Este documento apresenta 20 exercícios sobre matrizes e determinantes, sistemas de equações lineares e álgebra vetorial. Os exercícios envolvem cálculo de determinantes, inversão de matrizes, resolução de sistemas lineares e operações com vetores como produto escalar e produto vetorial.

1. Geometria Analítica e Álgebra Linear 1
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT
Primeira Lista de Exercícios
Disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear Código: MA71B
Assunto: Matrizes e Determinantes, Sistemas de Equações Lineares, e Álgebra Vetorial.
Professor: Luiz Fernando Nunes
OBS: Esta lista foi desenvolvida apenas para auxiliar os alunos a se prepararem para a
primeira prova. Não é necessário entregá-la ao professor.
1 Matrizes e Determinantes:
1. Sendo A =
2 1
3 0
2 -1










; B =
2 3
1 5





 ; C =






1 0 5
4 3 1
, encontre, se existir, a matriz X
para cada situação a seguir:
a) A.X = CT
b) A + CT
= X . B
c) X = CT
. AT
2. Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o
valor de x na equação det (2.A.AT
) = 4x ?
3. Seja a matriz quadrada A = [aij ] de ordem 2, tal que











jise
j+i
sen
j=ise
.2
cos
=
ji
aij .
Calcule o determinante de A. Se det A0 ache A 1
.
4. Dada a matriz A =
1 2 7
0 3 1
0 5 2










, ache (A 1
)T
e (AT
) 1
.
Conclua que (A 1
)T
= (AT
) 1
.
5. Encontre as matrizes 





tz
yx
que comutam com a matriz 





10
11
, isto é, ache as
matrizes 





tz
yx
, tais que 





tz
yx
. 





10
11
= 





10
11
. 





tz
yx

2. Geometria Analítica e Álgebra Linear 2
6. Encontre a matriz inversa da matriz A, utilizando operações elementares com linhas,
sendo A =










 831
121
210
.
7. Dada a matriz A, resolva a equação: AAXA T
1
e ache X para A =










 831
121
210
.
8. Ache os valores dos seguintes determinantes:
a)
3301
0400
2105
1243


b)
0ab1
b0aa
0010
1ba0
2 Sistemas de Equações Lineares:
9. Determine o valor de m para que o sistema seja indeterminado:








043
054
03
zy
mzyx
zymx
10. Discuta o sistema em função dos parâmetros a e b








bzyx
zyx
azyx
4
123
532
11. Dado o sistema linear








522
64
31253
wzy
wzyx
wzyx
a) Discuta a solução do sistema.
b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 neste sistema e encontre um valor de k
que o torne incompatível.
12. Resolver os sistemas de equações lineares, reduzindo-os à forma escalonada.
a)








934
12
42
zyx
zyx
zyx
b)








034
23
32
zyx
zyx
zyx

3. Geometria Analítica e Álgebra Linear 3
c)








0245
02
03
zyx
zyx
zyx
d)








122
32
2
zyx
zyx
zyx
13. Discutir os sistemas abaixo, reduzindo-o à forma escalonada.
a)








23
332
1
zayx
azyx
zyx
b)








2
22
44
222
4
bzyx
abazyx
azayx
3 Vetores:
Seja E = (i

, j

, k

) uma base ortonormal dextrógira.
14. Calcule || 2 vu

4+ || ², sabendo que ||u

|| = 1 e ||v

|| = 2, e a medida em radianos do
ângulo entre v

e u

é
2
3

.
15. Ache v

tal que ||v

|| = 3 3 , e seja ortogonal a E1)3,(2,= u

e a Ew )6,4,2( 

16. Ache um vetor unitário ortogonal a u

= (1,3,1) E e a v

= (3,3,3) E
17. A medida em radianos entre u

e v

é de
2
3

. Sendo ||u

|| = 1 e ||v

|| = 7, calcule:
||u

 v

|| ² e || vu

4
3
3
1
 ||
18. Dados u

= 3i

2 j

+6 k

; v

=  3i

5 j

+ 8 k

e w

= i

+ k

, calcule:
a ) a área do paralelogramo construído sobre u

e v

;
b) o volume do paralelepípedo construído sobre u

, v

e w

;
c) a altura do paralelepípedo.
19. Calcular os valores de m para que o vetor u

+v

seja ortogonal a w

 u

onde:
u

= (2, 1, m) E ; v

= (m+2, 5, 2) E e w

= (2m, 8, m) E
20. Resolva o sistema






kikjix
kjix


22
9432
)(
).(

4. Geometria Analítica e Álgebra Linear 4
___________________________________________________________________________
Respostas:
Matrizes e Determinantes:
1. a) Não existe b)












35
7
3
7
12
10
X c)













91511
303
632
X
2. x = 32
3.
4
3
Adet .













3
4
3
32
3
32
0
1
A
4. (A 1
)T
= (AT
) 1
=












3119
5231
001
.
5. 





x0
yx
6.














115
229
3231
1
A
7.  T
AAX 12 
 e X =













119233318
153139
305980
8. a) -208 b) 22
ba 
Sistemas de Equações Lineares:
9. m = 2 ou m =
3
26

10.








...
...
..
DPSba
IPSba
ISba
qualquere3Se
4e3Se
4e3Se
11. a) S.P.I. b) 1k
12. a) O sistema é S.P.I. Assim, para cada z , temos:
3
57 z
x

 e
3
5 z
y

 , ou, a
solução é a tripla 




 
z
zz
,
3
5
,
3
57
.

5. Geometria Analítica e Álgebra Linear 5
b) Sistema Impossível.
c) Após o escalonamento restam 3 equações com 3 incógnitas, logo o sistema é S.P.D.,
e a solução é: x = y = z = 0.
d) x = 4, y = 1 e z =3
13. a)








...2e3Se
...2Se
..3Se
DPSaa
IPSa
ISa
b) A discussão se divide em 3 casos:
 Para a ≠ 4 e a ≠ 1  S.P.D.
 Para a = 4:
b = 8 ou b = 2 S.P.I.
b ≠ 8 e b ≠ 2  S.I.
 Para a = 1
b = 2 ou b =
2
1
S.P.I.
b ≠ 2 e b ≠
2
1
S.I.
Vetores:
14. 52
15. )( kjiv

 3
16. )( kjiv

 2
6
1
17.
4
147
e
8
37
, respectivamente.
18. a ) 49 b) 7 c)
7
1
19. 6m ou 3m
20. kjix

