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Universidad Tecnológica de          Torreón. Ejemplos de Distribuciones de        probabilidad.           -Bernoulli      ...
-BERNOULLI1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es laprobabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad ...
° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.                        P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/3...
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta elpunto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grup...
3.Exactamente dos personas.Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular laprobabilidad de que salgan más caras qu...
Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos decontabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad d...
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p(x ≤ 75)                                 Probabilidad                                 acumulada.      z                  ...
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Gamma (a p)a : Escala        60000p : Forma         20000Punto X           10000Cola Izquierda Pr[X<=k]           0,9826Co...
T DE STUDENTEjemplo 1: Un fabricante de focos afirma que su producto durará unpromedio de 500 horas de trabajo. Para conse...
Ejemplo 2: El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días e...
Ejemplo 3: La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienenmedia μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la pro...
- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anterioreshasta cruzarnos en el punto w0=95.Por tanto el perc...
0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil bus...
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  1. 1. Universidad Tecnológica de Torreón. Ejemplos de Distribuciones de probabilidad. -Bernoulli - Binomial -Poisson -Normal -Gamma -T de student Lizbeth Martinez. 2A
  2. 2. -BERNOULLI1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es laprobabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.8882) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darlesun premio, pero la maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cuales la probabilidad de que salga el alumno numero 16?° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.93753) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento desacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay para que pueda salirpremiado el boleto número 342?° La probabilidad de que saque el boleto número 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292
  3. 3. ° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342. P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.997074) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) seconsiderará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale(1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en unlanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, esdecir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todoslos requisitos.° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5 Distribución BinomialEjemplo 1:Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidadde que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50,1/6) y la probabilidad sería P(X=20):Ejemplo 2:
  4. 4. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta elpunto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupode 4 amigos son aficionados a la lectura:1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido lanovela 2 personas?B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.22.¿Y cómo máximo 2?Ejemplo 3:Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de lamisma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablasactuales, la probabilidad de que una persona en estascondiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidadde que, transcurridos 30 años, vivan:1. Las cinco personas.B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/32.Al menos tres personas.
  5. 5. 3.Exactamente dos personas.Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular laprobabilidad de que salgan más caras que cruces.B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5Ejemplo 5:La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4.Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acier teexactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad deque acierte por lo menos en una ocasión?B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4 POISSON
  6. 6. Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos decontabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de quesi tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentesn= 100P=0.03 =100*0.03=3x=5Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociadauna probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores condefectos.n=85P=0.02P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746X=4 =1.7Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan rusocalcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de elloshablan ruson=20P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418X=3 =3Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresapresentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros conproblemas?n=40P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793
  7. 7. =3.2 X=5 Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas? n=40 P=0.08 =10 NORMAL1.- Una población normal tieneuna media de 80 una desviaciónestándar de 14.0 µ = 80 σ = 14 za) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90 Probabilidad μ acumulada. z = 0.7611 z =0.3594 p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.
  8. 8. p(x ≤ 75) Probabilidad acumulada. z 0.3594 p(x ≤ 75) = 0.3594 75 80 μ c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p (55 ≤ x ≤ 70) Probabilidad acumulada. z =0.2389 z =0.0367 55 70 80 p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022 μ 2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que: µ= $70,00 σ =$20,0z a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x ≥ 80,000) Probabilidad acumulada. – z = 0.6915
  9. 9. p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085 70000 80000 μb) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) Probabilidad acumulada. – z = 0.6915 – z =0.4013 65000 70000 80000 μ p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x ≥ 65,000) Probabilidad acumulada. – z =0.4013 p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987 65000 70000 μ 3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5 minutos. µ = 38.3 min.
  10. 10. σ = 7.5 min. za) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? µ = 1,200 p( x ≤ 30) σ = 225 Probabilidad Probabilidad acumulada. acumulada. 5% = .0500 – z 0.1335 = p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3 μb) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad acumulada. – z = 0.3300 – z = 0.1335 30 35 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? p(30 ≤ x ≤ 40) Probabilidad acumulada. – z = 0.5910 – z =0.1335 30 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75%4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área deRichmond, Virginia, tiene una distribución normal, con unamedia de $1,200 y una desviación estándar de $225. Al
  11. 11. fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario? z 1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 z 1.65 5% ó 0.0500– X= x = 1,571.25 1,571.2 5 5.-En 2004 y 2005, el costo z medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?
  12. 12. – z 1.64 95% ó 0.9500 x = 27,462. X= 27,46 275µ = 20,082σ = 4,500 Probabilidad Valor acumulada. de z95% = .9500 = DISTRIBUCIÓN GAMMALa distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en laocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable quemide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gammacon parámetros a= n lambda(escala) y p=n (forma). Se denotaGamma(a,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración deelementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, esmuy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo enuna consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).Ejercicio 1El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de unahora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada delsegundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
  13. 13. Gamma (a p)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.Ejercicio 2Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una ciertaintervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 yp=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  14. 14. T DE STUDENTEjemplo 1: Un fabricante de focos afirma que su producto durará unpromedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio estapersona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Quéconclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duraciónfue?: 520 521 511 513 510 µ=500 h 513 522 500 521 495 n=25 496 488 500 502 512 Nc=90% 510 510 475 505 521 X=505.36 506 503 487 493 500 S=12.07SOLUCIÓN. t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24t = 2.22 Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.
  15. 15. Ejemplo 2: El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que poneel despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase,mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el despertador,llega a tiempo adar su primera clase.(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a darsu primera clase?Solución:En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamosrealizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesorPérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertadorT ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo desucesos. A continuación traducimos en términos de probabilidad de lossucesos anteriores todos los datos que nos dan en el enunciado. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , portanto nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistemacompleto de sucesos, podemos aplicar la formulas de la probabilidadtotal, de donde tenemos que: P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos haproporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos directamenteel valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos queP(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior sepuede escribir como: P(T¯) = + =0.69
  16. 16. Ejemplo 3: La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienenmedia μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que enuna muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a20.5 mm:P (μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 gradosde libertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)P (T<2.5) = 0.9902P (μ<20.5)=0.9902La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos seainferior a 20.5 mm es del 99.02%Ejemplo 4:Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.Solución.1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica: S [W · w0=95] = 0=95Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso:0=95=
  17. 17. - ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anterioreshasta cruzarnos en el punto w0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad seráel valor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta laprimera columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lohacemos verticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95(probabilidad acumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colasprobabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular elpercentil w0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con los datos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al casoanterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:w0=95 = 1=6973Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828Ejemplo 5 :Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos detener en cuenta que:df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)
  18. 18. 0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

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