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Distribuciones de probabilidad. Distribuciones de probabilidad. Document Transcript

  • Universidad Tecnológica de Torreón.Distribuciones de probabilidad. -Bernoulli - Binomial -Poisson -Normal -Gamma -T de student Lizbeth Martinez. 2A DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI.
  • En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (odistribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científicosuizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, quetoma valor 1 para la probabilidad de éxito p y valor 0 para laprobabilidad de fracaso q = 1 − p. Por lo tanto, si X es una variablealeatoria con esta distribución.Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar sicierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto seaasí (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso). Existen muchas situaciones enlas que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos esindependiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimentono depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha deadmitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Lasprobabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos losexperimentos.-Un experimento que tenga dos resultados. Al primero se le llama éxito yal otro fracaso. La probabilidad por éxito se denota por p. porconsecuencia la probabilidad de fracaso es 1-p. lo anterior representa unensayo de Bernoulli con probabilidad de éxito p. el mas el mas sencillode este es el lanzamiento de una moneda. Los posibles resultados son dos“cara o cruz” si cara se define como éxito, entonces p constituye esaprobabilidad. En una moneda p= ½N=número de elementos.P=éxito.q=fracaso.X=variable aleatoriaLa distribución Bernoulli estada por los únicos dos valores posibles quedeben ser 1 y 0; de no cumplirse esta regla es decir si se quebranta seestaría ablando de que no es una distribución Bernoulli sino otra de lastantas distribuciones.Ejemplo:X p1 .50 .5Suma 1
  •  Si se lanza una moneda 5 veces ¿Probabilidad de que se obtenga 3 veces cruz?N=5P=.5q=.5X=3P= (1) (.5)3 (.5)2 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.La distribución binomial esta asociada a experimentos del siguiente tipo:- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo laposibilidad de éxito o fracaso.- La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente dela obtención de éxito oFracaso en las demás ocasiones.- La probabilidad de obtener ´éxito o fracaso siempre es la misma encada ocasión.Veámoslo con un ejemploTiramos un dado 7 veces y contamos el numero de cincos queobtenemos. ¿Cual es la probabilidad de obtener tres cincos?.Este es un típico ejemplo de distribución binomial, pues estamosrepitiendo 7 veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cual es nuestro´éxito?.Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.El fracaso, por tanto, seria no sacar 5, sino sacar cualquier otro numero.
  • Por tanto, Éxito = E = “sacar un 5” = ´ ⇒p(E) =16Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒p(F) =56Para calcular la probabilidad que nos piden, observemos que nos dicenque sacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 ´éxitos y 4 fracasos, ¿decuantas maneras pueden darse estas posibilidades?.Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sinsacar cinco, es decir: EEEFFFFPero también podríamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamoscalculando la E es éxito y la F es fracaso. POISSONEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson esuna distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de unafrecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra undeterminado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.La función de masa de la distribución de Poisson es donde k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces). λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por
  • minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40. e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria condistribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superiorson polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen unainterpretación combinatoria. De hecho, cuando el valor esperado de ladistribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ noentero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (lossímbolos representan la función parte entera). Cuando λ es un enteropositivo, las modas son λ y λ − 1.La función generadora de momentos de la distribución de Poisson convalor esperado λ esLas variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad deser infinitamente divisibles.La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poissonde parámetro λ0 a otra de parámetro λ esPara qué sirve conocer que algo es Poisson?Porque si se tiene caracterizado el comportamiento probabilístico de unfenómeno aleatorio, podemos contestar preguntas como: • Qué probabilidad hay de que lleguen más de 15 clientes al banco en un intervalo de 5 minutos de duración? • Qué probabilidad hay de que suceda por lo menos una falla en un tramo de 1km de tubería de gas? • Qué probabilidad hay de que en un estanque de cultivo de camarón, haya más de media tonelada? • Qué probabilidad hay de que en un área de 1km se encuentren más de 3 brotes de una enfermedad?Por qué algunas cosas supimos de antemano que iban a ser Poisson yque otras no?
  • Porque los fenómenos que son procesos de Poisson en la línea o en eltiempo, en la superficie, o en el espacio, tienen algunas característicasque matemáticamente la delatan, como son: • Que se está contando el número de eventos que suceden en un área (o intervalo de tiempo, o volumen) determinada. • Que la probabilidad de que suceda un evento sobre un área muy pequeña, es también muy pequeña. • Que en un mismo lugar (o en el mismo tiempo), no pueden suceder más de uno solo de los eventos que se están contando. • Que si se duplica el tamaño de la superficie (intervalo de tiempo, etc.), entonces se duplica la probabilidad de registrar ahí un evento.Notas y conclusiones • Los ejemplos vistos de procesos de Poisson, son homogéneos en el sentido de que la probabilidad de que suceda un evento no varía según la posición sobre el espacio. Existen también procesos de Poisson que son heterogéneos. • Se concluye que los fenómenos aleatorios no son tan impredecibles como se pudiera pensar. Que en efecto, muestran un concepto llamado regularidad estadística, que es la que hace que éstos se puedan estudiar matemáticamente. • Que un observador de un fenómeno aleatorio, no puede esperar más que cuantificar la posibilidad de que el mismo suceda. DISTRIBUCIÓN NORMALSe le llama distribución normal, distribución de Gauss o distribucióngaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variablecontinua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenosreales.La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y essimétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conocecomo campana de Gauss y e es el gráfico de de una función gaussiana.
  • ejemplo de alguna grafica seria: DISTRIBUCIÓN GAMMAEs una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variablesaleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentanuna mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. Ensu expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) alfa y (β)beta de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la funciónGamma Γ(α), responsable de la convergencia de la distribución.Los parámetros de la distribuciónEl primer parámetro (α) sitúa la máxima intensidad de probabilidad y por estemotivo en algunas fuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando setoman valores próximos a cero aparece entonces un dibujo muy similar al de ladistribución exponencial. Cuando se toman valores más grandes de (α) el centrode la distribución se desplaza a la derecha y va apareciendo la forma de unacampana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo parámetro (β) el quedetermina la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidadde probabilidad en la cola de la derecha. Para valores elevados de (β) ladistribución acumula más densidad de probabilidad en el extremo derecho de lacola, alargando mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo del
  • plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de probabilidadse va reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeñosde (β) conducen a una figura más simétrica y concentrada, con un pico dedensidad de probabilidad más elevado. Una forma de interpretar (β) es “tiempopromedio entre ocurrencia de un suceso”. Relacionándose con el parámetro dela Poisson como β=1/λ. Alternativamente λ será el ratio de ocurrencia: λ=1/β. Laexpresión también será necesaria más adelante para poder llevar a cabo eldesarrollo matemático.La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se estáinteresado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poissonde media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener nocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetrosa=n×lambda (escala) y p=n (forma). Se denota Gamma(a,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de laduración de elementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Poresta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento yfenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo quetranscurre hasta la llegada del segundo paciente”), la teoría de la cola,electricidad, procesos industriales. T DE STUDENTEn probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es unadistribución de probabilidad que surge del problemade estimar la media de una población normalmente distribuida cuandoel tamaño de la muestra es pequeño.Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para ladeterminación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para laconstrucción del intervalo de confianza para la diferencia entre lasmedias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacióntípica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos deuna muestra.
  • Es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar lamedia de una población normalmente distribuida cuando el tamaño dela muestra es pequeño.Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para ladeterminación de las diferencias entre dos medias muestrales y para laconstrucción del intervalo de confianza para la diferencia entre lasmedias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típicade una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de unamuestra.