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  • 1. Universidad Tecnológica de Torreón. Ejemplos de Distribuciones de probabilidad. -Bernoulli - Binomial -Poisson -Normal -Gamma -T de student Lizbeth Martinez. 2A
  • 2. -BERNOULLI1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es laprobabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.8882) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles unpremio, pero la maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es laprobabilidad de que salga el alumno numero 16?° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.93753) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento desacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay para que pueda salirpremiado el boleto número 342?° La probabilidad de que saque el boleto número 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342. P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707
  • 3. 4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) seconsiderará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale(1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en unlanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, esdecir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todoslos requisitos.° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5 Distribución BinomialEjemplo 1:Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad deque el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) yla probabilidad sería P(X=20):Ejemplo 2:La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta elpunto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupode 4 amigos son aficionados a la lectura:1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido lanovela 2 personas?
  • 4. B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.22.¿Y cómo máximo 2?Ejemplo 3:Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de lamisma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablasactuales, la probabilidad de que una persona en estascondiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidadde que, transcurridos 30 años, vivan:1. Las cinco personas.B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/32.Al menos tres personas.3.Exactamente dos personas.
  • 5. Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular laprobabilidad de que salgan más caras que cruces.B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5Ejemplo 5:La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4.Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierteexactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad deque acierte por lo menos en una ocasión?B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4 POISSON Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes • n= 100 • P=0.03 • =100*0.03=3
  • 6. • x=5 Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos.• n=85• P=0.02• P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746• X=4• =1.7 Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso• n=20• P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418• X=3• =3 Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas?• n=40• P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793• =3.2• X=5
  • 7. Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienendefecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas?n=40P=0.08 =10 DISTRIBUCIÓN NORMAL.
  • 8. DISTRIBUCIÓN GAMMA
  • 9. La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en laocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mideel tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma conparámetros a= nn lambda(escala) y p=n (forma). Se denotaGamma(a,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementosfísicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muyutilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en unaconsulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).Ejercicio 1El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una horahasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundopaciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a p)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.Ejercicio 2Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una ciertaintervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 yp=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  • 10. T DE STUDENTEjemplo 1: Un fabricante de focos afirma que su producto durará unpromedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio estapersona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusióndeberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: 520 521 511 513 510 µ=500 h 513 522 500 521 495 n=25 496 488 500 502 512 Nc=90% 510 510 475 505 521 X=505.36 506 503 487 493 500 S=12.07SOLUCIÓN. t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24
  • 11. t = 2.22 Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.Ejemplo 2: El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone eldespertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase,mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el despertador,llega a tiempo adar su primera clase.(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a darsu primera clase?Solución:En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamosrealizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesorPérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertadorT ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo desucesos. A continuación traducimos en términos de probabilidad de lossucesos anteriores todos los datos que nos dan en el enunciado. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , portanto nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema
  • 12. completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de la probabilidad total,de donde tenemos que: P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos haproporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos directamente elvalor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos queP(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior sepuede escribir como: P(T¯) = + =0.69Ejemplo 3: La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienenmedia μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que enuna muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a20.5 mm:P (μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados delibertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)P (T<2.5) = 0.9902P (μ<20.5)=0.9902La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos seainferior a 20.5 mm es del 99.02%Ejemplo 4:Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:
  • 13. 1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.Solución.1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica: S [W · w0=95] = 0=95Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso:0=95=- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anterioreshasta cruzarnos en el punto w0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad seráel valor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta laprimera columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemosverticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidadacumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colasprobabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentilw0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con los datos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al casoanterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:
  • 14. w0=95 = 1=6973Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828Ejemplo 5 :Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos detener en cuenta que:df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840