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Guia de fracciones y decimales
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Guia de fracciones y decimales

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  • 1. GUIA TALLER DE NÚMEROS RACIONALES (FRACCIONARIOS, DECIMALES, ECUACIONES) ESTANDARES –PENSAMIENTO NUMERICO PENSAMIENTOConstruir el concepto de número racional y usar la relación de orden, las operaciones ypropiedades de los números racionales.Comparar y relacionar la representación decimal y la representación fraccionaria de los númerosracionales.Resolver problemas cuyos datos involucran números racionales. COMPETENCIASINTERPRETATIVA:Representa números racionales sobre la recta numérica.Adiciona y sustrae números racionales straeIdentifica y utiliza las propiedades de la adición y multiplicación de racionalesAplica los algoritmos de la multiplicación y la división de números racionales.Simplifica expresiones, aplicando las propiedades de la potenciación de racionales.Representa en forma decimal, números racionalesComprende y aplica las propiedades de las operaciones con números racionales en la solución deecuaciones.ARGUMENTATIVA:Justifica la veracidad o falsedad de un enunciando y los procedimientos que efectúa pararepresentar o hallar fracciones equivalentes a números racionales.Decide el valor de verdad de proposiciones que incluyen adiciones y sustracciones de númerosracionales.Justifica con procedimientos, la resolución de un problema que involucra operaciones entre problemanúmeros racionales.Justifica las conjeturas que realiza sobre multiplicación y división de números decimales.Decide que propiedades utilizar para solucionar una ecuación.PROPOSITIVA:Expresa enunciados dados utilizando números racionales.Plantea algoritmos para la resolución de problemas con operaciones entre racionales.Formula y resuelve problemas con operaciones de racionales.Generaliza, a partir de ejemplos, el procedimiento para multiplicar o dividir números decimales npor 10, 100 o 1000.Plantea y resuelve ecuaciones. NUMERO FRACCIONARIOUna fracción es un número que se obtiene dividiendo un número por otro. Suele escribirse en laforma ó ½ ó 1 / 2. En una fracción tal como a/b el número a que es dividido se llamanumerador y el número b que divide, divisor o denominador.
  • 2. Cuando una fracción se escribe en la forma 2 / 3 el numerador queda arriba y el denominadorabajo. FraccionesUna fracción es una parte de un total El número de arriba te dice cuántas porciones tienes y el de abajo te dice en cuántos trozos se ha cortado la pizza.Numerador / DenominadorAl número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes.Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total. Numerador Denominador¡Sólo tienes que recordar esos nombres! (Si los confundes, recuerda que denominador es con "D"de dividir)Representación de fracciones: Además de representar fracciones gráficamente, también podemoshacerlo en una recta. Cada fracción viene representada por un único punto en la recta numérica.A cada fracción le podemos asociar un único punto en la recta. Para hacerlo se traza una recta yse fija en ella un punto correspondiente al cero y un segmento unidad. Según las fracciones seanpropias o impropias, se representan de diferente manera.Representación de fracciones propias1.° Si la fracción es propia, su valor estará entre 0 y 1.2.° Para representar, por ejemplo, 2 /3 , dividimos el segmento comprendido entre 0 y 1 entantas partes iguales como indique el denominador de la fracción, 3, y tomamos tantas comoseñale el numerador, 2.Imagen:Representación de 2/3Representación de fracciones impropias1.° Si la fracción es impropia, para representarla la expresamos como suma de un númeronatural más una fracción propia. Así, por ejemplo, si queremos representar 9/4 : 9 en 4 = 2 + 1/4 .Por tanto, la fracción está comprendida entre los valores 2 y 3.2.°Dividimos el segmento comprendido entre 2 y 3 en 4 partes y tomamos 1.Imagen: Representación de 9/4
  • 3. FRACCIONES EQUIVALENTESDos fracciones son equivalentes cuando representan a un mismo número.Si dos fracciones son equivalentes se verifica que el producto cruzado es igual, es decir, dadasdos fracciones son equivalentes si y sólo si .Las siguientes fracciones son equivalentesSi a una fracción multiplicamos o dividimos su numerador y su denominador por el mismonúmero se obtiene una fracción equivalente.Por amplificación: Ejemplo: 2/3. Multiplicamos numerador y denominador por 7. El resultado es:14/21. Ya tenemos dos fracciones equivalentes. 2 14 ---- ---- 3 21¿Cómo comprobamos que son equivalentes?. Podemos multiplicar en cruz y el resultado tieneque coincidir. Comprobación anterior: 2 x 21 = 42 = 3 x 14Otra forma de comprobarlo si tienes a mano una calculadora... es viendo si tienen el mismo valordecimal.. 2 14 ---- = ---- = 0,66666666666 3 21Estas fracciones son en realidad lo mismo: 1 2 4 = = 2 4 8Por eso, estas fracciones son en realidad la misma:Y en un dibujo se ve así: 1 2 4 /2 /4 /8 = =Aquí hay más fracciones equivalentes, esta vez dividiendo:La regla a recordar es: ¡Lo que haces a la parte de arriba de la fracción también lo tienes que hacer a la parte de abajo!
  • 4. SIMPLIFICAR (REDUCIR) FRACCIONESDada una fracción cualquiera, simplificarla consiste en hallar la fracción equivalente a la dadacuyo numerador y denominador sean lo menor posible.Para simplificar(reducir) una fracción hallamos el máximo común divisor (M.C.D.) del numeradory del denominador, al dividir ambos por el M.C.D. se obtiene la fracción equivalente simplificada.Simplifica la fracciónCalculamos el m.c.d(24,30)=6 y dividimos tanto el numerador como el denominador por 6Ejemplo por simplificación: Ejemplo 5/10. El numerador se puede dividir entre 5, 1 y 0. Y eldenominador se puede dividir entre 0, 1, 2, 5 y 10. Como tenemos que escoger un divisor mayorque la unidad, escogemos el 5.La nueva fracción es: 1/2. Por tanto ya tenemos dos fracciones equivalentes. Y de 18/36tenemos que es igual a ½. 5 1 ---- = ---- 10 2Si seguimos dividiendo hasta que no podamos más, habremos simplificado la fracción (lahemos hecho la más simple posible). TALLER DE PRACTICOSimplifica las siguientes fracciones36/18 98/32 49/7 81/18 27/35 1128 /188Desarrollar las siguientes fracciones y determinar cinco (5) fracciones equivalentes2/3 5/3 4/12 5/4 15/6 ½ ¾ 5/2 7/4 OPERACIONES Suma y resta de fraccionesCon el mismo denominadorSe suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
  • 5. Con distinto denominador1. Se reducen los denominadores a común denominador: a. Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de losdenominadores. b. Este denominador, común, se divide por cada uno de los denominadores, multiplicándose elcociente obtenido por el numerador correspondiente.2. Se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. ejemplo ejemploEjemplos MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONESEl producto de dos fracciones es otra fracción que tiene: Se multiplican los numeradores, esteproducto es el nuevo numerador y Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevodenominador.Después se simplifica ejemplo
  • 6. DIVISIÓN DE FRACCIONESEl cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:Por numerador el producto de los extremos y Por denominador el producto de los medios. medios ejemploEjemplosPropiedades de la suma y multiplicación• La suma en Q es conmutativa, esto es:• La suma en Q es asociativa, esto es:• La multiplicación en Q es asociativa, esto es:• La multiplicación se distribuye en la suma, esto esExistencia de neutros e inversos• Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutroaditivo de los racionales y se le denota por 0.
  • 7. • Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutromultiplicativo de los racionales y se le denota por 1.• Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que• Cada número racional: con excepción de 0 tiene un inverso multiplicativo tal que Ejercicios de operaciones con fracciones operacionesUna caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2.1 ¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana?2¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos ¿QuéUn padre reparte entre sus hijos 1800 €uros. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?Una familia ha consumido en un día de verano: Dos botellas de litro y medio de agua. 4 botes de1/3 de litro de zumo. 5 limonadas de 1/4 de litro. ¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresael resultado con un número mixto. TALLER RESUELTO (Revisa los procedimientos y despeja tus dudas con el docente; para mejor entendimiento realízalos utilizando la propiedad asociativa)A. Calcula las siguientes operaciones con fracciones: fracciones1.-
  • 8. 2.-3.-4.-B. Efectúa las divisiones de fracciones:1.- TALLER DE APRENDIZAJEEfectúa las divisiones de fracciones:1.-Realiza las operaciones con fracciones:1. POTENCIAS DE FRACCIONESPara elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como el denominador alexponente. Potencias de exponente negativo Ej. Ej. Propiedades de las potencias de fracciones Producto de potencias con la misma base:Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. Ej. División de potencias con la misma base:Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. Ej.
  • 9. Potencia de una potencia:Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. Ej. Producto de potencias con el mismo exponente:Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases Ej. Cociente de potencias con el mismo exponente:Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. Ej. Ejercicios de potencias de fracciones resueltos.Revisa el procedimiento de las siguientes operaciones con potencias de fracciones:1.-2 .-3.-4.-5.-6.-7.-8.-9.-10.-
  • 10. 11.-12.-13.- ESTUDIAHalla las operaciones de fracciones con potencias: Operaciones combinadas de fracciones Prioridades1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales.2º.Calcular las potencias y raíces3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.4º.Efectuar los productos y cocientes.5º.Realizar las sumas y restas. EJERCICIOS DE OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONESPrimero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamosen el último.Realizamos el producto y lo simplificamos.Realizamos las operaciones del paréntesis.Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
  • 11. EJERCICIOS RESUELTOSOpera:Resuelve las operaciones combinadas:Efectúa operaciones combinadasRealiza las operaciones combinadas con potencias:
  • 12. Comparación de fracciones Fracciones con igual denominadorDe dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador. Fracciones con igual numeradorDe dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor denominador. Ejercicios de comparar fracciones resueltosEscribe el signo > o <, donde corresponda.Compara las siguientes fracciones:Ordenar de menor o mayor las siguientes fracciones: = TALLER DE APRENDIZAJE Y PRÁCTICALos 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea enelectricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto seemplea en limpieza. ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza?
  • 13. Realiza la siguiente operaciónIngresa a esta pagina y practica un pocohttp://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/todo_mate/fracciones_e/fracciones_ej_p.htmlPARA RECORDAR OPERACIONES CON FRACCIONESUna vez que controlamos las operaciones elementales con fracciones, suma, resta, producto ycociente el siguiente paso es realizar operaciones conjuntas. Para ello hay que tener en cuenta lapreferencia operando. Recuerda primero en orden de importancia están los corchetes yparéntesis, luego los productos y cocientes y finalmente sumas y restas. NUMEROS DECIMALESLos números fraccionarios decimales pueden expresarse en otra forma llamada número decimal.A su vez, los números decimales podrán también expresarse como fracciones. Las fraccionesimpropias están formadas por una parte entera y una parte fraccionaria. En cambio, lasfracciones propias sólo tendrán parte fraccionaria ya que su parte entera es igual a cero.
  • 14. Representación decimal de los números racionales lLos números racionales se caracterizan por tener un desarrollo decimal cuya expresión sólopuede ser de tres tipos:• Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Ejemplo:• Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:• Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:En efecto, al aplicar el algoritmo para dividir un entero por otro, sólo existen un número finito derestos posibles. Siendo la sucesión de restos infinita, aparecerá forzosamente un mismo resto endos posiciones distintas. A partir de ellas, el cálculo se repite igual. Ejemplo:Recíprocamente, todo número con un desarrollo decimal puede expresarse en fracción de lasiguiente manera:Número periódico• Decimales exactos o finitos: Se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma(como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifrasdecimales. Ejemplo:• Decimales periódicos puros: La fracción de un número decimal periódico tiene comonumerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; ycomo denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. Ejemplo:• Decimales periódicos mixtos: Tendrá como numerador la diferencia entre a y b, donde a es alesel número escrito sin la coma, y b es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos
  • 15. como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el p periodo y otrostantos "0" como cifras decimales no periódicas haya. Ejemplo: Sea el númeroentonces y , por lo que el número buscado será OPERACIONES CON DECIMALES ADICION Y SUSTRACCIÓNPara sumar o restar números decimales, podemos hacerlo en forma de fracción y en formadecimal.Para sumar o restar en forma decimal se colocan los números de modo que las comas esténencolumnadas. Luego se suman o restan como si fueran números naturales, poniendo la comaen el resultado en su columna correspondiente. correspondi5,3 +7,04 = 12,3413,279 + 18,96 = 32,2390,0021 + 3,0109 + 8,7 =3,0130 + 8,7 = 11,71324,5 - 1,29 = 23,21345,6 - 23,91 = 321,69 PARA PRACTICARCalcula las siguientes sumas de números decimales.12,435 + 142,36 + 8,7 =32,46 + 7,182 + 146,8 =243,18 + 16,5 + 153,216 =325,9 + 8,75 + 37,296 =Un circuito A y un circuito B tienen la forma y las dimensiones queindica la figura. ¿Cuál es la longitud en kilómetros de cada circuito?Calcula las siguientes restas de números decimales.4,3 - 2,84 = 123,7 - 98,49 =52,61 - 13,72= 214,8 - 96,72 =49,8 - 31,96 = 416,7 - 392,18 =
  • 16. MULTIPLICACIÓN DE DECIMALESPara multiplicar dos números decimales, se realiza la multiplicación de ambos como si fuerannúmeros naturales. Luego se coloca la coma en el resultado, separando tantas cifras comodecimales tengan en conjunto los dos factores.5,09 · 7,12 = 36,24084,2 · 9,17 = 38,514 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROSPara multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000,... se seguida 1.000,desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad.Ejemplos:3,2 x 10 = 32 3,2 x 100 = 320 3,2 x 1.000 = 3.200 PARA PRACTICAR Y APRENDERCalcula3,25x 10= 3,25 x 100 = 3,25 x 1.000 =3,25 x 10.000 = 3,25 x 100.000 = 3,25 x 1.000.000 =4,1 x 10 = 4,1 x 100 = 4,1 x 1.000 =4,1 x 10.000 = 4,1 x 100.000 = 4,1 x 1.000.000 =x 100 = 0,3 x 100 =Primero, escribe cada fracción decimal en forma de número decimal. Después, resuelve. DespuRealiza el siguiente producto:Averigua cuáles de las siguientes expresiones son ciertas.
  • 17. Calcula las siguientes multiplicaciones de números decimales.32,43 x 2,4 = 4,131 x 3,2 = 431,4 x 3,5 =25,49 x 31,3 = 289,1 x 2,13 = 49,63 x 2,14 =(4,213 + 21,36) x 4,21 (32,46 - 18,213) x 21,5 DIVISION DE DECIMALESLas divisiones en las que participan números decimales pueden ser de varios tipos. Cada uno deestos casos se resuelve de forma diferente: DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR LA UNIDAD SEGUIDA DE CEROSPara dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1.000, ... se desplaza lacoma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad.Ejemplos:24,2 : 10 = 2,42 24,2 : 100 = 0,242 24,2 : 1.000 = 0,0242 DIVISIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL POR UNO NATURALPara dividir un número decimal por un número natural se hace la división como si fuesennúmeros naturales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal.Ejemplos:
  • 18. DIVISIÓN DE UN NÚMERO NATURAL POR UNO DECIMALPara dividir un número natural por un número decimal se suprime la coma del divisor y a laderecha del dividendo se ponen tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Después sehace la división como si fuesen números naturales.Ejemplo: DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALESPara dividir dos números decimales se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma deldividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga el divisor; si es necesario, seañaden ceros.Luego se realiza la división como la división de naturales, teniendo presente que en el momentoen que se baje la primera cifra decimal del dividendo se colocará la coma en el cociente.Ejemplo: PARA PRACTICARCalcula las siguientes divisiones:81,2 : 10 = 81,2 : 100 = 81,2 : 1.000 =81,2 : 10.000 = 81,2 : 1 00.000 = 81,2 : 1.000.000 =5,3 : 10 = 5,3 : 100 = 5,3 : 1.000 =5,3 : 10.000 = 5,3 : 100.000 = 5,3 : 1.000.000 =24,2 : 10 = 2,42 24,2 : 100 = 0,242 24,2 : 1.000 = 0,0242(4,32 + 71,6 + 18,1) : 10 (3,71 + 81,6 + 18,214 ) : 100 (731,25 - 49,138) : 4(321,2 - 216,48) : 1.000 (482,14 - 18,186) : 10.000 5.490 : 1,224,326 : 3 = 32,156 : 4 = 267,05 : 5 = 39,120 : 6 = 412,16 : 7 = 52,632 : 8 =(4,32 + 18,2 + 36,49) : 3 585 : 1,3 7.749 : 1,232.875 : 2,3 12.936 : 2,31 25.442 : 2,231.176 :1,2 (427,18 + 381,23 + 191,59) : 2,5(1.214,28 + 672,14 + 113,58) : 1,2512,25 : 0,7 29,095 : 2,3 799,46 : 1,42958,5 : 21,3 20,88 : 2,4 4,340 : 3,5 PROBLEMAS CON NÚMEROS DECIMALESUn agricultor ha recolectado 1.500 kg de trigo y 895 kg de cebada. Ha vendido el trigo a 22,35ptas. el kilo y la cebada a 19,75 ptas. el kilo. Calcula:Trigo →Cebada →
  • 19. a) El total recibido por la venta del trigo y la cebada.b) La diferencia entre lo que ha recibido por la venta del trigo y lo que ha recibido por la ventade la cebada.Un coche A consume 7,5 litros de gasolina por cada 100 kilómetros y otro coche B consume 8,2litros de gasolina por cada 100 kilómetros. Calcula:Coche A→Coche B→a) La gasolina que consume cada coche en un kilómetro.b) El importe de la gasolina que consume cada coche en un trayecto de 540 kilómetros, si e l litrode gasolina cuesta 98 ptas.Un litro de aceite pesa 0,92 kg. Calcula:a) El peso de 8 bidones de aceite de 10 litros cada uno.b) Los litros de aceite que contiene un bidón que pesa 23 kg.En un colegio se han hecho grupos para participar en unas competiciones de salto delongitud y salto de altura. Éstos son los tres grupos clasificados.Calcula.a) La media en metros que ha conseguido cada grupo en salto de longitud.• Grupo A→• Grupo B→• Grupo C→b) La media en metros que ha conseguido cada grupo en salto de altura.• Grupo A→• Grupo B→• Grupo C→En el siguiente cuadro aparece la equivalencia de algunasmonedas extranjeras con la peseta. Calcula:a) El valor en pesetas que son 120 dólares.b) El valor en pesetas que son 25 francos franceses y 10 librasesterlinas.Un camión transporta 3 bloques de mármol de 1,3 toneladas cadauno y 2 vigas de hierro de 0,5 toneladas cada una. Calcula:a) El total de toneladas que transporta el camión.b) El total de kilos que transporta el camión, si 1 tonelada es igual a 1.000 kilos.La yarda es una unidad de longitud inglesa que equivale a 0,914 metros. Calcula:
  • 20. a) La longitud en metros de un trayecto A que mide 100 yardas y la longitud enmetros de un trayecto B que mide 180 yardas.Trayecto A→Trayecto B→b) La longitud en yardas de un trayecto C que mide 18,28 metros y la longitud en yardas de untrayecto D que mide 45,7 metros.Trayecto C→Trayecto D→c) La diferencia en milímetros que hay entre un metro y una yarda.Calcula.En el siguiente cuadro aparece el número de calorías que tiene aproximadamente 1 gramo dealgunos alimentos.a) El número de calorías que tienen una barra de pan de 125 gramos, una manzana de 175gramos y un filete de 150 gramos.Barra de pan →Manzana→Filete→b) El número de calorías que tienen 125 gramos de queso blanco, un filete de180 gramos y 250 gramos de espárragos.Queso blanco→Filete→Espárragos→c)El peso en gramos de una manzana que tiene 41,6 calorías, de un filete que tiene 525 caloríasy de una barra de pan que tiene 1.402,5 calorías.Manzana →Filete →Barra de pan → PIENSA Y CALCULA¿Qué número multiplicado por 6,025 da como resultado un número cuatro unidades menor queel número 40,15?Sugerencia 6,025 · x = 40,15 – ECUACIONES DE PRIMER GRADOUna ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, enlas que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionadosmediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes oconstantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otrasoperaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valoresque se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
  • 21. La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 sonconstantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que lasatisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que valorcumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es: Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADODada la ecuación:1- Transposición:Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de laecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que: Sisumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la umamosigualdad no varía.En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro ladorestando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6) 9); oLa ecuación quedará así:Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primermiembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantesnuméricas, han quedado en el segundo miembro (a la derecha).2- Simplificación:El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.Realizamos la simplificación del primer miembro:Y simplificamos el segundo miembro:La ecuación simplificada será:3- Despejar:Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad.Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo(en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar su signo).Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos miembros, la igualdad no varía.En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej:n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar su signo).Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como estámultiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en laque x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.
  • 22. Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultadodiera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)Por tanto, simplificando, la solución es:RESUMIENDO:Para resolver estas ecuaciones debemos seguir los siguientes pasos:1º Se resuelven los paréntesis y corchetes.2º Se efectúan las operaciones indicadas.3º Se reúnen en un miembro todos los términos que contengan la variable y en otro miembrotodas las cantidades numéricas. antidades4º Se reducen los términos semejantes en ambos miembros.5º Se despeja la incógnita o variable.6º Se comprueba la ecuación reemplazando el resultado en la variable. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO: PROBLEMAPongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble delas canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver esteproblema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:Se podría leer así: El número de canicas que tengo más tres que me dan es igual al doble demis canicas quitándome dos. El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramentecuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos términosindependientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambiade miembro cambia también de signo. Así obtenemos:Que, simplificado, resulta:Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamosigualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa quepodemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuaciónpor el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambosmiembros por -1 obtendremos: 1Recuerda: Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restandopasa sumado.Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si losdivide pasa multiplicando.
  • 23. Vamos a resolver la ecuaciónPrimero pasamos los términos en x a un miembro y los términos independientes a otro, luegooperamos en cada uno de los miembro y despejamos xEjemplo 1.Vamos a resolver la ecuaciónEl primer paso será quitar los paréntesis, realizando los productos correspondientes, luegopasamos los términos en x a un miembro y los términos independientes a otro, posteriormenteoperamos en cada uno de los miembro y despejamos xEjemplo 2.Ejemplo 3.Ejemplo 4Ejemplo 5Al tener denominadores lo primero que haremos será eliminarlos, multiplicando los dos miembrosde la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Así queda una ecuación conparéntesis, los eliminamos realizando los productos correspondientes, luego pasamos lostérminos en x a un miembro y los términos independientes a otro, posteriormente operamos encada uno de los miembro y despejamos x. El perímetro del triangulo isósceles, en la figura mide 43/6m. los lados congruentes miden 10/3 m cada uno. ¿Cuál es la longitud del tercer lado? Si hallamos x a la longitud desconocida, podemos modelar el problema con la ଵ଴ ଵ଴ ସଷ expresión: + + X = que es una igualdad en la que aparece un ଷ ଷ ଺ término desconocido. Estas igualdades se denominan ecuaciones.
  • 24. ଵ଴ ଵ଴ ସଷ ଶ଴ ସଷ ସଷ ଶ଴:ሺ + ሻ+X ൌ ൅ ܺൌ X= െ ଷ ଷ ଺ ଷ ଺ ଺ ଷ ଵଶଽିଵଶ଴ ଽ ଷܺൌ X= ‫ ܽ݀ ݋݂݈݀݊ܽܿ݅݅݌݉݅ݏ ݕ‬ൌ ଵ଼ ଵ଼ ଺Plantear ecuaciones es una estrategia que se usa para hallar la solución de un problema.Ejemplo:5x = 7x + 15 2Se pasa el término independiente al primer miembro5x - 15 = 7x 2Se pasa el divisor 2 al primer miembro (5x - 15). 2 = 7xSe aplica propiedad distributiva 10x - 30 = 7xSe agrupan los números que contienen x en el primer miembro y el término independiente sepasa al segundo miembro10x - 7x = 303x = 30x = 30 : 3x = 10 PIENSA Y RESUELVEObserva el ejemplo resuelto y calcula de ese modo los restantes. 4,21 - x = 2,8 x = 4,21 - 2,8 = 1,418,42 - x = 5,6 x = 9,7 - x = 4,21 x =12,5 - x = 7,46 x = 28,7 - x = 14,92 x =49,8 - x = 12,63 x = 58,6 - x = 21,42 x =x + 4 = 28 y - 6,5 = 318z = 40 + 3z 10x = - 5x + 60- 15y + 3 = - 36 - 18y 2x + 4 + (3x - 4) = 3x + 124(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5 15x - 40 - 5x - 20 = 016 - ( - 2x - 4) - (5x - 3x + 2) = - 4x - ( - 8x + 2) x + 5 = 35x + x + 9 = 25 2x + x + x + 4x - 9 = 5x -35x + 15 = 14 + 6 + 7 + x 3x + x = 4x + x - 22x + x +4x = 10x - 3 ଵ ଷX + ଶ=ସ2X + 2 – 6 +8 = 25 7x + 1 + 3 -8 = 24 3 3 X – 5 + 8 -6 = 42 5x +2 – 8+ 7 = 85 5 4Observa el ejemplo resuelto y calcula de este modo los restantes, utilizando los conocimientosadquiridos en temas anteriores.
  • 25. Resuelve los siguientes problemas planteando la ecuación respectiva.• El último año un tendero perdió 17 clientes que se mudaron. Si ahora tiene 73 clientes, ¿cuántos tenia originalmente?• Mauricio piensa un número, le agrega 18 y obtiene 63.?Qué número pensó?• La suma de 3 números es 263; el primer sumando es 39, el tercero es la suma de adicionar 41 al primer sumando. ¿Cuál es el segundo sumando?• Ocho veces un numero mas el opuesto de 18 es 324; ¿Cuál es el número?• Si el producto de un número con -12 se le adiciona -10, el resultado es 38. ¿cuál es el número?••http://sectormatematica.cl/basica/santillana/operaciones_con_decimales.pdfwww.indexnet.santillana.eshttp://www.escolar.com/menumate.htmD. Efectúa las operaciones con fracciones: