Dasar dasar aljabar linier
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Dasar dasar aljabar linier

on

  • 19,814 views

Ini hanya dasar-dasar dari materi aljabar linier

Ini hanya dasar-dasar dari materi aljabar linier

Statistics

Views

Total Views
19,814
Views on SlideShare
19,807
Embed Views
7

Actions

Likes
5
Downloads
810
Comments
2

2 Embeds 7

http://student.ut.ac.id 4
http://widiawati.hol.es 3

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Dasar dasar aljabar linier Document Transcript

  • 1. Dasar-Dasar-DasarAljabar Linier
  • 2. Dasar-dasar Aljabar Linier MATRIKS Pertemuan 1Kompetensi Dasar : Memahami Definisi MatriksIndikator : Mampu memahami definisi Matriks, mengetahui jenis-jenis Matriks, operasi-operasi Matriks, dan kaidah-kaidah Matriks.Isi :A. Pengertian Matriks Matriks adalah deretan elemen/objek/item. ܽଵଵ ܽଵଶ ‫ڮ‬ ܽଵ௡ Contoh: ‫ۍ‬ ‫ې‬ ‫ܽ ێ‬ଶଵ ܽଶଶ ‫ڮ‬ ܽଶ௡ ‫ۑ‬ A=‫ێ‬ ‫ڭ‬ ‫ۑ ڭ‬ ‫ێ‬ ‫ۑ‬ ‫ܽۏ‬௠ଵ ܽ௠ଶ ‫ڮ‬ ܽ௠௡ ‫ے‬ (a11 …. amn) disebut suku-suku matriks/anggota matriks. (am1 am2 ……. amn) untuk setiap m disebut baris ke m (a1n a2n ….. amn) untuk setiap n disebut kolom ke n Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut berukuran m x n Matriks A di atas dapat ditulis A = (aij)mxn atau A = [aij]mxnB. Jenis-jenis Matriks Matriks Bujur Sangkar Adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Contoh: A[aij]2x2 atau B[aij]3x3 Pada matriks bujur sangkar ada elemen lain yang disebut DIAGONAL UTAMA. Perhatikan contoh matriks di bawah:Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 1
  • 3. Dasar-dasar Aljabar Linier Matriks Diagonal Adalah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di luar diagonal utama = 0 1 0 0 2 0 0 (nol). Contoh: ൦0 2 0൪ atau ൦0 0 0൪ 0 0 3 0 0 5 Matriks Satuan Adalah Matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya = 1, biasanya dinyatakan dengan I (identity) 1 0 0 Contoh: 1 0 I3 = ൦0 1 0൪ I2 = ቈ ቉ 0 1 atau dan seterusnya. 0 0 1 Matriks mxn yang semua elemennya nol disebut Matriks Nol. 0 0 0 Contoh: 0 0 0 ൦0 0 0൪ Matrika 3x3 ቈ ቉ Matriks 2x3 0 0 0 atau 0 0 0 Matriks Simetris Adalah Matriks bujur sangkar [aij]nxn akan disebut matriks simetris, jika aij = aji.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 2
  • 4. Dasar-dasar Aljabar Linier 1 2 3 Contoh: ൦2 5 6൪ dimana a12 = 2 dan a21 = 2 atau a23 = 6 dan a32 = 6 3 6 4 Matriks Tranpose Tranpose dari suatu matrik A dinyatakan denga A atau AT dengan menukar letak baris dengan kolom. 1 4 Contoh: 1 2 3 ቈ ቉ matriks A2x3 menjadi ൦2 5൪ matriks A3x2 4 5 6 3 6C. Operasi pada Matriks Penjumlahan dan Pengurangan Dua buah matriks dapat dijumlahkan dan dikurangkan bila ukurannya sama, dengan cara menjumlahkan/mengurangkan elemen-elemen yang seletak. ܽଵଵ ܽଵଶ ܾଵଵ ܾଵଶ ܽଵଵ ൅ ܾଵଵ ܽଵଶ ൅ ܾଵଶ Contoh: ቈ ቉ + ቈ ቉= ቈ ቉ ܽଶଵ ܽଶଶ ܾଶଵ ܾଶଶ ܽଶଵ ൅ ܾଶଵ ܽଶଶ ൅ ܾଶଶ Begitu juga sebaliknya dengan operasi pengurangan. Perkalian Bilangan dengan Matriks Suatu bilangan dapat dikalikan dengan sebuah matriks dengan cara mengalikan bilangan tersebut dengan setiap elemen pada matriks. Contoh: k(aij)mxn = (kaij)mxn misalnya:Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 3
  • 5. Dasar-dasar Aljabar Linier ܽଵଵ ܽଵଶ ݇ܽଵଵ ݇ܽଵଶ kቈ ቉=ቈ ቉ ܽଶଵ ܽଶଶ ݇ܽଶଵ ݇ܽଶଶ Perkalian Matriks dengan Matriks Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B dalam bentuk AB, dapat dilakukan bila banyak kolom matriks A sama dengan baris matriks B. Misalnya: Amxn x Bmxn = Cmxn ܾଵଵ ܾଵଶ Contoh: ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ܿଵଵ ܿଵଶ ቈ ቉ x ൦ܾଶଵ ܾଶଶ ൪ = ቈ ቉ ܽଶଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ܿଶଵ ܿଶଶ ܾଷଵ ܾଷଶ dimana: c11 = a11·b11 + a12·b21 + a13·b31 c 12 = a 11·b12 + a 12·b22 + a 13·b32 c 21 = a 21·b11 + a 12·b21 + a 13·b31 c 22 = a 21·b12 + a 12·b22 + a 13·b32D. Kaidah-kaidah Matriks 1. A + B = B + A sifat komutatif 2. (A + B) + C = A + (B + C) sifat asosiatif 4. I · A = A 3. k(A + B) = kA + kB 5. 0 · A = 0; 0 + A = A; A + 0 = A 6. A · B ≠ B · A tidak komutatif 7. (A + B)’ = A’ + B’ 8. (A – B)’ = A’ – B’ 9. (A’)’ = ALalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 4
  • 6. Dasar-dasar Aljabar Linier 10. (AB)’ = B’ · A’ 11. (AB)C = A(BC) asosiatif perkalianEvaluasi :Diketahui matriks-matriks sebagai berikut: 1 2 3 2 3 4 3 5 4A = ൦2 3 1൪, B = ൦4 2 3൪, C = ൦4 4 5൪ 3 3 2 3 3 4 5 4 3Carilah!1. 3A + 2B – 4C2. 2AB – 3BC3. 5AB + 2BC4. [AB]5. BADaftar Pustaka :Howard Anton, Dasar-dasar Aljabar Linier, Penerbit Binarupa Aksara, jilid 1.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 5
  • 7. Dasar-dasar Aljabar Linier DETERMINAN Pertemuan 2Kompetensi Dasar : Memahami dan menentukan nilai Determinan MatriksIndikator : Diharapkan mampu: - Memahami definisi Determinan Matriks, dan dapat menentukan nilai determinan dari suatu matriks (Determinan tingkat 2 dan tingkat 3) - Memahami menentukan Minor Matriks dan Kofaktor Matriks - Menentukan nilai determinan dari suatu Matriks (Determinan tingkat 3 ke atas) menggunakan Uraian Laplace - Memahami sifat-sifat Determinan Matriks - Mengerjakan beberapa contoh soalIsi :A. Definisi Determinan Determinan matriks adalah nilai/harga yang diperoleh dari elemen-elemen matriks bujur sangkar dengan suatu operasi tertentu dari matriks nxn sehingga akan diperoleh Determinan Tingkat n. Contoh: Matriks A maka determinan matriks A ditulis │A│B. Menentukan Nilai Determinan suatu Matriks ܽଵଵ ܽଵଷ 1. Determinan tingkat 2 Matriks A = ቈ ቉ ܽଶଵ ܽଵଷ ܽଵଵ ܽଵଶ │A│ = ቈ ቉ = a11· a22 - a12· a21 ܽଶଵ ܽଶଶLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 6
  • 8. Dasar-dasar Aljabar Linier 3 4 Contoh: A=ቈ ቉, maka 2 5 3 4 ቚ ቚ 2 5 │A│ = = 3·5 – (4·2) = 15 - 8 = 7 ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ 2. Determinan tingkat 3 Matriks A = ൦ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ൪ ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ Ada dua cara untuk menentukan harga Determinan dari matriks A, yaitu: a. Cara Khusus Cara ini digunakan hanya untuk Determinan tingkat 3 saja. = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – (a13·a22·a31 + a11· a23· a32 + a12·a21·a33) 2 3 1 2 3 Contoh: 1. │A│ = อ1 2 3อ 1 2 2 2 4 2 2 = 2·2·4 + 3·3·2 + 1·1·2 – (1·2·2 + 2·3·2 + 3·1·4) = 16 + 18 + 2 – (4 + 12 + 12) = 36 – 28 = 8Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 7
  • 9. Dasar-dasar Aljabar Linier b. Cara Umum Digunakan untuk Determinan tingkat 3 dan seterusnya. Untuk mencari nilai Determinan tingkat 3 dan seterusnya, terlebuh dahulu kita harus mencari nilai Minor matriks dan Kofaktor (Cofaktor) matriks tersebut. MINOR Minor aij dari determinan tingkat n adalah determinan tingkat n-1 dengan elemen-elemen yang tidak tereliminasi jika baris dan kolom melalui elemen-elemen aij dieliminasi dinyatakan dengan Mij. ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ Contoh: 1. │A│ = ൦ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ൪ ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ M11 = a22·a33 - a23·a32, yang tereliminasi adalah baris ke 1 dan ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ kolom ke 1. 2. │A│ = ൦ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ൪ ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ M23 = a11·a32 - a12·a31, yang tereliminasi adalah baris ke 2 dan kolom ke 3. KOFAKTOR (COFAKTOR) Kofaktor dari elemen aij dari determinan tingkat n didefinisikan dengan: cij = (-1)i+j Mij • jika i + j = genap maka cij = Mij; • jika i + j = ganjil maka cij = -MijLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 8
  • 10. Dasar-dasar Aljabar Linier Contoh: െ3 4 1 Diketahui Matriks A = ተ 3 2 5ተ 2 4 െ6 Carilah : a. c12 b. c13 c. c23 Jawab: 3 5 c12 = - ቤ ቤ = - (-18 – 10) = 28 2 െ6 a. 3 2 c13 = ቤ ቤ = 12 – 4 = 8 2 4 b. െ3 4 ቤ ቤ = -(-12 – 8) = 20 2 4 c. c23 = Cara Umum biasa disebut juga dengan Uraian LAPLACE. Suatu Determinan dapat diuraikan menjadi jumlah perkalian elemen-elemen pada suatu baris/elemen-elemen pada sustu kolom maka akan menghasilkan harga yang sama. ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ Contoh: ተܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ተ ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ • Menurut baris (misalnya baris ke 1) a11·c11 + a12·c12 + a13·c13Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 9
  • 11. Dasar-dasar Aljabar Linier • Menurut kolom (misalnya kolom ke 2) a12·c12 + a22·c22 + a32·c32 2 1 3 Misalnya: mencari Determinan matriks A = ተ2 3 2ተ maka: 3 3 1 2 1 3 2 1 Jika dicari dengan cara khusus A = ተ2 3 2ተ 2 3 3 3 1 3 3 = 6 + 6 + 18 – (27 + 12 + 2) = 30 – 41 = -11 Jika dicari dengan cara umum a. Menurut baris, misalnya baris ke 1 = a11·c11 + a12·c12 + a13·c13 3 2 2 2 2 3 = 2· ฬ ฬ + 1· െ ቤ ቤ+3·ቤ ቤ 3 1 3 1 3 3 = 2(3 – 6) + (-(2 – 6) + 3(6 – 9) = -6 + 4 + (-9) = -11 b. Menurut kolom, misalnya kolom ke 1 = a11·c11 + a21·c21 + a31·c31 3 2 1 3 1 3 = 2·ቤ ቤ + 2· –ቤ ቤ + 3·ቤ ቤ 3 1 3 1 3 2 = 2(3 – 6) + 2·-(1-9) + 3·(2 – 9) = -6 + 16 + (-21) = -11Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 10
  • 12. Dasar-dasar Aljabar Linier 3. Determinan tingkat 4 • Cara Umum 2 3 1 4 Misalnya diketahui matriks: ተ3 2 5 1ተ ተ1 2 3 4ተ A= 2 3 1 5 a. Menurut baris ke 1 = a11·c11 + a12·c12 + a13·c13 + a14·c14 2 5 1 3 5 1 3 2 1 3 2 5 = 2·ተ2 3 4ተ + 3·െ ተ1 3 4ተ + 1·ተ1 2 4ተ + 4·െ ተ1 2 3ተ 3 1 5 2 1 5 2 3 5 2 3 1 = 2(30+60+2 – (9+8+50)) + 3(-(45+40+1 – (6+12+25))) + (30+16+3 – (4+36+10)) + 4(-(6+12+15 – (20+27+2)) = 2(92-67) + 3(-(86-43)) + (49-50) + 4(-(33-49)) = 2(25) + 3(-43) + (-1) + 4(16) = 50 + (-129) + (-1) + 64 = -16 b. Menurut kolom ke 2 = a12·c12 + a22·c22 + a32·c32 + a42·c42 3 5 1 2 1 4 2 1 4 2 1 4 = 3·െ ተ1 3 4ተ + 2·ተ1 3 4ተ + 2·െ ተ3 5 1ተ + 3·ተ3 5 1ተ 2 1 5 2 1 5 2 1 5 1 3 4 = 3(-(45+40+1 – (6+12+25))) + 2(30+8+4 – (24+8+5)) + 2(-(50+2+12 – (40+2+15))) + 3(40+1+36 – (20+6+12)) = 3(-(86-43)) + 2(42-37) + 2(-(64-57) + 3(77-38) = 3(-(43)) + 2(5) + 2(-(7)) + 3(39) = (-129) + 10 + (-14) + 117 = -16Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 11
  • 13. Dasar-dasar Aljabar LinierC. Sifat-sifat Determinan 1. │A│ = │A’│ 2. Jika pada suatu determinan, elemen pada suatu baris atau kolom sama dengan 0 2 0 4 (nol) maka harga determinannya sama dengan 0 (nol). Contoh: ተ1 0 4ተ = 0 2 0 5 3. Jika tiap elemen pada suatu baris atau kolom dikalikan dengan skalar k, maka ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ݇ܽଵଵ ݇ܽଵଶ ݇ܽଵଷ harga determinan k dikali harga determinan semula. kተܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ተ = ተ ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ተ ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ nilai skalar dikalikan dengan salah satu baris atau kolom. 4. Jika 2 baris atau 2 kolom ditukar tempatnya, maka harga determinan berubah 1 2 3 tanda, misalnya: = ተ1 1 2ተ 2 3 1 = 1 + 8 + 9 – (6 + 6 + 2) = 18 – 14 =4 1 1 2 Baris 1 dengan baris 2 ditukar tempatnya, maka = ተ1 2 3ተ 2 3 1 = 2 + 6 + 6 – (8 + 9 + 1) = 14 – 18 = -4 terbukti bahwa harga determinan berubah tanda.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 12
  • 14. Dasar-dasar Aljabar Linier 5. Pada suatu determinan, jika 2 baris atau 2 kolom elemen-elemennya persis 1 2 3 sama, maka determinan tersebut sama dengan 0 (nol). Contoh: = ተ1 2 3ተ 2 3 5 = 10 + 12 + 9 – (12 + 9 + 10) = 21 – 21 =0 6. Suatu determinan nilainya tidak berubah bila kelipatan elemen-elemen pada suatu baris atau kolom ditambahkan pada elemen-elemen baris atau kolom lain. 7. Determinan dari 2 matriks │AB│ = │A│ · │B│ 8. Nilai determinan dari matriks diagonal sama dengan hasil kali elemen-elemen 2 0 0 pada diagonal tersebut, misalnya: A = ൦0 3 0൪ 0 0 4 2 0 0 │A│ = ተ0 3 0ተ => kalikan elemen-elemen diagonalnya 0 0 4 │A│ = 2 · 3 · 4 │A│ = 24 Contoh sifat-sifat determinan 2 3 1 0 െ1 െ5 Sifat determinan ke 6 1. ተ1 2 3ተ = ተ1 2 3ተ 3 3 2 0 െ3 െ7 Baris ke 2 dikalikan -2 kemudian ditambahkan dengan baris ke 1. Baris ke 2 dikalikan -3 kemudian ditambahkan dengan baris ke 3. 2 3 െ1 െ5 െ1 െ5 Mencari determinan berdasarkan kolom ke 1 ቤ + 1·െ ቤ ቤ + 0·ቤ ቤ െ3 െ7 െ3 െ7 2 3 = 0·ቤLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 13
  • 15. Dasar-dasar Aljabar Linier = 0 + (-(7-15)) + 0 1 2 1 3 0 െ1 െ1 2 =8 ተ2 1 2 4ተ ተ0 െ5 െ2 2ተ ተ1 3 2 1ተ ተ1 3 2 1ተ 2. = െ3 1 2 3 0 10 8 6 Baris ke 3 dikalikan -1 kemudian ditambahkan dengan baris ke 1 Baris ke 3 dikalikan -2 kemudian ditambahkan dengan baris ke 2 Baris ke 3 dikalikan 3 kemudian ditambahkan dengan baris ke 3 െ1 െ1 2 Secara singkatnya dihasilkan = 1 ·ተെ5 െ2 2ተ 10 8 6 Baris ke 1 dikalikan -5 kemudian ditambahkan dengan baris ke 2 െ1 െ1 2 Baris ke 1 dikalikan 10 kemudian ditambahkan dengan baris ke 3 =ተ 0 3 െ8ተ 0 െ2 26 3 െ8 Secara singkatnya dihasilkan ቤ െ2 26 = -1·ቤ = -1(78 – 16) = -62Evaluasi :Diketahui matriks-matriks sebagai berikut: 1 2 2 3 1 2 3 1 2 4 ‫ۍ‬ ‫ې‬ ‫2ێ‬ 3 4 1‫ۑ‬A = ൦4 3 2൪, B = ൦3 2 1൪ , C = ‫ێ‬ ‫ۑ‬ 2 3 4 3 4 2 ‫3ێ‬ 2 1 2‫ۑ‬ ‫3ۏ‬ 1 1 2‫ے‬Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 14
  • 16. Dasar-dasar Aljabar LinierCarilah:1. │A│2. │B│3. │C│4. │A│5. │B│6. │AB│dengan menggunakan cara khusus dan uraian LaplaceDaftar Pustaka :Howard Anton, Dasar-dasar Aljabar Linier, Penerbit Binarupa Aksara, Jilid 1.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 15
  • 17. Dasar-dasar Aljabar Linier INVERS Pertemuan 3Kompetensi Dasar : Menentukan Invers MatriksIndikator : Mampu menjelaskan definisi dari Invers Matriks, menyebutkan beberapa sifat dari Invers Matriks serta mampu mengerjakan beberapa contoh soal.Isi :Jika untuk matriks A dan B berlaku AB = BA = I, dimana I adalah matriks satuan. Yaitumatriks dengan elemen pada diagonal utamanya sama dengan 1 dan elemen dikuardiagonal utamanya bernilai 0. Maka matriks B disebut INVERS matriks A, ditulis B =A-1, juga A = B-1 jadi dapat ditulis AA-1 = A-1A = I.Salah satu cara menentukan A-1 adalah dengan rumus: ൫‫ܥ‬௜௝ ൯ ଵ ଵሾ‫ିܣ‬ଵ ሿ = |஺|Dimana │A│= determinan matriks A ൫‫ܥ‬௜௝ ൯ = tranpose dari matrik ൫‫ܥ‬௜௝ ൯ ଵJika │A│ = 0, maka matriks A tidak mempunyai Invers.Matriks singuler sama dengan matriks yang determinannya = 0Matriks non singuler sama dengan matriks yang determinannya ≠ 0Bentuk ൫‫ܥ‬௜௝ ൯ disebut Adjoint A.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 16
  • 18. Dasar-dasar Aljabar LinierContoh:Tentukan invers dari matriks berikut: 1 െ3 2A = ൦െ3 3 െ1൪ 2 െ1 0Jawab:• │A│ = 0 + 6 + 6 – (12+ 1 + 0) = -1 3 െ1 ሺ‫ܥ‬ଵଵ ሻ = ቤ ቤ = 0 – 1 = -1 െ1 0• 3 െ1 ሺ‫ܥ‬ଵଶ ሻ = െ ቤ ቤ = -(0 – (-2)) = -2 2 0• െ3 3 ሺ‫ܥ‬ଵଷ ሻ = ቤ ቤ = 3 – 6 = -3 2 െ1• െ3 2 ሺ‫ܥ‬ଶଵ ሻ = െ ቤ ቤ = -(0 – (-2)) = -2 െ1 0• 1 2 ሺ‫ܥ‬ଶଶ ሻ = ቤ ቤ = 0 – 4 = -4 2 0• 1 െ3 ሺ‫ܥ‬ଶଷ ሻ = െ ቤ ቤ = -(-1 – (-6)) = -5 2 െ1• െ3 2 ሺ‫ܥ‬ଷଵ ሻ = ቤ ቤ = 3 – 6 = -3 3 െ1• 1 2 ሺ‫ܥ‬ଷଶ ሻ = െ ቤ ቤ = -(-1 – (-6)) = -5 െ3 െ1• 1 െ3 ሺ‫ܥ‬ଷଷ ሻ = ቤ ቤ = 3 – 9 = -6 െ3 3•Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 17
  • 19. Dasar-dasar Aljabar Linier െ1 െ2 െ3 െ1 െ2 െ3Jadi ൣ‫ܥ‬௜௝ ൧ = ൦െ2 െ4 െ5൪, maka ൣ‫ܥ‬௜௝ ൧ = ൦െ2 െ4 ଵ െ5൪ െ3 െ5 െ6 െ3 െ5 െ6Sehingga:ሾ‫ିܣ‬ଵ ሿ = ൫‫ܥ‬௜௝ ൯ ଵ ଵ |஺| െ1 െ2 െ3 ଵ ൦െ2 െ4 െ5൪ ିଵ = െ3 െ5 െ6 1 2 3 = ൦2 4 5൪ 3 5 6Pemeriksaan AA-1 = A-1A = I AA-1 = I 1 െ3 2 1 2 3= ൦െ3 3 െ1൪ ൦2 4 5൪ 2 െ1 0 3 5 6 1 ൅ ሺെ6ሻ ൅ 6 2 ൅ ሺെ12ሻ ൅ 10 3 ൅ ሺെ15ሻ ൅ 12= ൦െ3 ൅ 6 ൅ ሺെ3ሻ െ6 ൅ 12 ൅ ሺെ5ሻ െ9 ൅ 15 ൅ ሺെ6ሻ൪ 2 ൅ ሺെ2ሻ ൅ 0 4 ൅ ሺെ4ሻ ൅ 0 6 ൅ ሺെ5ሻ ൅ 0 1 0 0= ൦0 1 0൪, jadi keimpulannya adalah terbukti 0 0 1 A-1A = I 1 2 3 1 െ3 2= ൦2 4 5൪ ൦െ3 3 െ1൪ 3 5 6 2 െ1 0Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 18
  • 20. Dasar-dasar Aljabar Linier 1 ൅ ሺെ6ሻ ൅ 6 െ3 ൅ 6 ൅ ሺെ3ሻ 2 ൅ ሺെ2ሻ ൅ 0= ൦2 ൅ ሺെ12ሻ ൅ 10 െ6 ൅ 12 ൅ ሺെ5ሻ 4 ൅ ሺെ4ሻ ൅ 0൪ 3 ൅ ሺെ15ሻ ൅ 12 െ9 ൅ 15 ൅ ሺെ6ሻ 6 ൅ ሺെ5ሻ ൅ 0 1 0 0= ൦0 1 0൪, kesimpulannya adalah terbukti 0 0 1SIFAT-SIFAT INVERS MATRIIKS ሾ‫ିܣ‬ଵ ሿିଵ = A ଵ1. |‫ିܣ‬ଵ | = |஺|2. ሾ‫ܣ‬ᇱ ሿିଵ = ሾ‫ିܣ‬ଵ ሿᇱ ሾ‫ܤܣ‬ሿିଵ = ‫ି ܤ‬ଵ · ‫ିܣ‬ଵ3.4.Evaluasi : 2 5 5 Diketahui matriks A = ൥െ1 െ1 0൩, tentukan A-1 jika ada! 2 4 31. 1 6 4 Diketahui matriks A = ൥ 2 4 െ1൩, tentukan A jika ada! െ1 2 5 -12.Daftar Pustaka :Howard Anton, Dasar-dasar Aljabar Linier, Penerbit Binarupa Aksara, Jilid 1.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 19
  • 21. Dasar-dasar Aljabar Linier SISTEM PERSAMAAN LINIER Pertemuan4Kompetensi Dasar : Memahami Sistem Persamaan Linier (SPL)Indikator : Diharapkan mampu: - Memahami definisi SPL dan mengetahui pemecahan SPL menggunakan determinan. - Memahami pemecahan SPL dengan menggunakan Matriks. - Memahami pemecahan SPL yang mempunyai banyak pemecahan (Himpunan Pemecahan). - Menyelesaikan SPL yang bersifat homogen.Isi :A. Pendahuluan Sistem Persamaan Linier adalah himpunan berhingga dari persamaan linier. a. ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ 2 Contoh: 2‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬ൌ 6 b. ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 4 ‫ݔ‬൅‫ ݕ‬ൌ0 Namun tidak semua persamaan linier memiliki penyelesaian (solusi), sistem persamaan linier yang memiliki penyelesaian memiliki dua kemungkinan yaitu, penyelesaian tunggal dan banyak penyelesaian. Bentuk Umum Persamaan Linier dalan n peubah (variabel) x1, x2, ..., xn berbentuk: ܽଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܽ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾ Dimana : 1. ܽଵ , ܽଶ , … . ܽ௡ ൌ konstantaLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 20
  • 22. Dasar-dasar Aljabar Linier 2. Tidak ada perkalian, akar atau bentuk sin, cos pada peubah Harga ‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݏ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ ൌ ‫ݏ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௡ ൌ ‫ݏ‬௡ , yang memenuhi persamaan di atas disebut pemecahan atau penyelesaian atau solusi atau jawab dari persamaan di Himpunan dari ‫ݏ‬ଵ , ‫ݏ‬ଶ , … , ‫ݏ‬௡ disebut himpunan penyelesaian. atas. Kumpulan persamaan-persamaan linier seperti di atas membentuk Sistem Persamaan Linier (SPL) Sistem Persamaan Linier dengan n peubah dan banyaknya m buah berbentuk: ܽଵଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଵଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଵଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽଵ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾଵ ܽଶଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଶଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଶଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽଶ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾଶ ‫ڭ‬ ܽ௠ଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽ௠ଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽ௠ଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽ௠௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾ௠ Harga-harga ‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݏ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ ൌ ‫ݏ‬ଶ , … , ‫ݔ‬௡ ൌ ‫ݏ‬௡ yang serempak memenuhi m persamaan-persamaan di atas disebut pemecahan SPL itu. Sistem Persamaan Linier yang mempunyai pemecahan disebut konsisten dan yang tidak mempunyai pemecahaan disebut inkonsisten (tidak konsisten) ܽଵ ‫ ݔ‬൅ ܾଵ ‫ ݕ‬ൌ ܿଵ dengan grafik ݈ଵ Kemungkinan-kemungkinan pemecahan dari suatu SPL, contoh: ܽଶ ‫ ݔ‬൅ ܾଶ ‫ ݕ‬ൌ ܿଶ dengan grafik ݈ଶ Kemungkinan-kemungkinan pemecahan: 1. Jika ݈ଵ sejajar ݈ଶ , maka tidak ada pemecahan dari SPL diatas 2. Jika ݈ଵ memotong ݈ଶ , maka ada 1 pemecahan dari SPL di atas 3. Jika ݈ଵ berimpit ݈ଶ , maka ada tidak terhingga banyaknya pemecahan.B. Pemecahan Sistem Persamaan Linier dengan Menggunakan Determinan ത Pemecahan SPL dengan menggunakan Determinan biasanya disebut dengan Metode Crammer. Suatu SPL yang berbentuk ‫ݔܣ‬ҧ ൌ ܾ dengan A adalah matrik bujur sangkar dapat dikerjakan dengan Metode Crammer jika hasil perhitungan menunjukkan bahwa det(A) ≠ 0. Penyelesaian yang didapatkan dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 21
  • 23. Dasar-dasar Aljabar Linier ത Diketahui suatu sistem persamaan linier berbentuk ‫ݔܣ‬ҧ ൌ ܾ dengan A adalah ത matriks bujur sangkar berukuran nxn dan det(A) ≠ 0 sedangkan nilai ‫ݔ‬ҧ dan ܾ adalah: ܽଵଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଵଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଵଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽଵ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾଵ ܽଶଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଶଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଶଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽଶ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾଶ ‫ڭ‬ ܽ௡ଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽ௡ଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽ௡ଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽ௡௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾ௡ ܽଵଵ ܽଵଶ … ܽଵ௡ Perhatikan determinan-determinan berikut: ܽଶଵ ܽଶଶ … ܽଶ௡ D=ተ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ ڭ‬ተ ܽ௡ଵ ܽ௡ଶ … ܽ௡௡ ܾଵଵ ܽଵଶ … ܽଵ௡ ܾଶଵ ܽଶଶ … ܽଶ௡ ‫ܦ‬ଵ = ተ ተ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ܾ௡ ܽ௡ଶ … ܽ௡௡ ܽଵଵ ܾଵ … ܽଵ௡ ܽ ܾଶ … ܽଶ௡ ‫ܦ‬ଶ = ተ ଶଵ ተ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ܽ௡ଵ ܾ௡ … ܽ௡௡ ܽଵଵ ܽଵଶ … ܽଵ௡ ܾଵ Dan seterusnya sampai dengan ܽଶଵ ܽଶଶ … ܽଶ௡ ܾଶ ‫ܦ‬௡ = ተ ተ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ܽ௡ଵ ܽ௡ଶ … ܽ௡௡ ܾ௡ Maka: ‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൌ ஽భ ஽మ ஽ ஽ ‫ݔ‬ଷ ൌ ‫ݔ‬௡ ൌ ஽య ஽೙ ஽ ஽ Contoh: Diketahui SPL sebagai berikut: 3‫ݔ‬ଵ ൅ 2‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ ൌ െ4 ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ 2‫ݔ‬ଷ ൌ െ3 2‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൌ 3 Carilah nilai-nilai ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ dengan menggunakan metode Crammer!Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 22
  • 24. Dasar-dasar Aljabar Linier 3 2 െ1 Jawab: D = อ1 െ1 െ2อ = -12 + 2 = -10 2 1 1 െ4 2 െ1 D1 = อെ3 െ1 െ2อ = -5 – 5 = -10 3 1 1 3 െ4 െ1 D2 = อ1 െ3 െ2อ = 4 + 16 = 20 2 3 1 3 2 െ4 D3 = อ1 െ1 െ3อ = -25 – 5 = -30 2 1 3 Maka: ஽భ ିଵ଴ ‫ݔ‬ଵ = ஽ ିଵ଴ = =1 ஽మ ଶ଴ ‫ݔ‬ଶ = ஽ ିଵ଴ = = -2 ஽య ିଷ଴ ‫ݔ‬ଷ = ஽ ିଵ଴ = =3C. Pemecahan Sistem Persamaan Linier dengan Menggunakan Matriks Ketika dihadapi dengan masalah yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linier terutama yang menggunakan banyak peubah, maka hal pertama yang dapat digunakan untuk menyederhanakan permasalahan adalah dengan mengubah SPL yang ada ke dalam bentuk matriks. Suatu SPL biasanya juga tidak didapatkan secara langsung tetapi melalui penyederhanaan dari permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Setelah diubah ke bentuk matriks, maka matriks tersebut diubah ke bentuk matriks dalam bentuk matriks eselon baris tereduksi untuk mendapatkan penyelesaian dari SPL. Prosedur untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi biasa disebut dengan eliminasi Gauss-Jordan. Pada proses eliminasi tersebut operasi-operasi yang digunakan disebut sebagai operasi baris elementer.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 23
  • 25. Dasar-dasar Aljabar Linier Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan, yaitu: 1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tidak sama dengan nol; 2. Mempertukarkan dua baris; 3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya. Dengan menggunakan operasi baris elementer, maka matriks eselon baris tereduksi yang didapatkan akan ekuivalen dengan matriks awalnya sehingga penyelesaian untuk matriks eselon baris tereduksi juga merupakan penyelesaian untuk matriks awalnya. Matriks awal yang dimaksud adalah matriks yang diperbesar. Untuk melihat secara lebih mudah definisi dari matriks diperbesar akan ditunjukkan berikut ini: Diketahui SPL dengan m peubah peramaan linier dan n peubah. ܽଵଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଵଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଵଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽଵ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾଵ ܽଶଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଶଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଶଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽଶ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾଶ ‫ڭ‬ ܽ௠ଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽ௠ଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽ௠ଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽ௠௡ ‫ݔ‬௡ ൌ ܾ௠ ܽଵଵ ܽଵଶ ‫ܽ ڮ‬ଵ௡ ‫ݔ‬ଵ ܾଵ SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk matris AX = B dengan ܽଶଵ ܽଶଶ ‫ܽ ڮ‬ଶ௡ ‫ݔ‬ଶ ܾଶ A=൦ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ ڭ‬൪, X = ൦ ‫ ڭ‬൪, B = ൦ ‫ ڭ‬൪ ܽ௠ଵ ܽ௠ଶ ‫ܽ ڮ‬௠௡ ‫ݔ‬௠ ܾ௠ Matriks yang memiliki ukuran nx1 atau 1xn biasa disebut vektor. Penulisan vektor sedikit berbeda dengan penulisan matriks, yaitu menggunakan huruf kecil dengan ത ത cetak tebal atau digaris atasnya. Jadi matriks X dan B di atas biasa dituliskan sebagai x dan b atau ‫ݔ‬ҧ dan ܾ sehingga SPL dapat ditulis dengan A‫ݔ‬ҧ = ܾ. Pada SPL ത yang berbentuk seperti ini, matriks A juga biasa disebut sebagai matriks konstanta. Untuk penyelesaian SPL di atas maka dibuat matriks diperbesar dari A dan ܾ yang ത elemen-elemennya merupakan gabungan elemen matriks A dan vektor ܾ yang ത dinotasikan ൣ‫ܾ¦ܣ‬൧, yaitu:Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 24
  • 26. Dasar-dasar Aljabar Linier ܽଵଵ ܽଵଶ ‫ܽ ڮ‬ଵ௡ ܾଵ ത ܽଶଵ ܽଶଶ ‫ܽ ڮ‬ଶ௡ ܾଶ ൣ‫ܾ¦ܣ‬൧ = ൦ ൪ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ‫ڭ‬ ܽ௠ଵ ܽ௠ଶ ‫ܽ ڮ‬௠௡ ܾ௠ Untuk menyelesaikan SPL tersebut dilakukan eliminasi Gauss-Jordan seperti ditunjukkan dalam contoh berikut: a. x + 2y + 3z = 1 2x + 5y + 3z = 6 x + 8z = -6 1 2 3 1 carilah nilai x, y dan z! ത matriks diperbesar ൣ‫ܾ¦ܣ‬൧ = ൥2 5 3 6൩ 1 0 8 െ6 ത operasi baris elementer pada ൣ‫ܾ¦ܣ‬൧ menghasilkan: 1 2 3 1 = ൥2 5 3 6 ൩ ~ܾ2 െ 2ܾ1 1 0 8 െ6 ܾ3 െ ܾ1 1 2 3 1 ܾ1 െ 2ܾ2 = ൥0 1 െ3 4 ൩ ~ 0 െ2 5 െ7 ܾ3 ൅ 2ܾ1 1 0 9 െ7 ܾ1 ൅ 3ܾ3 = ൥0 1 െ3 4 ൩ ~ܾ2 െ 3ܾ3 0 0 െ1 1 1 0 0 2 = ൥0 1 0 1൩ 0 0 1 െ1 Maka pemecahan SPL di atas adalah: x = 2, y = 1, z = -1. Keterangan: Penulisan b1, b2 dan sebagainya pada proses di atas sifatnya tidak mutlak dan hanya digunakan sebagai alat bantu dalam proses operasi baris elementer. Dalam perhitungan selanjutnya penulisan ini mungkin tidak perlu dilakukan.D. Sistem Persamaan Linier yang Mempunyai Banyak Pemecahan (Himpunan Pemecahan) Berikut ini adalah contoh soal untuk penyelesaian SPL dengan bentuk banyak pemecahan (solusi). Untuk lebih jelasnya seperti apa bentuk SPL dengan banyak solusi, perhatikan contoh soal berikut ini:Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 25
  • 27. Dasar-dasar Aljabar Linier • x + 3y – 2z = 2 3x – y – 4z = 0 -2x + 4y + 2z = 2 carilah nilai x1, x2 dan x3! 1 3 െ2 2 matriks diperbesar: = ൥ 3 െ1 െ4 0൩ െ2 4 2 2 1 3 െ2 2 = ൥0 െ10 2 െ6൩, baris kedua dikali - ଵ ଵ଴ 0 10 െ2 6 1 3 െ2 2 = ቎0 1 െ ହ ହ ቏ ଵ ଷ 0 10 െ2 6 1 0 െହ ଻ ଵ ହ = ൦0 1 െହ ହ ଵ ଷ൪ 0 0 0 0 Maka SPL yang bersesuaian x- ‫ݖ‬ൌ ଻ ଵ ହ ହ y- ‫ݖ‬ൌ ଵ ଷ ହ ହ jadi, xൌ ൅ ‫ݖ‬ ଵ ଻ ହ ହ yൌ ൅ ‫ݖ‬ ଷ ଵ ହ ହ karena baris ke 3 adalah nol dan kolom yang tidak memiliki satu utama adalah kolom ke 3 maka dapat diambil nilai z sembarang misalkan z = s, sehingga xൌ ൅ ‫ݏ‬ ଵ ଻ ହ ହ yൌ ൅ ‫ݏ‬ ଷ ଵ ହ ହ maka himpunan pemecahan: ሼ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሽ dengan x ൌ ൅ ‫ݏ‬ ଵ ଻ ହ ହLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 26
  • 28. Dasar-dasar Aljabar Linier yൌ ൅ ‫ݏ‬ ଷ ଵ ହ ହ zൌs atau, ൅ ‫ݏ‬ ଵ ଻ ‫ݔ‬ ହ ହ ቈ‫ ݕ‬቉ ൌ ൦ଷ ൅ ଵ ‫ ݏ‬൪ ‫ݖ‬ ହ ହ ‫ݏ‬E. Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu SPL dikatakan homogen jika setiap suku konstan sama dengan nol. ܽଵଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଵଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଵଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽଵ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ 0 ܽଶଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽଶଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽଶଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽଶ௡ ‫ݔ‬௡ ൌ 0 ‫ڭ‬ ܽ௠ଵ ‫ݔ‬ଵ ൅ ܽ௠ଶ ‫ݔ‬ଶ ൅ ܽ௠ଷ ‫ݔ‬ଷ ൅ … ൅ ܽ௠௡ ‫ݔ‬௡ ൌ 0 • Jika x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0 disebut pemecahan trivial • Jika SPL homogen mempunyai pemecahan ≠ 1 disebut pemecahan non trivial (banyak pemecahan) • Jika banyaknya bilangan yang tidak diketahui lebih dari jumlah persamaan, maka SPL homogen tersebut selain mempunyai jawaban trivial pasti mempunyai jawaban non trivial. Contoh: Tentukan pemecahan SPL berikut: x + 2y = 0 -x – 2y + z = 0 2x + 3y + z = 0 1 2 0 0 Jawab: = ൥െ1 െ2 1 0൩ 2 3 1 0Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 27
  • 29. Dasar-dasar Aljabar Linier 1 2 0 0 = ൥0 0 1 0൩ 0 െ1 1 0 1 0 0 0 = ൥0 1 0 0൩ 0 െ1 1 0 1 0 0 0 = ൥0 1 0 0൩ 0 0 1 0 ‫ݔ‬ 0 Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matriks memiliki satu utama sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu ቈ‫ݕ‬቉ = ൥0൩ ‫ݖ‬ 0Evaluasi :Selesaikan Soal-soal berikut:1. Diketahui SPL sebagai berikut: 2x + 5y + 5z = 1 -1 + -1 = 1 2x + 4y + 3z = -1 Carilah pemecahan SPL di atas dengan menggunakan metode Crammer!2. Diketahui SPL sebagai berikut: x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 Carilah pemecahan SPL di atas dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan3. Diketahui SPL sebagai berikut: x + 2z = 1 -x + y – z = 0 2x + y + 5z = 3 Carilah pemecahan dari SPL di atas, apa kesimpulannya?Daftar Pustaka :Howard Anton, Dasar-dasar Aljabar Linier, Penerbit Binarupa Aksara, Jilid 1.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 28
  • 30. Dasar-dasar Aljabar Linier VEKTOR dan RUANG VEKTOR Pertemuan 5Kompetensi Dasar : Memahami Vektor dan Ruang VektorIndikator : Diharapkan mampu: - memahami definisi vektor dan beberapa operasi-operasi pada Vektor - memahami sistem koordinat pada Vektor - memahami persamaan garis lurus pada Vektor dan syarat- syarat persamaan garis pada Vektor - memahami persamaan bidang datar pada Vektor dan syarat- syarat persamaan garis pada Vektor - memahami jenis-jenis ruang Vektor - memahami Kombinasi Linier Vektor, Basis dan Dimensi VektorIsi :A. VEKTOR Pendahuluan Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya dan pergeseran merupakan contoh-contoh dari vektor karena semuanya memiliki besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif. Vektor dikatakan berada di ruang-n (Rn) jika vektor tersebut mengandung n komponen. Jika vektor berada di R2 maka dikatakan vektor berada di bidang, sedangkan jika vektor berada di R3 maka dikatakan berada di ruang. Secara geometris, di bidang dan di ruang, vektor merupakan segmen garis berarah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor biasa dinotasikan dengan huruf kecil tebal atau huruf kecil dengan ruas garis.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 29
  • 31. Dasar-dasar Aljabar Linier D C A B ሬሬሬሬሬԦ Gambar 1.1 Bentuk Vektor Dari gambar di atas terlihat beberapa segmen garis berarah (vektor) seperti‫,ܤܣ‬ ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ ‫ ܥܣ‬dan ‫ ܦܣ‬dengan A disebut sebagai titik awal. Sedangkan titik B, C dan D disebut titik akhir. Vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang memiliki titik awal O (untuk vektor di bidang, titik O adalah (0,0)). Operasi-operasi pada Vektor • Misalkan ‫ ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ adalah vektor-vektor yang berada di ruang yang sama, ത Operasi Penjumlahan maka vektor (‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ҧ ) didefinisikan sebagai vektor yang titik awalnya = ത titik awal ‫ ݑ‬dan titik akhirnya = titik akhir ‫ݒ‬ҧ . ത ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ Contoh: Perhatikan gambar 1.1. Misalkan ‫ ܤܣ = ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ = ‫ , ܥܤ‬jika vektor ‫ݓ‬ ത ഥ didefinisikan sebagai ‫ݒ + ݑ = ݓ‬ҧ , maka ‫ ݓ‬akan memiliki titik awal = A dan ഥ ത ഥ ሬሬሬሬሬԦ titik akhir = C, jadi ‫ ݓ‬merupakan segmen garis berarah ‫ܥܣ‬ • Perkalian vektor dengan skalar Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang = 0. Misalkan ‫ ݑ‬vektor tak nol dan k adalah skalar, k ‫ א‬R. Perkalian vektor ‫ݑ‬ ത ത dengan skalar k, k‫ ݑ‬didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya ԡ‫ ݑ‬kali ത തԡ panjang ‫ ݑ‬dengan arah: ത Jika k > 0 ՜ searah dengan ‫ݑ‬ ത Jika k < 0 ՜ berlawanan arah dengan ‫ݑ‬ തLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 30
  • 32. Dasar-dasar Aljabar Linier Contoh: 2u u -2u • Perhitungan vektor ത Diketahui a dan b vektor-vektor di ruang yang komponen-komponennya adalah ܽ = (ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ) dan ܾ = (ܾଵ , ܾଶ , ܾଷ ) maka: ത ത ത ܽ + ܾ = (ܽଵ ൅ ܾଵ , ܽଶ ൅ ܾଶ , ܽଷ ൅ ܾଷ) ത ത ܽ - ܾ = (ܽଵ െ ܾଵ , ܽଶ െ ܾଶ , ܽଷ െ ܾଷ) ݇. ܽ = (݇ܽଵ , ݇ܽଶ , ݇ܽଷ ) ത Jika ܿҧ = AB kemudian titik koordinat A = (ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ) dan B = (ܾଵ , ܾଶ , ܾଷ ), ܿҧ = (ܾଵ െ ܽଵ , ܾଶ െ ܽଶ , ܾଷ െ ܽଷ ) maka: Hasil kali titik, panjang vektor dan jarak antara dua vektor • ത Hasil kali titik dua vektor jika diketahui komponennya Diketahui ܽ = (ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ) dan ܾ = (ܾଵ , ܾଶ , ܾଷ ), hasil kali titik antara vektor ത ത ܽ dan ܾ didefinisikan sebagai: ത ത ത ܽ . ܾ = (ܽଵ . ܾଵ ) + (ܽଶ . ܾଶ ) + (ܽଷ . ܾଷ ) • Hasil kali titik dua vektor jika diketahui panjang vektor dan sudut ത antara dua vektor Diketahui ܽ dan ܾ adalah dua buah vektor yang memiliki panjang berturut- ത turut ԡܽԡ dan ԡܾԡ sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektorLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 31
  • 33. Dasar-dasar Aljabar Linier adalah ߶, sudut ߶ ini terbentuk dengan cara menggambarkan kedua vektor ത pada titik awal yang sama. Hasil kali titik antara vektor ܽ dan ܾ didefinisikan sebagai: ത ത ത ܽ . ܾ = ԡܽԡԡܾԡ cos ߶, ߶ ‫ א‬ሾ0, ߨሿ Dengan mengetahui besarnya ߶, akan diketahui apakah hasil kali titik akan Jika hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar. ത ത bernilai positif atau negatif. ܽ . ܾ > 0 ՞ ߶ lancip, 0 ൑ ߶ < 900 ത ത ത ܽ . ܾ = 0 ՞ ߶ 900, ܽ dan ܾ saling tegak lurus ത ത ത ܽ . ܾ < 0 ՞ ߶ tumpul, 900 < ߶ ൑ 1800 ത ത Contoh: Diketahui ܽ = (1, -3) dan ܾ = (3k, -1), tentukan nilai k agar ܽ dan ܾ saling ത ത tegak lurus! ത ത ത Jawab Agar ܽ dan ܾ saling tegak lurus, maka haruslah ܽ . ܾ = 0. ത ത ത ܽ . ܾ = 3k + 3 = 0 ՜ k = -1 • Panjang (norm) vektor dan jarak antara dua vektor Panjang vektor Dengan menggunakan operasi hasil kali titik jika diketahui komponen ܽ = (ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ) didapatkan bahwa ത ܽ . ܽ = ܽଵ ଶ ൅ ܽଶ ଶ ൅ ܽଷ ଶ ത ത ….. (1) ܽ . ܽ = ԡܽԡԡܽԡ cos 0 …... ത ത (2), dalam hal ini sudut antara ܽ dan ܽ ത ത Dari definisi hasil kali titik lainnya, didapatkan bahwa pastilah bernilai 0 karena keduanya saling berhimpit. Dari persamaan (1) dan (2), didapatkan persamaan berikut: ԡܽ ଶ = ܽ . ܽ ՜ ԡܽԡ = ሺܽ ܽ మ = ඥܽଵ ଶ ൅ ܽଶ ଶ ൅ ܽଷ ଶ തԡ ത ത ത. തሻ భ ത Jarak Antara dua Vektor Jarak antara dua vektor ܽ dan ܾ didefinisikan sebagai panjang dari vektor ത (ܽ ത ) dan biasa dinotasikan dengan d(ܽ ܾ). ത-ܾ ത, തLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 32
  • 34. Dasar-dasar Aljabar Linier ത, ത d(ܽ ܾ) = ሺܽ ҧ െ ܾ ҧ . ܽ ҧ െ ܾ ҧሻమ భ = ට൫ܽଵ ଶ െ ܾଵ ଶ ൯ ൅ ൫ܽଶ ଶ െ ܾଶ ଶ ൯ ൅ ሺܽଷ ଶ െ ܾଷ ଶ ሻ Secara geometris, dapat digambarkan seperti berikut ini: B C ത ሬሬሬሬሬԦ ത ሬሬሬሬሬԦ ത Misalkan ܽ = ‫ ܥܣ‬dan ܾ = ‫ ,ܤܣ‬maka jarak antara ܽ dan ܾ merupakan ത A ሬሬሬሬሬԦ panjang dari ruas garis berarah ‫ܥܤ‬ Diketahui ‫ )1 ,1- ,2( = ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ = (1, 1, 2), tentukan besarnya sudut yang ത Contoh: dibentuk oleh ‫ ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ ! ത ‫ݒ .ݑ‬ҧ = 2- 1 + 2 = 3 ത Jawab ԡ‫ݑ‬ԡ = ඥ2ଶ ൅ ሺെ1ሻଶ ൅ 1ଶ = √6 ԡ‫ݒ‬ԡ = √1ଶ ൅ 1ଶ ൅ 2ଶ = √6 ௨ .௩ cos ߠ = = ଺ = ଶ ՜ ߶ = 600 ଷ ଵ ԡ௨ԡԡ௩ԡ ത ത ത ത Beberapa sifat yang berlaku dalam hasil kali titik ܽ·ܾ=ܾ·ܽ ത ത ത ത ത 1. ܽ · (ܾ ൅ ܿҧ) = ܽ · ܾ ൅ ܽ · ܿҧ ത ത ത)· ത ത ത ത ത 2. 3. m(ܽ · ܾ) = (mܽ ܾ = ܽ ·(mܾ) = (ܽ · ܾ)mLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 33
  • 35. Dasar-dasar Aljabar Linier Misal garis g melalui titik A(ܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ) dan B (ܾଵ , ܾଶ , ܾଷ ) Persamaan Garis Lurus g Aሺܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ሻ . Bሺܾଵ, ܾଶ, ܾଷሻ Cሺܿଵ , ܿଶ , ܿଷ ሻ 0 x1 x3 ሬሬሬሬሬԦ ൌ ሾܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ሿ Dimana: 0‫ܣ‬ ሬሬሬሬሬԦ ‫ ܤܣ‬ൌ ሾܾଵ െ ܽଵ , ܾଶ െ ܽଶ , ܾଷ െ ܽଷ ሿ ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ ‫ ܺܣ‬ൌ ߣ‫ ׽- , ܥܣ‬൏ ߣ ൏‫׽‬ ሬሬሬሬԦ ൌ 0‫ ܣ‬൅ ‫ݔܣ‬ 0‫ ݔ‬ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ ൌ 0‫ ܣ‬൅ ߣ‫ܤܣ‬ 0‫ ݔ‬ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ Sehingga diperoleh persamaan vektor garis g yang melalui titik A dan B: ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ ൌ ሾܽଵ , ܽଶ , ܽଷ ሿ ൅ ߣሾܾଵ െ ܽଵ , ܾଶ െ ܽଶ , ܾଷ െ ܽଷ ሿ ‫ݔ‬ଵ ൌ ܽଵ ൅ ߣሺܾଵ െ ܽଵ ሻ; Dari persamaan vektor diatas diperoleh: ‫ݔ‬ଶ ൌ ܽଶ ൅ ߣሺܾଶ െ ܽଶ ሻ; ‫ݔ‬ଷ ൌ ܽଷ ൅ ߣሺܾଷ െ ܽଷ ሻ; Ketiga persamaan di atas disebut persamaan parameter garis g. ߣൌ ൌ ൌ ௫భ ି௔భ ௫మ ି௔మ ௫య ି௔య Dari persamaan tersebut diperoleh: ௕భ ି௔భ ௕మ ି௔మ ௕య ି௔య Sehingga diperoleh bentuk: ൌ ൌ ௫భ ି௔భ ௫మ ି௔మ ௫య ି௔య ௕భ ି௔భ ௕మ ି௔మ ௕య ି௔యLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 34
  • 36. Dasar-dasar Aljabar Linier ሺܾଵ െ ܽଵ ሻ ് 0, ሺܾଵ െ ܽଵ ሻ ് 0, ሺܾଵ െ ܽଵ ሻ ് 0 yang disebut dengan persamaan linier garis g dengan syarat: Contoh: Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2, 3) dan B(3, 5, 6) Jawab: • ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ1,2,3ሿ ൅ ߣሾ3 െ 1,5 െ 2,6 െ 3ሿ Persamaan vektor garis g: ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ1,2,3ሿ ൅ ߣሾ2,3,3ሿ • ‫ݔ‬ଵ = 1 + 2ߣ Persamaan parameter garis g: ‫ݔ‬ଶ = 2 + 3ߣ ‫ݔ‬ଷ = 3 + 3ߣ • Persamaan linier garis g: ൌ ൌ ௫భ ିଵ ௫మ ିଶ ௫య ିଷ ଶ ଷ ଷ Persamaan Bidang Datar Persamaan bidang datar dapat ditentukan jika diketahui tiga titik yang tidak terletak pada satu garis. Contoh: Misalkan sebuah bidang datar melalui titik-titik P(‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ ), Q(‫ݍ‬ଵ , ‫ݍ‬ଶ , ‫ݍ‬ଷ ) dan R(‫ݎ‬ଵ , ‫ݎ‬ଶ , ‫ݎ‬ଷ ) Perhatikan suatu titik x(‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ) sembarang pada bidang PQR. Dari gambar tersebut terlihat:Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 35
  • 37. Dasar-dasar Aljabar Linier ሬሬሬሬԦ = ሬሬሬሬሬԦ ൅ ܲ‫ݔ‬ 0‫ ܲ0 ݔ‬ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬԦ 0ܲ 0‫ = ݔ‬ሬሬሬሬሬԦ ൅ ߣ൫ܲܳ ൯ ൅ ߤܴܲ ሬሬሬሬሬԦ ሬሬሬሬሬԦ ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ ሿ ൅ ߣሾ‫ݍ‬ଵ െ ‫݌‬ଵ , ‫ݍ‬ଶ െ ‫݌‬ଶ , ‫ݍ‬ଷ െ ‫݌‬ଷ ሿ ൅ ߤሾ‫ݎ‬ଵ െ ‫݌‬ଵ , ‫ݎ‬ଶ െ ‫݌‬ଶ , ‫ݎ‬ଷ െ ‫݌‬ଷ ሿ P(‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ , … ‫݌‬௡ ), Persamaan di atas disebut dengan persamaan vektor PQR Umumnya jika bidang tersebut melalui titik-titik Q(‫ݍ‬ଵ , ‫ݍ‬ଶ , ‫ݍ‬ଷ , … ‫ݍ‬௡ ) dan R(‫ݎ‬ଵ , ‫ݎ‬ଶ , ‫ݎ‬ଷ , … ‫ݎ‬௡ ), maka persamaan vektor bidang PQR: ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ , . . ‫݌‬௡ ሿ ൅ ߣሾ‫ݍ‬ଵ െ ‫݌‬ଵ , ‫ݍ‬ଶ െ ‫݌‬ଶ , ‫ݍ‬ଷ െ ‫݌‬ଷ , … ‫ݍ‬௡ െ ‫݌‬௡ ሿ ൅ ߤሾ‫ݎ‬ଵ െ ‫݌‬ଵ , ‫ݎ‬ଶ െ ‫݌‬ଶ , ‫ݎ‬ଷ െ ‫݌‬ଷ , … ‫ݎ‬௡ െ ‫݌‬௡ ሿ Contoh: Tentukan persamaan bidang datar melalui titik-titik A(2, 1, 3), B(3, 2, 4) dan C(4, 2, 5)! ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ2,1,3ሿ ൅ ߣሾ3 െ 2,2 െ 1,4 െ 3ሿ ൅ ߤሾ4 െ 2,2 െ 1,5 െ 3ሿ Jawab: ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ2,1,3ሿ ൅ ߣሾ1,1,1ሿ ൅ ߤሾ2,1,2ሿ Perkalian sebuah bidang datar yang melalui titik P(‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ ) dengan vektor- vektor arah ሾ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሿ dan ሾ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ , ‫ݒ‬ଷ ሿ maka persamaan vektor bidang ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ ሿ ൅ ߣሾ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሿ ൅ ߤሾ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ , ‫ݒ‬ଷ ሿ ……. (1) tersebut: ‫ݔ‬ଵ = ‫݌‬ଵ ൅ ߣሺ‫ݑ‬ଵ ሻ ൅ ߤሺ‫ݒ‬ଵ ሻ …… (2) Maka persamaan parameternya: ‫ݔ‬ଶ = ‫݌‬ଶ ൅ ߣሺ‫ݑ‬ଶ ሻ ൅ ߤሺ‫ݒ‬ଶ ሻ …… (3) ‫ݔ‬ଷ = ‫݌‬ଷ ൅ ߣሺ‫ݑ‬ଷ ሻ ൅ ߤሺ‫ݒ‬ଷ ሻ …… (4) Jika ߣ dan ߤ di eliminir dari persamaan (2) dan (3) maka diperoleh: ௩మ ሺ௫భ ି௣భ ሻି௨మ ሺ௫మ ି௣మ ሻ ߣ= ௨భ ௩మ ି௨మ ௩భ ௨భ ሺ௫మ ି௣మ ሻି௩భ ሺ௫భ ି௣భ ሻ ߤ= ௨భ ௩మ ି௨మ ௩భ Jika ߣ dan ߤ ini didistribusikan pada persamaan (4) maka diperoleh: (‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଶ -‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଵ )(‫ݔ‬ଷ -‫݌‬ଷ )-‫ݑ‬ଷ {‫ݒ‬ଶ (‫ݔ‬ଵ -‫݌‬ଵ )-‫ݒ‬ଵ (‫ݔ‬ଶ -‫݌‬ଶ )}-‫ݒ‬ଷ {‫ݑ‬ଵ (‫ݔ‬ଶ -‫݌‬ଶ )-‫ݑ‬ଶ (‫ݔ‬ଵ -‫݌‬ଵ )} = 0Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 36
  • 38. Dasar-dasar Aljabar Linier (‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଷ -‫ݑ‬ଷ ‫ݒ‬ଶ )(‫ݔ‬ଵ -‫݌‬ଵ ) + (‫ݑ‬ଷ ‫ݒ‬ଵ -‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଷ )(‫ݔ‬ଶ -‫݌‬ଶ ) + (‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଶ -‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଵ )(‫ݔ‬ଷ -‫݌‬ଷ ) = 0 atau jika dirumuskan : A = ‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଷ -‫ݑ‬ଷ ‫ݒ‬ଶ B = ‫ݑ‬ଷ ‫ݒ‬ଵ -‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଷ C = ‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଶ -‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଵ persamaan di atas menjadi: A(‫ݔ‬ଵ -‫݌‬ଵ ) + B(‫ݔ‬ଶ -‫݌‬ଶ ) + C(‫ݔ‬ଷ -‫݌‬ଷ ) = 0 A‫ݔ‬ଵ +B‫ݔ‬ଶ +C‫ݔ‬ଷ - (A‫݌‬ଵ +B‫݌‬ଶ +C‫݌‬ଶ ) = 0 misalkan: -( A‫݌‬ଵ +B‫݌‬ଶ +C‫݌‬ଶ ) = D maka persamaan linier bidang: A‫ݔ‬ଵ +B‫ݔ‬ଶ +C‫ݔ‬ଷ +D = 0 ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ‫݌‬ଵ , ‫݌‬ଶ , ‫݌‬ଷ ሿ ൅ ߣሾ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሿ ൅ ߤሾ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ , ‫ݒ‬ଷ ሿ maka jika contoh soal di atas kita lanjutkan diperoleh: ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ = ሾ2,1,3ሿ ൅ ߣሾ1,1,1ሿ ൅ ߤሾ2,1,2ሿ ‫݌‬ଵ = 2 ‫ݑ‬ଵ = 1 ‫ݒ‬ଵ = 2 ‫݌‬ଶ = 1 ‫ݑ‬ଶ = 1 ‫ݒ‬ଶ = 1 ‫݌‬ଷ = 3 ‫ݑ‬ଷ = 1 ‫ݒ‬ଷ = 2 A = ‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଷ -‫ݑ‬ଷ ‫ݒ‬ଶ = 1·2 – 1·1 = 1 maka: B = ‫ݑ‬ଷ ‫ݒ‬ଵ -‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଷ = 1·2 – 1·2 = 0 C = ‫ݑ‬ଵ ‫ݒ‬ଶ -‫ݑ‬ଶ ‫ݒ‬ଵ = 1·1 – 1·2 = -1 D = -ሺ‫݌ܣ‬ଵ ൅ ‫݌ܤ‬ଶ ൅ ‫݌ܥ‬ଷ ሻ = -(1·2+0·1+(-1·3)) maka persamaan linier di atas = ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଷ ൅ 1 = 0 =1Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 37
  • 39. Dasar-dasar Aljabar LinierB. RUANG VEKTOR Ruang –n Euclidis Pada saat pertama kali ilmu vektor dikembangkan, hanya dikenal vektor-vektor di R2 dan R3 saja, tetapi dalam perkembangannya ternyata didapatkan permasalahan yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor-vektor di ruang berdimensi 4, 5 atau secara umum merupakan vektor-vektor di Rn. Secara geometris memang vektor-vektor di R4 dan seterusnya memang belum bisa digambarkan, tetapi dasar yang digunakan seperti operasi-operasi vektor masih sama seperti operasi pada vektor-vektor di R2 dan R3.Orang yang mempelajari vektor-vektor di Rn adalah Euclidis sehingga vektor-vektor yang berada di Rn dikenal sebagai vektor Euclidis, sedangkan ruang vektornya disebut ruang –n Euclidis. • Operasi standar/baku pada vektor Euclidis Diketahui ‫ ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ adalah vektor-vektor di ruang –n Euclidis dengan: ത ‫ݑ( = ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , … , ‫ݑ‬௡ ሻ dan ‫ݒ‬ҧ = (‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ , … , ‫ݒ‬௡ ) ത • Penjumlahan Vektor ‫ݒ + ݑ‬ҧ = (‫ݑ‬ଵ ൅ ‫ݒ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ ൅ ‫ݒ‬ଶ , … . , ‫ݑ‬௡ ൅ ‫ݒ‬௡ ) ത • Perkalian Titik ‫ݒ · ݑ‬ҧ = (‫ݑ‬ଵ · ‫ݒ‬ଵ ൅ ‫ݑ‬ଶ · ‫ݒ‬ଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ‫ݑ‬௡ · ‫ݒ‬௡ ) ത • Perkalian dengan Skalar ݇‫ݑ݇( = ݑ‬ଵ , ݇‫ݑ‬ଶ , … , ݇‫ݑ‬௡ ) ത • Panjang Vektor ԡ‫ݑ‬ԡ = ሺ‫ݑ · ݑ‬ሻమ = ඥ‫ݑ‬ଵ ଶ ൅ ‫ݑ‬ଶ ଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ‫ݑ‬௡ ଶ ത ത ത భ • Jarak antara Vektor d(‫ݒ ,ݑ‬ҧ ) = ሺ‫ ݑ‬െ ‫ݒ‬ҧ · ‫ ݑ‬െ ‫ݒ‬ҧ ሻమ = ඥሺ‫ݑ‬ଵ െ ‫ݒ‬ଵ ሻଶ ൅ ሺ‫ݑ‬ଶ െ ‫ݒ‬ଶ ሻଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ሺ‫ݑ‬௡ ൅ ‫ݒ‬௡ ሻଶ ത ത ത భ Contoh: ത ത Diketahui ܽ = (1,1,2,3) dan ܾ = (2,2,1,1) tentukan jarak antara ܽ dan ܾ! ത തLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 38
  • 40. Dasar-dasar Aljabar Linier Jawab ത ത ܽ െ ܾ = (-1,-1,1,2) ത, ത d(ܽ ܾ) = ඥሺെ1ሻଶ ൅ ሺെ1ሻଶ ൅ ሺ1ሻଶ ൅ ሺ2ሻଶ = 7 Ruang vektor umum Pada materi ini kita akan membahas koonsep-konsep tentang ruang vektor dengan konsep yang lebih luas. 1. Jika vektor-vektor ‫ݒ ,ݑ‬ҧ ‫ א‬V, maka vektor ‫ݒ + ݑ‬ҧ ‫ א‬V ത ത Ada 10 syarat agar V disebut sebagai vektor, yaitu: 2. ‫ݒ + ݑ‬ҧ = ‫ݒ‬ҧ + ‫ݑ‬ ത ത 3. ‫ ݑ‬൅ ሺ‫ݒ‬ҧ ൅ ‫ݓ‬ሻ ൌ ሺ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ҧ ሻ ൅ ‫ݓ‬ ത ഥ ത ഥ ത ത ത ത 4. Ada 0 ‫ א‬V sehingga 0 ൅ ‫ ݑ‬ൌ ‫ ݑ‬൅ 0 untuk semua ‫ א ݑ‬V. Dimana 0 adalah ത ത ത 5. Untuk setiap ‫ א ݑ‬V terdapat െ‫ א ݑ‬V sehingga ‫ ݑ‬൅ ሺെ‫ݑ‬ሻ ൌ 0 vektor nol; ത ത ത ത 6. Untuk sembarang skalar ݇, jika ‫ א ݑ‬V, maka ݇‫ א ݑ‬V; ത ത 7. ݇ ሺ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ҧ ሻ ൌ ݇‫ ݑ‬൅ ݇‫ݒ‬ҧ , ݇ sembarang skalar; ത ത 8. ሺ݇ ൅ ݈ ሻ‫ ݑ‬ൌ ݇‫ ݑ‬൅ ݈‫ ݇ ,ݑ‬dan ݈ sembarang skalar; ത ത ത 9. ݇ ሺ݈‫ ݑ‬ሻ ൌ ሺ݈݇ሻ‫ݑ‬ ത ത 10. 1‫ݑ = ݑ‬ ത ത Dalam hal ini yang paling menentukan apakah V disebut ruang vektor atau tidak adalah operas-operasi pada V tau bentuk dari V itu sendiri. Jika V merupakan ruang vektor dengan operasi-operasi vektor (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar) yang bukan merupakan operasi standar, tentunya V harus memenuhi 10 syarat di atas, jika satu syarat saja tidak terpenuhi maka tentunya V bukan merupakan ruang vektor. Jika diketahui himpunan bagian vektor-vektor ሼ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , … , ‫ݑ‬௡ ሽ dalam ruang Vektor Bergantung Linier dan Bebas Linier vektor V maka:Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 39
  • 41. Dasar-dasar Aljabar Linier ݇ଵ , ݇ଶ , … , ݇௡ tidak semuanya nol sehingga berlaku ݇ଵ ‫ݑ‬ଵ ൅ ݇ଶ ‫ݑ‬ଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ 1. Himpunan tersebut dikatakan bergantung linier bila terdapat skalar-skalar ݇௡ ‫ݑ‬௡ ൌ 0 2. Himpunan tersebut dikatakan bebas linier jika dari persamaan ݇ଵ ‫ݑ‬ଵ ൅ ݇ଶ ‫ݑ‬ଶ ൅ ‫ ڮ‬൅ ݇௡ ‫ݑ‬௡ ൌ 0 dihasilkan ݇ଵ ൌ ݇ଶ ൌ … , ݇௡ ൌ 0 Berdasarkan definisi: 1. Perhatikan sebuah vektor ‫ݑ‬ ത a. Jika ‫ ݑ‬ൌ 0 (vektor nol) maka ݇‫ ݑ‬ൌ 0, untuk setiap ݇ ് 0, ini berarti ത ത b. Jika ‫ ݑ( 0 ് ݑ‬bukan vektor nol) maka ݇‫ ݑ‬ൌ 0 hanya dipenuhi jika ത ത ത vektor ol bergantung linier ݇ ൌ 0, jadi setiap vektor yang belum vektor nol adalah bebas linier 2. Jika ada dua vektor ‫ ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ yang berkelipatan, misalnya ‫ ݑ‬ൌ 2‫ݒ‬ҧ , maka: ത ത ‫ ݑ‬െ 2‫ݒ‬ҧ = 0 ത 1‫ ݑ‬൅ ሺെ2ሻ‫ݒ‬ҧ = 0 ത Jadi ada ݇ଵ ൌ 1 dan ݇ଶ ൌ െ2 yang memenuhi ݇ଵ ‫ ݑ‬൅ ݇ଶ ‫ݒ‬ҧ ൌ 0, ini berarti ‫ݑ‬ ത ത dan ‫ݒ‬ҧ adalah dua vektor yang bergantung linier. Sehingga kesimpulannya Berikut adalah contoh dua vektor dimana ‫ݒ ,ݑ‬ҧ dua vektor yang tidak ത adalah dua vektor yang berkelipatan selalu bergantung linier. Jika diketahui ‫ = ݑ‬ሾ2,3ሿ dan ‫ݒ‬ҧ = ሾ1,4ሿ ത berkelipatan: Perhatikan persamaan ݇ଵ ‫ ݑ‬൅ ݇ଶ ‫ݒ‬ҧ ൌ 0 ത Untuk skalar-skalar ݇ଵ dan ݇ଶ : = ݇ଵ ሾ2,3ሿ ൅ ݇ଶ ሾ1,4ሿ ൌ ሾ0,0ሿ • 2݇ଵ ൅ ݇ଶ ൌ 0 ݇ଶ = െ2݇ଵ • 3݇ଵ ൅ 4݇ଶ ൌ 0 ݇ଶ = െ ସ ݇ଵ ଷLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 40
  • 42. Dasar-dasar Aljabar Linier Dari persamaan di atas tidak ada ݇ଵ dan ݇ଶ yang memenuhi ݇ଵ ‫ ݑ‬൅ ݇ଶ ‫ݒ‬ҧ ൌ 0, ത maka dapat disimpulkan ‫ ݑ‬dan ‫ݒ‬ҧ adalah dua vektor yang bebas linier (tidak ത berkelipatan linier) ത Diketahui 3 vektor ܽ ൌ ሾ2,1,3ሿ, ܾ ൌ ሾ1,0,2ሿ dan ܿҧ ൌ ሾെ3, െ1, െ5ሿ, periksa Contoh: ത apakah ketiga vektor tersebut bebas linier atau bergantung linier ത Jawab: Persamaan ݇ଵ ܽ ൅ ݇ଶ ܾ ൅ ݇ଷ ܿҧ ൌ 0 ത ฻ ݇ଵ ሾ2,1,3ሿ ൅ ݇ଶ ሾ1,0,2ሿ ൅ ݇ଷ ሾെ3, െ1, െ5ሿ ൌ ሾ0,0,0ሿ ֞ 2݇ଵ ൅ ݇ଶ െ 3݇ଷ ൌ 0 ….. (1) ֞ ݇ଵ ൅ 0 െ ݇ଷ ൌ 0 ….. (2) ֞ 3݇ଵ ൅ 2݇ଶ െ 5݇ଷ ൌ 0 ….. (3) Diperoleh: • Dari persamaan (2) didapat ݇ଵ ൌ ݇ଷ , persamaan ini di didistribusikan pada persamaan (1) • 2݇ଷ ൅ ݇ଶ െ 3݇ଷ ൌ 0 ݇ଶ െ ݇ଷ = 0 ݇ଶ = ݇ଷ Sehingga: 2݇ଷ ൅ ݇ଷ െ 3݇ଷ ൌ 0 ݇ଷ ൌ 0 Maka kita dapatkan ݇ଵ ൌ 0, ݇ଶ ൌ 0, ݇ଷ ൌ 0, sehingga kesimpulannya ketiga vektor tersebut bergantung linier. Suatu vektor ‫ݒ‬ҧ dikatakan kombinasi linier dari vektor ‫ݑ ,… ,2 ݑ ,1 ݑ‬n bila ത ത ത Kombinasi Linier terdapat skalar-skalar ݇ଵ , ݇ଶ , … , ݇ଷ untuk setiap ‫ݒ‬ҧ ൌ ݇ଵ ‫݇ +1 ݑ‬ଶ ‫݇+…+2 ݑ‬௡ ‫ݑ‬n. ത ത ത 1. Jika n vektor ‫ݑ ,… ,2ݑ ,1 ݑ‬n dimana n > 1 bergantung linier, maka ത ത ത Sifat-sifat Kombinasi Linier paling sedikit terdapat 1 vektor yang dapat ditulis sebagai Kombinasi Linier dari vektor-vektor lainnya.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 41
  • 43. Dasar-dasar Aljabar Linier 2. Jika 1 diantara n vektor-vektor ‫ ݑ ,… ,2ݑ ,1ݑ‬n Kombinasi Linier dari n-1 ത ത ത 3. Jika n vektor-vektor ‫ݑ ,… ,2 ݑ ,1ݑ‬n bebas linier dan n+1 vektor-vektor ത ത ത vektor-vektor lainnya, maka n vektor tersebut bergantung linier. ‫ ݑ ,… ,2 ݑ ,1ݑ‬n, ‫ݒ‬ҧ bergantung linier, maka ‫ݒ‬ҧ kombinasi linier dari ‫,2ݑ ,1 ݑ‬ ത ത ത ത ത …, ‫ ݑ‬n. Bila vektor-vektor ‫ݑ ,… ,2 ݑ ,1ݑ‬n bebas linier dan ‫ݒ‬ҧ bukan ത ത ത ത kombinasi linier dari ‫ ݑ ,… ,2ݑ ,1ݑ‬n maka ‫ ݑ ,… ,2 ݑ ,1 ݑ‬n dan ‫ݒ‬ҧ bebas ത ത ത ത ത ത 4. Bila s = {‫ݑ ,… ,2 ݑ ,1ݑ‬n} himpunan bagian dari ruang vektor ‫ ݓ‬maka ത ത ത ഥ, linier. bagian dari ‫ ݓ‬L(s) disebut ruang vektor yang dibentuk s. ഥ. himpunan semua kombinasi linier dari s ditulis L(s) adalah ruang 5. Suatu himpunan vektor ‫ ݑ ,… ,2ݑ ,1ݑ‬n disebut sistem pembentuk dari ത ത ത ruang vektor ‫ݒ‬ҧ ditulis ‫ݒ‬ҧ = L(‫ ݑ ,… ,2ݑ ,1 ݑ‬n) bila setiap vektor ‫ݒ‬ҧ anggota ത ത ത V dimana ‫ݒ‬ҧ ‫ א‬V kombinasi linier dari ‫ ݑ ,… ,2ݑ ,1 ݑ‬n. ത ത ത Diketahui vektor-vektor ‫݌‬ҧ ൌ ሾ2,1,3ሿ, ‫ ݍ‬ൌ ሾ0,1,2ሿ dan ‫ݎ‬ҧ ൌ ሾ2,2,4ሿ, ത Contoh: periksalah apakah ‫݌‬ҧ kombinasi linier dari ‫ ݍ‬dan ‫ݎ‬ҧ ! ത ֞ ሾ2,1,3ሿ = ݇ଵ ሾ0,1,2ሿ+݇ଶ ሾ2,2,4ሿ Jawab: 2 ൌ 0 ൅ 2݇ଶ , ֜ ݇ଶ ൌ 1 …. (1) 1 ൌ ݇ଵ ൅ 2݇ଶ ֜ ݇ଵ ൌ െ1 …. (2) 3 ൌ 2݇ଵ ൅ 4݇ଶ …. (3) ֜ untuk ݇ଵ ൌ െ1, ݇ଶ ൌ 1 ֞ 3 = 2(-1) + 4·1 ֞ 3 = -2 + 4 ֞ 3 = 2 ֜ pernyataan ini tidak benar Jadi tidak ada ݇ଵ , ݇ଶ yang memenuhi ‫݌‬ҧ ൌ ݇ଵ ‫ ݍ‬൅ ݇ଶ ‫ݎ‬ҧ , ini berarti ‫݌‬ҧ bukan ത kombinasi linier ‫ ݍ‬dan ‫ݎ‬ҧ ത Basis dan Dimensi Setiap pembentuk yang bebas linier dari suatu ruang vektor V disebut Basis dari ruang vektor tersebut karena vektor-vektor anggota V mungkin takLalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 42
  • 44. Dasar-dasar Aljabar Linier terhingga banyaknya kecuali ruang vektor yang dibentuk vektor nol yaitu L(0) dan misalkan dimensi V = m terhingga, maka dapat ditentukan banyak sekali n vektor anggota V yang bebas linier sehingga dapat dipilih menjadi Basi V. Suatu ruang vektor V dikatakan berdimensi n bila banyak maksimal vektor- vektor berdimensi n maka vektor-vektor ‫ݑ ,… ,2ݑ ,1ݑ‬n dari V yang bebas linier ത ത ത vektor yang bebas linier ada n buah. Sifat dari dimensi yaitu jika V ruang adalah pembentuk vektor V. V = {ሾ2,3,4ሿ, ሾ1,1,2ሿ, ሾ1,2,2ሿ} Contoh: ܽ =ܾ൅ܿ֜ܽെܾെܿ ൌ 0 Jadi ܽ, ܾ, ܿ bergantung linier, sehingga dapat dikatakan ܽ, ܾ bebas linier, ܽ, ܿ bebas linier dan ܾ, ܿ bebas linier. Jika Rn = ሾܽଵ , ܽଶ , … , ܽ௡ ሿ maka disebut vektor dengan banyak komponen n buah. Misalkan V ruang vektor dan S = {‫ݏ‬ҧ1, ‫ݏ‬ҧ2, …, ‫ݏ‬ҧn}. S disebut basis dari V bila memenuhi dua syarat, yaitu: ത 1. S bebas linier. S dikatakan bebas linier jika persamaan 0 ൌ ݇ଵ ‫ݏ‬ҧ 1+݇ଶ ‫ݏ‬ҧ2+…݇௡ ‫ݏ‬ҧ n hanya memiliki penyelesaian ݇ଵ ൌ ݇ଶ ൌ ‫ ڮ‬ൌ ݇௡ ൌ 0 (atau jika diubah ke bentuk SPL, penyelesaiannya adalah trivial). 2. S membangun V. Dimana jika untuk setiap ‫ݒ‬ҧ ‫ א‬V, ‫ݒ‬ҧ merupakan kombinasi linier dari S, yaitu: ‫ݒ‬ҧ =݇ଵ ‫ݏ‬ҧ1+݇ଶ ‫ݏ‬ҧ2+…݇௡ ‫ݏ‬ҧn, ݇ଵ , ݇ଶ , … , ݇௡ : skalar. Basis dari suatu ruang vektor tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal yaitu basis standar dan basis tidak standar. 1. S = {݁ҧ1, ݁ҧ2,…, ݁ҧ n}, dengan ݁ҧ 1, ݁ҧ 2,…, ݁ҧ n ‫ א‬Rn Contoh Basis Standar: ݁ଵ = (1,0,…., 0), ݁ଶ = (0,1, …, 0),….., ݁௡ = (0,0, …, 1) Merupakan basis standar dari Rn. 2. S = {1, ‫ ݔ ,ݔ‬ଶ , … . , ‫ ݔ‬௡ } merupakan basis standar untuk Pn (Polinom orde n) 1 0 0 1 0 0 0 0 3. S = ቄቂ ቃ,ቂ ቃ,ቂ ቃ,ቂ ቃቅ merupakan basis standar untuk M22. 0 0 0 0 1 0 0 1Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 43
  • 45. Dasar-dasar Aljabar Linier vektor tersebut. Jadi dim R3=3, dim ܲଶ ൌ 3 dan dim M22=4 dan sebagainya. Dimensi ruang vektor didefinisikan sebagai banyaknya unsur basis ruang Suatu himpunan vektor dapat ditunjukkan merupakan himpunan yang bebas vektor dan dim ruang vektor. Contoh jika diketahui ‫ݒ ,)2,1(=ݑ‬ҧ =(2,2), ‫ݓ‬ ത ഥ=(1,3) linier atau membangun ruang vektor V hanya dengan melihat dari jumlah dapat kita liha banyaknya vektor = 3 dan dim R2=2, sebenarnya tanpa menghitung kita sudah bisa menyimpulkan bahwa himpunan vektor tersebut tidak bebas linier karena agar bisa bebas linier maksimal jumlah vektor = dim ruang vektor. Sebaliknya jika suatu himpunan vektor hanya memuat vektor dengan jumlah kurang dari dim ruang vektor, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan ruang vektor tersebut tidak membangun. Berdasarkan hal ini, maka suatu himpunan vektor kemungkinan bisa menjadi basis ruang vektor berdimensi n jika jumlah vektornya = n. Jika jumlah vektor < n maka tidak membangun sebaliknya jika jumlah vektor > n maka bergantung linier. Jika jumlah vektor = n, maka dapat dihitung nilai Determinan dari ruang yang dibangun oleh himpunan vektor tersebut. Jika Det ് 0, maka ia bebas linier dan membangun Jika Det = 0, maka tidak bebas linier dan tidak membangun. merupakan basis.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 44
  • 46. Dasar-dasar Aljabar Linier 1 2 1 0 0 0 0 2 Contoh: Tentukan apakah H = ቄቂ ቃ,ቂ ቃ,ቂ ቃ,ቂ ቃቅ merupakan basis M22! 1 1 0 1 0 1 1 3 Jawab Jumlah matriks (bisa dipandang sebagai vektor di R4) dalam H = 4 = dim M22, jadi untuk menentukan apakah H merupakan basis dari R4 atau bukan adalah dengan melihat nilai determinan dari ruang yang dibangun oleh H. Misalkan W adalah ruang yang dibangun oleh H, maka untuk sembarang w ‫א‬ 0 ݇ଵ W berlaku: 1 1 0 2 0 0 2 ݇ଶ ത w=൦ ൪ ൦ ൪ = A݇ 1 0 0 1 ݇ଷ 1 1 1 3 ݇ସ untuk menentukan apakah H merupakan basis atau tidak adalah dengan 1 1 0 0 menghitung nilai det(A) dari SPL di atas. 1 0 0 1 1 0 2 0 0 2 ተ ተ= -2อ0 0 3อ + 2อ1 0 0อ= െ2 · 3 · 1 ൅ 2 · 1 · 1 ൌ െ4 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 Jadi H merupakan basis dari M22Evaluasi :1. ത ത Tentukan jarak antara ܽ ൌ ሺ1,1,2,3ሻ dan ܾ ൌ ሺ2,3,4,5ሻ dan panjang masing-masing vektor!2. Tentukan persamaan garis lurus g melalui titik A=(2,3,1) dan sejajar BC bila Diketahui garis g dengan persamaan ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ ൌ ሾ2,1,0ሿ ൅ ݇ሾ1,0, െ1ሿ. Periksalah B=(4,-5,1) dan C=(2,7,-3)!3. Tentukan persamaan bidang datar W yang melalui titik ሾ0,0,0ሿ dan persamaan apakah titik A=(1,1,1) dan B=(6,2,1) terletak pada garis g atau tidak! g ൌ ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ ሿ ൌ ሾ1, െ1,0ሿ ൅ ݇ሾ2,1,1ሿ4.Daftar Pustaka :Howard Anton, Dasar-dasar Aljabar Linier, Penerbit Binarupa Aksara, Jilid 1.Lalu Yudhi Prihadi, S.Si. Page 45