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Problemas resueltos-cap-2-fisica-serway

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  • 1. PROBLEMAS RESUELTOS MOVIMIENTOS EN UNA DIMENSION CAPITULO 2 FISICA TOMO 1 Cuarta, quinta y sexta edición Raymond A. Serway MOVIMIENTOS EN UNA DIMENSION 2.1 Desplazamiento, velocidad y rapidez 2.2 Velocidad instantánea y rapidez 2.3 Aceleración 2.4 Movimiento unidimensional con aceleración constante 2.5 Objetos que caen libremente 2.6 Ecuaciones cinemáticas derivadas del calculo. Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010 Para cualquier inquietud o consulta escribir a: quintere@hotmail.com quintere@gmail.com quintere2006@yahoo.com 1
  • 2. Problema 2.1 Edición cuarta de serway; Problema 2.1 Edición sexta de serwayLa posición de un auto de carreras es observada en diferentes tiempos; los resultados se resumieronen la siguiente tabla.Hállese la velocidad promedio del automóvil para:a) el primer segundo,b) los últimos tres segundos, yc) Todo el periodo completo de observación S (m) 0 2.3 9.2 20.7 36.8 57.5 t (seg) 0 1 2 3 4 5la velocidad promedio del automóvil para el primer segundo, Δ x xf - xi 2,3 - 0 2,3 mv = = = = = 2,3 Δt tf - ti 1- 0 1 segla velocidad promedio del automóvil para los últimos tres segundos. Δ x xf - xi 57,5 - 9,2 48,3 mv = = = = = 16,1 Δt Δt 3 3 segla velocidad promedio del automóvil para todo el periodo de observación. Δ x xf - xi 57,5 - 0 57,5 mv = = = = = 11,5 Δt Δt 5 5 segProblema 2.3 Edición sexta de serwayEn la figura P2.3 se ilustra la grafica de posición contra tiempo para cierta partícula que se mueve a lolargo del eje x. Encuentre la velocidad promedio en los intervalos:(a) 0 a 2 seg.,(b) 0 a 4 seg.,(c)2 seg. a 4 seg.,(d) 4 seg. a 7 seg.,(e) 0 a 8 seg.,.Encuentre la velocidad promedio en los intervalost = 0 seg a 2 seg. Δ x xf - xi 10 - 0 10 mv = = = = = 5 Δt tf - ti 2 2 segEncuentre la velocidad promedio en los intervalost = 0 seg a 4 seg. Δ x xf - xi 5 - 0 5 mv = = = = = 1,25 Δt tf - ti 4 4 segEncuentre la velocidad promedio en los intervalost = 2 seg a 4 seg. Δ x xf - xi 5 - 10 - 5 mv = = = = = 2,5 Δt tf - ti 4-2 2 segEncuentre la velocidad promedio en los intervalost = 0 seg a 8 seg. Δ x xf - xi 0 - 0 -0 mv = = = = = 0 Δt tf - ti 8-9 8 seg 2
  • 3. Problema 2.5 Edición sexta de serwayUna persona camina primero a una rapidez constante de 5 m/seg. a lo largo de una recta del punto Aal punto B, y luego regresa a lo largo de la línea de B a A a una rapidez constante de 3 m / seg. CuaIes: (a) su rapidez promedio en todo el viaje?(b) cuál es su velocidad promedio en todo el viaje?d = distancia entre A y B.t1 = tiempo que demora entre A y B. m d5 = seg t1Despejando el tiempo dt1 = m 5 segt2 = tiempo que demora entre A y B. m - d−3 = seg t 2 m d3 = seg t 2Despejando el tiempo dt2 = m 3 segrapidez promedio en todo el viaje? distancia total d +d 2 d 2drapidez promedio = = = = tiempo total d d 3 d + 5d 8d + m m m m 5 3 15 15 seg seg seg seg m m m 2 * 15 d 30 d 30 2d seg seg seg mrapidez promedio = = = = = 3,75 8d 8d 8d 8 seg m 15 seg(b) cuál es su velocidad promedio en todo el viaje? Δ x xf - xi d - d 0 mv = = = = = 0 Δt tf - ti Δt Δt segConclusión: cuando regresa al mismo punto se considera que el desplazamiento es igual a cero ypor lo tanto la velocidad promedio es cero.Problema 2.7 Edición sexta de serwayEn la figura P2.7 se ilustra una grafica de posición - tiempo para una partícula que se mueve a lolargo del eje x.(a) Encuentre la velocidad promedio en el intervalo t = 1.5 seg. a t = 4 seg. 3
  • 4. Cuando t1 = 1,5 seg x1 = 8 mCuando t2 = 4 seg x1 = 2 m Δ x xf - xi 2 -8 -6 mv = = = = = - 2,4 Δt tf - ti 4 - 1,5 2,5 seg (b) Determine la velocidad instantánea en t = 2 seg.al medir la pendiente de la tangente que se ve en la grafica.Cuando tC = 1 seg xC = 9,5 mCuando tD = 3,5 seg xD = 0 m Δ x xf - xi 0 - 9,5 - 9,5 mv = = = = = - 3,8 Δt tf - ti 3,5 - 1 2,5 seg(c) En que valor de t es cero la velocidad?La velocidad es cero cuando x es mínima.En la grafica cuando t = 4 seg. la velocidad es cero.Problema 2.8 Edición cuarta de serwayUna rápida tortuga puede desplazarse a 10 cm / seg, y una liebre puede correr 20 veces más rápido.En una carrera, los dos corredores inician al mismo tiempo, pero la liebre se detiene a descansardurante 2 min. y, por ello, la tortuga gana por un caparazón (20 cm.).a) ¿Qué tanto duró la carrera?b) ¿Cuál fue su longitud?Vt = 10 cm/seg = 0,1 m/segVl = 200 cm/seg = 2 m/seg Xt = Vt * t Xl = 2 + Vl * (t – 120)xl = xtVt * t = 2 +Vl * (t – 120)0,1 * t = 2 + 2 * (t – 120)0,1 t = 2 + 2 t – 240240 - 2 = 2 t – 0,1 t238 = 1,9 t 238t= = 125,26 seg 1,9Xt = Vt * tXt = 0,1 * 125,26Xt = 12,526 metrosProblema 2.19 Edición sexta de serwayJulio Verne, en 1865, sugirió enviar personas a la Luna aI disparar una capsula espacial desde uncañón de 220 m de largo con una velocidad de lanzamiento de 10.97 km/seg. Cual hubiera sido lanada realista gran aceleración experimentada por los viajeros espaciales durante el lanzamiento?Compare su respuesta con la aceleración en caída libre de 9.8 m/s2.V2 = V2 + 2 a x f 0V 2 = 2a x f 4
  • 5. km km 1000 m mVf = 10,97 = 10,97 * = 10970 seg seg 1 km seg10970 2 = 2 * a * 220 120340900 m a= = 273502 440 seg 2273502 = 27908 veces la gravedad terrestre 9,8Problema 2.20 Edición sexta de serwayUn camión recorre 40 m en 8.5 seg. cuando suavemente reduce su velocidad hasta una rapidez finalde 2.80 m/s. (a) Encuentre su rapidez original. (b) Encuentre su aceleración.x = 40 m t = 8,5 seg Vf = 2,8 m/segEncuentre su rapidez original v = 1 (V0 + Vf ) 2Pero: x= v tx = (V0 + Vf )t 1 22 x = (V0 + Vf ) t2 x = V0 + Vf t2 x - Vf = Vo t 2 x 2 * 40V0 = - Vf = - 2,8 t 8,5V0 = 9,41 - 2,8 = 6,61 m/seg.Vf = V0 + a tVf - V0 = a t Vf - V0 2,8 - 6,61 - 3,81 ma = = = = - 0,448 t 8,5 8,5 seg 2Problema 2.22 Edición sexta de serwayUn auto BMW 745i puede frenar hasta detenerse en una distancia de 121 pies desde una velocidadde 60 mi/h. Para frenar hasta detenerse desde una velocidad de 80 mi/h requiere una distancia defrenado de 211 pies. Cual es la aceleración promedio de frenado para (a) 60 mi/h hasta el reposo, (b)80 mi/h hasta el reposo, (c) 80 mi/h a 60 mi/h? Exprese las respuestas en mi/h y en m/s2.Cual es la aceleración promedio de frenado para una V0 = 60 mi/h hasta el reposo 0,3048 mx = 121 pies * = 36,88 m 1 pie mi mi 1609 m 1 hora 96540 m mV0 = 60 = 60 * * = = 26,81 hora hora 1 mi 3600 seg 3600 seg segV2 = V2 + 2 a x f 0 5
  • 6. V2 = - 2 a x 0(26,81)2 = - 2* a * 36,88719,13 = - 73,76 * a 719,13 ma= - = - 9,75 73,76 seg 2Cual es la aceleración promedio de frenado para una V0 = 80 mi/h hasta el reposo, 0,3048 mx = 211 pies * = 64,31 m 1 pie mi mi 1609 m 1 hora 128720 m mV0 = 80 = 80 * * = = 35,75 hora hora 1 mi 3600 seg 3600 seg segV2 = V2 + 2 a x f 0V2 = - 2 a x 0(35,75)2 = - 2* a * 64,311278 = - 128,62 * a 1278 ma= - = - 9,936 7128,62 seg 2Cual es la aceleración promedio de frenado para una V0 = 80 mi/h hasta Vf = 60 mi/h 0,3048 mx i = 121 pies * = 36,88 m 1 pie 0,3048 mx f = 211 pies * = 64,31 m 1 pie mi mi 1609 m 1 hora 128720 m mV0 = 80 = 80 * * = = 35,75 hora hora 1 mi 3600 seg 3600 seg seg mi mi 1609 m 1 hora 96540 m mVf = 60 = 60 * * = = 26,81 hora hora 1 mi 3600 seg 3600 seg segV2 = V2 + 2 a x f 0(26,81)2 = (35,75)2 + 2 * a * (xf – x0)718,77 = 1278 + 2 * a * (64,31 – 36,88)718,77 = 1278 + 2 * a * (27,43)718,77 = 1278 + 54,86 * a718,77 - 1278 = 54,86 * a- 559,23 = 54,86 * a 559,23 ma= - = - 10,19 54,86 seg 2 6
  • 7. Problema 2.25 Edición cuarta de serway. Problema 2.21 Edición sexta de serwayUn objeto que se mueve con aceleración uniforme, tiene una velocidad de 12 cm/s en la direcciónpositiva x cuando su coordenada x es 3 cm. Si su coordenada x 2 seg. después es de -5.00 cm, cuales su aceleración?x0 = 3 cm xF = - 5cm V0 = 12 cm/seg t = 2 seg. 1 2x f - x 0 = V0 t + at 2 1- 5 - 3 = 12 * 2 + a 2 2 2 1- 8 = 24 + a 4 2- 8 = 24 + 2 a- 8 -24 = 2 a- 32 = 2aa = - 16 cm/seg2Problema 2.29 Edición cuarta de serwayLa velocidad inicial de un cuerpo es 5.2 m / seg. ¿Cuál es su velocidad después de 2,5 seg. si acelerauniformemente a a) 3 m / seg2 y b) -3 m / seg2? V0 = 5,2 m/seg VF = ? t = 2,5 segCuál es la velocidad, cuando la aceleración es 3 m/seg2V0 = 5,2 m/seg t = 2,5 seg.Vf = V0 + a tVf = 5,2 m/seg + (3 m/seg2) X 2,5 segVf = 5,2 m/seg + (7,5 m/seg)Vf = 12,7 m/segCuál es la velocidad, cuando la aceleración es a = - 3 m/seg2V0 = 5,2 m/seg t = 2,5 seg.Vf = V0 + a tVf = 5,2 m/seg - (3 m/seg2) X 2,5 segVf = 5,2 m/seg - (7,5 m/seg)Vf = - 2,3 m/segProblema 2.31 Edición cuarta de serwayUn jet aterriza con una velocidad de 100 m/seg y puede acelerar a una tasa máxima de -5 m / seg2cuando se va a detener.a) A partir del instante en que toca la pista de aterrizaje. ¿cuál es el tiempo mínimo necesario antesde que se detenga? 7
  • 8. b) ¿Este avión puede aterrizar en un pequeño aeropuerto donde la pista tiene 0.80 Km. de largo?Cual es el tiempo ?a = -5 m / seg2 V0 = 100 m/seg Vf = 0 0Vf = V0 - a t V0 =100 m/seg VF = 0V0 = a t m 100 t=? V segt = 0 = = 20 seg x=? a m 5 seg 2La pista tiene 0,80 km de largo, es necesario hallar la distancia necesaria para que el jet pueda aterrizar. ⎛V + VF ⎞x =⎜ 0 ⎟t ⎝ 2 ⎠ ⎛V ⎞x =⎜ 0 ⎟t ⎝ 2 ⎠ ⎛ m ⎞ ⎜ 100 ⎟ ⎜ seg ⎟x= * 20 seg = 1000 m ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠El jet necesita 1000 metros para aterrizar y la pista tiene solo 800 metros, por lo tanto no puedeaterrizar.Problema 2.33 Edición cuarta de serwayUna piloto de arrancones inicia la marcha de su vehículo desde el reposo y acelera a 10 m /seg2durante una distancia total de 400 m ( ¼ de milla) .a) ¿Cuánto tiempo tarda el carro en recorrer esta distancia?b) ¿Cuál es su velocidad al final del recorrido?a) ¿Cuánto tiempo tarda el carro en recorrer esta distancia?a = 10 m / seg2 V0 = 0 x = 400 m 1X = V0 t + a t2 V0 = 0 VF = ? 2Pero la Vo = 0 1 2X = at X = 400 m 22 x = a t2 2xt2 = a 8
  • 9. 2 x 2 * 400 m 800 mt = = = = 80 seg 2 = 8,94 seg a m m 10 10 seg 2 seg 2t = 8,94 segb) ¿Cuál es su velocidad al final del recorrido? 0vf ² = v0 ² + 2 * a * xvf ² = 2 * a * x m m2 m VF = 2 a x = 2 *10 * 400 m = 8000 = 89,44 seg 2 seg 2 segVf = 89,44 m/segProblema 2.35 Edición cuarta de serwayUna partícula parte desde el reposo de la parte superior de un plano inclinado y se desliza haciaabajo con aceleración constante. El plano inclinado tiene 2 m de largo. y la partícula tarda 3 seg. enalcanzar la parte inferior. Determinea) La aceleración de la partícula.b) su velocidad en la parte inferior de la pendiente.c) el tiempo que tarda la partícula en alcanzar el punto medio del plano inclinado. yd) su velocidad en el punto medio. V0 = 0a) La aceleración de la partícula. x=2m 1X = V0 t + a t 2 t = 3 seg 2 tm = ?Pero la Vo = 0 x=1m 1X = a t2 22 x = a t2 2 x 2*2 m 4 m ma= = = = 0,444 t 2 (3 seg )2 9 seg 2 seg 2a = 0,444 m/ seg2b) su velocidad en la parte inferior de la pendiente.a = 0,444 m / seg2 V0 = 0 m/seg t = 3 seg. Vf = ? 0Vf = V0 + a tVf = a tVf = 0,444 m / seg2 * 3 seg 9
  • 10. Vf = 1,333 m/seg.c) el tiempo que tarda la partícula en alcanzar el punto medio del plano inclinadoa = 0,444 m / seg2 V0 = 0 x=1m 1X = V0 t + a t2 2Pero la Vo = 0 1 2X = at 22 x = a t2 2xt2 = a 2 x 2 *1 m 2mt = = = = 4,5 seg 2 = 2,121 seg a m m 0,444 0,444 seg 2 seg 2t = 2,121 segd) su velocidad en el punto medio.a = 0,444 m / seg2 V0 = 0 m/seg t =2,121 seg. Vf = ? 0Vf = V0 + a tVf = a tVf = 0,444 m / seg2 * 2,121 segVf = 0,941 m/seg.Problema 2.37 Edición cuarta de serwayUn adolescente tiene un auto que acelera a 3 m / seg2 y desacelera a -4.5 m / seg2. En un viaje a latienda, acelera desde el reposo hasta 12 m / seg, maneja a velocidad constante durante 5 seg. yluego se detiene momentáneamente en la esquina. Acelera después hasta 18 m / seg, maneja avelocidad constante durante 20 seg, desacelera durante 8/3 seg, continúa durante 4 seg. a estavelocidad y después se detiene.a) ¿Cuánto dura el recorrido?b) ¿Qué distancia se recorre?c) ¿Cuál es la velocidad promedio del viaje?d) ¿Cuánto tardaría si caminara a la tienda y regresara de ese mismo modo a 1.5 m / seg? 10
  • 11. V0 = 0 VF = 12 m/seg V0 = 12 m/seg VF = 0 VF = 18 m/seg V = 18 m/seg VF = 6,03 m/seg0 = 6,03 m/seg V VF = 0 a(+) V=k a(-) a(+) V=k a(-) V=k a(-) t1 t2 = 5 seg t3 t4 t5 = 20 seg t6 = 2,66 t7 = 4 seg t8 seg x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 a) ¿Cuánto dura el recorrido? Se halla el tiempo 1. el movimiento es acelerado. a = 3 m / seg2 V0 = 0 m/seg 0 Vf = V0 + a * t1 Vf = a * t1 m 12 VF seg t1 = = = 4 seg a m 3 seg 2 t1 = 4 seg t2 = 5 seg Se halla el tiempo 3. el movimiento es retardado. a = - 4,5 m / seg2 VF = 0 m/seg 0 Vf = V0 - a * t3 V0 = a * t3 m 12 V0 seg t3 = = = 2,66 seg a m 4,5 seg 2 t3 = 2,66 seg Se halla el tiempo 4. el movimiento es acelerado. a = 3 m / seg2 V0 = 0 m/seg 0 Vf = V0 + a * t4 Vf = a * t4 m 18 V seg t4 = F = = 6 seg a m 3 seg 2 11
  • 12. t4 = 6 segt5 = 20 segSe halla la velocidad al final del tiempo 6. el movimiento es retardado.t6 = 2,66 segt7 = 4 segSe halla el tiempo 8. el movimiento es retardado.a = - 4,5 m / seg2 VF = 0 m/seg V0 = 6,03 m/seg 0Vf = V0 - a * t8V0 = a * t8 m 6,03 V segt8 = 0 = = 1,34 seg a m 4,5 seg 2t8 = 1,34 segEl tiempo total es la suma de los tiempos parciales.tt = t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8tt = 4 seg + 5 seg + 2,66 seg + 6 seg + 20 seg + 2,66 seg + 4 seg + 1,34 segtt = 45,66 seg b) ¿Qué distancia se recorre?La distancia total es la suma de las distancias parciales. Xt = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8Se halla la distancia x1. el movimiento es acelerado.a = 3 m / seg2 V0 = 0 m/seg VF = 12 m/seg t1 = 4 seg ⎛ V + VF ⎞X1 = ⎜ 0 ⎟*t ⎝ 2 ⎠ ⎛ V ⎞X1 = ⎜ F ⎟ * t ⎝ 2 ⎠ ⎛ m ⎞ ⎜ 12 ⎟ ⎜ seg ⎟X1 = * 4 seg = 24 m ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠x1 = 24 mSe halla la distancia x2. el movimiento es a velocidad constante. 12
  • 13. V = 12 m/seg t2 = 5 seg X2 = v * t2X2 = 12 m/seg * 5 segX2 = 60 mSe halla la distancia x3. el movimiento es retardado.a = - 4,5 m / seg2 VF = 0 m/seg V0 = 12 m/seg t3 = 2,66 seg ⎛ V + VF ⎞ X3 = ⎜ 0 ⎜ ⎟* t3 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛V ⎞X3 = ⎜ 0 ⎟ * t3 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ m ⎞ ⎜ 12 ⎟X3 = ⎜ seg ⎟ * 2,66 seg = 15,96 m ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠X3 = 15,96 mSe halla la distancia x4. el movimiento es acelerado.a = 3 m / seg2 V0 = 0 m/seg VF = 18 m/seg t1 = 6 seg ⎛ V + VF ⎞X4 = ⎜ 0 ⎟ * t4 ⎝ 2 ⎠ ⎛ V ⎞X4 = ⎜ F ⎟* t4 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ m ⎞ ⎜ 18 ⎟ ⎜ seg ⎟X4 = * 6 seg = 54 m ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠x1 = 54 mSe halla la distancia x5. el movimiento es a velocidad constante. V = 12 m/seg t5 = 20 seg X5 = v * t5X5 = 18 m/seg * 20 segX5 = 360 mSe halla la distancia x6. el movimiento es retardado.a = - 4,5 m / seg2 VF = 6,03 m/seg V0 = 18 m/seg t3 = 2,66 seg 13
  • 14. ⎛ V + VF ⎞ X6 = ⎜ 0 ⎜ ⎟*t6 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ m m ⎞ ⎜ 6,03 + 18 ⎟X6 = ⎜ seg seg ⎟ * 2,66 seg = 31,95 m ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠X6 = 31,95 mSe halla la distancia x7. el movimiento es a velocidad constante. V =6,03 m/seg t5 = 4 seg X7 = v * t7X7 = 6,03 m/seg * 4 segX7 =24,12 mSe halla la distancia x8. el movimiento es acelerado.a = 3 m / seg2 V0 = 6,03 m/seg VF = 0 m/seg t1 = 1,34 seg ⎛ V + VF ⎞X4 = ⎜ 0 ⎜ ⎟ * t8 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ V ⎞X8 = ⎜ 0 ⎟ * t8 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ m ⎞ ⎜ 6,03 ⎟ seg ⎟X8 = ⎜ * 1,34 seg = 4,04 m ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠x8 = 4,04 mLa distancia total es la suma de las distancias parciales. Xt = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8Xt = 24 + 60 + 15,96 + 54 + 360 + 31,95 + 24,12 + 4,04Xt = 574,07 mc) ¿Cuál es la velocidad promedio del viaje? xt 574,07 mv = = = 12,57 tt 45,66 segd) ¿Cuánto tardaría si caminara a la tienda y regresara de ese mismo modo a 1.5 m / seg?X = ida a la tienda2x = ida y regreso a la tienda2X=v*t 2 * 574,07t = 2x = = 765,42 seg v 1,5 14
  • 15. t = 765,42 seg.Problema 2.39 Edición cuarta de serwayUn automóvil que se mueve a una velocidad constante de 30 m / seg pierde velocidadrepentinamente en el pie de una colina. El auto experimenta una aceleración constante de -2 m / seg2(opuesta a su movimiento) mientras efectúa el ascenso.a) Escriba ecuaciones para la posición y la velocidad como funciones del tiempo, considerando x = 0en la parte inferior de la colina, donde Vo = 30.0 m / seg.b) Determine la distancia máxima recorrida por el auto después de que pierde velocidad.ecuación de posición en funcion del tiempo 1 VF = 0 X = V0 t - a t2 2 x 1 X = 30 t - * 2 * t 2 2 X = 30 t - t 2ecuación de velocidad en funcion del tiempoVf = V0 - a * t V0 = 30 m/segVf = 30 - 2 tDetermine la distancia máxima recorrida por el auto después de que pierde velocidad. 0vf ² = v0 ² - 2 * a * xv0 ² = 2 * a * x V2 (30)2 = 900 = 225 mx = 0 = 2*a 2*2 4X = 225 mProblema 2.40 Edición sexta de serwayUna pelota de golf se suelta desde el reposo del techo de un edificio muy alto. Despreciando laresistencia del aire, calcule (a) la posición y (b) la velocidad de la pelota después de 1 seg, 2 seg. y 3seg.t1 = 1 seg V0 = 0 a = 9,8 m/seg2 0Vf = V0 + a tVf = a tVf = 9,8 m/seg2 * 1 seg = 9,8 m/segVf = 9,8 m/segY1 = 1 (V0 + Vf ) t 1 2 15
  • 16. Y1 = 1 ( Vf ) t 1 = 1 * 9,8 m *1seg 2 2 segY1 = 4,9 m Y1 = 4,9 m t1 = 1 segt2 = 2 seg V0 = 0 a = 9,8 m/seg2 0Vf = V0 + a tVf = a tVf = 9,8 m/seg2 * 2 seg = 19,6 m/seg Y2 = 19,6 m t2 = 2 segVf = 19,6 m/seg Y3 = 44,1 mY2 = (V0 + Vf ) t 2 1 t3 = 3 seg 2Y2 = ( Vf ) t 2 = * 19,6 1 1 m * 2 seg 2 2 segY2 = 19,6 mt3 = 3 seg V0 = 0 a = 9,8 m/seg2 0Vf = V0 + a tVf = a tVf = 9,8 m/seg2 *3 seg = 29,4 m/segVf = 29,4 m/segY3 = 1 (V0 + Vf ) t 3 2Y3 = ( Vf ) t 3 = * 29,4 1 1 m * 3seg 2 2 segY3 = 44,1 mProblema 2.43 serway sexta edición; Problema 2.47 Edición cuarta de serwayUna estudiante lanza un llavero verticalmente hacia arriba a su hermana del club femenino deestudiantes, que esta en una ventana 4 m arriba. Las llaves son atrapadas 1.5 seg. después por elbrazo extendido de la hermana. (a) Con que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves?(b) Cual era la velocidad de las llaves justo antes que fueran atrapadas?Con que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves?h=4m t = 1,5 seg V0 = ? a = 9,8 m/seg2 1h = V0 * t + *g*t2 2 14 = V0 * 1,5 - * 9,8 * 1,5 2 24 = 1,5 V0 – 11,0254 + 11,025 = 1,5 V015,025 = 1,5 V0 16
  • 17. 15,025 mV0 = = 10 1,5 segV0 = 10 m/segCual era la velocidad de las llaves justo antes que fueran atrapadas?V0 = 10 m/seg a = 9,8 m/seg2 t = 1,5 segVf = V0 - a tVf = 10 – 9,8 * 1,5Vf = 10 – 14,7Vf = - 4,7 m/segProblema 2.45 Edición cuarta de serwaySe informó que una mujer cayó 144 pies desde el piso 17 de un edificio, aterrizando sobre una cajade ventilador metálica, la cual sumió hasta una profundidad de 18 pulg. Sólo sufrió lesiones menores.Ignore la resistencia del aire y calcule a) la velocidad de la mujer exactamente antes de chocar con elventilador, b) su aceleración promedio mientras está en contacto con la caja, y c) el tiempo que tardaen sumir la caja.y = altura del edificio = 144 pies a = 32 pies/seg2Cuando llega al piso es la velocidad final de ese movimiento y es a la vez la velocidad inicial cuandoentra en contacto con la caja.Cuando se cae del edificio la velocidad inicial es ceroEl signo es (+) por que el movimiento es acelerado, es decir el cuerpo va aumentando la velocidad 0 V 2 = V0 + 2 a y 2 fV2 = 2 a y f pies pies 2Vf = 2 a y = 2 * 32 *144 pies = 9216 seg 2 seg 2Vf = 96 pies/seg es la velocidad de llegada a la cajab) su aceleración promedio mientras está en contacto con la caja,Cuando llega al piso es la velocidad final de ese movimiento y es a la vez la velocidad inicial cuandoentra en contacto con la caja.y = altura que se deforma la caja = 18 pulgadas. a = 32 pies/seg2 1 piey = 18 pulg * = 1,5 pies 12 pulgEl signo es (-) por que el movimiento es retardado, es decir el cuerpo va perdiendo velocidad hastaque sea cero. 0 V 2 = V0 - 2 a y 2 f 2V0 = 2 a y ⎛ pies ⎞ 2 2 ⎜ 96 ⎜ ⎟ V ⎝ seg ⎟⎠ 9216 piesa= 0 = = 2y 2 *1,5 pies 3 seg 2 17
  • 18. a = 3072 pies/seg2c) el tiempo que tarda en sumir la caja. La velocidad final es cero 0Vf = V0 - a ta * t = v0 pies 96 v segt= 0 = = 0,031 seg a 3072 pies seg 2t = 0,031 seg.Problema 2.45 serway sexta ediciónEn Mostar, Bosnia, la prueba máxima del valor de un joven era saltar de un puente de 400 años deantigüedad (ahora destruido) hacia el rio Neretva, 23 m abajo del puente.(a) Cuanto duraba el salto?(b) Con que rapidez caía el joven aI impacto con el agua?(c) Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/seg., cuanto tiempo, después de saltar el clavadista,un espectador sobre el puente escucha el golpe en el agua?(a) Cuanto duraba el salto? h = 23 metros V0 = 0 a = 9,8 m/seg2 1h = V0 * t + *g*t2 2 123 = * 9,8 * t 2 223 = 4,8 * t 2 23t2 = = 4,693 4,8t = 4,693t = 2,16 seg.(b) Con que rapidez caía el joven aI impacto con el agua?V0 = 0 m/seg a = 9,8 m/seg2 t = 2,16 segVf = V0 + a tVf = a tVf = 9,8 * 2,16Vf = 21,23 m/seg(c) Si la rapidez del sonido en el aire es 340 m/seg., cuanto tiempo, después de saltar el clavadista,un espectador sobre el puente escucha el golpe en el agua?Es necesario hallar el tiempo del sonido y sumarlo con el tiempo que demora el clavadista en el aire.Velocidad del sonido = 340 m/seg.h = VSONIDO * tSONIDO h 23 mtSONIDO = = = 0,0676 seg VSONIDO m 340 segsonido = 0,0676 segtTOTAL = t + tSONIDOtTOTAL = 2,16 seg + 0,0676 seg 18
  • 19. tTOTAL = 2,22 seg.Problema 2.46 Edición cuarta de serway; Problema 2.42 serway sexta ediciónSe lanza una pelota directamente hacia abajo, con una rapidez inicial de 8 m/seg., desde una alturade 30 m. Después de que intervalo de tiempo llega la pelota aI suelo?h = 30 m V0 = 8 m/seg a = 9,8 m/seg2 1h = V0 * t + *g*t2 2 130 = 8 * t + * 9,8 * t 2 230 = 8t + 4,9 t2Ordenando la ecuacion4,9 t2 + 8t -30 = 0a = 4,9 b=8 c = -30 -b± b - 4 a c - 8 ± 8 - 4 * 4,9 * (- 30) 2 2t= = 2*a 2 * 4,9 - 8 ± 64 + 588 - 8 ± 652t= = 9,8 9,8t = 1,79 seg.Problema 2.47 Edición cuarta de serway; Problema 2.43 serway sexta ediciónUna estudiante lanza un llavero verticalmente hacia arriba a su hermana del club femenino deestudiantes, que esta en una ventana 4 m arriba. Las llaves son atrapadas 1.5 seg. después por elbrazo extendido de la hermana. (a) Con que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves?(b) Cual era la velocidad de las llaves justo antes que fueran atrapadas?Con que velocidad inicial fueron lanzadas las llaves?h=4m t = 1,5 seg V0 = ? a = 9,8 m/seg2 1h = V0 * t + *g*t2 2 14 = V0 * 1,5 - * 9,8 * 1,5 2 24 = 1,5 V0 – 11,0254 + 11,025 = 1,5 V015,025 = 1,5 V0 15,025 mV0 = = 10 1,5 segV0 = 10 m/segCual era la velocidad de las llaves justo antes que fueran atrapadas?V0 = 10 m/seg a = 9,8 m/seg2 t = 1,5 segVf = V0 - a tVf = 10 – 9,8 * 1,5Vf = 10 – 14,7Vf = - 4,7 m/seg 19
  • 20. Problema 2.48 Edición cuarta de serwayUn globo aerostatico viaja verticalmente hacia arriba a una velocidad constante de 5 m/seg. Cuandoesta a 21 m sobre el suelo se suelta un paquete desde el. a) Cuanto tiempo permanece el paquete en el aire? b) Cual es su velocidad exactamente antes de golpear el suelo? c) Repita a) y b) en el caso en que el globo desciende a 5 m/seg.Cuanto tiempo permanece el paquete en el aire?V0 = - 5 m/seg h = 21 m g = 9,8 m/seg² 1h = V0 * t + * g * t 2 2 121 = - 5 t + * 9,8 * t 2 221 = - 5 t + 4,9 t 2Ordenando la ecuación4,9 t2 - 5t – 21 = 0a = 4,9 b = -5 c = -21t= - b ± b2 - 4 a c = - (-5) ± (- 5)2 - 4 * 4,9 * (- 21) 2*a 2 * 4,9 5 ± 25 + 411,6 5 ± 436,6 5 ± 20,89 25,89 mt= = = = = 2,64 9,8 9,8 9,8 9,8 segt = 2,64 m/segCual es su velocidad exactamente antes de golpear el suelo?V0 = - 5 m/seg t = 2,64 m/seg g = 9,8 m/seg²Vf = V0 + a tVf = - 5 + 9,8 * 2,64Vf = - 5 + 25,89Vf = 20,89 m/segRepita a) y b) en el caso en que el globo desciende a 5 m/seg. V0 = 5 m/seg Cuanto tiempo permanece el paquete en el aire?t= -b± b2 - 4 a c = - (5) ± (5)2 - 4 * 4,9 * (- 21) 2*a 2 * 4,9 - 5 ± 25 + 411,6 - 5 ± 436,6 - 5 ± 20,89 15,89 mt= = = = = 1,62 9,8 9,8 9,8 9,8 segt = 1,62 m/segCual es su velocidad exactamente antes de golpear el suelo?V0 = 5 m/seg t = 1,62 m/seg g = 9,8 m/seg²Vf = V0 + a tVf = 5 + 9,8 * 1,62Vf = 5 + 15,87Vf = 20,87 m/seg 20
  • 21. Problema 2.49 Edición cuarta de serwayUna pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 15 m/sega) Cuanto tiempo transcurre hasta que la pelota alcanza su altitud máxima?b) Cual es su altitud máxima?c) Determine la velocidad y la aceleración de la pelota en t = 2 segc) el tiempo que tarda en sumir la caja. La velocidad final es ceroCuanto tiempo transcurre hasta que la pelota alcanza su altitud máxima?v0 = 15 m/seg g = 9,8 m/seg². 0Vf = V0 - a ta * t = v0 m 15 v0 segt= = = 1,53 seg a 9,8 m seg 2t = 1,53 segb) Cual es su altitud máxima? 1h = v0 * t − * g *t2 2h = 15 * 1,53 − * 9,8 * (1,53)2 1 2h = 22,95 - 4,9 * 2,34h = 22,95 - 11,47h = 11,47 mDetermine la velocidad y la aceleración de la pelota en t = 2 seg t = 1,53 seg t = 0,47 segUn automóvil circula a 72 [km./hora], frena, y para en 5 [seg]. a.- Calcule la aceleración de frenado supuestamente constante b.- Calcule la distancia recorrida desde que comenzó a frenar hasta que se detuvo km km 1000 m 1 hora mV0 = 72 = 72 * * = 20 hora hora 1 km 3600 seg segV0 = 20 [m/seg] vf = 0 t = 5 [seg] a =?Calcule la aceleración de frenado supuestamente constante Vf = V0 - a tEl signo es (-) por que el movimiento es retardatriz, es decir el auto esta frenando hasta que lavelocidad final es cero). 21
  • 22. Despejando la aceleracion tenemos:V0 - Vf = a t m 20 - 0 V - Vf seg 20 m ma= 0 = = =4 t 5 seg 5 seg 2 seg 2a = 4 m/seg2Calcule la distancia recorrida desde que comenzó a frenar hasta que se detuvo,x = distancia recorrida V2 = V2 - 2 a x f 0El signo es (-) por que el movimiento es retardatriz, es decir el auto esta frenando hasta que lavelocidad final es cero).2 a x = V2 - V2 0 f 2 ⎛ m ⎞ ⎜ 20 ⎟ - 0 V2 - V2 ⎜ f = ⎝ seg ⎟ ⎠ 400x = 0 = m = 50 m 2 a m 8 2 *4 seg 2Un tren va llegando a la estación con una velocidad constante de 90 [kms/hr], comienza a frenar, y sedetiene completamente cuando frenó durante 20 [seg].¿Cual fue el retardo que sufrió durante esos 20 segundos? km km 1000 m 1 hora mV0 = 90 = 90 * * = 25 hora hora 1 km 3600 seg segV0 = 25 [m/seg]Vf = 0t = 20 [seg]a =? Vf = V0 - a tEl signo es (-) por que el movimiento es retardatriz, es decir el auto esta frenandohasta que la velocidad final es cero).Despejando la aceleracion tenemos:V0 - Vf = a t m 25 - 0 V - Vf seg 25 m ma= 0 = = = 1,25 t 20 seg 20 seg 2 seg 2a = - 1,25 m/seg2Un automovilista va en una carrera, y se mantiene una velocidad constante, igual a 180 [kms/hr] ycuando divisa la meta, comienza a detenerse, con un retardo de 10 [m/s²]. Justo en el momento quecruza la meta, se detiene completamente.¿Cuánto tiempo tardó en detenerse? km km 1000 m 1 hora mV0 = 180 = 180 * * = 50 hora hora 1 km 3600 seg segV0 = 180 [kms/hr] = 50 [m/s] 22
  • 23. Vf = 0a = 10 [m/s²]t =?Vf = V0 - a t El signo es (-) por que el movimiento es retardatriz, es decir el auto esta frenando hastaque la velocidad final es cero).Despejando el tiempo tenemos:V0 - Vf = a t m 50 - 0 V - Vf segt = 0 = = 5 seg a m 10 seg 2t = 5 seg.Un motorista circula a 40 km/hora y sufre una aceleración durante 20 seg con lo que consigue unavelocidad de 100 k/hora. Que aceleración fue aplicada. km km 1000 m 1 hora mV0 = 40 = 40 * * = 11,11 hora hora 1 km 3600 seg segV0 = 11,11 [m/seg] km km 1000 m 1 hora mV0 = 100 = 100 * * = 27,77 hora hora 1 km 3600 seg segVf = 27,77t = 20 [seg]a =? Vf = V0 + a tEl signo es (+) por que el movimiento es acelerado, es decir el auto aumenta su velocidad.Despejando la aceleracion tenemos:Vf - V0 = a t m m 27,77 - 11,11 V - V0 seg seg 16,66 m ma= f = = = 0,833 t 20 seg 20 seg 2 seg 2a = 0,833 m/seg2Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1200 cm/s durante 9 seg, y luego convelocidad media de 480 cm/seg durante 7 seg, siendo ambas velocidades en el mismo sentido:a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 seg?.b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?.Datos:v1 = 1.200 cm/segt1 = 9 segv2 = 480 cm/segt2 = 7 sega) a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 seg?.x = v.tPara cada lapso de tiempo: 23
  • 24. x1 = (1200 cm/seg) * 9 segx1 = 10800 cmx2 = (480 cm/seg) * 7 segx2 = 3360 cmEl desplazamiento total es:Xt = X1 + x2Xt = 10800 cm + 3360 cmXt = 14160 cm = 141,6 m¿cuál es la velocidad media del viaje completo?.Como el tiempo total es:tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 sCon el desplazamiento total recién calculado aplicamos: Xt 141,6 m m ΔV = = = 8,85 tt 16 seg segΔ v = 8,85 m/segResolver el problema anterior, suponiendo que las velocidades son de distinto sentido.Datos:a) Si son de distinto sentido:Xt = X1 - x2Xt = 10800 cm - 3360 cmXt = 7440 cm = 74,4 m¿cuál es la velocidad media del viaje completo?. Xt 74,4 m mΔV = = = 4,65 tt 16 seg segΔ v = 4,65 m/sEn el gráfico, se representa un movimiento rectilíneo uniforme, averigüe gráfica y analíticamente ladistancia recorrida en los primeros 4 seg. Datos:v = 4 m/seg.t = 4 segx = v.tx = 4 m/seg * 4 segx = 16 mUn móvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t1 = 0 s y t2 = 4 s, sus posicionesson x1 = 9,5 cm y x2 = 25,5 cm. Determinar:a) Velocidad del móvil.b) Su posición en t3 = 1 seg.c) Las ecuaciones de movimiento.d) Su abscisa en el instante t4 = 2,5 seg.e) Los gráficos x = f(t) y v = f(t) del móvil.Datos:t1 = 0 segx1 = 9,5 cm 24
  • 25. t2 = 4 segx2 = 25,5 cmComo: Δx x - x1 ΔV = = 2 Δ t t 2 - t1 x 2 - x 1 25,5 cm - 9,5 cm 16 cm cm ΔV = = = = 4 t 2 - t1 4 seg - 0 seg 4 seg segΔv = 4 cm/sSu posición en t3 = 1 seg. Δx x - x1 ΔV = = 2 Δ t t 2 - t1Δx = Δv.ΔtΔx = (4 cm/seg) * 1 segΔx = 4 cmSumado a la posición inicial:x3 = x1 + Δxx3 = 9,5 cm + 4 cmx3 = 13,5 cmLas ecuaciones de movimiento.x = 4 (cm/seg).t + 9,5 cmd) Su abscisa en el instante t4 = 2,5 seg. Con la ecuación anteriorx4 = (4 cm/seg).t4 + 9,5 cmx4 = (4 cm/seg) * 2,5 seg + 9,5 cm x4 = 10 cm/seg + 9,5 cmx4 = 19,5 cmUn móvil recorre 98 km en 2 horas, calcular:a) Su velocidad.b) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas con la misma velocidad?.Datos:x = 98 kmt = 2 hora x 98 km km V = = = 49 t 2 hora hora ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas con la misma velocidad?.x = v.tx = (49 km/hora) * 3 hora x = 147 kmSe produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía en oírlo sila velocidad del sonido en el aire es de 330 m/seg?Datos:x = 2,04 km = 2040 m 25
  • 26. v = 330 m/sx = v.t x 2040 m km t = = = 49 = 6,18 seg v m hora 330 segt = 6,18 seg.La velocidad de sonido es de 330 m/seg y la de la luz es de 300.000 km/seg. Se produce unrelámpago a 50 km de un observador.a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido?.b) ¿Con qué diferencia de tiempo los registra?.Datos:vs = 330 m/seg.vi = 300.000 km/seg = 300000000 m/sx = 50 km = 50000 ma) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido?. La luz, por que la velocidad de la luz >>> que la velocidad del sonido¿Con qué diferencia de tiempo los registra?.x = v.t x 50000 m t sonido = = = 151,51 seg v m 330 segtsonido = 151,51 seg x 50000 m t luz = = = 1,666 * 10 - 4 seg v m 300000000 seg -4tluz = 1,666 * 10 segLuego:t = tsonido - tluz -4 t = 151,51 seg - 1,666 * 10 segt = 151,514985 seg.¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300.000 km/seg y elsol se encuentra a 150.000.000 km de distancia.Datos:v = 300.000 km/seg.x = 150.000.000 kmx = v.t x 150000000 km t = = = 500 seg v km 300000 segt = 500 seg. 26
  • 27. Un auto de fórmula 1, recorre la recta de un circuito, con velocidad constante. En el tiempo t1 = 0,5seg y t2 = 1,5 seg, sus posiciones en la recta son x1 = 3,5 m y x2 = 43,5 m. Calcular:a) ¿A qué velocidad se desplaza el auto?.b) ¿En qué punto de la recta se encontraría a los 3 seg?.Datos:t1 = 0,5 segx1 = 3,5 mt2 = 1,5 segx2 = 43,5 mComo: Δx x - x1 ΔV = = 2 Δ t t 2 - t1 x 2 - x1 43,5 m - 3,5 m 40 m m ΔV = = = = 40 t 2 - t1 1,5 seg - 0,5 seg 1 seg segΔv = 40 m/seg. b) ¿En qué punto de la recta se encontraría a los 3 seg?.x = v.tx = (40 m/hora) * 3 seg x = 120 mUn objeto en caída libre recorre los últimos 5 metros en 0,2 segundos. Determinar la alturadesde la que cayó.Se analiza el primer desplazamiento, donde: “e” es la distancia del primer movimiento “h” es el desplazamiento total del objeto.“t” es el tiempo del primer movimiento 1 e = V0 t + g t2 e t 2Pero la Vo = 0 1e = g t2 2 ECUACION 1 h=e+5Se analiza el segundo desplazamiento 5m h = e + 5 = V0 (t + 0,2 ) + g (t + 0,2 )2 0,2 seg 1 2Pero la Vo = 0 g (t + 0,2 )2 1e +5= 2 ECUACION 2Reemplazando el valor de “e” de la ecuacion 1 en la ecuacion 2 g t + 5 = g (t + 0,2 )2 1 2 1 2 2 2 + 10 = g (t + 0,2 )2 gt 1 2 2Cancelando el 2 que divide las dos expresionesg t 2 + 10 = g (t + 0,2)2g t2 + 10 = g ( t2 + 2 * 0,2t + 0,22) 27
  • 28. 10 = g ( t2 + 2 * 0,2t + 0,22) - g t210 = g t2 + 0,4 g t + 0,04 g - g t210 = 0,4 g t + 0,04 greemplazando el valor de g = 9,8 m/seg210 = 0,4 *( 9,8) t + 0,04 *(9,8)10 = 3,92 t + 0,39210 - 0,392 = 3,92 t9,608 = 3,92 t 9,608t= = 2,45 seg 3,92Se halla la distancia del primer movimiento “e” * (2,45 seg )2 1 2 1 me= g t = * 9,8 2 2 seg 2 * ⎛ 6 seg 2 ⎞ me = = 4,9 ⎜ ⎟ seg 2 ⎝ ⎠e = 29,4 mla distancia total es la suma de los dos movimientos.h = e + 5 = 29,4 + 5 = 34,4 mEn un sitio de construcción la pala de un rascador golpea el terreno con una rapidez de Vf = 24 m/seg.a)¿De que altura fue lanzada ésta, inadvertidamente?b)¿Cuánto duro la caída?DatosVf= 24m/seg. Vo=0 g= -9.81m/seg2Vf2 = V02 + 2 g hVf2 = 2 g h Vf2 24 2 576h = = = = 29,3 m 2 g 2 * 9,8 19,6Vf = V0 + g * tVf = g * t m 24 V segt= f = = 2,44 seg g m 9,8 seg 2De dos pueblos separados 50 Km salen al mismo tiempo un coche a 72 Km/h y una moto a 108Km/h, uno al encuentro del otro, ¿ Dónde y cuándo se encontrarán ?.Como salen a la vez, el tiempo t que tardarán en encontrarse será el mismo para los dos. Si el cocheha recorrido x Km la moto habrá recorrido 50 - x Km. 28
  • 29. 50 mEl movimiento es uniforme para los dos por lo que hay que aplicar la ecuación e = v.t ; el espacio ese expresará en Km, la velocidad v en Km/h y el tiempo en horas Para el coche: x = 72.t ecuacion 1 Para la moto: 50 - x = 108.t ecuacion 2Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones por el método de reduccion se obtendrá: x = 72.t ecuacion 150 - x = 108.t ecuacion 250 = 72 t + 108t50 = 180tDespejando el tiempo t 50t= = 0,277 horas 180t = 0,277 horas tardan en encontrarsese halla el punto donde se encuentranx = 72.t ecuacion 1x = 72 * 0,277 = 20 Km recorre el cocheUn auto y un colectivo están ubicados como muestra el dibujo y se mueven a 60 y 20 Km/hrespectivamente. a) Calcular cuánto tiempo tardan en encontrarse. b) Hallar el lugar donde se encuentran. c) Hacer el gráfico de x (t) para los 2 móviles y verificar los puntos a) y b). Punto donde se encuentran Auto A Auto B 100 m XA = 60 km/h * t XB =0,1 km + 20 km/hEl sistema de referencia en el lugar donde esta el auto “A” al principio.Las dos velocidades son ( +) porque van en el mismo sentido del eje x.Para el auto AVA = 60 km/horaXA = 0 km + 60 km/hora * t (ECUACION 1)Para el auto BVB = 20 km/hora BXB = 0,1 km + 20 km/hora * t B (ECUACION 2) 29
  • 30. Planteo la condición de encuentro que dice que la posición de los 2 tipos debe coincidir en elmomento del encuentro: xA = xB BLas ecuaciones de la posición para A y B eran:XA = 0 km + 60 km/hora * t (ECUACION 1)XB = 0,1 km + 20 km/hora * t B (ECUACION 2)0 km + 60 km/hora * t = 0,1 km + 20 km/hora * t60 t = 0,1 + 20 t60 t - 20 t = 0,140 t = 0,1 0,1 3600 segt= = 0,0025 horas * = 9 seg 40 1 horat = 9 segreemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones, encuentro la distancia en que se encuentran losautos.XA = 0 km + 60 km/hora * t (ECUACION 1)XA = 60 km/hora * tXA = 60 km/hora * 0,0025 hora = 0,15 km = 150 metrosEs decir que a partir del auto “A” lo alcanza a 150 metros.XB = 0,1 km + 20 km/hora * t B (ECUACION 2)XB = 0,1 km + 20 km/hora * 0,0025 horas BXB = 0,1 km + 0,05 km BXB = 0,15 km = 150 metros BDe la misma manera podría haber dicho que el encuentro se produce a los 9 segundos y despuésque el AUTO B recorrió 50 m. Esto es importante. Cuando uno dice que el encuentro se produce a los150 metros tiene que aclarar desde dónde están medidos esos 150 metros. Auto A xA t 0 0 16,666 m 1 seg 33,333 m 2 seg 50m 3 seg 66,664 m 4 seg XA = 16,666 t 83,33 m 5 seg 100 m 6 seg 116,662 m 7 seg 133,328 m 8 seg 150m 9 segOtra manera de verificar que lo que uno hizo está bien es hacer el gráfico x(t) representando c/u de lasecuaciones horarias. km 1000 m 1h mX A = 60 * * = 16,666 *t h 1 km 3600 seg seg 30
  • 31. xBB t AUTO B 100 m 0 116,665 m 3 seg XB = 100 m + 5,555 133, 33 m 6 seg m/seg * t 150 m 9 segXB = 0,1 km + 20 km/hora * t B 1000 m km 1000 m 1h mX B = 0,1 km * + 20 * * * t = 100 m + 5,555 *t 1 km h 1 km 3600 seg seg X ( m) 150 m 125 m AUTO B 100 m 75 m AUTO 50 m 25 m t seg 3 seg 6 seg 9 segEl lugar donde se cortan las rectas indica el tiempo de encuentro sobre el eje horizontal y la posiciónde encuentro sobre el eje vertical.a) ¿A que velocidad debe ser lanzada una bola verticalmente desde el nivel del piso para elevarse auna altura máxima de 50m?b)¿Cuánto tiempo estará en el aire?.Datosh = 50 m Vf= 0 m/seg. Vo= ? g= -9.81m/seg2Vf2 = V02 - 2 g h0 = V02 - 2 g hV02 = 2 g h m mV0 = 2 * g * h = 2 * 9,8 * 50m = 31,3 seg 2 seg 0Vf = V0 - g * tV0 = g * t m 31,3 V0 segt subida = = = 3,19 seg g m 9,81 seg 2Tiempo total = 2 * 3,19 seg = 6,38 seg 31
  • 32. Una roca es lanzada desde un risco de 100 m de alto ¿cuánto tiempo tarda en caer a los a) primeros50 m y b) los segundos 50 m?DatosVo=0 h = 100 m 1h = v0 * t − * g *t2 2 1h= * g *t2 22 * h = g * t2Cuanto tiempo tarda en caer 50 metros?t1=? 2h 2 * 50mt1 = = = 10,2 = 3,19seg g m 9,8 seg 2Cuanto tiempo tarda en caer (tiempo total de caída) 2h 2 * 100mttotal = = = 20,4 = 4,51seg g m 9,8 seg 2b) los segundos 50 m?= tiempo total – t1= 4,51 seg – 3,19 seg= 1,32 segUn armadillo salta hacia arriba alcanzando 0,544 m en 0,25 seg.a)¿Cuál es su velocidad inicial?b)¿Cuál es su velocidad a esta altura?c) ¿Qué altura puede alcanzar?Datosh = 0,544 m t = 0,25 seg. g= -9.81m/seg2 1h = v0 * t − * g *t2 2 1h+ * g * t 2 = V0 * t 2 1 m0,544m + * 9,81 * 0,252 seg 2 = V0 * 0,25seg 2 seg 2 m0,544m + 4,905 * 0,0625seg 2 = V0 * 0,25seg seg 20,544m + 0,3065m = V0 * 0,25seg0,85m = V0 * 0,25seg 0,85 m mV0 = = 3,40 0,25 seg seg 32
  • 33. b)¿Cuál es su velocidad a esta altura?Vf = V0 – a * tVf = 3,4 – 9,81 * 0,25Vf = 3,4 – 2,4525Vf = 0,94 m/segc) ¿Qué altura puede alcanzar? Vf = 0vf ² = v0 ² - 2.g.h0 = v0 ² - 2.g.hv0 ² = 2.g.h 2 m2 ⎛ m ⎞ ⎜ 3,4 ⎜ ⎟ 11,56 seg ⎟ 2 V seg 2 h = 0 = ⎝ ⎠ = = 1,17m g m m 9,81 9,81 seg 2 segh = 1,17 mUna bola de arcilla cae en el piso de una altura de1.5 m. Esta en contacto con el piso por 20 msegantes de llegar al reposo.¿Cuál es la aceleración promedio de la bola durante el tiempo que esta en contacto con el piso(considere la bola como una partícula)?h=1.5 mt=20 m/seg =0.2 segVf=0a =? 2 2V f = V0 + 2 g * h 2V f = 2g * h mV = 2 * 9,81 * 1,5 = 14,7 = 3,83 f = 2 g *h segEsta es la velocidad con que la bola choca con el piso. La bola dura en contacto con el piso durante0,2 seg hasta que llega al reposo. Con esta información se procede hallar la aceleraciónV f = V0 − a * tVf = 0V0 = 3,83 m/segV0 = a * t m 3,83 V0 seg ma= = = 19,15 t 0,2 seg seg 2a = 19,15 m/seg2Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/seg.a) ¿Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3 seg?.b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 seg?.c) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?.d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?.e) ¿Con qué velocidad lo hará?. 33
  • 34. v0 = 7 m/seg g = 9,8 m/seg². t = 3 seg.h = 14 mEcuaciones:vf = v0 + g.ty = v0.t + g.t²/2vf² - v0² = 2.g.h a) ¿Cuál será su velocidad luego de haber descendido 3 seg?.vf = v0 + g.tvf = (7 m/seg) + (9,8m/seg²).(3 seg)vf = 7 m/seg + 29,4 m/segvf = 36,4 m/segb) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 seg?.y = v0.t + g.t²/2y = (7 m/seg).(3 seg) + (9,8 m/seg²).(3 seg)²/2y = (21 m) + (9,8 m/seg²).(9 seg2)/2y = 21 m + 44,1 my = 65,1 mc) ¿Cuál será su velocidad después de haber descendido 14 m?.vf² - v0² = 2.g.h 2 2 ⎛ m ⎞ mVf = V0 + 2 * g * h = ⎜ 7 ⎟ + 2 * 9,8 ⎜ seg ⎟ *14 m ⎝ ⎠ seg 2 m2 m2 m2Vf = 49 + 2 74,4 = 323,4 seg 2 seg 2 seg 2vf = 17,98 m/seg d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200 m, ¿en cuánto tiempo alcanzará el suelo?.y = v0.t + g.t²/2200 = 7.t + 9,8.t²/2Ordenando la ecuacion0 = 9,8.t²/2 + 7.t - 200Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:4,9 t2 + 7t -200 = 0a = 4,9 b=7 c = -200 -b± b 2 - 4 a c - 7 ± 7 2 - 4 * 4,9 * (- 200)t= = 2*a 2 * 4,9 - 7 ± 49 + 3920 - 7 ± 3969t= = 9,8 9,8 - 7 ± 63t= 9,8 - 7 + 63t1 = 9,8 56t1 = = 5,71 seg 9,8 34
  • 35. - 7 - 63 - 70t2 = = = - 7,14 seg 9,8 9,8t1 = 5,71 segt2 = -7,14 seg (NO ES SOLUCION)e) ¿Con qué velocidad lo hará?.y = 200 m v0 = 7 m/seg g = 9,8 m/seg².vf² - v0² = 2.g.h 2 2 ⎛ m ⎞ mVf = V0 + 2 * g * h = ⎜ 7 ⎟ + 2 * 9,8 ⎜ seg ⎟ * 200 m ⎝ ⎠ seg2 m2 m2 m2Vf = 49 + 3920 = 3969 seg 2 seg 2 seg 2vf = 63 mSe lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/seg, luego de 4 segde efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/seg.a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?.b) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia?.c) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?.d) ¿Cuánto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?.v0 = 100 m/seg vf = 60 m/seg t = 4 seg y1 = 300 m y2 = 600 mEcuaciones:vf = v0 + g.ty = v0.t + g.t²/2vf² - v0² = 2.g.ha) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?.a) Para la altura máxima vf = 0,vf² = v0² - 2.g.h0 = v0² - 2.g.hv0² = 2.g.hh máx = -v0²/(2.g)h máx = (100 m/seg)²/[2.(9,8 m/seg²)]h máx = (100 m/seg)²/[19,6 m/seg²)]h máx = 510,2 mb) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia?.vf = v0 - g.t vf = 0:0 = v0 - g.tv0 = g.tt = v0/gt = (100 m/s)/(9,8 m/s²)t = 10,2 segc) ¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzo?.Recordemos que en tiro vertical, cuando un objeto es lanzado hacia arriba y luego cae, cuando vuelvea pasar por el punto de partida posee la misma velocidad que en el momento del lanzamiento perocon sentido contrario (vf = -v0). 35
  • 36. Podemos asegurar que el resultado pedido es el doble del tiempo que requirió para alcanzar la alturamáxima.Tiempo total = tiempo subida + tiempo bajada = 10,2 seg + 10,2 seg = 20,4 segd) ¿Cuánto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?.e) No puede alcanzar una altura de 600 m porque la máxima es de 510,2 m. Para h = 300 my = v0.t - g.t²/2300 = 100.t - 9,8.t²/2Ordenando la ecuacion0 = - 9,8.t²/2 + 100t - 300Aplicamos la ecuación cuadrática que dará dos resultados:- 4,9 t2 + 100t - 300 = 0a = - 4,9 b = 100 c = -300 -b± b2 - 4 a c - ( 100) ± ( 100)2 - 4 * (- 4,9) * (- 300)t= = 2*a 2 * 4,9 - 100 ± 10000 − 5880 100 ± 4120t= = 9,8 9,8 100 ± 64,18t= 9,8 100 + 64,18t1 = 9,8 164,18t1 = = 16,75 seg 9,8 100 64,18 35,82t2 = = = 3,65 seg 9,8 9,8t1 = 16,75 seg (NO ES SOLUCION)t2 = 3,65 segDesde lo alto de un edificio, se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una rapidez de 12,5m/seg. La pelota llega a tierra 4,25 seg después.Hallar la altura del edificio?La rapidez con que llega la pelota al piso?tiempo total = 4,25 seg = tiempo subida + tiempo bajada + tiempo del edificiose halla el tiempo de subida que es igual altiempo de bajada. 0 tsubida tbajada Y1Vf = V0 – g * tsubida0 = 12,5 – 9,81 * tsubida12,5 = 9,81 * tsubida V0 = 12,5 m/seg m 12,5 segt subida = = 1,2742 seg m 9,81 seg 2 edificio = Y2 tedificiotsubida = 1,2742 seg tajada = 1,2742 seg Vf = ? 36
  • 37. tiempo total = 4,25 seg = tiempo subida + tiempo bajada + tiempo del edificio4,25 seg = 1,2742 seg + 1,2742 seg + tiempo del edificiotiempo del edificio = 4,25 seg - 1,2742 seg - 1,2742 segtiempo del edificio = 1,7016 segSe halla la altura del edificio = Y2 * (1,7016 seg )2 1 2 m 1 mY2 = V0 * t edif + gt = 12,5 * 1,7016 seg + * 9,81 edif 2 seg 2 seg 2Y2 = 21,27 m + 4,905 * (2,8954 ) mY2 = 21,27 m + 14,2021 mY2 = 35,47 m ALTURA DEL EDIFICIO.la velocidad con que es lanzada la pelota es igual a la velocidad de llegada en la parte superior deledificio. V0 = 12,5 m/segVf = V0 + g * tedificioVf = 12,5 m/seg + 9,81 m/seg2 * 1,7016 segVf = 12,5 m/seg + 16,6926 m/segVf = 29,19 m/seg (velocidad con que llega la pelota al piso.)Se deja caer un cuerpo desde un edificio con una altura de 33 metros y simultáneamente se lanzahacia abajo otro cuerpo con una rapidez inicial de de 3 m/seg. Encontrar el instante en que ladistancia entre ellos es 18 metros?Y1 = Es la altura del cuerpo que se deja caer.Y2 = Es la altura del cuerpo que es lanzado.Y3 = Es la distancia de 18 metros que separana los cuerpos.Y2 = Y1 + Y3 V0(1) = 0 ( se deja caer)Y2 = Y1 + 18 (ecuación 1) V0(2) = 3 m/seg ( es lanzada)El tiempo es el mismo para ambos cuerpos.V0(1) = 0V0(2) = 3 m/seg Y1 1Y1 = V0(1) * t + g *t2 Y2 2 edificio = 33 m Y3 = 18 m 1Y1 = g * t 2 (ecuación 2) 2 1Y2 = V0(2) * t + g * t 2 (ecuación 3) 2 37
  • 38. Reemplazando ecuación 1 en la ecuación 3 1Y1 + 18 = V0(2) * t + g * t 2 (ecuación 4) 2Por el sistema de reducción de ecuaciones se relacionan las ecuaciones 2 y la 4 1Y1 = g * t2 (ecuación 2) 2 1Y1 + 18 = V0(2) * t + g * t 2 (ecuación 4) 2Multiplico la ecuación 2 por (-1)se suman las ecuaciones 1 - Y1 = - g *t2 2 1Y1 + 18 = V0(2) * t + g * t2 2 1 1- Y1 + Y1 + 18 = - g * t 2 + V0(2) * t + g * t 2 2 2Se cancelan los términos semejantes y por ultimo queda: 18 = V0(2) * tSe halla el tiempo. 18 m 18 m t= = = 6 seg V0(2) m 3 seg t = 6 segUn cuerpo que cae, recorre en el ultimo segundo 68,3 metros. Encontrar la altura desde dondecae?.Se analiza el primer desplazamiento, donde: V0= 0Y es la distancia del primer movimientoY1 = 68,3 m es la distancia del segundo movimiento Y2 = Y + 68,3 m es el desplazamiento total del objeto.t es el tiempo del primer movimiento Y t 1 Y = V0 t + g t2 2 T = t + 1 seg Y2 = Y+ 68,3 mPero la Vo = 0 1Y = g t2 ECUACION 1 2 Y1 = 68,3 m t1 = 1 segSe analiza el desplazamiento total 38
  • 39. Y2 = V0 (t + 1) + g (t + 1)2 1 2Pero: Y2 = Y + 68,3 Y + 68,3 = V0 (t + 1) + g (t + 1)2 1 2Pero la Vo = 0 Y + 68,3 = g (t + 1)2 ECUACION 2 1 2Reemplazando el valor de Y de la ecuación 1 en la ecuación 2 tenemos: g t 2 + 68,3 = g (t + 1)2 1 1 2 2 1 1 ⎡ ⎤ g t 2 + 68,3 = g ⎢ t 2 + 2t + 1⎥ 2 2 ⎣ ⎦ 1 1 1 g t 2 + 68,3 = g t 2 + g t + g 2 2 2Cancelando terminos semejantes 1 68,3 = g t + g 2 2g t +g 68,3 = 268,3 * 2 = 2 g t + g137, 6 = 2 g t + g137, 6 – g = 2 g tg = 9,8 m/seg2 137,6 - g 137,6 - 9,8 127,8t= = = = 6,52 seg 2g 2 * 9,8 19,6Se halla la distancia del primer movimiento “Y“ (ECUACION 1) * (6,52 seg )2 1 1 mY = g t 2 = * 9,8 2 2 seg 2 m ⎛ ⎞Y = = 4,9 * ⎜ 42,51 seg 2 ⎟ seg 2 ⎝ ⎠Y = 208,3 mla distancia total es la suma de los dos movimientos.Y2 = Y + 5 = 208,3 + 68,3= 175,63 mY2 = 276,6 mDesde lo alto de un acantilado se deja caer una piedra, desde la misma altura se lanza una 39
  • 40. piedra 2 seg mas tarde con una rapidez de 30 m/seg. Si ambos golpean el pisosimultáneamente. Encuentre la altura del acantilado.t = es el tiempo que demora en llegar el cuerpo que cae libremente.t2 = es el tiempo que demora en llegar el cuerpo que eslanzado. Observe que este cuerpo demora 2 seg menos en el aire que el primer cuerpo, por que es enviado después.Se analiza la primera piedra V0(1) = 0 ( se deja caer) V0(2) = 30 m/seg 1Y = V0 t + g t2 2Pero la Vo = 0 1 t t2 = t - 2 YY = g t2 ECUACION 1 2Se analiza la segunda piedraY = V0(2) * (t - 2 ) + g (t - 2 )2 1 2 pero V0 (2) = 30 m/segY = 30 * (t - 2 ) + g (t - 2 )2 1 2Y = 30 t - 60 + g ⎡ t 2 - 4t + 4⎤ 1 2 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ 1Y = 30 t - 60 + g t 2 - 2 g t + 2 g ECUACION 2 2Igualando la ecuación 1 y 2 1 1 g t 2 = 30 t - 60 + g t 2 - 2 g t + 2 g 2 2Cancelando terminos semejantes0 = 30 t - 60 - 2 g t + 2 gReemplazando el valor de la gravedad g = 9,81 m/seg20 = 30 t – 60 – 2 * 9,81 t + 2 * 9,810 = 30 t – 60 – 19,62 t + 19,620 = 10,38 t – 40,3840,38 = 10,38 tDespejando el tiempo 40,38t = = 3,89 seg 10,38 40
  • 41. Se halla la altura del acantilado en la ecuación 1 1Y = g t2 2 * 9,8 * (3,89 )2 = 4,9 * 15,13 1Y = 2Y = 74,15 metrosUna roca cae libremente recorriendo la segunda mitad de la distancia de caída en 3 seg. Encuentre laaltura desde la cual se soltó y el tiempo total de caídaComo dice que la segunda mitad de la trayectoria bajaen 3 seg, significa que el problema se puede dividir endos partes iguales. Vi1 = 0Y = altura total t1y/2 = la mitad de la trayectoriaVi1 = es la velocidad inicial del primer movimiento. Y/2VF1 = es la velocidad final del primer movimiento. VF1 = Vi2Vi2 = es la velocidad inicial del segundo movimiento. YVF2 = es la velocidad final del segundo movimiento.NOTA : En la mitad de la trayectoria la velocidad finaldel primer movimiento es igual a la velocidad inicial del Y/2 t = 3 seg VF2segundo movimiento.Analizamos el segundo movimiento.Pero t = 3 seg g = 9,81 m/seg2 = (Vi2 ) * t +Y 1 *g*t22 2 = (Vi2 ) * 3 +Y 1 * g * 322 2 = 3 (Vi2 ) + * g = 3 (Vi2 ) +Y 9 9 * 9,812 2 2 = 3 (Vi2 ) + 44,145Y2Y = 2 * ( 3 (Vi2 ) + 44,145)Y = 6 Vi2 + 88,29 Ecuación 1Analizamos el primer movimiento. Pero Vi1 = 0 VF1 = Vi2 (Ver la grafica).(VF1 )2 = (Vi1 )2 + 2 * g ⎛ Y ⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠(VF1 )2 = 2 * g ⎛ Y ⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2(VF1) = g * YReemplazando VF1 = Vi2 41
  • 42. (Vi2)2 = g * YDespejando Y (Vi2 )2 (Vi2 )2Y = = Ecuación 2 g 9,8Igualando la ecuación 1 con la ecuación 2Y = 6 Vi2 + 88,29 Ecuación 1 (Vi2 )2 (Vi2 )2Y = = Ecuación 2 g 9,8 (Vi2 )26 Vi2 + 88,29 = 9,8Se despeja la Vi29,8 * (6 Vi2 + 88,29) = (Vi2)258,8 Vi2 + 865,242 = (Vi2)2Se ordena la ecuación de segundo grado0 = (Vi2)2 - 58,8 Vi2 - 865,242Se aplica la ecuación de segundo grado para la hallar la velocidad inicial del segundo movimiento.0 = (Vi2)2 - 58,8 Vi2 - 865,242a=1 b = - 58,8 c = - 865,242 -b± b 2 - 4 a c - ( - 58,8) ± ( - 58,8)2 - 4 * (1) * (- 865,242)Vi2 = = 2*a 2 *1 58,8 ± 3457,44 + 3460,968 58,8 ± 6918,408Vi2 = = 2 2 58,8 ± 83,17Vi2 = 2 58,8 + 83,17Vi2 = 2 141,97 mVi2 = = 70,98 2 segVi2 = 70,98 m/seg 58,8 - 83,17Vi2 = no tiene solucion por que la velocidad es negativa 2Reemplazando en la ecuación 1, se halla la altura total “Y”Y = 6 Vi2 + 88,29 Ecuación 1Y = 6 * 70,98 + 88,29Y = 425,93 + 88,29Y = 514,22 m 42
  • 43. Para Hallar el tiempo, se necesita encontrar el tiempo de la primera trayectoria t1Pero Vi1 = 0 VF1 = Vi2 = 70,98 m/segVF1 = Vi1 + g * t1VF1 = g * t1 m 70,98 V segt1 = F1 = = 7,24 seg g m 9,8 seg 2Tiempo total = t1 + tTiempo total = 7,24 seg + 3 segTiempo total = 10,24 segUn estudiante de geología se encuentra frente a un corte vertical en roca, al cual no le es fácilacceder y desea medir la altura de dicho corte, para lo cual provisto de un cronometro lanza unfragmento rocoso en forma vertical hasta el borde del corte, el fragmento regresa al cabo de 3 seg.No tener en cuenta la resistencia del aire y calcular; A) la velocidad inicial de lanzamiento B) Cual es la altura del corte? Tiempo total de ida y regreso es = 3 seg. = tiempo subida + tiempo bajada Por lo anterior el tiempo de subida es = 1,5 segPero Vi = ? VF = 0VF = Vi - g * tsubida0 = Vi - g * tsubidaVi = g * tsubidaVi = 9,8 m/seg2 * 1,5 segVi = 14,4 m/segCual es la altura del corte?Y2 = 1 (V0 + Vf ) t subida 2Y = 1 ( 14,4 + 0)* 1,5 = 7,2 *1,5 = 10,8 m 2Y = 10,8 m 43

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