2. Introducción
Identidad trigonométrica es una igualdad
algebraica entre razones de un mismo
ángulo que se verifica para cualquier valor
que se atribuya a dicho ángulo (Anfossi,
1962, p. 48).
1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 2
3. Identidades de:
1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 3
1. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
1
𝑐𝑠𝑐 𝛼
2. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
1
𝑠𝑒𝑐 𝛼
3. 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑡 𝛼
4. 𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
1
𝑡𝑎𝑛 𝛼
5. 𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼
6. 𝑐𝑠𝑐 𝛼 =
1
𝑠𝑒𝑛 𝛼
7. 𝑠𝑒𝑛 (90° − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼
8. 𝑐𝑜𝑠 (90° − 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼
9. 𝑡𝑎𝑛 (90° − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑡 𝛼
10. 𝑐𝑜𝑡 (90° − 𝛼) = 𝑡𝑎𝑛 𝛼
11. 𝑠𝑒𝑐 (90° − 𝛼) = 𝑐𝑠𝑐 𝛼
12. 𝑐𝑠𝑐 (90° − 𝛼) = 𝑠𝑒𝑐 𝛼
Funciones
inversas
Ángulo
complementario
13. 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1
14. 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼
15. 𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼
16. 𝑠𝑒𝑐2
𝛼 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝛼
17. 𝑐𝑠𝑐2𝛼 = 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝛼
Elementales
4. Identidades de:
1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 4
26. 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼
27. 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼
28. 𝑡𝑎𝑛 2𝛼 =
2 𝑡𝑎𝑛 𝛼
1 − 𝑡𝑎𝑛2𝛼
29. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 2 𝑠𝑒𝑛
𝛼
2
𝑐𝑜𝑠
𝛼
2
30. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2
𝛼
2
− 𝑠𝑒𝑛2
𝛼
2
31. 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
2 𝑡𝑎𝑛
𝛼
2
1 − 𝑡𝑎𝑛2 𝛼
2
Productos y cocientes
18. 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝛼
19. 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝛼
20. 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 + 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽
21. 𝑐𝑜𝑠 (𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽
22. 𝑡𝑎𝑛 (𝛼 + 𝛽) =
𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝑡𝑎𝑛 𝛽
1 − 𝑡𝑎𝑛 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛽
23. 𝑡𝑎𝑛 (𝛼 − 𝛽) =
𝑡𝑎𝑛 𝛼 − 𝑡𝑎𝑛 𝛽
1 + 𝑡𝑎𝑛 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛽
24. 𝑐𝑜𝑡 (𝛼 + 𝛽) =
𝑐𝑜𝑡 𝛼 𝑐𝑜𝑡 𝛽 − 1
𝑐𝑜𝑡 𝛼 + 𝑐𝑜𝑡 𝛽
25. 𝑐𝑜𝑡 (𝛼 − 𝛽) =
𝑐𝑜𝑡 𝛼 𝑐𝑜𝑡 𝛽 + 1
𝑐𝑜𝑡 𝛽 − 𝑐𝑜𝑡 𝛼
Sumas y diferencias
5. Identidades de:
1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 5
36. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2 𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝛼 + 𝛽) 𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝛼 − 𝛽)
37. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2 𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝛼 − 𝛽) 𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝛼 + 𝛽)
38. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 2 𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝛼 + 𝛽) 𝑐𝑜𝑠
1
2
(𝛼 − 𝛽)
39. 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 2 𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝛼 + 𝛽) 𝑠𝑒𝑛
1
2
(𝛼 − 𝛽)
Transformación de sumas y diferencias en
productos
32. 2 𝑠𝑒𝑛2
𝛼
2
= 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼
33. 2 𝑐𝑜𝑠2
𝛼
2
= 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼
34. 𝑠𝑒𝑛
𝛼
2
=
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼
2
35. 𝑐𝑜𝑠
𝛼
2
=
1 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼
2
34. 𝑡𝑎𝑛
𝛼
2
=
1 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼
1 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼
35. 𝑡𝑎𝑛
𝛼
2
=
−1 ± 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝛼
𝑡𝑎𝑛 𝛼
Un semiángulo
(Anfossi, 1962, p. 205-206)
6. 1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 6
Solución del ejercicio 9 tomado de la página 111 del
curso de Trigonometría Rectilínea (Anfossi, 1962).
2 − 𝑠𝑒𝑐2𝛼
𝑠𝑒𝑐2𝛼
= 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 (1)
𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼
(2)
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑟á 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 (5):
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 2 𝑒𝑛 1 , 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
2 −
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼
2
1
𝑐𝑜𝑠 𝛼
2 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 3
7. 1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 7
2 −
1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
= 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (3), 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
2 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 − 1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
= 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
2 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼
1 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼
= 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
2 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝑐𝑜𝑠2𝛼
= 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
2 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 − 1 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 (4)
8. 1 5 / 0 5 / 2 0 2 3 I d e n t i d a d e s T r i g o n o m é t r i c a s 8
𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1
𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 1 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 4 , 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 13 :
2 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 − 1 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 (4)
2 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 − (𝑠𝑒𝑛2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 (5)
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 , 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠:
2 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 − 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼
𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 (6)
𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 (27):
𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 7
𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 7 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 6 , 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝑐𝑜𝑠 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 𝑙𝑞𝑑
9. Gracias
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