Conicas
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Conicas

on

  • 1,219 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,219
Views on SlideShare
1,215
Embed Views
4

Actions

Likes
0
Downloads
20
Comments
0

1 Embed 4

http://conicasmat.blogspot.com 4

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Conicas Conicas Document Transcript

  • CONICASNombre: Katy ConzaCurso: Sexto “J”Licenciado:Lic. Carlos Camacho
  • Se denomina cónica (o sección cónica) a la curva intersección de un cono conun plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses,parábolas e hipérbolasLas cónicas son curvas que tienen propiedades interesantes y las podemosdescubrir en multitud de objetos y situacioLas cónicas están presentes en la vida cotidiana, en la naturaleza, en elarte. Por ello, su estudio nos ofrece una buena oportunidad para resaltarel carácter instrumental de las matemáticas: "La Matemática es el modode comprender el mundo" (Pitágoras).Por otro lado, en el estudio de las cónicas (que conjuga de formaarmónica las diferentes ramas de la geometría: sintética, métrica,analítica, proyectiva, diferencial,...) resalta el carácter global de lasmatemáticas: "El carácter unitario de las Matemáticas reside en laesencia intrínseca de esta Ciencia; pues la Matemática es el fundamentode todo conocimiento científico riguroso" (Hilbert). nes.HISTORIA DE LAS CONICASLa primera definición conocida de cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año350 (Menæchmus) donde las definieron comosecciones “de un cono circular recto”.Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perga.Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras;estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática (como lageometría analítica, la geometría proyectiva, etc.)El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estascurvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga
  • (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamentelas curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a losque dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónicacon un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficiecónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base yarista).Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficiecónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedadesinteresantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizanactualmente para definirlas.Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apoloniode las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si seconstruyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededorde su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos ohiperbólicos, según la curva que gira.Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de unespejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en elotro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólicode manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo,entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Estapropiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de unespejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol.Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar lasnaves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedadesde los espejos parabólicos. La propiedad análoga, que nos dice que unrayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que losfaros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carreterao para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz provenientede uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, estapropiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir unasuperficie mayor iluminada.
  • En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650)desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Estemétodo es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica lascurvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo gradoen las variables x e y. El resultado más sorprendente de la GeometríaAnalítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variablesrepresentan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672).Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que lageometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexiónson de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace másimportantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetasalrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquiercuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica.El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que lasórbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al solcomo uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 ylos demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón..Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza detipo gravitatorio es siempre una curva cónica.Tipos
  • En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (á) y la inclinacióndel plano respecto deleje del cono (â), pueden obtenerse diferentes seccionescónicas, a saber:• â < á : Hipérbola (celeste)• â = á : Parábola (verde)• â > á : Elipse (amarillo)• â = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)LA CIRCUNFERENCIADefiniciónUna circunferencia es el lugar geométrico de los P(x, y) que equidistande un punto fijo C llamado (centro)d(P,C) = cte = radioSea P(x, y) un punto cualquiera verificando d(P,C) = r, siendo r el radio yC(x0, y0) el centro. De la formula de la distancia de dos puntos se tiene(x − x0)2 + (y − y0)2 = ry elevando al cuadrado se obtiene la ecuación de la circunferencia(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2Cuando la circunferencia tiene el centro en el origen se tiene la ecuaciónreducidax2 + y2 = r2Ecuación vectorial de la circunferenciaLa circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuaciónvectorial: .Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que
  • . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que elcomponente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar porresultado el radioELIPSEUna elipse es el lugar geométrico de los P(x, y) cuya suma de distancias ados puntos fijos (focos) es constanteSe denomina elipse a la curva cerrada y plana, que determina el lugargeométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros fijos F y F´llamados focos, es constante e igual al eje mayor AB.Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica, corta a todas lasgeneratrices y no pasa por el vértice, la sección que produce es una curvacerrada que recibe el nombre de elipse.ELEMENTOS DE UNA ELIPSE.La elipse tiene dos puntos fijos, F y F´, llamados focos, y que son los puntosde tangencia entre el plano que genera la elipse y las esferas inscritas en lasuperficie cónica. Dichos focos, están situados sobre el eje mayor, distantes“a” de los extremos del eje menor. La distancia focal F-F´ es igual a 2c.La recta que contiene a los focos se denomina eje focal.Los vértices de la elipse son A, B, C y D.
  • La elipse tiene dos ejes, el Eje Mayor que se corresponde con el segmentoAB, y que es igual a 2a, y el Eje Menor, que se corresponde con el segmentoCD, y que es igual a 2b. Además, dichos ejes son siempre ejes de simetría.El punto de intersección de los dos ejes, O, es el centro de la elipse.PARÁMETROS DE LA ELIPSE.Como hemos visto anteriormente, la elipse es una curva cerrada y plana,cuyos puntos constituyen un lugar geométrico que tienen la propiedad de quela suma de distancias de cada uno de sus puntos a otros dos, fijos, F1 y F2,llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayorAB de la elipse.La elipse tiene tres parámetros:2a = Eje Mayor → AB2b = Eje Menor → CD2c = Distancia Focal → FF´Estos tres parámetros configuran un triángulo rectángulo, y por lo tanto secumple que: a2= b2+ c2PROPIEDADES DE LA ELIPSE.Como hemos visto, la elipse tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en elpunto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje focal y serepresenta por 2a. El eje menor CD se representa por 2b. Los focos están en eleje focal. La distancia focal F1-F2se representa por 2c. Entre a, b y c existe larelación: a2= b2+c2La elipse es simétrica respecto de los dos ejes y, por tanto, respecto del centroO. Las rectas que unen un punto M de la curva con los focos, se llaman radiovectores r1 y r2 y por la definición se verifica: r1 + r2 = 2a.La circunferencia principal Cp de la elipse es la que tiene por centro el de laelipse y radio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de lasperpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes. Lascircunferencias focales Cf1 y Cf2 de la elipse tienen por centro uno de los focosy radio 2a.
  • La elipse se puede definir también como el lugar geométrico de los centros delas circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferenciafocal del otro foco.Si tenemos un diámetro de la elipse, el diámetro conjugado con él es el lugargeométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas al primero. Losejes son dos diámetros conjugados y los únicos que son perpendiculares. En lacircunferencia todas las parejas de diámetros conjugados son perpendiculares.PARABOLAEn matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un conorecto con un plano paralelo a su generatriz.Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan deuna recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de lasrectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante osemejanza.La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que lasgráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoriaideal del movimiento de los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.Se llama parábola a la curva plana, abierta, y de una sola rama, que determinael lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo Fllamado foco, y de una recta fija llamada d, llamada directriz.PM=PF
  • Si el plano secante es paralelo a una sola generatriz de la superficie, a estageneratriz no la cortará y la curva será abierta con un punto en el infinito; lasección que se produce es una parábola.ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.F es el foco de la parábola y s es la directriz.A la distancia entre la directriz y el foco la llamamos p.La reta e que pasa por F y es perpendicular a s es el eje.El vértice es el punto V, que es la intersección del eje con la parábola.Si situamos la parábola en unos ejes cartesianos, con vértice en el origen decoordenadas y cuyo eje es el eje Y, se cumple que:PARÁMETROS DE LA PARÁBOLA.La parábola solo tiene un parámetro, “P” que configura y da forma a la curva.p = FDPROPIEDADES DE LA PARÁBOLA.Como hemos visto, la parábola es una curva plana, abierta y de una rama.Dicha parábola, tiene un vértice v y un eje de simetría que pasa por v y por elfoco y es perpendicular a la directriz. La tangente en el vértice de la curva esparalela a la directriz.La parábola tiene un eje perpendicular a la directriz, que contiene al foco F yal vértice V. El eje de la curva es a su vez eje de simetría.El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, porlo tanto estará colocado en el punto medio del segmento AF.La directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respectode cada una de las tangentes de la parábola. La directriz d de la curva hacede circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito.La tangente en el vértice, que es una recta, hace de circunferencia principal yse define como en las curvas anteriores.
  • El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto dondeésta corta al eje de la curva.EJEMPLOS REALES.- Superficies parabólicas: Cuando la forma de la superficie esparabólica todos los rayos que llegan paralelos al eje de la parábolase reflejan pasando por un mismo punto que se denomina "foco“.Espejos Parabólicos Antenas Parabólicas