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  1. 1. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009I. IDENTIFICACIÓNNOMBRE DEL MÓDULO: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICAUNIDAD DE COMPETENCIA: Al finalizar el módulo los participantes serán capaces de: Resolver problemas matemáticos básicos relacionados con el mundo de la economía, los negocios la tecnología y otros fenómenos socioeconómicos, utilizando eficazmente calculadora científicaDURACIÓN: 90 horas pedagógicasHORAS AULA: 36 horas (2 horas a la semana, clase expositiva)HORAS TALLER EN AULA 54 horas (3 horas a la semana, trabajo grupal en el aula)II. DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITOÁREA DE FORMACIÓN: General DiferenciadaUBICACIÓN EN LA MALLA: 1er semestrePRERREQUISITO: no tieneIII. UNIDADES DE APRENDIZAJEPRIMERA UNIDAD: NIVELACIÓNDURACIÓN: 20 horas pedagógicasAPRENDIZAJES ESPERADOS:1. Reconocen y nominan los conjuntos numéricos, desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos.2. Utilizan propiedades y reglas de los números Reales para resolver las cuatro operaciones básicas, con ayuda de calculadora científica.3. Resuelven problemas sencillos, relacionados con la especialidad y el mundo cotidiano, utilizando calculadora científica, propiedades y reglas de los Números Reales4. Transforman números decimales a fracción común y viceversa5. Realizan operaciones combinadas de números decimales y fracciones, con ayuda de calculadora6. Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad.SEGUNDA UNIDAD: ÁLGEBRA EN LOS REALESDURACIÓN: 40 horas pedagógicasAPRENDIZAJES ESPERADOS:1. Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas2. Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando el concepto y las propiedades de las razones3. Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas4. Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental de las proporciones5. Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando el concepto y las propiedades de las proporciones.6. Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones algebraicamente.7. Aplican el concepto de Variación Proporcional Directa en inversa en la resolución de problemas relacionados con la especialidad8. Grafican variables relacionadas con la proporcionalidad directa e inversa en el contexto de la especialidad9. Interpretan gráficos de variaciones proporcionales directa e inversa en el contexto de la especialidad.10. Resuelven problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad11. Resuelven problemas de tanto por ciento, descuentos y recargos, relacionados con la especialidad12. Identifican potencias, sus componentes, propiedades y operatoria13. Operan con potencias14. Identifican raíces, sus componentes, propiedades y operatoria15. Operan con potencias16. Resuelven expresiones numéricas aplicando concepto de logaritmo. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 1
  2. 2. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 200917. Calculan valor numérico de expresiones que incluyen logaritmos decimales18. Calculan expresiones y operan con logaritmos naturales19. Identifican y operan con propiedades de los logaritmos20. Identifican potencias, raíces y logaritmos como operaciones inversas21. Identifican y reducen términos semejantes22. Realizan operaciones básicas con polinomios: Adición, Sustracción, Productos23. Desarrollan productos de polinomios, utilizando las fórmulas de productos notables: cuadrado de binomio, producto de una suma por su diferencia24. Factorizan expresiones algebraicas25. Operan expresiones algebraicas con exponente, radicales y logaritmos aplicando sus propiedades y teoremas26. Calcula, con ayuda de calculadora científica, el valor numérico de expresiones numéricas y algebraicas con radicales, potencias y logaritmos aplicando sus propiedades27. Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando los diferentes tipos de números, operatoria y formas de expresión.28. Resuelven ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral.29. Resuelven ecuaciones de segundo grado orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral30. Resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral.31. Resuelven ecuaciones exponenciales, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano32. Resuelven ecuaciones logarítmicas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral33. Exploran sistemáticamente, diversas alternativas y estrategias para la resolución de problemas relacionados con la especialidad34. Resuelven problemas relacionados con la especialidad, seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo error, y analizando la pertinencia de los datos y soluciones.TERCERA UNIDAD: LAS FUNCIONES COMO MODELOS DESCRIPTIVOSDURACIÓN: 30 horas pedagógicasAPRENDIZAJES ESPERADOS:1. Identifican el concepto de función, su dominio y recorrido, operando con la nomenclatura correspondiente.2. Calculan imágenes y coimágenes en funciones sencillas y las representan gráficamente.3. Identifican la función lineal y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica4. Operan con la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral5. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de especialidad aplicando la función lineal como modelo6. Identifican la función cuadrática y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica.7. Operan con la función con la función cuadrática en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral.8. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de especialidad aplicando la función cuadrática como modelo. Identifican la función exponencial de la forma y  a  b , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. x9. Identifican el comportamiento de la función exponencial de la forma y  a  b cuando 0< b < 1 y cuando b> 1 x10.11. Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano yen la especialidad, aplicando el modelo exponencial.12. Identifican la función logarítmica de la forma y  a  b log x , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica.13. Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo logarítmico.14. Analizan fenómenos de crecimiento lineal, exponencial, y logarítmico en forma analítica y gráfica.15. Resuelven problemas de crecimiento contextualizados en el mundo cotidiano y de la especialidad, aplicando modelos de crecimiento lineal, exponencial y logarítmico.IV. ORIENTACIONES METODOLÓGICASA) GENERALES:- Iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje a partir de los conocimientos previos de los estudiantes. Diagnóstico.- Centrar la docencia en el aprendizaje de los estudiantes, más que en la enseñanza. El estudiante debe ser activo.- Situar y vincular permanentemente los aprendizajes, contenidos y actividades con el contexto social y laboral de los estudiantes y la carrera que estudian. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 2
  3. 3. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009- Utilizar la resolución de problemas como uno de los ejes fundamentales de la enseñanza-aprendizaje.- Promover en los estudiantes la reflexión sobre sus conocimientos y las posibles implicaciones de sus actos.- Promover aprendizajes de conocimientos, habilidades y actitudes, integradas y relevantes en el contexto de la carrera.B) ESPECÍFICAS:- Presentación centrada en el estudiante por parte del profesor de los diferentes contenidos temáticos.- Desarrollo de diferentes ejercicios de práctica escritos.- Actividades individuales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad. (Reforzamiento a través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante).- Actividades grupales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad. (reforzamiento a través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante).- Consolidación de conocimientos a través de diversos ejercicios guiados por el profesor, con el objetivo de- esclarecer y reforzar contenidos.V. EVALUACIÓNLas evaluaciones que se aplican en este módulo son del tipo ENE (Evaluación Nacional Estandarizada).Además cada docente puede evaluar los trabajos grupales u otras actividades con nota. De estos trabajos se obtiene una notapromedio, que corresponde a una nota por unidad.Con las notas del semestre se obtiene la nota de presentación a examen.Si esta nota es igual o mayor a 5,5 el estudiante se exime del examen final.El examen final es una Prueba Nacional Estandarizada escrita que equivale al 30% del promedio.Evaluaciones Nacionales EstandarizadasPrimera ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 ingresada en la primera columna de la Primera Unidad.Segunda ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 ingresada en la primera columna de la Tercera Unidad.Controles:Unidad 1: al menos 1 (Controles Escritos y promedio de los trabajos desarrollados.)Unidad 2: al menos 1 (Controles Escritos y promedio de los trabajos desarrollados.)Unidad 3: al menos 1(Controles Escritos y promedio de los trabajos desarrollados.)VI. BIBLIOGRAFÍA- Piotr Maarian Wisniewski /Ana Laura Gutierrez Banegas; 2003; Introducción a las Matemáticas Universitarias.- Jagdish C. Arya; 2002; Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 3
  4. 4. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009VII. CLASE A CLASEPRIMERA UNIDAD: NIVELACIÓNCLASE 1 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS  Reconocer y nominar los conjuntos numéricos, 1. Conjuntos numéricos. desarrollando el lenguaje matemático para 1.1. Naturales establecer relaciones entre ellos. 1.2. Enteros 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. RealesCONJUNTOS NUMÉRICOS1.1 Conjunto de los Naturales:N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}El conjunto de los Números Naturales se caracteriza porque:Tiene un número infinito de elementosCada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).1.2. Conjunto de los Enteros: Z = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción; la recta numérica se extiende haciala izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda delcero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él). Por lo tantopodemos decir que el conjunto de los números enteros, está formado por los Naturales, sus simétricos y el cero1.3. Conjunto de Racionales:Q = {....- ¾, - ½, - ¼, 0, ¼, ½, ¾,.....} aEl conjunto de los Números Racionales está formado por todos los números de la forma . Esta fracción en la Cuál el numerador a, es bun número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.El conjunto de los números Racionales, se define como: a Q   / a, b  Z  b  0 b Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representennúmeros enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de lasubdivisión.Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 4
  5. 5. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20091.4. Conjunto de los Irracionales:Son aquellos que no se pueden expresar en forma RacionalEl conjunto de los números Irracionales se define como.I = {x / x es un decimal infinito no periódico}Algunos ejemplos de números irracionales son:0,313313331....... 2 1,414213562..........   3,141592653....... aA él pertenecen todos los números que no pueden escribirse en la forma No deben confundirse con los números racionales, b aporque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden escribirse en la forma b1.5. Conjunto de los Reales:El conjunto de los números reales se define como:IR  Q  I Con lo Cuál obtenemos la denominada recta numérica.Recordemos que una recta es una sucesión infinita de puntos alineados. Entre dos puntos existen infinitos puntos y a cada punto lecorresponde un número RealValor absoluto de un número:El valor absoluto de un número real a denotado por a , es la distancia sobre una recta numérica entre 0 y el punto con coordenada a  Si x  0 entonces x x Para cualquier número real x Si x  0 entonces x  x  Si x es positivo o 0, entonces x es su propio valor absoluto. No obstante, si x es negativo, entonces – x (que es un número positivo) es elvalor absoluto de x. En consecuencia x  0 , para todos los números reales x.Ejemplo: 4 4  4 4Encuentre cada uno de los siguientes valores absolutos:a. 3 Respuesta: 3 c.  4 Respuesta. 4b.   8 Respuesta. 8 d.  6   3 Respuesta: 18 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 5
  6. 6. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 2 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Reconocer y nominar los conjuntos numéricos, desarrollando el 1. Conjuntos numéricos. lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos. 1.1. Naturales 1.2. Enteros 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. Reales Taller de Matemáticas1. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:a.-La medida de una excavación de 5 metros de profundidad se puede representar por el numeral -5.b.-El valor del pasaje del trasporte público se representa por un número positivo.c.-La cantidad de personas que asiste a un evento esta representado por un número positivo.d.-La temperatura de un caluroso día de verano, en grados Celsius está dada por un número positivo.2. En la figura siguiente, en los recuadros señalados por cada flecha, anote las sumas de los números que están en el cuadriculado respectivo A) Los números de los recuadros señalados con las flechas son los cubos de 2, de 3, de 4 y de 5 B) La suma de los números de la diagonal principal de cada cuadriculado son los cuadrados de 2, de 3, de 4 y de 5. C) La suma de todos los números del sexto cuadriculado de este mismo tipo es 216. D) Todas las afirmaciones anteriores son verdaderas.3. A continuación se presenta parte de una tabla de la ubicación de los números del 1 al 200. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 6
  7. 7. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009La figura siguiente es parte de esta tabla. ¿Qué números deben figurar en los recuadros x e y? A) 96 y 98 B) 98 y 100 C) 101 y 103 D) 102 y 1044. a.- Anote cuatro números enteros menores que 10 y mayores que 3 b.- Anote cuatro números enteros que sean mayores que  35. Dados 3 números irracionales determinar el orden de mayor a menor de ellos: 6 3 5 ; ; 2 7 2 26. Ordenar de menor a mayor los números: - (- 3);  ; e ; 7CLASE 3 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Utiliza propiedades y reglas de los números Reales 2. Operaciones Básicas: para resolver las cuatro operaciones básicas, con 2.1. Adición ayuda de calculadora científica. 2.2. Sustracción 2.3. Producto 2.4. Cuociente 2.5. Uso de calculadora científicaOperaciones Básicas:Adición de números realesCuando se efectúa la adición de números, el resultado se denomina suma. Por ejemplo:a. Sume:  5 y  7  5  (7)   12b. Sume ( 2) y ( 8) (2)  (8)   10Generalizando:  Con signos iguales: Sumar los valores absolutos de los números y mantener el signo común  Con signos diferentes: Restar los valores absolutos de los números (del mayor, restar el menor) y mantener el signo del número con mayor valor absolutoSume los números. a.  12  (20) b.  20  ( 8) Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 7
  8. 8. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 c.  15  ( 12) d.  30  (15)Sustracción de números reales:Cuando un número se resta de otro número, el resultado se denomina diferencia. Para encontrar una diferencia, podemos convertir laresta en una suma equivalente. Por ejemplo, la resta de 10  6 es equivalente a la suma de 10  (6) , porque tienen el mismoresultado: 10  6  4 10  (6)  4Esto sugiere que, para restar dos números cambiamos el signo del número que se resta y sumamosReste: a. 14  9  b.  20  10 = c.  8  ( 12) Multiplicación de Números RealesCuando se multiplican dos números, el resultado se llama producto. Podemos encontrar el producto de 5 y 4 si usamos el 4 cinco vecesen una suma: (5)  (4)  4  4  4  4  4  20El producto de 5 y (4) lo encontramos al usar  4 cinco veces en una suma: (5)  (4)  (4)  (4)  (4)  (4)  (4)   20Por lo tanto para multiplicar dos números reales:  Con signos iguales: Multiplique sus valores absolutos. El producto es positivo  Con signos diferentes: Multiplique sus valores absolutos. El producto es negativo.  Multiplicación por 0: Si x es cualquier número real, entonces x 0 0 x0Multiplicar: a. 3(9)  b.  4( 15)  c.  3(9)División de números reales aCuando se dividen dos números, el resultado lo denominamos cuociente. En la división  q (b  0) , el cuociente q, es un número btal que b  q  a Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 8
  9. 9. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Considere las siguientes divisiones:  24   12, ya que  2(12)  24 2  15   3, ya que 5(3)   15 5  24 12, ya que (2)12   24 2Los resultados anteriores sugieren que, para dividir números reales.  Con signos iguales: Divida sus valores absolutos. El cuociente es positivo  Con signos diferentes: Divida sus valores absolutos. El cuociente es negativo.  División entre 0: La división entre 0 no está definida. 0 xSi x  0, entonces  0. Sin emb arg o, no está definido para ningún valor de x x 0Dividir: 30 a.  15  20 b. 4  10 c.  5Orden de las operaciones:Consideremos la expresión:10  3  4 , que contiene las operaciones de adición y multiplicación, convenimos en efectuar las multiplicaciones antes que lassumas:10  3  4 10  12 Realice primero la multiplicación  22 Luego realice la adiciónPara indicar que las sumas deben efectuarse antes que las multiplicaciones, debemos utilizar signos de agrupación como son losparéntesis:  Paréntesis redondo  Paréntesis rectangulares  Paréntesis de llaves Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 9
  10. 10. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Por ejemplo en la expresión 3  7   2 , los paréntesis indican que la adición debe efectuarse primero:3  7   2 10  2  20Para garantizar resultados correctos, realizar el siguiente orden:Utilice los siguientes pasos para realizar todos los cálculos dentro de cada par de símbolos de agrupación; trabaje del par más interno almás externo. a. Efectúe todas las multiplicaciones y divisiones, trabajando de izquierda a derecha. b. Efectúe todas las adiciones y sustracciones, trabajando de izquierda a derechaCuando se hayan eliminado todos los símbolos de agrupación, repita las reglas antes mencionadas para finalizar el cálculo.En el caso de una fracción simplifique (divida el numerador y el denominador por el mismo número)Ejemplo:Evalúe la siguiente expresión: 4(7  2) : 5  1  4( 5) : 5  1  20 : 5  1 5 4 1 5Evaluar:  a. 5 3  26 : 3  1  Respuesta:  15 4  83  4  b. Respuesta:  2 6  22Propiedades de los números reales:Sean a, b y c elementos pertenecientes a un conjunto numérico, entonces: AXIOMAS ADICIÓN MULTIPLICACIÓN Sean a y b números pertenecientes de un mismo conjunto, Clausura (Ley de entonces: A1 composición interna) a  b pertenece al mismo a  b pertenece al mismo conjunto conjunto A2 Conmutatividad ab ba a b  ba A3 Asociatividad a  (b  c)  (a  b)  c a  (b  c)  (a  b)  c A4 Elemento Neutro a0a 0a a 1  a  1  a A5 Elementos Inversos a  (a )  0  (a)  a a  a 1  1  a 1  a A6 Distributividad a  (b  c)  a  b  a  c Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 10
  11. 11. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 4 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Utiliza propiedades y reglas de los números Reales para resolver 2. Operaciones Básicas: las cuatro operaciones básicas, con ayuda de calculadora 2.1. Adición científica. 2.2. Sustracción Resuelven problemas sencillos relacionados con la especialidad y 2.3. Producto el mundo cotidiano, utilizando calculadora científica, propiedades 2.4. Cuociente y reglas de los números reales. 2.5. Uso de calculadora científica TallerResolver los siguientes problemas 1.  Obtenga el valor final de:  5   6  7  18  7  6  15  40  2. En 15 barriles de la misma capacidad, se han almacenado 1.200 litros de agua. ¿Cuántos barriles son necesarios para almacenar 8.400 litros de agua? Respuesta: a) 1200  15= 80  la capacidad del barril es de 80 litros b) 8400  80 = 105  se necesitan 105 barriles.3. En una bodega hay 400 cajones de manzanas. Cada cajón tiene 80 manzanas. En diciembre se almacenan otros 639 cajones. ¿Cuál de las siguientes preguntas se contesta mediante una adición? A) ¿Cuántas manzanas hay en la bodega? B) ¿Cuántas manzanas se almacenan en Diciembre? C) ¿Cuántos cajones hay ahora en la bodega? D) Si se venden 180 cajones, ¿cuántos quedan por vender en la bodega?4. Un camino de 37 baldosas se desea modificar para generar un cuadrado sobre el cuál se instalaría una maceta. ¿Es posible realizar esta modificación con 37 baldosas? ¿Es posible, si son 36 baldosas? Respuesta: Un cuadrado es un paralelogramo cuyos lados tienen igual medida, por lo que No existe un número natural tal que al multiplicarse por sí mismo, dé 37.En cambio con 36 baldosas Sí es posible. Todos los números que no es posible descomponerlos en factores distintos de 1 y de sí mismo, se denominan Primos.5. Un buzo que hace trabajos en una obra submarina se encuentra en la plataforma base a 6 metros sobre el nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes: a. Baja 20 metros para dejar material b. Baja 6 metros más para hacer una soldadura c. Sube 8 metros para reparar una tubería d. Finalmente vuelve a subir a la plataforma. ¿Cuantos metros ha subido en su último desplazamiento hasta la plataforma? Solución: 18 metros6. En una industria de congelados, la temperatura en la nave de envasado es de 12 grados Celsius, y en el interior del almacén frigorífico, de 15 grados Celsius bajo cero. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la nave y la cámara?7. Un día de invierno amaneció a dos grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido ocho grados, y hasta las cinco de la tarde subió tres grados más. Desde la cinco a medianoche bajo cinco grados, y de medianoche al alba, bajo seis grados más. ¿A qué temperatura amaneció el segundo día? Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 11
  12. 12. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20098. El empresario de un parque acuático hace este resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo del año. Enero – Mayo: pérdidas de 2.475 euros mensuales Junio – Agosto: ganancias de 8.230 euros mensuales Septiembre: ganancias de 1.800 euros Octubre – Diciembre: pérdidas de 3.170 euros mensuales ¿Cuál fue el balance final de año?9. Ud. tiene una Cuenta Corriente en un determinado Banco y como usted es una persona muy ordenada, contabiliza sus haberes de la siguiente manera: Saldo anterior Depósito/ Cargo   Red compra Saldo Valor del cheque Nuevo saldo Si su saldo anterior fue de $1.200.000, depositó hoy $350.000, realiza compras por un total de $250.000, usando su Red Compra y cancela la cuenta de la luz con cheque por $15.000. ¿Cuál es su nuevo saldo?Respuesta: $1.285.00CLASE 5 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Transforman números decimales a fracción común Transformaciones: y viceversa. Transformación de fracción a decimal - Operaciones con fracciones Transformación de un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracciónREPRESENTACIÓN DECIMAL DE NÚMEROS RACIONALES:Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, porejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0,5. 3405/25=136,2 y 1/3= 0,33333.......Esto puede dar lugar a dos tipos de desarrollos decimales, los finitos (nº decimal) y los periódicos. Éstos últimos pueden a su vezdividirse en periódicos o periódicos mixtos.Desarrollo decimal finito, es aquél que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0,5, 1,348 ó 367,2982345Estas expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreductible) sólo contiene los factores 2 y 5.Por ejemplo 1349/1000, 40/25, …Desarrollo decimal periódico es aquél que tiene un número infinito de cifras decimales, pero, de modo que un grupo finito de ellasse repite infinitamente, de forma periódica, llamado período, por ejemplo 0,333333....., 125,67777777....... ó3,2567256725672567......Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0,33333...En un desarrollo decimal periódico mixto, antes del período y después de la coma aparece un bloque de una o más cifras que nose repite, llamado anteperíodo.Podría considerarse que las expresiones decimales finitas son periódicas mixtas pero con período 0.TRANSFORMACIÓN DE FRACCIÓN A DECIMALPara transformar una fracción en un número decimal, se divide el numerador por el denominador: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 12
  13. 13. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Ejemplos: 1251)  125 : 400  0,3125 (desarrollo decimal finito) 400 52)  5 : 6  0,833333 (desarrollo decimal periódico mixto) 6TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓNRecíprocamente, dado un desarrollo decimal finito o periódico, puede encontrarse una expresión racional (fracción) para la misma,siguiendo la siguiente norma: Si el desarrollo decimal es finito: se coloca como numerador el número entero que resulta de suprimir la coma decimal ycomo denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras se encontraran a la derecha de la coma decimal en laexpresión decimal original. Ejemplo: 34287 34,287  1000 Si el desarrollo decimal es periódico: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero, sin coma, hastala primera repetición del período, la parte entera. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Ejemplo: 32532  32 32500 32,532 532...  = 999 999 Si el desarrollo decimal es periódico mixto: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero formadopor la parte entera, el anteperíodo y la primera repetición del período, el entero formado por la parte entera y el anteperíodo. Comodenominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo: 45841  458 4,58 41 4141...  = 45383 9900 9900Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresión irreductible.FRACCIONES EQUIVALENTESDos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal. Es decir, al dividir numerador por denominador, el resultadoes el mismo.Para obtener fracciones equivalentes, se amplifica o simplifica la fracción, por cualquier número distinto de cero.Ejemplos: 2 2·2 41) Dada la fracción , si la fracción se amplifica por 2, se obtiene  , que es equivalente a la anterior ya que al dividir 2 en 5 5·2 10 5 se obtiene 0,4 y al dividir 4 en 10, también se obtiene 0,4. 5 5:5 12) Dada la fracción , si se divide numerador y denominador por 5 se obtiene  , que es equivalente a la anterior, ya 20 20 : 5 4 que al dividir 5 en 20 se obtiene 0,25 y al dividir 1 en 4 se obtiene, también, 0,25.Observación: Si una fracción no es simplificable, se denomina fracción irreductible.Si una fracción se amplifica por cada elemento de Z (excepto el cero) se forma el conjunto llamado clase de equivalencia.Ejemplos de clases de equivalencia: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 13
  14. 14. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 1 1 2 3 4 5    , , , , ,... 2  2 4 6 8 10  3  3 6 9 12     , .  , ,... 4  4 8 12 16 PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES: a a:n1. equivale a Simplificar una fracción . Sólo se pueden efectuar en presencia de multiplicación. b b:n a an2. Amplificar una fracción equivale a b bn3. Máximo común divisor (MCD) entre dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos. Ej.: el MCD entre 48-96-64 es 16.4. Mínimo común múltiplo (MCM) entre dos o más números es el menor número que es divisible por cada uno de ellos. Ej.: el mcm entre 48-96-64 es 192. El mínimo común múltiplo entre 15, 45 y 60 es 180 Para determinar el MCM se procede de la siguiente forma. Disponer los números en una tabla y comenzar a dividir por 2, 3, 5, 7, etc. 15 45 60 2 15 45 30 2 15 45 15 3 5 15 5 3 5 5 5 5 1 1 1 El mínimo común múltiplo resulta de multiplicar 2 ·2 ·3 · 3 · 5 = 1805. Fracción propia es la fracción menor que la unidad. Ej.: 3 256. Fracción impropia es la fracción igual o mayor que 1. Ej.: 25 3 25 17. Las fracciones impropias se transforman en números mixtos. Ej. 8 3 3 a c8. Igualdad de fracciones:   ad  bc b d a c9. Comparación entre dos fracciones   ad  bc b d10. Intercalar un racional entre dos racionales dados: - ordenar de menor a mayor los racionales - sumar los numeradores y denominadores respectivamente - la fracción así obtenida se ubica entre las fracciones dadas 2 5 Ej.: ubicar una fracción entre  5 4 2 25 5 2 7 5   , entonces, se determina que   5 54 4 5 9 4 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 14
  15. 15. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 200911. Inverso multiplicativo. Si el producto de dos números es 1, los números son recíprocos o inversos multiplicativos. 3 4 Ej.:   1 4 3 a cOPERACIONES CON FRACCIONES: Si y son números racionales, se define: b d OPERACIÓN ADICIÓN a c ad  bc   b d bd Adición con denominadores iguales a c ac   b b b SUSTRACCIÓN a c a c    b d b d MULTIPLICACIÓN a c a·c ·  b d b·d DIVISIÓN a c a d a·d :  ·  b d b c b·cCompletar la siguiente tabla, sabiendo que a, b, c, d son números racionales. a b c d a c· d a–(b+c) (a+b)·c a·b – c·d b1 2 7 3 6 5 8 2 52 1 1 21 1 3 8 10 103 45 4 2 3  4 5 25 40Respuesta. a c· d a–(b+c) (a+b)·c a·b – c·d b 1 16 9 9 57 29    35 5 40 80 20 2 8 21 227 77 101   3 100 120 80 600 3 225 3 1213 209 4497     16 500 100 250 500 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 15
  16. 16. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 6 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Transforman números decimales a fracción común Transformaciones: y viceversa. Transformación de fracción a decimal - Operan con fracciones Transformación de un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracción TallerResolver los siguientes problemas:1. En la especialidad de alimentación se preparan tortas para una recepción. Susana preparó 2 tortas de igual tamaño, una depiña y otra de manjar. La de piña la dividió en 24 trozos iguales y la otra en 12 trozos iguales. Don Juan, asistente a larecepción, comió 4 pedazos de torta de piña y dos de manjar. a) Represente numéricamente cuánto de torta de piña comió don Juan b) Represente numéricamente cuánto de torta de manjar comió don Juan c) ¿Comió lo mismo de ambas? d) ¿Cuánto comió en total? e) Si cada trozo de torta de piña se vendiera a $400 y cada trozo de torta de manjar se vendiera a 1/3 de lo que se vende el de piña, ¿Cuánto debería pagar don Juan por lo que comió?Solución 4 a) La torta de piña se divide en 24 partes iguales y se toman 4 de ellas, se obtiene la fracción: 24 2b) La torta de manjar se divide en 12 partes iguales y se toman 2 partes, se obtiene la fracción: 12 5 1c) ¿Qué puede decir de las fracciones y ? ¿Son iguales? ¿Por qué? 20 4 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 16
  17. 17. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 4 4: 4 1 Entonces, tomando la fracción de la torta de piña se simplifica por 4,  24 24 : 4 6 2 2: 2 1 Luego, hacemos lo mismo con la fracción de la torta de manjar se simplifica por 2,  12 12 : 2 6 4 2 Podemos concluir que las fracciones y representan la misma fracción, son fracciones equivalentes, luego, don Juan 24 12 comió la misma cantidad de torta de piña que de manjar.d) Debemos sumar 4/24 y 2/12 ó 1/6 y 1/6. Resulta más fácil la segunda opción, pues, son dos fracciones de igual denominador: 1 1 2 1    . Don Juan comió 1/3 (un tercio) de torta, en total. 6 6 6 3e) Para saber cuánto debería pagar, multiplicamos 4*400 = $1.600, lo que correspondería a los trozos de torta de piña. Para saber el 1 400 valor de un trozo de torta de manjar multiplicamos  400   $133,333... El valor de cada trozo de torta de manjar es 3 3 $133. Aproximamos al entero, pues, la división 400/3 da un número decimal infinito periódico y los precios en Chile no tienen decimales. En total, don Juan debería pagar: 4*400 + 2*133 = $1.866 por lo consumido.2. Un almacén de pinturas utiliza 2/3 de la superficie para almacenar pinturas, 1/4 del resto para disolventes y los 600 m² restantes para pintar. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el almacén? Solución: Al decir 2/3 significa que queda 1/3 que no almacena pinturas. La suma de las partes debe dar el entero 3/3 = 1. 1 1 1 1 1 Al decir ¼ del resto, significa ¼ de 1/3. Debemos multiplicar ¼ por 1/3,    . 4 3 4  3 12 O sea, 1/12 del almacén contiene disolventes. Pero, la pregunta apunta al total de metros cuadrados que tiene el almacén. Si ¼ de 1/3 están con disolventes, entonces, ¾ de ese 1/3 no tienen ni pintura ni disolventes, es decir, está destinado a pintar y corresponden a 600 m2 . 3 1 3 1 3 1 Multiplicando de nuevo ¾ por 1/3 y simplificando:     obtenemos que ¼ corresponde a 600 m 2 . Luego 4 3 4  3 12 4 2 multiplicando por 4 concluimos que el almacén tiene 2.400 m .3. En una fábrica de automóviles se trabaja desde las 8 hrs. hasta las 20 hrs. El proceso para maximizar la producción es el siguiente: 1 del tiempo se dedica a la construcción de motores 3 1 de la jornada para carrocerías 4 1 del tiempo que se ocupa para fabricación de motores, se utiliza para construir accesorios. 2 1 del tiempo destinado a carrocerías, se usa para afinar detalles finales. 3 1 del tiempo utilizado para los accesorios, se destina a almorzar. 2 El resto de la jornada se dedica a actividades recreativas. ¿Cuántas horas se dedican a esta actividad? 1 3 14. Se tienen dos botellas de bebida. La primera de 1 lt. y la segunda de lt. Con cada una se llenan vasos de lt. 4 4 8 ¿Cuántos vasos más se pueden llenar con la primera botella que con la segunda? Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 17
  18. 18. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Respuesta: 4 vasos más5. Una lechería despacha al supermercado 18 cartones de mantequilla de 25 kg. cada uno. La mantequilla está envasada en 1 paquetes de de kg. Calcular cuántos paquetes se despacharon. 4 Respuesta: 1.800 paquetes de mantequilla 1 1 16. de los ingresos de una comunidad de vecinos de un edificio se emplean en gas, se emplean en electricidad, en la 5 3 12 1 recogida de basuras, en mantenimiento del edificio y el resto en limpieza. 4 a) ¿Cuánto se emplea en limpieza? b) Si la comunidad dispone de $3.300.000, ¿cuánto corresponde a cada actividad?7. En un centro comercial, 5 de cada 7 empleados cobran cada 15 días, 2 de cada 9 lo hacen mensualmente y el resto cobra semanalmente. Si en total hay 6.300 empleados, hallar el número de empleados de cada clase. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 18
  19. 19. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 7 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Realizan operaciones combinadas de números decimales y -Operaciones básicas con decimales fracciones, con ayuda de calculadora. La matemática en el mundo cotidiano y - Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el en la especialidad mundo moderno y en la especialidadClase de Taller:Resolver los siguientes problemas: 1 a  b  3c1. Si a  2, b  , c  3, 25 , evalúe 3 b(c  a ) 1 ( a  b)  c2. Si a   4, b  3, 5, c   , evalúe 5 b c3. Se desea construir un edificio de 10 pisos con 4 departamentos por piso y dos niveles de estacionamientos subterráneos. Para esto se realiza una excavación de 5 metros y se construye una fundación para 8 pilares como soporte del edificio. Cada uno de los departamentos debe tener una altura de 2.5 metros entre suelo y cielo, además cada nivel estará dividido por una losa de 15 centímetros más una sobre losa de 7 centímetros.4. De acuerdo a la situación planteada: a) Calcular la altura del edificio y la de la construcción. Respuesta: 27,2 metros b) Si uno de los dormitorios de los departamentos es cuadrado y tiene una superficie de 10 metros cuadrados ¿cuáles son sus dimensiones? Respuesta: 3,16 metros por lado c) Si por cada departamento se pagan $ 44.775.000 ¿Cuál es el precio expresado en UF si UF 1 = $19.930? Respuesta: UF 2.246,6314… 15. Una familia consume 1 litro de leche diariamente. Calcular: 2 a) el consumo semanal b) el consumo en el mes de Abril c) el consumo anual.6. En la celebración de unos tijerales participan 38 albañiles y carpinteros, además de 10 empleados de la obra. Cada uno recibe con la 1 2 comida, 4 vasos de vino de litro y 2 vasos de bebida de litros cada uno. ¿Cuántos litros de vino y cuántos de bebida hubo 8 5 que encargar?7. Si un trozo de tela mide 820 cm. y se divide en 4 partes, de modo que, el segundo trozo sea 2/3 del primero, el tercer trozo sea 1/5 del segundo y el cuarto trozo es el doble del tercer trozo, calcular el tamaño longitudinal de cada trozo de tela. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 19
  20. 20. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 8 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Realizan operaciones combinadas de números decimales y -Operaciones básicas con decimales fracciones, con ayuda de calculadora. - Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el La matemática en el mundo cotidiano y en mundo moderno y en la especialidad la especialidadClase de Taller.Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal.1. Un mayorista vende azúcar a $750 el kilo en el caso de cantidades hasta 100 kilos .Si se trata de cantidades mayores a 100 kilos, pero menores que 200 kilos la tarifa es de $675 el kilo y para compras superiores a 200 kilos el precio es de $600 el kilo. Si en un día cualquiera las compras efectuadas al comerciante fueron las siguientes: Comprador 1: 250 kilos de azúcar; comprador 2: 120 kilos de azúcar; comprador 3: 95 kilos de azúcar. Determine la cantidad total de dinero cancelada por los tres compradores.2. Un cartero reparte correspondencia en un edificio de cuatro pisos sin ascensor .Cierto año subió 25 días al primer piso, 72 días al segundo piso, 43 días al tercer piso y 140 días al cuarto piso. El número de escalones que hay de la calle al primer piso es 32 y 24 entre piso y piso. ¿Cuantos escalones subió el cartero durante ese año solo en el servicio de ese edificio?3. Para la formación de una sociedad se reúnen cuatro socios A, B, C y D. El socio A aporta $1.500.000, el socio B la mitad del aporte del socio A, el socio C, el triple del aporte de A y el socio D $750.000 más que el socio B, determine el aporte total para la formación de la sociedad.4. Un comerciante compró 500 unidades de un producto a 6 euros cada uno .Vendió cierto número de unidades en 500 euros, a 5 euros cada una. ¿A que precio debe vender el resto para no perder?5. Una persona compra en un mall de la capital dos artículos A y B por un total de $300.000, si por el artículo B canceló $35.800 menos que por el artículo A, determine el precio de cada artículo.6. Obtener el valor entero correspondiente a la expresión:   9  10   4  3 2  8  3 14 : 7 1 3 (a  b  c)  a7. Sean a   ; b  0,75; c  0, 2 y d  , calcule el valor de  4 5 bd8. Una jarra tiene 5 de litro de capacidad y está llena de jugo. Se echa 1 de litro de este jugo en un vaso. ¿Cuanto queda en la 4 5 jarra?9. El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879,002 Kg. El primer depósito contiene 18,132 Kg. menos que el segundo; el segundo, 43,016 Kg. más que el tercero, y el tercero 78,15 Kg. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en cada depósito. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 20
  21. 21. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 9 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e - Razones: Concepto, Cálculo e interpretación. interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Proporciones : Concepto, Teorema Fundamental - Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad -Término desconocido de una proporción e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental en las proporciones.Frecuentemente comparamos dos o más cantidades, por ejemplo, cuantas veces es mayor el precio del trasporte de una mercadería sise dispone de las cotizaciones de dos empresas de despacho a domicilio.1.- Una empresa importadora dispone de dos cotizaciones para realizar el traslado de mercaderías que se encuentran en una bodega del puerto de Valparaíso a las bodegas de la empresa ubicadas en el sector sur de la región metropolitana. Los valores de cada cotización son: C1:$ 375.000 y C2: 431.250 ambas con IVA incluido. ¿Cuántas veces el valor de la cotización C2 corresponde a la cotización C1? SOLUCIÓN: En la pregunta planteada debemos entender el concepto que matemáticamente nos entrega la palabra “veces”. Para ello recurramos a un ejemplo simple: ¿Cuántas veces esta contenido 20 en 40? Claramente entendemos que 40 es “doble” de 20, es decir si 20 se multiplica por 2 se obtiene 40. Por lo tanto podemos establecer que 40 es 2 veces 20. Entonces: para determinar la cantidad de veces un número esta contenido en otro bastará con conocer el factor que multiplica a uno de los números para obtener el otro. En el problema planteado se tiene: 431.250  A  375.000; donde A representa el numero de veces que el valor 375.000 esta contenido en 431.250, es decir: 431.2500/375.000 = 1,15 veces.2.- Las utilidades anuales de una empresa que asciende a 100 millones de pesos se reparte entre dos socios de forma que el primero recibe 40 millones y la segundo 60 millones. Establezca una relación entre las partes que cada uno recibe, con respecto al monto total de las utilidades. SOLUCIÓN: Como necesitamos establecer la relación entre los montos recibidos por cada socio tenemos dos alternativas, establecer cuantas veces es menor el valor 40 millones que el valor 60 millones ó bien cuantas veces es mayor 60 millones que 40 millones. 40 millones La primera alternativa corresponde a: 40 millones  A  60 millones; de donde se obtiene que:  A ; como es 60 millones 40 lógico podemos prescindir de la unidad millones y así obtenemos una relación mas simple de la forma:  A. 60 2Esta última relación podemos expresarlas en números más simples, es decir  A. 3Esta relación nos indica que las cantidades recibidas por cada socio se puede expresar diciendo que uno recibe dos partes de lasutilidades y el otro tres partes. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 21
  22. 22. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Si se considera la segunda alternativa, se tiene que: 60 millones  B  40 millones; y procediendo de forma similar al caso 3  B,anterior, se puede concluir: 2 lo que indica que un socio recibe tres partes y la otra dos partes de total de las utilidadesDe lo anterior, podemos concluir que el socio que recibe 40 millones representa dos partes de las utilidades y el que recibe 60 millonestres partes.La relación entre dos cantidades, expresada en números enteros y sencillos, se denomina RAZÓN. Esta razón se representa utilizandosimbología fraccionaria o de división, por ejemplo: 2Si 2 partes de A se relacionan con 5 partes de B, se establece la razón 5 o bien 2 : 5 aUna razón escrita en cualquiera de sus formas, ó a : b , se lee: “a es a b” bLa fracción o cuociente que genera una razón corresponde al valor de la razón e indica el número de veces que una de las cantidadesesta contenida en la otra, por ejemplo:Si dos cantidades están en la razón 4: 5, significa que la primera esta contenida en la segunda cuatro quintas veces o dicho de otraforma 0,8 veces. También se puede establecer que la segunda está contenida en la primera cinco cuartos veces es decir 1,25 veces.Al invertir los términos de una razón se obtiene otra razón denominada razón inversa, por ejemplo: Si una razón es 4 : 5 su razóninversa es 5 : 4Estas dos razones, que podríamos llamar directa e inversa, si bien mantienen la relación entre las cantidades, su interpretación osignificado es diferente como se pudo ver al analizar el valor de cada una de ellas.Los términos que forman una razón se denominan ANTECEDENTE y CONSECUENTE aDada la razón , a se denomina antecedente y b consecuente bPROPORCIÓNUna proporción es la igualdad de dos razones: a cSe anota  y se lee “a” es a “b” como “c” es a “d” ; donde se debe cumplir como propiedad fundamental que: b d ad  bc .El producto de los extremos es igual al producto de los mediosEjemplo: El rendimiento de un automóvil en carretera es de 20 Km. por litro de combustible. Si se tiene que viajar una distancia de 450 Km. A lo largo del país. ¿Qué cantidad de combustible se deberá utilizar? 20 km. 450 km. La solución a la interrogante planteada se escribe como una proporción, donde:  11lt. xUtilizando el teorema fundamental de las proporciones, tenemos: 20km.  x 1lt.  450 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 22
  23. 23. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 450  1 x 20 x  22,5 litrosOtras propiedades importantes son:En toda proporción, la suma o diferencia de los términos de una de las razones es a uno de sus términos, como la suma o diferencia delos términos de la otra razón es a uno de sus términos: ab cd ab cd a)  b)  a c b d ab c d ab c d c)  d)  a c b dEn toda proporción, la suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes, como un antecedente es alconsecuente de una de las razones: ac a ac c ac a ac ca.  ; b.  ; c.  d. .  bd b bd d bd b bd d 3Una razón de la forma , al multiplicar simultáneamente antecedente y consecuente por una misma magnitud n, la razón se modifica: 53 n  3 n 2  3 n3  3    ....... generando una serie de razones de igual magnitud.5 n  5 n2  5 n3  5Hemos definido la proporción como la igualdad de dos razones pertenecientes a dos magnitudes entre las Cuáles se puede estableceralguna relación, pero también este concepto de proporción se puede ampliar a más de dos razones iguales, generándose una Serie deRazones o Proporción Múltiple, dada por:a c e g x     ..........   Kb d f h ySiendo K la constante de proporcionalidad y corresponde al valor de la serie de razones. Esta ampliación del concepto de razón,permite establecer relaciones entre varias magnitudes.Ejercicios.1. En un supermercado de la comuna de Santiago el kilogramo de harina se comercializa a $450 y se desean adquirir 45 Kg. de este producto. Usando el concepto de proporción determine el valor a cancelar por la compra de este producto. 1 Kg . 45 kg  $450 $x x  450  45 x  $20.250 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 23
  24. 24. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20092. En una empresa los dividendos obtenidos después de un año de inversiones positivas, se pretende dividirlos e cuatro estamentos, de acuerdo a la siguiente proporción múltiple: A : B : C : D 1 : 3 : 5 : 7 Si el monto de este dividendo alcanza los 800 millones de pesos. ¿Cuál deberá ser el monto a recibir por cada estamento de la empresa? La proporción múltiple, A : B : C : D  1 : 3 : 5 : 7 la podemos expresar como: A B C D     K de modo que: 1 3 5 7 A  K; B  3K ; C  5K ; D  7 K pero A  B  C  D  800 millones Por lo tanto K  3K  5 K  7 K  800 millones 800 K  50 (valor de la constante de proporcionalidad, válida para cada razón de la serie) 16Conociendo el valor de K se determina el monto a recibir por cada estamento de la empresa:A  50 millones; B  150 millones; C  250 millones; D  350 millonesCLASE 10 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan - Razones: Concepto, Cálculo e interpretación. su valor numérico en situaciones concretas. - Proporciones : Concepto, Teorema Fundamental -Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e -Término desconocido de una proporción interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la Taller propiedad fundamental en las proporciones.Clase de TallerResuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal.1. Un cordel que mide 24 metros, se hacen dos cortes de modo los trozos que se obtienen se encuentran en la razón 3: 4: 5. ¿Cuál es la medida que tiene el trozo de mayor longitud? Respuesta: El trozo de mayor longitud, mide 10 metros2. En la confección del plano de una casa, se ha utilizado la escala 1 : 100, entonces: a) ¿Cuál será la medida real de un muro que en plano mide 2,5 centímetros? b) ¿Cuál será la medida en el plano de la altura de una ventana que mide 1,2 metros?3. En “propiedades.elmercurio.com” se han encontrado los siguientes avisos de venta de propiedades: Aviso 1: 652.000.000 Mónica Pobrete Piedra Roja, 566/ 1.800, impecable, cuatro dormitorios en suite, cinco baños, escritorio, estar, mansarda: amplia sala juegos, subterráneo, hermosísimo jardín, piscina, (0)92233xxx, 2323xxx. Publicado: 24/02/2009 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 24
  25. 25. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Aviso 2: 415.000.000 Berríos Zegers.cl, Quinchamalí 405/ 1800 Mediterránea Nueva, 4807xxx Publicado: 23/02/2009 ¿Cuántas veces es el valor de la propiedad más cara con respecto a la más barata? ¿Cuántas veces es el valor de la propiedad más barata con respecto a la más cara?4. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 4:9:2. ¿Cuál es la medida de cada uno?5. En la elaboración de una pintura para el revestimiento de una placa metálica se utilizan 3 componentes A, B, y C. Par fabricar esta pintura se mezclan 3 partes de A por cada 5 partes de B y 2 partes de C por cada 7 partes de A. Determine la cantidad de cada componente para fabricar 93 litros de esta pintura. Respuesta. 31,5 litros de A; 52,5 litros de B; 9 litros de C.6. La diferencia entre los lados contiguos de un rectángulo es 4 metros y están en la razón 5 es a 6 ¿Cuál es su perímetro? Si se pagan $12.000 por 40 minutos de tiempo en el uso de su teléfono. Con la información anterior completar la siguiente tabla: Costo en 3.000 1.200 48.000 pesos Minutos 20 807. La razón entre el precio de un litro de bencina u un litro de petróleo es de 5 : 3 y se deben cargar 5 camiones, de los Cuáles 3 son petroleros y 2 bencineros, gastando en total $218.000. a.-¿Cuál es la cantidad de dinero asignado al gasto de petróleo? Respuesta: $103.363 b.- ¿Qué cantidad se gasta en cada camión bencinero si sus estanques tienen la misma capacidad? Respuesta: $57.3688. En supermercado de la capital, se tiene la siguiente oferta: Tres productos tipo A más Cinco productos tipo B por un total de $25.000. Si el producto A y el producto B están en la razón 3 : 7 Determine el valor unitario del producto A y del producto B.CLASE 11 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS -Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones Proporcionalidad y Variación algebraicamente. Proporcional : - Grafican variables relacionadas con proporcionalidad directa e inversa en Proporción Directa el contexto de la especialidad Proporción Inversa - Interpretan gráficos de variaciones proporcionales directas, e inversas y Proporción Conjunta no proporcionales, relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos etc. -Aplican el concepto de Variación Proporcional Directa e Inversa en la Gráficos de la proporcionalidad resolución de problemas relacionados con la especialidad directa e inversa.1. Entre dos o más magnitudes de cualquier naturaleza se pueden establecer relaciones de proporcionalidad y determinar como las cantidades pertenecientes a estas magnitudes varían mutuamente. Si se desea embarcar toneladas de un producto para exportar a países vecinos, cada tonelada de este producto tiene un costo en pesos, costo que crece a medida que la cantidad de toneladas a embarcar también crece. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 25
  26. 26. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20092. Por el contrario, si se desea viajar entre dos ciudades de nuestro país en un automóvil, la cantidad de kilómetros ha recorrer dependerá de la cantidad de gasolina que se encuentre en el estanque, de modo que, a mayor distancia recorrida, menor será la cantidad de combustible que quedará en el estanque del automóvil. En ambas situaciones planteadas existen magnitudes que se relacionan. En el primer caso ambas crecen simultáneamente, Proporcionalidad Directa y en el segundo caso al crecer una la otra disminuye simultáneamente, Proporcionalidad Inversa.Proporcionalidad DirectaDos magnitudes A y B son Directamente Proporcionales, si la razón entre dos cantidades pertenecientes a A y B, son iguales entresí y a la vez iguales a una constante K, constante de proporcionalidad A : a1 , a 2 , a3, a 4 ,...........a n B : b1 , b2 , b3 , b4 ,...........bn a1 a 2 a La cual se anota:   ............... n b1 b2 bn y se lee A es directamente proporcional a B  A  K  BEjemploUna empresa del área gastronómica, desea estimar la cantidad de dinero que necesita para realizar una recepción para 130 personasdado que en 12 porciones se deben invertir $24.000¿Cuál es el monto que se requiere para las 130 personas?Solución:Como se sabe que en 12 porciones se tiene un costo de $24.000; en más porciones tendrá que destinar más dinero y para determinarexactamente cuanto dinero se requiere plantearemos la siguiente igualdad:12  $24.0000130  $ x ; es decir 12 24.000   12 x  24.000  130130 x 12 x  3.120.000 3.120.000 x Se tendrá que destinar una suma de $260.000. 12 x  260.000Proporcionalidad InversaDos magnitudes A y B son Inversamente Proporcionales, si el producto entre dos cantidades pertenecientes a A y B, son igualesentre sí y a la vez iguales a una constante K, constante de proporcionalidad A : a1 , a 2 , a3, a 4 ,...........a n B : b1 , b2 , b3 , b4 ,...........bn a1  b1  a 2  b2  a3  b3  .............a n  bn Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 26
  27. 27. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Se anota A  B  K , y se lee A es inversamente proporcional a BEjemplo:Una familia en las vacaciones de este año, viajo al sur, iban a una velocidad de 105 Km. /hy demoraron en llegar a su destino 8,4 horas. .Si hubieran viajado a una velocidad de90 Km. /h ¿Cuántas horas se habrían demorado?Solución: 105  8,4 90  x 90 8,4  105 x 90 x  105  8,4 882 x   9,8 horas 90Demorarían más tiempo dado que viajan a menor velocidadAmbas Variaciones de Proporcionalidad se pueden representar en Diagramas Cartesianos, donde cada magnitud se asocia a uno de losejes de este diagrama, para representar respectivamente la Proporcionalidad Directa y la Proporcionalidad Inversa Proporcionalidad Directa Proporcionalidad InversaEstas variaciones de Proporcionalidad Directa e Inversa tienen gran aplicación en una cantidad de situaciones entre las Cuáles sepuede citar la Proporción Conjunta o Compuesta.Proporción Compuesta.Una Proporción es Compuesta, si la razón entre dos cantidades de una magnitud A es proporcional al producto entre otras magnitudesB y C, escritas como razón Directa o Inversa, según sea la proporción simple que entre ellas se determine A : a1 a 2 B : b1 b2 C : c1 c 2De la definición anterior se desprenden los siguientes casos:Caso I:Si las magnitudes B y C son Directamente Proporcionales a A, la Proporción Conjunta está dada por: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 27
  28. 28. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009a1 b1 c1  a 2 b2 c 2Caso II:Si la magnitud B es directamente proporcional con A y la magnitud C es inversamente proporcional con A, la proporción conjunta ocompuesta es: a1 b1 c 2   a 2 b2 c1Caso III:Si las magnitudes B y C sin inversamente proporcionales con A, entonces, la proporcionalidad conjunta se escribe: a1 b2 c 2   a 2 b1 c1Ejemplo 1:Se estimó por un experto que 6 trabajadores pueden realizar un trabajo de excavación para una línea de alcantarillado de 12 metros en5 días. ¿Cuantos trabajadores serían necesarios para excavar 18 metros de iguales características en 3 días, si la habilidad de estosúltimos es igual a la de los primeros?Solución:La relación entre el número de trabajadores y el número de metros es directamente proporcional (considerando que el número de díasno varía) y la relación entre el número de trabajadores y los días es inversamente proporcional (considerando que la cantidad de metrosno varía) 6 trabajador es  12 metros  5 días x trabajador es  18 metros  3 días 6 12 3   x 18 5 6 2  x 5 Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones. 2 x65 2  x  30 x 15 trabajadoresEjemplo 2:Se observan dos variables x e y x 400 800 1.600 y 2.000 1.000 500 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 28
  29. 29. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidadb. ¿Cuál es el valor que corresponde a y para un x = 6.400? Solución. a. Es una relación inversamente proporcional: 400  2.000  800  1.000  1.600  500  800.000  k k 800.000 b. y    125 x 6.400CLASE 12 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven problemas de variación conjunta - Resolución de problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad. - Resuelven problemas de tanto por ciento, descuentos y recargos, relacionados con la especialidadClase de Taller.Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal.1. Diez y seis personas realizan 4 operaciones contables en 18 días trabajando 4 horas diarias. ¿Cuantos días demorarían 20 personas en realizar 6 de estas operaciones si trabajan 6 horas diarias? Respuesta: 14,4 días2. La cantidad de petróleo consumida por un transporte marítimo convencional, que se desplaza con velocidad uniforme, es directamente proporcional a la distancia recorrida y al cuadrado de su velocidad. Si dicho transporte consume 50 barriles en un viaje de 400 Kilómetros, a una velocidad de 60 Km./ hr ¿ Cuanto petróleo consume en un viaje de 1.000 Kilómetros a una velocidad de 40 Km./ hr. ? Respuesta: 555,55 barriles3. Un control de calidad estipula que la presión de un líquido en envase de transporte convencional debe ser inversamente proporcional al volumen que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta T. ¿A que presión se deben someter 100 metros cúbicos de gas de helio a 1 atmósfera de presión y 253 grados absolutos de temperatura, para que se reduzcan a 50 metros cúbicos a una temperatura de 313 grados absolutos? Respuesta: 2,47 atmósferas4. P es directamente proporcional a Q e inversamente proporcional a R. Si P 5 cuando Q  4 y R  2 , determine el valor de Q cuando P  12 y R  7 Respuesta: 33,65. En la elaboración de cera para los automóviles, dos de los principales componentes son cera de ceresina y aguarrás, dependiendo de la cantidad de cera a elaborar, se recomiendan los siguientes volúmenes de aguarrás en mililitros Aguarrás (ml) 165 330 495 660 825 990 Cera (gramos) 82,5 165 247,5 330 412,5 495 a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad? Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 29
  30. 30. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 b. Si Ud requiere preparar 450 gramos de cera. ¿Que cantidad de aguarrás requiere? Respuesta: a. Directamente proporcionales. k = 2 c. 900 gramosPORCENTAJESEl porcentaje es uno de los elementos matemáticos más utilizados cotidianamente.En estudios de marketing es importante conocer las opiniones y preferencias de un grupo de personas respecto por ejemplo de un ciertobien, por lo general estos resultados se expresan porcentualmenteEn cálculos financieros se requiere trabajar con porcentajes ya sea en el cálculo de interés simple, interés compuesto, anualidades,amortizaciones etc.Definición 1:Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir uno o varioscentésimos de un número.El Porcentaje es un caso particular de proporcionalidad Directa, en que uno de los términos de la proporción es 100, lo que resultade comparar una parte con un todo.Para el cálculo del tanto por ciento consideraremos tres casos.Caso I: ¿Cuál es el tanto por ciento de un número? Ejemplo: ¿Cuál es el 20% de 300? 300  100% x  20% 300 100  Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones: x 20 100 x  300  20 100 x  6.000 x  60Caso II: ¿Qué tanto por ciento es un número de otro? Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento es 30 de 800? 800  100% 30  x% 100 800  Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones x 30 800 x  100  30 800 x  3.000 x  3,75 % Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 30
  31. 31. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Caso III: ¿De qué número a es el b%? Ejemplo: ¿De qué número 80 es el 5%? x  100% 80  5% x 100  Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones: 80 5 5 x  80  100 5 x  8000 x  1.600Consideremos dos situaciones que se presentan con frecuencia:1. Aumento de un número en un cierto porcentaje Ejemplo: Aumentar 7.500 en un 19%  19  7.500  1    100  7.500  1,19  8.9252. Disminución de un número en un cierto porcentaje Ejemplo: Disminuir 63.000 en un 5%  5  63.000  1    100  63.000  0,95  59.850Hay expresiones que presentan ciertas características:Propiedad 1:El a % de b es igual al b % de a.Ejemplo: El 20% de 70 es igual al 70% de 20 70 100  El 20% de 70 es: x 20 x  14 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 31
  32. 32. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 20 100  El 70% de 20 es: x 70 x  14Propiedad 2:El b % del c % del d %....................de “a” es:  b  c  d  ................          a  100  100  100       Ejemplo: El 15% del 12% del 9% del 4% de 3.000 es: 0,150,120,090,04  3.000  0,194Propiedad 3:Variación Porcentual, es la razón entre la diferencia del valor final al valor inicial, al valor inicial, expresada porcentualmente V f  Vi   100 . ViEjemplo:El I. P. C del mes de Febrero fue de un 1,2% y el IPC de Marzo del mismo año 1,3% Determine la variación porcentual. 1,3 1,2   100  8,33% 1,2Problemas Resueltos:1. En un centro comercial por fin de temporada todos los artículos son rebajados en un 20%. Después de un mes todos los artículos vuelven a rebajarse en un 10%.Si originalmente un pantalón cuesta $9.000. a. ¿Cuanto vale después de la primera liquidación? b. ¿Cuanto vale después de la segunda liquidación? c. ¿La oferta sería la misma si originalmente todos los productos hubiesen sido rebajados en un 30%? Solución: a. 9.000  0,80  $7.200 b. 7.200  0,90  $6.480 c. 9.000  0,70  $6.300 La oferta sería diferente ya que se están aplicando disminuciones sobre bases distintas.2. El precio de un equipo de música es de $250.000 si este se cancela al contado. Es posible cancelar a crédito en 10 cuotas de $28.500. ¿En que tanto por ciento aumenta el precio del televisor si se compra a crédito? Solución: La diferencia de precio entre la compra a crédito y contado es : 285.000 – 250.000 = $35.000, por lo tanto: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 32

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