garis- garis sejajar
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

garis- garis sejajar

on

  • 2,201 views

ini versi saya,

ini versi saya,
komentar yang membangun ditunggu :)

Statistics

Views

Total Views
2,201
Views on SlideShare
2,201
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
46
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

 garis- garis sejajar garis- garis sejajar Document Transcript

  • BAB II GARIS-GARIS SEJAJAR1. PengertianDua garis sejajarDua garis atau lebih dikatakan sejajar apabila garis-garis tersebut terletak pada bidang datardan tidak akan pernah bertemu atau berpotongan jika garis tersebut diperpanjang sampai takberhingga.Perhatikan gambar berikut garis m dan garis n di atas ,jika diperpanjang sampai tak berhingga maka keduanya tidak akan berpotongan,keadaan ini dikatakan kedua garis sejajar.dinotasikan dengan lambang //Contoh-contoh Garis-garis Sejajar •) Bidang datarPerhatikan bidang-bidang datar berikutPerhatikan gambar di atas.Berdasarkan pengertian garis sejajar, kita dapatkan garis-garis sejajar dari persegi panjangABCD adalah AB // CD, AD // CB, maka ada 2 garis sejajar.Perhatikan gambar di atas.Berdasarkan pengertian garis sejajar, kita dapatkan garis-garis sejajar dari persegi panjangFGHI adalah FG // HI, FI // GH, maka ada 2 garis sejajar. 1
  • Perhatikan gambar di atas.Berdasarkan pengertian garis sejajar, kita dapatkan garis-garis sejajar dari trapesium ABCDadalah AB // CD, maka ada 1 garis sejajar. •) Bangun ruangPerhatikan balok ABCD.EFGH berikutBerdasarkan pengertian garis sejajar, kita dapatkan garis-garis sejajar pada balok tersebutadalah AE // BF, BF // CG, CG // DH, DH //AE, AB // DC, DC // HG, HG // EF, EF // AB,AD // BC, BC // FG, FG // EH, EH // AD, maka ada 12 pasang garis yang sejajar.2.Sifat-sifat Garis Sejajar Sifat pertama:Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat ditarik tepat satugaris yang sejajar dengan garis itu. m B A n C Perhatikan Gambar disamping Pada gambar tersebut, melalui dua buah titik yaitu titik A dan titik B dapat dibuattepat satu garis, yaitu garis m. Selanjutnya, apabila dari titik C di luar garis m dibuat garis sejajar garis m yangmelalui titik tersebut, ternyata hanya dapat dibuat tepat satu garis, yaitu garis n. Sifat kedua:Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis yang sejajarmaka garis itu juga akan memotong garis yang kedua. l P m n l P m Q n Selanjutnya perhatikan kedua buah gambar disamping 2
  • Pada gambar di samping diketahui garis m sejajar dengan garis n ( m // n) dan garis lmemotong garis m di t itik P. Apabila garis l yang memotong garis m di titik P diperpanjangmaka garis l akan memotong garis n di satu titik, yaitu titik Q. Sifat ketiga:Jika sebuah garis sejajar dengan dua garis lainnya maka keduagaris itu sejajar pula satu sama lain. m k lSekarang, perhatikan disamping. Pada gambar tersebut, mula-mula diketahui garis k sejajar dengan garis l dan garis m.Tampak bahwa garis k sejajar dengan garis l atau dapat ditulis k // l dan garis k sejajar dengangaris m, ditulis k // m. Karena k // l dan k // m, maka l // m. Hal ini berarti bahwa garis lsejajar dengan garis m. 3.TransversalTransversal dari dua garis sejajar adalah sebuah garis yang memotong kedua garistersebut.Perhatikan gambar berikut l P m Q ndari gambar diatas maka garis l adalah transversal dari garis sejajar m dan n,karena garis lmemotong garis n juga garis m.A.Pengertian Sudut Dalam (Interior Angles) dan Sudut Luar (Exterior Angles) Sudut Dalam (Interior Angles) adalah sudut yang terbentuk dari 2 buah garis sejajaryang dipotong oleh sebuah garis dan berada diantara kedua garis tersebut. Dari gambar diatas yang disebut sudut dalam adalah ∠A4, ∠A3, ∠B1 dan ∠B2 Sudut Luar (Exterior Angles) adalah sudut yang terbentuk dari 2 buah garis sejajaryang dipotong oleh sebuah garis dan berada diluar kedua garis tersebut. 3
  • Dari gambar diatas yang disebut sudut luar adalah ∠A1, ∠A2, ∠B3 dan ∠B4B. Sudut-sudut yang terbentuk dari 2 buah garis sejajar yang dipotong oleh garistranversal •) Sudut-sudut sepihak 1) Sudut-sudut dalam Sepihak Sudut yang berada di dalam dua garis sejajar dan keduanya terletak di sebelah kirimaupun kanan garis transversal. Sudut-sudut itu di sebut sudut dalam sepihak. Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut dalam sepihak adalah ∠A3 dengan∠B2 dan ∠A4 dengan B1 2) Sudut-sudut luar Sepihak Sudut yang berada diluar dua garis sejajar dan keduanya terletak di sebelah kirimaupun kanan garis transversal. Sudut-sudut ini disebut sudut luar sepihak. Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut luar sepihak adalah ∠A1 dengan∠B4 dan ∠A2 dengan B3 •) Sudut-sudut Berseberangan 1) Sudut-sudut dalam Berseberangan Sudut yang berada diantara (di dalam) dua garis sejajar dan berseberangan terhadapgaris transversal. Sudut-sudut itu disebut sudut dalam berseberangan. Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut dalam berseberangan adalah ∠A3dengan ∠B1 dan ∠A4 dengan B2 2) Sudut-sudut luar Berseberangan Sudut yang berada di luar dua garis sejajar dan berseberangan terhadap garistransversal. Sudut itu disebut sudut luar berseberangan. Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut luar berseberangan adalah ∠A1dengan ∠B3 dan ∠A2 dengan B4 •) Sudut Sehadap Sudut yang menghadap kearah yang sama, Sudut itu disebut sudut sehadap. Dari definisi tersebut, maka pasangan sudut-sudut sehadap adalah ∠A1 dengan ∠B1,∠A2 dengan B2, ∠A3 dengan ∠B3 dan ∠A4 dengan B4 4
  • C. Hubungan antara sudut-sudut pada garis-garis sejajar •) Sudut Sehadap Dari Gambar di samping, kita akan memperoleh pasangan sudut sehadap, yaitu ∠A1 dengan ∠B1, ∠A2 dengan ∠B2, ∠A3 dengan ∠B3, ∠A4 dengan ∠B4. Ternyata akan diperoleh hubungan antar sudut tersebut, yaitu:∠A1 = ∠B1∠A2 = ∠B2∠A3 = ∠B3∠A4 = ∠B4 > > > > >> D C H G >> A B E F >> Perhatikan pola pengubinan di samping •) Apabila jajar genjang ABCD kita geser ke kanan sejauh AB maka akan menempati jajargenjang BEHC, maka: ∠DAB → ∠CBE, berarti ∠DAB = ∠CBE •) Sekarang kita geser jajargenjang ABCD sejauh 2AB sehingga menempati jajargenjang EFGH, maka: ∠DAB → ∠HEF, berarti ∠DAB = ∠HEF Dari kedua pernyataan di atas maka akan kita dapat: •) ∠DAB= ∠CBE = ∠HEF •) Sudut diatas adalah sudut sehadap, jadi bias kita tarik kesimpulan bahwa sudut- sudut sehadap sama besar. •) Sudut-sudut dalam Berseberangan D C B’ A’ = = - P - = = A BC’ D’ 5
  • Jajargenjang ABCD diputar 180o dengan titik P sebagai pusat. Dengan demikianmaka C’ → B dan B’ → C. Terlihat bahwa: ∠DAB = ∠B’A’D’ = ∠DCB dan ∠ADC = ∠A’D’C’ = ∠ABC Secara matematik, hal tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut ∠DAB = ∠B’A’D’ (kedua sudut saling bertolak belakang) ∠B’A’D’ = ∠DCB + (sudut-sudut sehadap sama besar) ∠DAB + ∠B’A’D’ = ∠B’A’D’ + ∠DCB ∠DAB = ∠DCB Dengan cara yang sama kita akan memperoleh ∠ADC = ∠ABC Dari pembuktian dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut dalam berseberangan samabesar. (a) (b)Nah perhatikan kedua gambar diatasGambar (b) diperoleh dari gambar (a), tapi ada sedikit modifikasi yaitu: • Buat sembarang titik C dan titik D dimana AC = BD • Kemudian tarik garis dari titik C ke titik B dan titik D ke titik A. Sekarang kita sudah dapatkan 2 buah segitiga yaitu segitiga ABC dan segitiga ABD.Langkah selanjutnya adalah kita tunjukkan bahwa kedua segitiga itu kongruen denganlangkah-langkah berikut:∆ ABC = ∆ ABDSegitiga yang kongruen memiliki panjang sisi yang sama AD = CB, AC = DB, AB = ABMemiliki besar sudut yang sama ∠A = ∠B dan ∠D = ∠CMaka terbukti bahwa sudut dalam berseberangan sama besar. •) Sudut-sudut luar Berseberangan P Perhatikan gambar di atas Jika k // l dan dipotong oleh m di titik A dan B maka ∠A1 = ∠B3 dan ∠A1 + ∠A3Halitu dapat dijelaskan sebagai berikut: ∠A1 = ∠A3 (kedua sudut sudut saling bertolak belakang) ∠A3 = ∠B3 + (sudut-sudut sama besar) ∠A1 + ∠A3 = ∠A3 + ∠B3 ∠A1 = ∠B3 Dengan cara yang sama dapat ditunjukan bahwa ∠A1 + ∠A3 6
  • Dari pembuktian dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut luar berseberangan samabesar. a b a b 2 1 2 1 3 4 34 m 3 4 3 4 m m 1 2 1 2 1 2 12 4 3 4 3 b a (a) (b) Perhatikan kedua gambar diatas.Kita putar gambar (a) sebesar 180o, kemudianhimpitkan kedua gambar tersebut maka akan diperoleh gambar (b). Dari gambar diatas dapat kita lihat dan terbukti bahwa: •) Sudut luar berseberangan sama besar dimana ∠A4 = ∠B2 dan ∠B3 = ∠A1 •) Sudut-sudut dalam Sepihak Perhatikan gambar di atas Jika k // l dan dipotong oleh m di titik A dan B maka ∠A4 + ∠B1 = 180o dan ∠A3 +∠B2 = 180o Secara matematis dapat dijelaskan sebagai berikut Karena ∠ A1 dan ∠B1 adalah sudut-sudut yang sehadap maka ∠A1 = ∠B1 Sehingga : ∠A4 + ∠B1 = ∠A4 + ∠A1 = 180o (sudut lurus) Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula bahwa ∠A3 + ∠B2 = 180o Dari pembuktian dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut dalam sepihak jumlahhnya o180 . D C = - - = A BPerhatikan gambar jajargenjang diatas. Kita ingat sifat-sifat jajar genjang yaitu: •) Sudut-sudut yang berhadapan sama besar •) Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar. 7
  • •) sudut yang berdekatan besarnya 180o.Dari sifat ketiga dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut dalam sepihak besarnya 180o. •) Sudut-sudut luar Sepihak Perhatikan gambar di atas Jika k // l dan dipotong oleh m di titik A dan B maka ∠A1 + ∠B4 = 180o dan ∠A2 +∠B3 = 180o Secara matematis dapat dijelaskan sebagai berikut Karena ∠ A1 dan ∠B1 adalah sudut-sudut yang sehadap maka ∠A1 = ∠B1 Sehingga : ∠A1 + ∠B4 = ∠B1 + ∠B4 = 180o (sudut lurus) Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula bahwa ∠A2 + ∠B3 = 180o Dari pembuktian dapat kita tarik kesimpulan bahwa sudut luar sepihak jumlahhnya o180 . a b a b 3 m 3 4 3 44 34 m 3 4 34 12 1 2 12 m 1 2 1 2 12 a’ b’ (n) (m) Perhatikan kedua gambar diatas.Kita geser gambar (n) sehingga garis a bertemu garisb, kemudian himpitkan kedua gambar tersebut maka akan diperoleh gambar (m).Dari gambar diatas dapat kita lihat dan terbukti bahwa: •) Sudut luar berseberangan = 180o ∠A4 + ∠B3 = 180o (sudut pelurus) ∠A1 + ∠B2 = 180o (sudut pelurus)Contoh Soal 8
  • a) Sebutkan hubungan antar sudut b) Jika ∠P1 = 45o, maka tentukan besar sudut lainnya dan jelaskan hubungan sudut tersebut dengan ∠P1Jawab a) •) Sudut sehadap: ∠O1 dengan ∠P1, ∠O2 dengan P2, ∠O3 dengan ∠P3 dan ∠O4 dengan ∠P4 •) Sudut dalam berseberangan: ∠P3 dengan ∠O1 dan ∠P4 dengan ∠O2 •) Sudut luar berseberangan: ∠P2 dengan ∠O4 dan ∠P1 dengan ∠O3 •) Sudut dalam sepihak: ∠P3 dengan ∠O2 dan ∠P4 dengan ∠O1 •) Sudut luar sepihak: ∠P2 dengan ∠O3 dan ∠P1 dengan ∠O4 b) ∠P2 = 135o (sedut pelurus) ∠P3 = 45o (sedut bertolak belakang) ∠P4 = 135o (sedut pelurus) ∠O1 = 45o (sedut sehadap) ∠O2 = 135o ( … ) ∠O3 = 45o (sedut luar berseberangan) ∠O4 = 135o (sedut luar sepihak) 4.Melukis Garis SejajarUntuk melukis garis-garis sejajar dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut:Dengan menggunakan mistar atau penggaris segitiga siku-siku. Untuk melukis garis melaluisebuah titik sejajar dengan garis yang diketahui. Diketahui : garis a dan titik P di luar a. Lukislah : garis b melalui titik P dan sejajar garis a. Langkah-langkahnya: a. Impitkan sisi miring penggaris segitiga siku-siku pada garis a. b. Letakan mistar rapat pada sisi salah satu siku-sikunya. c. Geserlah penggaris segitiga siku-siku, dengan sisi siku-siku tetap rapat dengan mistar sehingga sisi miring segitiga siku-siku melalui titik P. Maka dari proses melukis tersebut kita dapatkan 2 kesimpulan 1.Aksioma kesejajaran ,yaitu melalui sebuah titik tertentu diluar garis yang diketahui dapat dibuat tepat satu garis sejajar yang diketahui. 2.Torema ,jika suatu garis memotong salah satu garis sejajar,garis tersebut juga memotong garis yang kedua. 9