Clase 5. conjuntos.

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Clase 5. conjuntos.

  1. 1. Conjuntos <ul><li> </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  2. 2. Conjuntos <ul><li>Contenidos del tema: </li></ul><ul><ul><li>Definición de conjunto </li></ul></ul><ul><ul><li>Notaciones </li></ul></ul><ul><ul><li>Relaciones elemento- conjunto y Conjunto- conjunto </li></ul></ul><ul><ul><li>Conjuntos especiales:  . U, N, Z, Q, R </li></ul></ul><ul><ul><li>Diagramas de Venn – Euler </li></ul></ul><ul><ul><li>Operaciones con conjuntos </li></ul></ul><ul><li>     </li></ul>
  3. 3. Definición de conjunto <ul><li>Un conjunto es una colección de elementos bien determinada . </li></ul><ul><li>colección :sinónimo de famila, clase, etc </li></ul><ul><li>elemento :Sinónimo de objeto, miembro, etc </li></ul><ul><li>bien determinada : significa que siempre es posible determinar si un elemento pertenece o no al conjunto </li></ul>
  4. 4. Notación <ul><li>Los conjuntos se representan usualmente con letras mayúsculas: A,B,C,D,.... </li></ul><ul><li>A los elementos que forman parte del conjunto se les denota con letras minúsculas a,b,c,m,s,..... </li></ul>
  5. 5. Relación Elemento- Conjunto: Pertenencia <ul><li>La relación entre conjunto y elemento es la de pertenencia </li></ul><ul><li>Escribimos y decimos: a  A (el elemento a pertenece al conjunto A) </li></ul><ul><li>…… y en caso de que no pertenezca escribimos: a  A ( a no pertenece a A) </li></ul>
  6. 6. Representación con Diagramas de Venn- Euler b . a B A
  7. 7. ¿Son conjuntos o no? <ul><li>Los mejores cantantes del mundo </li></ul><ul><li>Los hombres altos </li></ul><ul><li>Los hombres </li></ul><ul><li>Las chicas simpáticas </li></ul><ul><li>Los perros dálmatas </li></ul><ul><li>Los ganadores del premio Oscar </li></ul>
  8. 8. ¿Cómo se definen los conjuntos? <ul><li>Por descripción verbal </li></ul><ul><li>Por extensión o listado </li></ul><ul><ul><li>Cuando se listan o especifican sus elementos </li></ul></ul><ul><li>Por comprensión </li></ul><ul><ul><li>Cuando se da la propiedad que verifican sus elementos.  Predicados </li></ul></ul>
  9. 9. Ejemplos <ul><li>Descripción verbal : </li></ul><ul><ul><li>El conjunto de los 5 primeros ganadores de la rifa de Fe y Alegría </li></ul></ul><ul><li>Listado : </li></ul><ul><ul><li>A = {Luis, María, Pedro, Iván, José} </li></ul></ul><ul><li>Comprensión : </li></ul><ul><ul><li>A = {x / x es uno de los 5 primeros ganadores de la rifa de Fe y Alegría} </li></ul></ul><ul><ul><li>A = {x / P(x)} </li></ul></ul>
  10. 10. Ejemplos <ul><li>Dados los siguientes conjuntos: </li></ul><ul><ul><li>A = {1,2,3,4,5,6,7,8} </li></ul></ul><ul><ul><li>B = {Luisa, Ana, Pedro} </li></ul></ul><ul><li>Diremos : </li></ul><ul><ul><li>2  A Luisa  B </li></ul></ul><ul><ul><li>10  A Pedro  A </li></ul></ul>
  11. 11. Representación con Diagramas de Venn- Euler Luisa Ana Pedro <ul><li>2 3 </li></ul><ul><li>4 </li></ul><ul><li>5 6 7 8 </li></ul>B A <ul><li>2 3 </li></ul><ul><li>4 </li></ul><ul><li>5 6 7 8 </li></ul>
  12. 12. Subconjuntos Relación Conjunto- Conjunto <ul><li>Decimos que A es subconjunto de B si dado cualquier elemento del conjunto A, entonces éste está en B. </li></ul><ul><li>Esto lo escribimos como: </li></ul><ul><li>A  B   x : x  A  x  B </li></ul>A B
  13. 13. Ejemplos <ul><li>Dados los siguientes conjuntos: </li></ul><ul><ul><li>A = {1,2,3,4,5,6,7,8} </li></ul></ul><ul><ul><li>B = {2,4,6,8} </li></ul></ul><ul><ul><li>C = {1,3,5,7} </li></ul></ul><ul><li>Diremos : </li></ul><ul><ul><li>B  A ( B subconjunto de A) </li></ul></ul><ul><ul><li>C  A ( C subconjunto de A) </li></ul></ul><ul><ul><li>C  B ( C no es subconjunto de B) </li></ul></ul>
  14. 14. Igualdad de conjuntos <ul><li>Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si: </li></ul><ul><li>A  B y B  A </li></ul><ul><li>Es decir : </li></ul><ul><li>A = B   x : (x  A  x  B y </li></ul><ul><li> x  B  x  A) </li></ul>
  15. 15. Ejemplo <ul><li>Sean: A= {a,b } ; B= {a,b,c,d,e} ; </li></ul><ul><li>C = { {a,b },{c} }. </li></ul><ul><li>Diga si las siguientes aseveraciones son Verdaderas o Falsas. </li></ul><ul><li>{ c}  B o { c}  A </li></ul><ul><li>{ c}  B y { c}  A </li></ul><ul><li>  c  A </li></ul><ul><li>{ c, d, a }  B </li></ul><ul><li>{ c}  C </li></ul><ul><li>{a,b,c}  B </li></ul><ul><li>{{a,b }}  C </li></ul>F V F V F V F
  16. 16. Conjunto vacío <ul><li>El conjunto vacío es un conjunto que no tiene elementos. </li></ul><ul><li>A este conjunto lo denotamos por  o por { } </li></ul><ul><ul><li>No confundir con {  }. Este sería un conjunto que tiene un elemento. ¿Cuál? </li></ul></ul>
  17. 17. Complemento de un conjunto <ul><li>Dado un conjunto A, llamamos complemento de A al conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A </li></ul><ul><li>A ‘ = { x / x  A } </li></ul>
  18. 18. Conjunto Universal <ul><li>El conjunto Universal es el complemento del  </li></ul><ul><li> ’ = U </li></ul>U
  19. 19. Conjuntos numéricos <ul><li>Naturales : </li></ul><ul><li>N = {1, 2, 3, 4, 5, …………………..} </li></ul><ul><li>Enteros: </li></ul><ul><li>Z = {……., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, ……} </li></ul><ul><li>Racionales: </li></ul><ul><li>Q = { p/q , p y q enteros y q  0} </li></ul><ul><li>Irracionales: </li></ul><ul><li>I = Q ’ </li></ul>
  20. 20. Q Z N I Reales
  21. 21. Operaciones con conjuntos La Unión <ul><li>Definimos la unión de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos. </li></ul><ul><li>A  B = { x / x  A  x  B } </li></ul>
  22. 22. Ejemplo <ul><li>A = { a,b,c } </li></ul><ul><li>B = { d, e } </li></ul><ul><li>A  B = { a,b,c,d,e } </li></ul>A B A  B
  23. 23. Operaciones con conjuntos La Intersección <ul><li>Definimos la intersección de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. </li></ul><ul><li>A  B = { x / x  A  x  B } </li></ul>
  24. 24. Ejemplo <ul><li>A = { a,b,c, d , e } </li></ul><ul><li>B = { d , e , f } </li></ul><ul><li>A  B = { d , e } </li></ul>A  B A B
  25. 25. Operaciones con conjuntos Diferencia <ul><li>Definimos la diferencia de dos conjuntos A y B a otro conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B </li></ul><ul><li>A - B = { x / x  A  x  B } </li></ul>
  26. 26. Ejemplo <ul><li>A = { a,b,c, d, e } </li></ul><ul><li>B = { d, e , f } </li></ul><ul><li>A - B = {a,b,c } </li></ul>A - B A B A B
  27. 27. Algunas propiedades <ul><li>A  A </li></ul><ul><li>(basta probar que  x : x  A  x  A ) </li></ul><ul><li>¿Cuándo es este condicional verdadero? </li></ul><ul><li>  A </li></ul><ul><li>(basta probar que  x : x    x  A ) </li></ul><ul><li>¿Cuándo es este condicional verdadero? </li></ul><ul><li>¿Cómo es el antecedente? </li></ul><ul><li>(A ’ ) ’ = A </li></ul><ul><li>(Ver que esto es equivalente a probar ~ ~ P(x)  P(x) , siendo P(x) : x  A </li></ul>
  28. 28. Algunas propiedades <ul><li>Conmutativa : </li></ul><ul><ul><li>A  B = B  A y A  B = B  A </li></ul></ul><ul><li>Asociativa: </li></ul><ul><ul><li>A  (B  C) = (A  B)  C </li></ul></ul><ul><ul><li>A  (B  C) = (A  B)  C </li></ul></ul><ul><li>Neutro para la Unión: </li></ul><ul><ul><li>A   = A </li></ul></ul>
  29. 29. Algunas propiedades <ul><li>Neutro para la intersección </li></ul><ul><ul><li>A  U = A </li></ul></ul><ul><li>Distributiva </li></ul><ul><ul><li>A  (B  C) = (A  B)  (A  C) </li></ul></ul><ul><ul><li>A  (B  C) = (A  B)  (A  C) </li></ul></ul><ul><li>De Morgan </li></ul><ul><ul><li>(A  B) ’ = A ’  B ’ </li></ul></ul><ul><ul><li>(A  B) ’ = A ’  B ’ </li></ul></ul>
  30. 30. Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U A B C A  B  C
  31. 31. Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U A B C A- B
  32. 32. Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U A B A  B - A  B
  33. 33. Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U A B C C - A  B
  34. 34. Describir en forma simbólica el área sombreada en los siguientes diagramas de Venn U A C U - A  C
  35. 35. <ul><li>A continuación se dan una serie de conjuntos definidos por comprensión. Se pide definirlos por extensión .(Z es el conjunto de números enteros) </li></ul><ul><ul><li>A = { x  Z / 3 < x  10} </li></ul></ul><ul><ul><li>B = { x  Z / x  1  x  5 } </li></ul></ul><ul><ul><li>C= { x  Z / x < 12  x  8 } </li></ul></ul><ul><li>Utilizando los conjuntos definidos en el ejercicio anterior Encuentre: </li></ul><ul><ul><li>a.A  C b. A  C c. B  C d. A  B </li></ul></ul>
  36. 36. <ul><li>¿Verdadero o falso? ….Justificar la respuesta </li></ul><ul><li>{ -2,0,2 }  { -2,-1,1,2 } </li></ul><ul><li>{2,5 }  { 0,1,2,3,4,5} </li></ul><ul><li>Para cualquier conjunto A se verifica: </li></ul><ul><li>A  A </li></ul><ul><li>   </li></ul><ul><li>{ -7,4,9 }  { x / x es un número impar} </li></ul>

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