim por diante.
  • Valores fracionários são representados compotências negativas da base:1001,101 = 2 3 + 2° + 2-1 + 2-3= 9,625 10 CONVERSÃO ENTRE NÚMEROS BINÁRIOS E DECIMAISA conversão de um número na notaçãobinária para a notação decimal é simples.Basta multiplicar cada dígito binário pelapotência de 2 adequada e somar os resultados.
  • Para converter a notação decimal em notação binária,o número inteiro e a parte fracionária sãotratados separadamente. Suponha que queremosconverter umnúmero inteiro decimal N para a forma binária.Se dividirmos N por 2, no sistema decimal,obtendo um quociente N1 e um resto R1, podemosescrever: N = 2 x N1 + R1 R1 = 0 ou 1
  • A seguir, dividimos o quociente N1 por 2. Suponhaque o novo quociente seja N2 e o novo resto, R2.Então: N1 = 2 x N2 + R2 R2 = 0 ou 1assim: N = 2(2N2 + R2) + R1 = 2²N2 + R2 x 2¹ x R1 x 20
  • Se, a seguir, tivermos: N2 = 2N3 + R3então obteremos: N= 2³N3 + R3 x 2² + R2 x 2¹ + R1 x 20Ou seja, podemos converter da base 10 para a base 2por meio de repetidas divisões por 2. O resto e oquociente final, 1, nos dão os dígitos binários de N,na ordem do menor para o maior dígito significativo.Exemplos de conversão de números inteiros da notaçãodecimal para a notação binária.
  • a) Quociente Resto11 = 5 ( 5,5) 1 --------------------- 25 = 2 (2,5) 1 ---------------22 = 1 0 -----------21 = 0 (0,5) 1 ------2 1 0 1 12 = 1110
  • b)21 = 10 (10,5) 1 ---------------------2 0 ----------------10 = 52 1 -----------5 = 2 (2,5) 0 -------2 1 ---2 = 121 = 0 (0,5)2 1 0 1 0 12 = 2110
  • A conversão da parte fracionária envolverepetidas multiplicações por dois. A cada passo, aparte fracionária do número decimal é multiplicadapor 2.O dígito à esquerda da vírgula decimal no produtoserá 0 ou 1 e contribuirá para a representaçãobinária, começando pelo bit mais significativo. A partefracionária do produto é usada como multiplicandono próximo passo. Para mostrar que issofunciona, consideramos uma fração decimalpositiva F < 1. Podemos expressar F como:
  • F =(a-1 x 1) + (a-2 x 1) + (a-3 x 1) + ... 2 2² 2³onde cada a-i é 0 ou 1. Se multiplicarmos isso por2, teremos:2F = a-1 + (a-2 x 1) + (a-3 x 1) + (a-4 x 1) + ... 2 2² 2³
  • As partes inteiras dessas duas expressões devem seriguais.Conseqüentemente, a parte inteira de 2F, que deve ser0 ou 1, uma vez que 0 < F < 1, é simplesmente a-1 .Portanto:2F = a-1 + F1 , onde 0 < F1 < 1 e:F1 =(a-2 x 1) + (a-3 x 1) + (a-4 x 1) + ... 2 2² 2³
  • Para encontrar a-2 repetimos o mesmo processo, quenão é necessariamente exato. Ou seja, uma fraçãodecimal com um número finito de dígitos podedemandar uma fração binária com número infinitode dígitos. Nesses casos, o algoritmo deconversão normalmente é interrompido depois donúmero predefinido de passos, dependendo daprecisão desejada.
  • Representação de binário na base 10 * 11010012 * 11010012 = 1 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 * 11010012 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 * 11010012 = 10510
  • Representação de octal na base 10 * 546218 * 546218 = 5 x 84 + 4 x 83 + 6 x 82 + 2 x 81 + 1 x 80 * 546218 = 20480 + 2048 + 384 + 16 + 1 * 546218 = 2292910
  • Representação de hexadecimal na base 10 * 3974116 * 3974116 = 3 x 164 + 9 x 163 + 7 x 162 + 4 x 161 + 1 x 160 * 3974116 = 196608 + 36864 + 1792 + 64 + 1 * 3974116 = 23532910
  • NOTAÇÃO HEXADECIMALEm virtude da natureza binária inerente doscomponentes de um computador digital, todas asformas de dados são representadas, dentro docomputador, por códigos binários. No entanto, embora o sistema binário sejaconveniente para computadores, é excessivamenteineficiente para seres humanos. Por isso, amaioria dos profissionais de computação quepassam grande parte do tempo trabalhandocom dados manipulados no computadorprefere uma notação mais compacta.
  • Exemplos de conversão de números fracionários danotação decimal para a notação binária.a) 0,8110 = 0,1100112 (aproximado)Produto Parte inteira , 1 1 0 0 1 10,81 x 2 = 1,62 1 ------0,62 x 2 = 1,24 1 ---------0,24 x 2 = 0,48 0 ------------0,48 x 2 = 0,96 0 ---------------0,96 x 2 = 1,92 1 ------------------0,92 x 2 = 1,84 1 ---------------------
  • b) 0,2510 = 0,012 (exato) ,0 10,25 x 2 = 0,5 0 ------------------0,5 x 2 = 1,0 1 ---------------------Em vez disso, é adotada uma notação conhecida comohexadecimal. Os dígitos binários são agrupados emconjuntos de quatro. A cada combinação possível dequatro dígitos binários é atribuído um símbolo, como aseguir:
  • 0000 = 0 1000 = 80001 = 1 1001 = 90010 = 2 1010 = A0011 = 3 1011 = B0100 = 4 1100 = C0101 = 5 1101 = D0110 = 6 1110 = E0111 = 7 1111 = FPor serem usados 16 símbolos, a notação é chamadahexadecimal e esses 16 símbolos são os dígitoshexadecimais.
  • Uma seqüência de dígitos hexadecimais pode ser vistacomo uma representação de um número inteiro na base 16.Portanto,1A16 = (116 x 16¹) + (A16 x 16 0) = (110 x 16¹) + (1010 x 16 0) = 26A notação hexadecimal é usada não apenas para representarnúmeros inteiros. Ela também é usada como uma notaçãoconcisa para representar qualquer seqüência de dígitosbinários, mesmo que representem texto, números ou algumoutro tipo de dado. As razões para se usar notaçãohexadecimal são as seguintes:
  • 1. É mais compacta que a notação binária.2. Na maioria dos computadores, os dados bináriostêm um tamanho que é múltiplo de 4 bits e, portanto,múltiplo de um dígito hexadecimal.3. É extremamente fácil converter entre asnotações binária e hexadecimal.Como um exemplo desse último ponto, considerea seqüência de bits 110111100001. Isso é equivalente a:1101 1110 0001 = DE116 D E 1
  • Esse processo é realizado tão naturalmente que umprogramador experiente pode converter representaçõesvisuais de dados binários para seus equivalenteshexadecimais mentalmente, sem precisar escrever.
  • Mudança da base 10 para binário 714 714 |_2_ 0 357 |_2_ 1 178 |_2_ 714 = 10110010102 0 89 |_2_ 1 44 |_2_ 0 22 |_2_ 0 11 |_2_ 1 5 |_2_ 1 2 |_2_ 0 1 |_2_ 1 0
  • Mudança da base 10 para octal 714 714 = 13128 714 |_8_ 2 89 |_8_ 1 11 |_8_ 3 1 |_8_ 1 0
  • Mudança da base 10 para hexadecimal 714 714 = 2CA16 714 |_16_ 10 44 |_16_ 12 2 |_16_ 2 0Hexadecimal0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, FA=10 , B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15
  • Mudança da base octal para decimal (10)13128 = 2+8+192+512 = 714 2 x 80 = 2 1 x 81 = 8 3 x 82 = 192 1 x 83 = 512
  • Mudança da base hexadecimal para decimal2CA16 = 10+192+512 = 714 A x 160 = 10 x 160 = 10 C x 161 = 12 x 161 = 192 2 x 162 = 2 x 256 = 512
  • ARITMÉTICA COMPUTACIONALAs palavras de um computador são compostas por bits epodem representar números armazenados na memória.Estes números podem ter diferentes significados, comointeiros ou reais, serem positivos ou negativos.A manipulação dos números inclui operações de soma,subtração, multiplicação e divisão.
  • COMPLEMENTO DE 1 (C – 1)Este sistema de representação também utiliza o bit maisà esquerda para o sinal, correspondendo o 0 ao sinal + eo 1 ao sinal -. Para os números positivos, os N- 1 bits dadireita representam o módulo. O simétrico de um númeropositivo é obtido pelo complemento de todos os seus dígitos(trocando 0 por 1 e vice-versa) incluindo o bit de sinal.
  • Exemplo: representar 10 e –10 Limitação de 8 bits (N=8)10 0 0001010Nº sinal móduloNúmero – 10 é o complemento do seu simétrico-10 1 1110101 Nº sinal módulo
  • Vantagem: possuir faixa simétrica.Inconveniência: 2 representações para o número 0. Para 8 bits o 0 tem as seguintes representações: 00000000 (+0) 10000000 (-0)
  • Complemento de 1 com valores inteiros de 4 bitsDecimal Complemento de 10 0000 −0 11111 0001 −1 11102 0010 −2 11013 0011 −3 11004 0100 −4 10115 0101 −5 10106 0110 −6 10017 0111 −7 1000
  • COMPLEMENTO DE 2 ( C – 2)Este sistema de representação utiliza o bit mais à esquerdapara o sinal, correspondendo o 0 ao sinal + e o 1 ao sinal -.Para os números positivos, os N- 1 bits da direitarepresentam o módulo, igualmente ao MS (módulo e sinal)e C - 1.O simétrico de um número é obtido em dois passos: 1ºpasso – obtém-se o complemento de todos os bits donúmero positivo (trocando 0 por 1 e vice-versa) incluindo obit de sinal, isto é, executa-se o complemento de 1;2º passo – ao resultado obtido no primeiro passo, soma-se1 (em binário).
  • Exemplo: complemento de 2 dos números 10 e –10 Limitação de 8 bits (N=8)10 0 0001010 nº sinal módulo
  • Número – 101º passo: complemento de 1-10 1 1110101 nº sinal módulo2º passo: 1 1110101 + 10 ----------- 1110110
  • Vantagem: uma única representação para o número 0.. Para 8 bits teremos: Nº 0 00000000 (+0) Nº -0 passo 1 11111111 (-0) passo 2 1 ------------------- 100000000 estouro desprezadoLogo 0 e –0 tem a mesma representação.
  • OPERAÇÕES COM NÚMEROS BINÁRIOSAdiçãoA adição no sistema binário é realizada exatamente damesma forma que uma adição no sistema decimal.Vamos inicialmente realizar uma adição na base 10 eposteriormente outra na base 2.Seja a operação 85 + 18.8518 +-----103
  • -Somamos por colunas à partir da direita, temos8+5=13, como a soma excedeu o maior dígitodisponível, usamos a regra do transporte para apróxima coluna.- Assim, dizemos que dá 3 e “vai um”.- Este transporte “vai um” é computado na soma dapróxima coluna, que passa a ser 8+1+1=10, novamenteusamos o transporte e dizemos que dá 0 e “vai um”abrindo uma nova coluna que é 0+0+1=1.- Obtemos desta forma o resultado 103.
  • -- Vamos agora para o sistema base 2, como temosapenas dois dígitos, vamos verificar quais os possíveiscasos que ocorrerão na soma por colunas:-a) 0 b)0 c)1 d)1 e)1 +0 +1 +0 +1 1 ---- ---- ---- ---- +1 0 1 1 10 ---- 11- No caso “d” houve transporte, o resultado é 0 e “vaium” e no caso “e” realizamos a soma de três parcelasincluindo um transporte, o resultado é 1 e “vai um”.
  • Subtração-Como o método também é análogo ao da subtração no sistemadecimal, vamos ver quais os possíveis casos que ocorrerão nasubtração por colunas.a) 0 b) 0 c) 1 d) 1 -0 -1 -0 -1 ---- ---- ---- ---- 0 1 1 0
  • - No caso “b”, o resultado será 1, mas ocorrerá umtransporte para a coluna seguinte, que deve seracumulado no subtraendo. Exemplificando, vamosefetuar 11102 – 10012 1110 -1001 ------- 0101
  • Multiplicação-Novamente análoga ao caso decimal. Agora os casospossíveis são:a) 0x0 = 0 b) 0x1 = 0 c) 1x0 = 0 e d) 1x1 = 1A multiplicação de números binários é feita domesmo modo que a multiplicação de números decimais.
  • O procedimento, na verdade, é mais simples, uma vezque os dígitos multiplicadores podem ser apenas 0 ou1.O exemplo seguinte ilustra este procedimento paranúmeros binários sem sinal. 1001 1011 ----------- 1001 1001 0000 1001 1100011
  • Caso um número esteja em complemento de 2, deve-se primeiro convertê-lo para o seu equivalente embinário positivo. Assim, é possível efetuar amultiplicação como no caso acima.Evidente que oresultado deve ser convertido para binárionegativo, usando o complemento de 2.
  • Divisão BináriaO processo para dividir números binários é o mesmoque é utilizado para números decimais.Para ilustrar,segue um exemplo onde iremos dividir (9) 10 por (3) 10.+9 = 1 0 0 1+3 = 1 1
  • 1 0 0 1 /1 1 1 1 1 1(3) 10--------- 0011 11---------- 0A divisão de números com sinal é tratada domesmo modo que na multiplicação.