Your SlideShare is downloading. ×
Cuaderno apunte introducci matem
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Cuaderno apunte introducci matem

5,548
views

Published on

cuadernos de apuntes de matemáticas

cuadernos de apuntes de matemáticas

Published in: Business

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
5,548
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
222
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009I. IDENTIFICACIÓNNOMBRE DEL MÓDULO: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICAUNIDAD DE COMPETENCIA: Al finalizar el módulo los participantes serán capaces de: Resolver problemas matemáticos básicos relacionados con el mundo de la economía, los negocios la tecnología y otros fenómenos socioeconómicos, utilizando eficazmente calculadora científicaDURACIÓN: 90 horas pedagógicasHORAS AULA: 36 horas (2 horas a la semana, clase expositiva)HORAS TALLER EN AULA 54 horas (3 horas a la semana, trabajo grupal en el aula)II. DESCRIPCIÓN POR ÁREA DE FORMACIÓN Y PRERREQUISITOÁREA DE FORMACIÓN: General DiferenciadaUBICACIÓN EN LA MALLA: 1er semestrePRERREQUISITO: no tieneIII. UNIDADES DE APRENDIZAJEPRIMERA UNIDAD: NIVELACIÓNDURACIÓN: 20 horas pedagógicasAPRENDIZAJES ESPERADOS:1. Reconocen y nominan los conjuntos numéricos, desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos.2. Utilizan propiedades y reglas de los números Reales para resolver las cuatro operaciones básicas, con ayuda de calculadora científica.3. Resuelven problemas sencillos, relacionados con la especialidad y el mundo cotidiano, utilizando calculadora científica, propiedades y reglas de los Números Reales4. Transforman números decimales a fracción común y viceversa5. Realizan operaciones combinadas de números decimales y fracciones, con ayuda de calculadora6. Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el mundo moderno y en la especialidad.SEGUNDA UNIDAD: ÁLGEBRA EN LOS REALESDURACIÓN: 40 horas pedagógicasAPRENDIZAJES ESPERADOS:1. Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas2. Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando el concepto y las propiedades de las razones3. Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e interpretan su valor numérico en situaciones concretas4. Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental de las proporciones5. Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando el concepto y las propiedades de las proporciones.6. Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones algebraicamente.7. Aplican el concepto de Variación Proporcional Directa en inversa en la resolución de problemas relacionados con la especialidad8. Grafican variables relacionadas con la proporcionalidad directa e inversa en el contexto de la especialidad9. Interpretan gráficos de variaciones proporcionales directa e inversa en el contexto de la especialidad.10. Resuelven problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad11. Resuelven problemas de tanto por ciento, descuentos y recargos, relacionados con la especialidad12. Identifican potencias, sus componentes, propiedades y operatoria13. Operan con potencias14. Identifican raíces, sus componentes, propiedades y operatoria15. Operan con potencias16. Resuelven expresiones numéricas aplicando concepto de logaritmo. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 1
  • 2. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 200917. Calculan valor numérico de expresiones que incluyen logaritmos decimales18. Calculan expresiones y operan con logaritmos naturales19. Identifican y operan con propiedades de los logaritmos20. Identifican potencias, raíces y logaritmos como operaciones inversas21. Identifican y reducen términos semejantes22. Realizan operaciones básicas con polinomios: Adición, Sustracción, Productos23. Desarrollan productos de polinomios, utilizando las fórmulas de productos notables: cuadrado de binomio, producto de una suma por su diferencia24. Factorizan expresiones algebraicas25. Operan expresiones algebraicas con exponente, radicales y logaritmos aplicando sus propiedades y teoremas26. Calcula, con ayuda de calculadora científica, el valor numérico de expresiones numéricas y algebraicas con radicales, potencias y logaritmos aplicando sus propiedades27. Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando los diferentes tipos de números, operatoria y formas de expresión.28. Resuelven ecuaciones de primer grado, orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral.29. Resuelven ecuaciones de segundo grado orientando su estudio a situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral30. Resuelven sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral.31. Resuelven ecuaciones exponenciales, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano32. Resuelven ecuaciones logarítmicas, orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo laboral33. Exploran sistemáticamente, diversas alternativas y estrategias para la resolución de problemas relacionados con la especialidad34. Resuelven problemas relacionados con la especialidad, seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo error, y analizando la pertinencia de los datos y soluciones.TERCERA UNIDAD: LAS FUNCIONES COMO MODELOS DESCRIPTIVOSDURACIÓN: 30 horas pedagógicasAPRENDIZAJES ESPERADOS:1. Identifican el concepto de función, su dominio y recorrido, operando con la nomenclatura correspondiente.2. Calculan imágenes y coimágenes en funciones sencillas y las representan gráficamente.3. Identifican la función lineal y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica4. Operan con la función lineal en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral5. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de especialidad aplicando la función lineal como modelo6. Identifican la función cuadrática y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica.7. Operan con la función con la función cuadrática en forma analítica y gráfica, relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral.8. Resuelven problemas de la vida cotidiana y de especialidad aplicando la función cuadrática como modelo. Identifican la función exponencial de la forma y  a  b , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. x9. Identifican el comportamiento de la función exponencial de la forma y  a  b cuando 0< b < 1 y cuando b> 1 x10.11. Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano yen la especialidad, aplicando el modelo exponencial.12. Identifican la función logarítmica de la forma y  a  b log x , y la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica.13. Resuelven problemas contextualizados en el mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el modelo logarítmico.14. Analizan fenómenos de crecimiento lineal, exponencial, y logarítmico en forma analítica y gráfica.15. Resuelven problemas de crecimiento contextualizados en el mundo cotidiano y de la especialidad, aplicando modelos de crecimiento lineal, exponencial y logarítmico.IV. ORIENTACIONES METODOLÓGICASA) GENERALES:- Iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje a partir de los conocimientos previos de los estudiantes. Diagnóstico.- Centrar la docencia en el aprendizaje de los estudiantes, más que en la enseñanza. El estudiante debe ser activo.- Situar y vincular permanentemente los aprendizajes, contenidos y actividades con el contexto social y laboral de los estudiantes y la carrera que estudian. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 2
  • 3. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009- Utilizar la resolución de problemas como uno de los ejes fundamentales de la enseñanza-aprendizaje.- Promover en los estudiantes la reflexión sobre sus conocimientos y las posibles implicaciones de sus actos.- Promover aprendizajes de conocimientos, habilidades y actitudes, integradas y relevantes en el contexto de la carrera.B) ESPECÍFICAS:- Presentación centrada en el estudiante por parte del profesor de los diferentes contenidos temáticos.- Desarrollo de diferentes ejercicios de práctica escritos.- Actividades individuales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad. (Reforzamiento a través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante).- Actividades grupales de desarrollo de ejercicios específicos para cada contenido y aplicados a la especialidad. (reforzamiento a través de actividades guiadas por el profesor, centradas en el estudiante).- Consolidación de conocimientos a través de diversos ejercicios guiados por el profesor, con el objetivo de- esclarecer y reforzar contenidos.V. EVALUACIÓNLas evaluaciones que se aplican en este módulo son del tipo ENE (Evaluación Nacional Estandarizada).Además cada docente puede evaluar los trabajos grupales u otras actividades con nota. De estos trabajos se obtiene una notapromedio, que corresponde a una nota por unidad.Con las notas del semestre se obtiene la nota de presentación a examen.Si esta nota es igual o mayor a 5,5 el estudiante se exime del examen final.El examen final es una Prueba Nacional Estandarizada escrita que equivale al 30% del promedio.Evaluaciones Nacionales EstandarizadasPrimera ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 ingresada en la primera columna de la Primera Unidad.Segunda ENE: Prueba Escrita, coeficiente 1 ingresada en la primera columna de la Tercera Unidad.Controles:Unidad 1: al menos 1 (Controles Escritos y promedio de los trabajos desarrollados.)Unidad 2: al menos 1 (Controles Escritos y promedio de los trabajos desarrollados.)Unidad 3: al menos 1(Controles Escritos y promedio de los trabajos desarrollados.)VI. BIBLIOGRAFÍA- Piotr Maarian Wisniewski /Ana Laura Gutierrez Banegas; 2003; Introducción a las Matemáticas Universitarias.- Jagdish C. Arya; 2002; Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 3
  • 4. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009VII. CLASE A CLASEPRIMERA UNIDAD: NIVELACIÓNCLASE 1 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS  Reconocer y nominar los conjuntos numéricos, 1. Conjuntos numéricos. desarrollando el lenguaje matemático para 1.1. Naturales establecer relaciones entre ellos. 1.2. Enteros 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. RealesCONJUNTOS NUMÉRICOS1.1 Conjunto de los Naturales:N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}El conjunto de los Números Naturales se caracteriza porque:Tiene un número infinito de elementosCada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).1.2. Conjunto de los Enteros: Z = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción; la recta numérica se extiende haciala izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda delcero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él). Por lo tantopodemos decir que el conjunto de los números enteros, está formado por los Naturales, sus simétricos y el cero1.3. Conjunto de Racionales:Q = {....- ¾, - ½, - ¼, 0, ¼, ½, ¾,.....} aEl conjunto de los Números Racionales está formado por todos los números de la forma . Esta fracción en la Cuál el numerador a, es bun número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.El conjunto de los números Racionales, se define como: a Q   / a, b  Z  b  0 b Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representennúmeros enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de lasubdivisión.Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 4
  • 5. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20091.4. Conjunto de los Irracionales:Son aquellos que no se pueden expresar en forma RacionalEl conjunto de los números Irracionales se define como.I = {x / x es un decimal infinito no periódico}Algunos ejemplos de números irracionales son:0,313313331....... 2 1,414213562..........   3,141592653....... aA él pertenecen todos los números que no pueden escribirse en la forma No deben confundirse con los números racionales, b aporque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden escribirse en la forma b1.5. Conjunto de los Reales:El conjunto de los números reales se define como:IR  Q  I Con lo Cuál obtenemos la denominada recta numérica.Recordemos que una recta es una sucesión infinita de puntos alineados. Entre dos puntos existen infinitos puntos y a cada punto lecorresponde un número RealValor absoluto de un número:El valor absoluto de un número real a denotado por a , es la distancia sobre una recta numérica entre 0 y el punto con coordenada a  Si x  0 entonces x x Para cualquier número real x Si x  0 entonces x  x  Si x es positivo o 0, entonces x es su propio valor absoluto. No obstante, si x es negativo, entonces – x (que es un número positivo) es elvalor absoluto de x. En consecuencia x  0 , para todos los números reales x.Ejemplo: 4 4  4 4Encuentre cada uno de los siguientes valores absolutos:a. 3 Respuesta: 3 c.  4 Respuesta. 4b.   8 Respuesta. 8 d.  6   3 Respuesta: 18 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 5
  • 6. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 2 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Reconocer y nominar los conjuntos numéricos, desarrollando el 1. Conjuntos numéricos. lenguaje matemático para establecer relaciones entre ellos. 1.1. Naturales 1.2. Enteros 1.3. Racionales 1.4. Irracionales 1.5. Reales Taller de Matemáticas1. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:a.-La medida de una excavación de 5 metros de profundidad se puede representar por el numeral -5.b.-El valor del pasaje del trasporte público se representa por un número positivo.c.-La cantidad de personas que asiste a un evento esta representado por un número positivo.d.-La temperatura de un caluroso día de verano, en grados Celsius está dada por un número positivo.2. En la figura siguiente, en los recuadros señalados por cada flecha, anote las sumas de los números que están en el cuadriculado respectivo A) Los números de los recuadros señalados con las flechas son los cubos de 2, de 3, de 4 y de 5 B) La suma de los números de la diagonal principal de cada cuadriculado son los cuadrados de 2, de 3, de 4 y de 5. C) La suma de todos los números del sexto cuadriculado de este mismo tipo es 216. D) Todas las afirmaciones anteriores son verdaderas.3. A continuación se presenta parte de una tabla de la ubicación de los números del 1 al 200. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 6
  • 7. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009La figura siguiente es parte de esta tabla. ¿Qué números deben figurar en los recuadros x e y? A) 96 y 98 B) 98 y 100 C) 101 y 103 D) 102 y 1044. a.- Anote cuatro números enteros menores que 10 y mayores que 3 b.- Anote cuatro números enteros que sean mayores que  35. Dados 3 números irracionales determinar el orden de mayor a menor de ellos: 6 3 5 ; ; 2 7 2 26. Ordenar de menor a mayor los números: - (- 3);  ; e ; 7CLASE 3 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Utiliza propiedades y reglas de los números Reales 2. Operaciones Básicas: para resolver las cuatro operaciones básicas, con 2.1. Adición ayuda de calculadora científica. 2.2. Sustracción 2.3. Producto 2.4. Cuociente 2.5. Uso de calculadora científicaOperaciones Básicas:Adición de números realesCuando se efectúa la adición de números, el resultado se denomina suma. Por ejemplo:a. Sume:  5 y  7  5  (7)   12b. Sume ( 2) y ( 8) (2)  (8)   10Generalizando:  Con signos iguales: Sumar los valores absolutos de los números y mantener el signo común  Con signos diferentes: Restar los valores absolutos de los números (del mayor, restar el menor) y mantener el signo del número con mayor valor absolutoSume los números. a.  12  (20) b.  20  ( 8) Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 7
  • 8. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 c.  15  ( 12) d.  30  (15)Sustracción de números reales:Cuando un número se resta de otro número, el resultado se denomina diferencia. Para encontrar una diferencia, podemos convertir laresta en una suma equivalente. Por ejemplo, la resta de 10  6 es equivalente a la suma de 10  (6) , porque tienen el mismoresultado: 10  6  4 10  (6)  4Esto sugiere que, para restar dos números cambiamos el signo del número que se resta y sumamosReste: a. 14  9  b.  20  10 = c.  8  ( 12) Multiplicación de Números RealesCuando se multiplican dos números, el resultado se llama producto. Podemos encontrar el producto de 5 y 4 si usamos el 4 cinco vecesen una suma: (5)  (4)  4  4  4  4  4  20El producto de 5 y (4) lo encontramos al usar  4 cinco veces en una suma: (5)  (4)  (4)  (4)  (4)  (4)  (4)   20Por lo tanto para multiplicar dos números reales:  Con signos iguales: Multiplique sus valores absolutos. El producto es positivo  Con signos diferentes: Multiplique sus valores absolutos. El producto es negativo.  Multiplicación por 0: Si x es cualquier número real, entonces x 0 0 x0Multiplicar: a. 3(9)  b.  4( 15)  c.  3(9)División de números reales aCuando se dividen dos números, el resultado lo denominamos cuociente. En la división  q (b  0) , el cuociente q, es un número btal que b  q  a Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 8
  • 9. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Considere las siguientes divisiones:  24   12, ya que  2(12)  24 2  15   3, ya que 5(3)   15 5  24 12, ya que (2)12   24 2Los resultados anteriores sugieren que, para dividir números reales.  Con signos iguales: Divida sus valores absolutos. El cuociente es positivo  Con signos diferentes: Divida sus valores absolutos. El cuociente es negativo.  División entre 0: La división entre 0 no está definida. 0 xSi x  0, entonces  0. Sin emb arg o, no está definido para ningún valor de x x 0Dividir: 30 a.  15  20 b. 4  10 c.  5Orden de las operaciones:Consideremos la expresión:10  3  4 , que contiene las operaciones de adición y multiplicación, convenimos en efectuar las multiplicaciones antes que lassumas:10  3  4 10  12 Realice primero la multiplicación  22 Luego realice la adiciónPara indicar que las sumas deben efectuarse antes que las multiplicaciones, debemos utilizar signos de agrupación como son losparéntesis:  Paréntesis redondo  Paréntesis rectangulares  Paréntesis de llaves Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 9
  • 10. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Por ejemplo en la expresión 3  7   2 , los paréntesis indican que la adición debe efectuarse primero:3  7   2 10  2  20Para garantizar resultados correctos, realizar el siguiente orden:Utilice los siguientes pasos para realizar todos los cálculos dentro de cada par de símbolos de agrupación; trabaje del par más interno almás externo. a. Efectúe todas las multiplicaciones y divisiones, trabajando de izquierda a derecha. b. Efectúe todas las adiciones y sustracciones, trabajando de izquierda a derechaCuando se hayan eliminado todos los símbolos de agrupación, repita las reglas antes mencionadas para finalizar el cálculo.En el caso de una fracción simplifique (divida el numerador y el denominador por el mismo número)Ejemplo:Evalúe la siguiente expresión: 4(7  2) : 5  1  4( 5) : 5  1  20 : 5  1 5 4 1 5Evaluar:  a. 5 3  26 : 3  1  Respuesta:  15 4  83  4  b. Respuesta:  2 6  22Propiedades de los números reales:Sean a, b y c elementos pertenecientes a un conjunto numérico, entonces: AXIOMAS ADICIÓN MULTIPLICACIÓN Sean a y b números pertenecientes de un mismo conjunto, Clausura (Ley de entonces: A1 composición interna) a  b pertenece al mismo a  b pertenece al mismo conjunto conjunto A2 Conmutatividad ab ba a b  ba A3 Asociatividad a  (b  c)  (a  b)  c a  (b  c)  (a  b)  c A4 Elemento Neutro a0a 0a a 1  a  1  a A5 Elementos Inversos a  (a )  0  (a)  a a  a 1  1  a 1  a A6 Distributividad a  (b  c)  a  b  a  c Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 10
  • 11. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 4 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Utiliza propiedades y reglas de los números Reales para resolver 2. Operaciones Básicas: las cuatro operaciones básicas, con ayuda de calculadora 2.1. Adición científica. 2.2. Sustracción Resuelven problemas sencillos relacionados con la especialidad y 2.3. Producto el mundo cotidiano, utilizando calculadora científica, propiedades 2.4. Cuociente y reglas de los números reales. 2.5. Uso de calculadora científica TallerResolver los siguientes problemas 1.  Obtenga el valor final de:  5   6  7  18  7  6  15  40  2. En 15 barriles de la misma capacidad, se han almacenado 1.200 litros de agua. ¿Cuántos barriles son necesarios para almacenar 8.400 litros de agua? Respuesta: a) 1200  15= 80  la capacidad del barril es de 80 litros b) 8400  80 = 105  se necesitan 105 barriles.3. En una bodega hay 400 cajones de manzanas. Cada cajón tiene 80 manzanas. En diciembre se almacenan otros 639 cajones. ¿Cuál de las siguientes preguntas se contesta mediante una adición? A) ¿Cuántas manzanas hay en la bodega? B) ¿Cuántas manzanas se almacenan en Diciembre? C) ¿Cuántos cajones hay ahora en la bodega? D) Si se venden 180 cajones, ¿cuántos quedan por vender en la bodega?4. Un camino de 37 baldosas se desea modificar para generar un cuadrado sobre el cuál se instalaría una maceta. ¿Es posible realizar esta modificación con 37 baldosas? ¿Es posible, si son 36 baldosas? Respuesta: Un cuadrado es un paralelogramo cuyos lados tienen igual medida, por lo que No existe un número natural tal que al multiplicarse por sí mismo, dé 37.En cambio con 36 baldosas Sí es posible. Todos los números que no es posible descomponerlos en factores distintos de 1 y de sí mismo, se denominan Primos.5. Un buzo que hace trabajos en una obra submarina se encuentra en la plataforma base a 6 metros sobre el nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes: a. Baja 20 metros para dejar material b. Baja 6 metros más para hacer una soldadura c. Sube 8 metros para reparar una tubería d. Finalmente vuelve a subir a la plataforma. ¿Cuantos metros ha subido en su último desplazamiento hasta la plataforma? Solución: 18 metros6. En una industria de congelados, la temperatura en la nave de envasado es de 12 grados Celsius, y en el interior del almacén frigorífico, de 15 grados Celsius bajo cero. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la nave y la cámara?7. Un día de invierno amaneció a dos grados bajo cero. A las doce del mediodía la temperatura había subido ocho grados, y hasta las cinco de la tarde subió tres grados más. Desde la cinco a medianoche bajo cinco grados, y de medianoche al alba, bajo seis grados más. ¿A qué temperatura amaneció el segundo día? Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 11
  • 12. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20098. El empresario de un parque acuático hace este resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo del año. Enero – Mayo: pérdidas de 2.475 euros mensuales Junio – Agosto: ganancias de 8.230 euros mensuales Septiembre: ganancias de 1.800 euros Octubre – Diciembre: pérdidas de 3.170 euros mensuales ¿Cuál fue el balance final de año?9. Ud. tiene una Cuenta Corriente en un determinado Banco y como usted es una persona muy ordenada, contabiliza sus haberes de la siguiente manera: Saldo anterior Depósito/ Cargo   Red compra Saldo Valor del cheque Nuevo saldo Si su saldo anterior fue de $1.200.000, depositó hoy $350.000, realiza compras por un total de $250.000, usando su Red Compra y cancela la cuenta de la luz con cheque por $15.000. ¿Cuál es su nuevo saldo?Respuesta: $1.285.00CLASE 5 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Transforman números decimales a fracción común Transformaciones: y viceversa. Transformación de fracción a decimal - Operaciones con fracciones Transformación de un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracciónREPRESENTACIÓN DECIMAL DE NÚMEROS RACIONALES:Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, porejemplo 1/2 tiene como expresión decimal 0,5. 3405/25=136,2 y 1/3= 0,33333.......Esto puede dar lugar a dos tipos de desarrollos decimales, los finitos (nº decimal) y los periódicos. Éstos últimos pueden a su vezdividirse en periódicos o periódicos mixtos.Desarrollo decimal finito, es aquél que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0,5, 1,348 ó 367,2982345Estas expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la expresión irreductible) sólo contiene los factores 2 y 5.Por ejemplo 1349/1000, 40/25, …Desarrollo decimal periódico es aquél que tiene un número infinito de cifras decimales, pero, de modo que un grupo finito de ellasse repite infinitamente, de forma periódica, llamado período, por ejemplo 0,333333....., 125,67777777....... ó3,2567256725672567......Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y 5, por ejemplo, 1/3=0,33333...En un desarrollo decimal periódico mixto, antes del período y después de la coma aparece un bloque de una o más cifras que nose repite, llamado anteperíodo.Podría considerarse que las expresiones decimales finitas son periódicas mixtas pero con período 0.TRANSFORMACIÓN DE FRACCIÓN A DECIMALPara transformar una fracción en un número decimal, se divide el numerador por el denominador: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 12
  • 13. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Ejemplos: 1251)  125 : 400  0,3125 (desarrollo decimal finito) 400 52)  5 : 6  0,833333 (desarrollo decimal periódico mixto) 6TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓNRecíprocamente, dado un desarrollo decimal finito o periódico, puede encontrarse una expresión racional (fracción) para la misma,siguiendo la siguiente norma: Si el desarrollo decimal es finito: se coloca como numerador el número entero que resulta de suprimir la coma decimal ycomo denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras se encontraran a la derecha de la coma decimal en laexpresión decimal original. Ejemplo: 34287 34,287  1000 Si el desarrollo decimal es periódico: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero, sin coma, hastala primera repetición del período, la parte entera. Como denominador tantos nueves como cifras tenga el período. Ejemplo: 32532  32 32500 32,532 532...  = 999 999 Si el desarrollo decimal es periódico mixto: se coloca como numerador el resultado de restar al número entero formadopor la parte entera, el anteperíodo y la primera repetición del período, el entero formado por la parte entera y el anteperíodo. Comodenominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo: 45841  458 4,58 41 4141...  = 45383 9900 9900Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresión irreductible.FRACCIONES EQUIVALENTESDos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal. Es decir, al dividir numerador por denominador, el resultadoes el mismo.Para obtener fracciones equivalentes, se amplifica o simplifica la fracción, por cualquier número distinto de cero.Ejemplos: 2 2·2 41) Dada la fracción , si la fracción se amplifica por 2, se obtiene  , que es equivalente a la anterior ya que al dividir 2 en 5 5·2 10 5 se obtiene 0,4 y al dividir 4 en 10, también se obtiene 0,4. 5 5:5 12) Dada la fracción , si se divide numerador y denominador por 5 se obtiene  , que es equivalente a la anterior, ya 20 20 : 5 4 que al dividir 5 en 20 se obtiene 0,25 y al dividir 1 en 4 se obtiene, también, 0,25.Observación: Si una fracción no es simplificable, se denomina fracción irreductible.Si una fracción se amplifica por cada elemento de Z (excepto el cero) se forma el conjunto llamado clase de equivalencia.Ejemplos de clases de equivalencia: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 13
  • 14. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 1 1 2 3 4 5    , , , , ,... 2  2 4 6 8 10  3  3 6 9 12     , .  , ,... 4  4 8 12 16 PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES: a a:n1. equivale a Simplificar una fracción . Sólo se pueden efectuar en presencia de multiplicación. b b:n a an2. Amplificar una fracción equivale a b bn3. Máximo común divisor (MCD) entre dos o más números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos. Ej.: el MCD entre 48-96-64 es 16.4. Mínimo común múltiplo (MCM) entre dos o más números es el menor número que es divisible por cada uno de ellos. Ej.: el mcm entre 48-96-64 es 192. El mínimo común múltiplo entre 15, 45 y 60 es 180 Para determinar el MCM se procede de la siguiente forma. Disponer los números en una tabla y comenzar a dividir por 2, 3, 5, 7, etc. 15 45 60 2 15 45 30 2 15 45 15 3 5 15 5 3 5 5 5 5 1 1 1 El mínimo común múltiplo resulta de multiplicar 2 ·2 ·3 · 3 · 5 = 1805. Fracción propia es la fracción menor que la unidad. Ej.: 3 256. Fracción impropia es la fracción igual o mayor que 1. Ej.: 25 3 25 17. Las fracciones impropias se transforman en números mixtos. Ej. 8 3 3 a c8. Igualdad de fracciones:   ad  bc b d a c9. Comparación entre dos fracciones   ad  bc b d10. Intercalar un racional entre dos racionales dados: - ordenar de menor a mayor los racionales - sumar los numeradores y denominadores respectivamente - la fracción así obtenida se ubica entre las fracciones dadas 2 5 Ej.: ubicar una fracción entre  5 4 2 25 5 2 7 5   , entonces, se determina que   5 54 4 5 9 4 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 14
  • 15. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 200911. Inverso multiplicativo. Si el producto de dos números es 1, los números son recíprocos o inversos multiplicativos. 3 4 Ej.:   1 4 3 a cOPERACIONES CON FRACCIONES: Si y son números racionales, se define: b d OPERACIÓN ADICIÓN a c ad  bc   b d bd Adición con denominadores iguales a c ac   b b b SUSTRACCIÓN a c a c    b d b d MULTIPLICACIÓN a c a·c ·  b d b·d DIVISIÓN a c a d a·d :  ·  b d b c b·cCompletar la siguiente tabla, sabiendo que a, b, c, d son números racionales. a b c d a c· d a–(b+c) (a+b)·c a·b – c·d b1 2 7 3 6 5 8 2 52 1 1 21 1 3 8 10 103 45 4 2 3  4 5 25 40Respuesta. a c· d a–(b+c) (a+b)·c a·b – c·d b 1 16 9 9 57 29    35 5 40 80 20 2 8 21 227 77 101   3 100 120 80 600 3 225 3 1213 209 4497     16 500 100 250 500 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 15
  • 16. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 6 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Transforman números decimales a fracción común Transformaciones: y viceversa. Transformación de fracción a decimal - Operan con fracciones Transformación de un número decimal infinito periódico o semiperiódico a fracción TallerResolver los siguientes problemas:1. En la especialidad de alimentación se preparan tortas para una recepción. Susana preparó 2 tortas de igual tamaño, una depiña y otra de manjar. La de piña la dividió en 24 trozos iguales y la otra en 12 trozos iguales. Don Juan, asistente a larecepción, comió 4 pedazos de torta de piña y dos de manjar. a) Represente numéricamente cuánto de torta de piña comió don Juan b) Represente numéricamente cuánto de torta de manjar comió don Juan c) ¿Comió lo mismo de ambas? d) ¿Cuánto comió en total? e) Si cada trozo de torta de piña se vendiera a $400 y cada trozo de torta de manjar se vendiera a 1/3 de lo que se vende el de piña, ¿Cuánto debería pagar don Juan por lo que comió?Solución 4 a) La torta de piña se divide en 24 partes iguales y se toman 4 de ellas, se obtiene la fracción: 24 2b) La torta de manjar se divide en 12 partes iguales y se toman 2 partes, se obtiene la fracción: 12 5 1c) ¿Qué puede decir de las fracciones y ? ¿Son iguales? ¿Por qué? 20 4 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 16
  • 17. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 4 4: 4 1 Entonces, tomando la fracción de la torta de piña se simplifica por 4,  24 24 : 4 6 2 2: 2 1 Luego, hacemos lo mismo con la fracción de la torta de manjar se simplifica por 2,  12 12 : 2 6 4 2 Podemos concluir que las fracciones y representan la misma fracción, son fracciones equivalentes, luego, don Juan 24 12 comió la misma cantidad de torta de piña que de manjar.d) Debemos sumar 4/24 y 2/12 ó 1/6 y 1/6. Resulta más fácil la segunda opción, pues, son dos fracciones de igual denominador: 1 1 2 1    . Don Juan comió 1/3 (un tercio) de torta, en total. 6 6 6 3e) Para saber cuánto debería pagar, multiplicamos 4*400 = $1.600, lo que correspondería a los trozos de torta de piña. Para saber el 1 400 valor de un trozo de torta de manjar multiplicamos  400   $133,333... El valor de cada trozo de torta de manjar es 3 3 $133. Aproximamos al entero, pues, la división 400/3 da un número decimal infinito periódico y los precios en Chile no tienen decimales. En total, don Juan debería pagar: 4*400 + 2*133 = $1.866 por lo consumido.2. Un almacén de pinturas utiliza 2/3 de la superficie para almacenar pinturas, 1/4 del resto para disolventes y los 600 m² restantes para pintar. ¿Cuántos metros cuadrados tiene el almacén? Solución: Al decir 2/3 significa que queda 1/3 que no almacena pinturas. La suma de las partes debe dar el entero 3/3 = 1. 1 1 1 1 1 Al decir ¼ del resto, significa ¼ de 1/3. Debemos multiplicar ¼ por 1/3,    . 4 3 4  3 12 O sea, 1/12 del almacén contiene disolventes. Pero, la pregunta apunta al total de metros cuadrados que tiene el almacén. Si ¼ de 1/3 están con disolventes, entonces, ¾ de ese 1/3 no tienen ni pintura ni disolventes, es decir, está destinado a pintar y corresponden a 600 m2 . 3 1 3 1 3 1 Multiplicando de nuevo ¾ por 1/3 y simplificando:     obtenemos que ¼ corresponde a 600 m 2 . Luego 4 3 4  3 12 4 2 multiplicando por 4 concluimos que el almacén tiene 2.400 m .3. En una fábrica de automóviles se trabaja desde las 8 hrs. hasta las 20 hrs. El proceso para maximizar la producción es el siguiente: 1 del tiempo se dedica a la construcción de motores 3 1 de la jornada para carrocerías 4 1 del tiempo que se ocupa para fabricación de motores, se utiliza para construir accesorios. 2 1 del tiempo destinado a carrocerías, se usa para afinar detalles finales. 3 1 del tiempo utilizado para los accesorios, se destina a almorzar. 2 El resto de la jornada se dedica a actividades recreativas. ¿Cuántas horas se dedican a esta actividad? 1 3 14. Se tienen dos botellas de bebida. La primera de 1 lt. y la segunda de lt. Con cada una se llenan vasos de lt. 4 4 8 ¿Cuántos vasos más se pueden llenar con la primera botella que con la segunda? Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 17
  • 18. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Respuesta: 4 vasos más5. Una lechería despacha al supermercado 18 cartones de mantequilla de 25 kg. cada uno. La mantequilla está envasada en 1 paquetes de de kg. Calcular cuántos paquetes se despacharon. 4 Respuesta: 1.800 paquetes de mantequilla 1 1 16. de los ingresos de una comunidad de vecinos de un edificio se emplean en gas, se emplean en electricidad, en la 5 3 12 1 recogida de basuras, en mantenimiento del edificio y el resto en limpieza. 4 a) ¿Cuánto se emplea en limpieza? b) Si la comunidad dispone de $3.300.000, ¿cuánto corresponde a cada actividad?7. En un centro comercial, 5 de cada 7 empleados cobran cada 15 días, 2 de cada 9 lo hacen mensualmente y el resto cobra semanalmente. Si en total hay 6.300 empleados, hallar el número de empleados de cada clase. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 18
  • 19. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 7 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Realizan operaciones combinadas de números decimales y -Operaciones básicas con decimales fracciones, con ayuda de calculadora. La matemática en el mundo cotidiano y - Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el en la especialidad mundo moderno y en la especialidadClase de Taller:Resolver los siguientes problemas: 1 a  b  3c1. Si a  2, b  , c  3, 25 , evalúe 3 b(c  a ) 1 ( a  b)  c2. Si a   4, b  3, 5, c   , evalúe 5 b c3. Se desea construir un edificio de 10 pisos con 4 departamentos por piso y dos niveles de estacionamientos subterráneos. Para esto se realiza una excavación de 5 metros y se construye una fundación para 8 pilares como soporte del edificio. Cada uno de los departamentos debe tener una altura de 2.5 metros entre suelo y cielo, además cada nivel estará dividido por una losa de 15 centímetros más una sobre losa de 7 centímetros.4. De acuerdo a la situación planteada: a) Calcular la altura del edificio y la de la construcción. Respuesta: 27,2 metros b) Si uno de los dormitorios de los departamentos es cuadrado y tiene una superficie de 10 metros cuadrados ¿cuáles son sus dimensiones? Respuesta: 3,16 metros por lado c) Si por cada departamento se pagan $ 44.775.000 ¿Cuál es el precio expresado en UF si UF 1 = $19.930? Respuesta: UF 2.246,6314… 15. Una familia consume 1 litro de leche diariamente. Calcular: 2 a) el consumo semanal b) el consumo en el mes de Abril c) el consumo anual.6. En la celebración de unos tijerales participan 38 albañiles y carpinteros, además de 10 empleados de la obra. Cada uno recibe con la 1 2 comida, 4 vasos de vino de litro y 2 vasos de bebida de litros cada uno. ¿Cuántos litros de vino y cuántos de bebida hubo 8 5 que encargar?7. Si un trozo de tela mide 820 cm. y se divide en 4 partes, de modo que, el segundo trozo sea 2/3 del primero, el tercer trozo sea 1/5 del segundo y el cuarto trozo es el doble del tercer trozo, calcular el tamaño longitudinal de cada trozo de tela. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 19
  • 20. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 8 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Realizan operaciones combinadas de números decimales y -Operaciones básicas con decimales fracciones, con ayuda de calculadora. - Identifican aplicaciones, usos e intervención de la matemática en el La matemática en el mundo cotidiano y en mundo moderno y en la especialidad la especialidadClase de Taller.Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal.1. Un mayorista vende azúcar a $750 el kilo en el caso de cantidades hasta 100 kilos .Si se trata de cantidades mayores a 100 kilos, pero menores que 200 kilos la tarifa es de $675 el kilo y para compras superiores a 200 kilos el precio es de $600 el kilo. Si en un día cualquiera las compras efectuadas al comerciante fueron las siguientes: Comprador 1: 250 kilos de azúcar; comprador 2: 120 kilos de azúcar; comprador 3: 95 kilos de azúcar. Determine la cantidad total de dinero cancelada por los tres compradores.2. Un cartero reparte correspondencia en un edificio de cuatro pisos sin ascensor .Cierto año subió 25 días al primer piso, 72 días al segundo piso, 43 días al tercer piso y 140 días al cuarto piso. El número de escalones que hay de la calle al primer piso es 32 y 24 entre piso y piso. ¿Cuantos escalones subió el cartero durante ese año solo en el servicio de ese edificio?3. Para la formación de una sociedad se reúnen cuatro socios A, B, C y D. El socio A aporta $1.500.000, el socio B la mitad del aporte del socio A, el socio C, el triple del aporte de A y el socio D $750.000 más que el socio B, determine el aporte total para la formación de la sociedad.4. Un comerciante compró 500 unidades de un producto a 6 euros cada uno .Vendió cierto número de unidades en 500 euros, a 5 euros cada una. ¿A que precio debe vender el resto para no perder?5. Una persona compra en un mall de la capital dos artículos A y B por un total de $300.000, si por el artículo B canceló $35.800 menos que por el artículo A, determine el precio de cada artículo.6. Obtener el valor entero correspondiente a la expresión:   9  10   4  3 2  8  3 14 : 7 1 3 (a  b  c)  a7. Sean a   ; b  0,75; c  0, 2 y d  , calcule el valor de  4 5 bd8. Una jarra tiene 5 de litro de capacidad y está llena de jugo. Se echa 1 de litro de este jugo en un vaso. ¿Cuanto queda en la 4 5 jarra?9. El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879,002 Kg. El primer depósito contiene 18,132 Kg. menos que el segundo; el segundo, 43,016 Kg. más que el tercero, y el tercero 78,15 Kg. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en cada depósito. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 20
  • 21. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 9 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e - Razones: Concepto, Cálculo e interpretación. interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Proporciones : Concepto, Teorema Fundamental - Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad -Término desconocido de una proporción e interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la propiedad fundamental en las proporciones.Frecuentemente comparamos dos o más cantidades, por ejemplo, cuantas veces es mayor el precio del trasporte de una mercadería sise dispone de las cotizaciones de dos empresas de despacho a domicilio.1.- Una empresa importadora dispone de dos cotizaciones para realizar el traslado de mercaderías que se encuentran en una bodega del puerto de Valparaíso a las bodegas de la empresa ubicadas en el sector sur de la región metropolitana. Los valores de cada cotización son: C1:$ 375.000 y C2: 431.250 ambas con IVA incluido. ¿Cuántas veces el valor de la cotización C2 corresponde a la cotización C1? SOLUCIÓN: En la pregunta planteada debemos entender el concepto que matemáticamente nos entrega la palabra “veces”. Para ello recurramos a un ejemplo simple: ¿Cuántas veces esta contenido 20 en 40? Claramente entendemos que 40 es “doble” de 20, es decir si 20 se multiplica por 2 se obtiene 40. Por lo tanto podemos establecer que 40 es 2 veces 20. Entonces: para determinar la cantidad de veces un número esta contenido en otro bastará con conocer el factor que multiplica a uno de los números para obtener el otro. En el problema planteado se tiene: 431.250  A  375.000; donde A representa el numero de veces que el valor 375.000 esta contenido en 431.250, es decir: 431.2500/375.000 = 1,15 veces.2.- Las utilidades anuales de una empresa que asciende a 100 millones de pesos se reparte entre dos socios de forma que el primero recibe 40 millones y la segundo 60 millones. Establezca una relación entre las partes que cada uno recibe, con respecto al monto total de las utilidades. SOLUCIÓN: Como necesitamos establecer la relación entre los montos recibidos por cada socio tenemos dos alternativas, establecer cuantas veces es menor el valor 40 millones que el valor 60 millones ó bien cuantas veces es mayor 60 millones que 40 millones. 40 millones La primera alternativa corresponde a: 40 millones  A  60 millones; de donde se obtiene que:  A ; como es 60 millones 40 lógico podemos prescindir de la unidad millones y así obtenemos una relación mas simple de la forma:  A. 60 2Esta última relación podemos expresarlas en números más simples, es decir  A. 3Esta relación nos indica que las cantidades recibidas por cada socio se puede expresar diciendo que uno recibe dos partes de lasutilidades y el otro tres partes. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 21
  • 22. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Si se considera la segunda alternativa, se tiene que: 60 millones  B  40 millones; y procediendo de forma similar al caso 3  B,anterior, se puede concluir: 2 lo que indica que un socio recibe tres partes y la otra dos partes de total de las utilidadesDe lo anterior, podemos concluir que el socio que recibe 40 millones representa dos partes de las utilidades y el que recibe 60 millonestres partes.La relación entre dos cantidades, expresada en números enteros y sencillos, se denomina RAZÓN. Esta razón se representa utilizandosimbología fraccionaria o de división, por ejemplo: 2Si 2 partes de A se relacionan con 5 partes de B, se establece la razón 5 o bien 2 : 5 aUna razón escrita en cualquiera de sus formas, ó a : b , se lee: “a es a b” bLa fracción o cuociente que genera una razón corresponde al valor de la razón e indica el número de veces que una de las cantidadesesta contenida en la otra, por ejemplo:Si dos cantidades están en la razón 4: 5, significa que la primera esta contenida en la segunda cuatro quintas veces o dicho de otraforma 0,8 veces. También se puede establecer que la segunda está contenida en la primera cinco cuartos veces es decir 1,25 veces.Al invertir los términos de una razón se obtiene otra razón denominada razón inversa, por ejemplo: Si una razón es 4 : 5 su razóninversa es 5 : 4Estas dos razones, que podríamos llamar directa e inversa, si bien mantienen la relación entre las cantidades, su interpretación osignificado es diferente como se pudo ver al analizar el valor de cada una de ellas.Los términos que forman una razón se denominan ANTECEDENTE y CONSECUENTE aDada la razón , a se denomina antecedente y b consecuente bPROPORCIÓNUna proporción es la igualdad de dos razones: a cSe anota  y se lee “a” es a “b” como “c” es a “d” ; donde se debe cumplir como propiedad fundamental que: b d ad  bc .El producto de los extremos es igual al producto de los mediosEjemplo: El rendimiento de un automóvil en carretera es de 20 Km. por litro de combustible. Si se tiene que viajar una distancia de 450 Km. A lo largo del país. ¿Qué cantidad de combustible se deberá utilizar? 20 km. 450 km. La solución a la interrogante planteada se escribe como una proporción, donde:  11lt. xUtilizando el teorema fundamental de las proporciones, tenemos: 20km.  x 1lt.  450 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 22
  • 23. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 450  1 x 20 x  22,5 litrosOtras propiedades importantes son:En toda proporción, la suma o diferencia de los términos de una de las razones es a uno de sus términos, como la suma o diferencia delos términos de la otra razón es a uno de sus términos: ab cd ab cd a)  b)  a c b d ab c d ab c d c)  d)  a c b dEn toda proporción, la suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes, como un antecedente es alconsecuente de una de las razones: ac a ac c ac a ac ca.  ; b.  ; c.  d. .  bd b bd d bd b bd d 3Una razón de la forma , al multiplicar simultáneamente antecedente y consecuente por una misma magnitud n, la razón se modifica: 53 n  3 n 2  3 n3  3    ....... generando una serie de razones de igual magnitud.5 n  5 n2  5 n3  5Hemos definido la proporción como la igualdad de dos razones pertenecientes a dos magnitudes entre las Cuáles se puede estableceralguna relación, pero también este concepto de proporción se puede ampliar a más de dos razones iguales, generándose una Serie deRazones o Proporción Múltiple, dada por:a c e g x     ..........   Kb d f h ySiendo K la constante de proporcionalidad y corresponde al valor de la serie de razones. Esta ampliación del concepto de razón,permite establecer relaciones entre varias magnitudes.Ejercicios.1. En un supermercado de la comuna de Santiago el kilogramo de harina se comercializa a $450 y se desean adquirir 45 Kg. de este producto. Usando el concepto de proporción determine el valor a cancelar por la compra de este producto. 1 Kg . 45 kg  $450 $x x  450  45 x  $20.250 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 23
  • 24. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20092. En una empresa los dividendos obtenidos después de un año de inversiones positivas, se pretende dividirlos e cuatro estamentos, de acuerdo a la siguiente proporción múltiple: A : B : C : D 1 : 3 : 5 : 7 Si el monto de este dividendo alcanza los 800 millones de pesos. ¿Cuál deberá ser el monto a recibir por cada estamento de la empresa? La proporción múltiple, A : B : C : D  1 : 3 : 5 : 7 la podemos expresar como: A B C D     K de modo que: 1 3 5 7 A  K; B  3K ; C  5K ; D  7 K pero A  B  C  D  800 millones Por lo tanto K  3K  5 K  7 K  800 millones 800 K  50 (valor de la constante de proporcionalidad, válida para cada razón de la serie) 16Conociendo el valor de K se determina el monto a recibir por cada estamento de la empresa:A  50 millones; B  150 millones; C  250 millones; D  350 millonesCLASE 10 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican el concepto de razón, explican su utilidad e interpretan - Razones: Concepto, Cálculo e interpretación. su valor numérico en situaciones concretas. - Proporciones : Concepto, Teorema Fundamental -Identifican el concepto de proporción, explican su utilidad e -Término desconocido de una proporción interpretan su valor numérico en situaciones concretas. - Calculan el término desconocido de una proporción, aplicando la Taller propiedad fundamental en las proporciones.Clase de TallerResuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal.1. Un cordel que mide 24 metros, se hacen dos cortes de modo los trozos que se obtienen se encuentran en la razón 3: 4: 5. ¿Cuál es la medida que tiene el trozo de mayor longitud? Respuesta: El trozo de mayor longitud, mide 10 metros2. En la confección del plano de una casa, se ha utilizado la escala 1 : 100, entonces: a) ¿Cuál será la medida real de un muro que en plano mide 2,5 centímetros? b) ¿Cuál será la medida en el plano de la altura de una ventana que mide 1,2 metros?3. En “propiedades.elmercurio.com” se han encontrado los siguientes avisos de venta de propiedades: Aviso 1: 652.000.000 Mónica Pobrete Piedra Roja, 566/ 1.800, impecable, cuatro dormitorios en suite, cinco baños, escritorio, estar, mansarda: amplia sala juegos, subterráneo, hermosísimo jardín, piscina, (0)92233xxx, 2323xxx. Publicado: 24/02/2009 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 24
  • 25. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Aviso 2: 415.000.000 Berríos Zegers.cl, Quinchamalí 405/ 1800 Mediterránea Nueva, 4807xxx Publicado: 23/02/2009 ¿Cuántas veces es el valor de la propiedad más cara con respecto a la más barata? ¿Cuántas veces es el valor de la propiedad más barata con respecto a la más cara?4. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 4:9:2. ¿Cuál es la medida de cada uno?5. En la elaboración de una pintura para el revestimiento de una placa metálica se utilizan 3 componentes A, B, y C. Par fabricar esta pintura se mezclan 3 partes de A por cada 5 partes de B y 2 partes de C por cada 7 partes de A. Determine la cantidad de cada componente para fabricar 93 litros de esta pintura. Respuesta. 31,5 litros de A; 52,5 litros de B; 9 litros de C.6. La diferencia entre los lados contiguos de un rectángulo es 4 metros y están en la razón 5 es a 6 ¿Cuál es su perímetro? Si se pagan $12.000 por 40 minutos de tiempo en el uso de su teléfono. Con la información anterior completar la siguiente tabla: Costo en 3.000 1.200 48.000 pesos Minutos 20 807. La razón entre el precio de un litro de bencina u un litro de petróleo es de 5 : 3 y se deben cargar 5 camiones, de los Cuáles 3 son petroleros y 2 bencineros, gastando en total $218.000. a.-¿Cuál es la cantidad de dinero asignado al gasto de petróleo? Respuesta: $103.363 b.- ¿Qué cantidad se gasta en cada camión bencinero si sus estanques tienen la misma capacidad? Respuesta: $57.3688. En supermercado de la capital, se tiene la siguiente oferta: Tres productos tipo A más Cinco productos tipo B por un total de $25.000. Si el producto A y el producto B están en la razón 3 : 7 Determine el valor unitario del producto A y del producto B.CLASE 11 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS -Identifican proporcionalidad directa e inversa y expresan proposiciones Proporcionalidad y Variación algebraicamente. Proporcional : - Grafican variables relacionadas con proporcionalidad directa e inversa en Proporción Directa el contexto de la especialidad Proporción Inversa - Interpretan gráficos de variaciones proporcionales directas, e inversas y Proporción Conjunta no proporcionales, relacionados con situaciones y fenómenos comerciales, económicos etc. -Aplican el concepto de Variación Proporcional Directa e Inversa en la Gráficos de la proporcionalidad resolución de problemas relacionados con la especialidad directa e inversa.1. Entre dos o más magnitudes de cualquier naturaleza se pueden establecer relaciones de proporcionalidad y determinar como las cantidades pertenecientes a estas magnitudes varían mutuamente. Si se desea embarcar toneladas de un producto para exportar a países vecinos, cada tonelada de este producto tiene un costo en pesos, costo que crece a medida que la cantidad de toneladas a embarcar también crece. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 25
  • 26. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20092. Por el contrario, si se desea viajar entre dos ciudades de nuestro país en un automóvil, la cantidad de kilómetros ha recorrer dependerá de la cantidad de gasolina que se encuentre en el estanque, de modo que, a mayor distancia recorrida, menor será la cantidad de combustible que quedará en el estanque del automóvil. En ambas situaciones planteadas existen magnitudes que se relacionan. En el primer caso ambas crecen simultáneamente, Proporcionalidad Directa y en el segundo caso al crecer una la otra disminuye simultáneamente, Proporcionalidad Inversa.Proporcionalidad DirectaDos magnitudes A y B son Directamente Proporcionales, si la razón entre dos cantidades pertenecientes a A y B, son iguales entresí y a la vez iguales a una constante K, constante de proporcionalidad A : a1 , a 2 , a3, a 4 ,...........a n B : b1 , b2 , b3 , b4 ,...........bn a1 a 2 a La cual se anota:   ............... n b1 b2 bn y se lee A es directamente proporcional a B  A  K  BEjemploUna empresa del área gastronómica, desea estimar la cantidad de dinero que necesita para realizar una recepción para 130 personasdado que en 12 porciones se deben invertir $24.000¿Cuál es el monto que se requiere para las 130 personas?Solución:Como se sabe que en 12 porciones se tiene un costo de $24.000; en más porciones tendrá que destinar más dinero y para determinarexactamente cuanto dinero se requiere plantearemos la siguiente igualdad:12  $24.0000130  $ x ; es decir 12 24.000   12 x  24.000  130130 x 12 x  3.120.000 3.120.000 x Se tendrá que destinar una suma de $260.000. 12 x  260.000Proporcionalidad InversaDos magnitudes A y B son Inversamente Proporcionales, si el producto entre dos cantidades pertenecientes a A y B, son igualesentre sí y a la vez iguales a una constante K, constante de proporcionalidad A : a1 , a 2 , a3, a 4 ,...........a n B : b1 , b2 , b3 , b4 ,...........bn a1  b1  a 2  b2  a3  b3  .............a n  bn Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 26
  • 27. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Se anota A  B  K , y se lee A es inversamente proporcional a BEjemplo:Una familia en las vacaciones de este año, viajo al sur, iban a una velocidad de 105 Km. /hy demoraron en llegar a su destino 8,4 horas. .Si hubieran viajado a una velocidad de90 Km. /h ¿Cuántas horas se habrían demorado?Solución: 105  8,4 90  x 90 8,4  105 x 90 x  105  8,4 882 x   9,8 horas 90Demorarían más tiempo dado que viajan a menor velocidadAmbas Variaciones de Proporcionalidad se pueden representar en Diagramas Cartesianos, donde cada magnitud se asocia a uno de losejes de este diagrama, para representar respectivamente la Proporcionalidad Directa y la Proporcionalidad Inversa Proporcionalidad Directa Proporcionalidad InversaEstas variaciones de Proporcionalidad Directa e Inversa tienen gran aplicación en una cantidad de situaciones entre las Cuáles sepuede citar la Proporción Conjunta o Compuesta.Proporción Compuesta.Una Proporción es Compuesta, si la razón entre dos cantidades de una magnitud A es proporcional al producto entre otras magnitudesB y C, escritas como razón Directa o Inversa, según sea la proporción simple que entre ellas se determine A : a1 a 2 B : b1 b2 C : c1 c 2De la definición anterior se desprenden los siguientes casos:Caso I:Si las magnitudes B y C son Directamente Proporcionales a A, la Proporción Conjunta está dada por: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 27
  • 28. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009a1 b1 c1  a 2 b2 c 2Caso II:Si la magnitud B es directamente proporcional con A y la magnitud C es inversamente proporcional con A, la proporción conjunta ocompuesta es: a1 b1 c 2   a 2 b2 c1Caso III:Si las magnitudes B y C sin inversamente proporcionales con A, entonces, la proporcionalidad conjunta se escribe: a1 b2 c 2   a 2 b1 c1Ejemplo 1:Se estimó por un experto que 6 trabajadores pueden realizar un trabajo de excavación para una línea de alcantarillado de 12 metros en5 días. ¿Cuantos trabajadores serían necesarios para excavar 18 metros de iguales características en 3 días, si la habilidad de estosúltimos es igual a la de los primeros?Solución:La relación entre el número de trabajadores y el número de metros es directamente proporcional (considerando que el número de díasno varía) y la relación entre el número de trabajadores y los días es inversamente proporcional (considerando que la cantidad de metrosno varía) 6 trabajador es  12 metros  5 días x trabajador es  18 metros  3 días 6 12 3   x 18 5 6 2  x 5 Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones. 2 x65 2  x  30 x 15 trabajadoresEjemplo 2:Se observan dos variables x e y x 400 800 1.600 y 2.000 1.000 500 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 28
  • 29. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidadb. ¿Cuál es el valor que corresponde a y para un x = 6.400? Solución. a. Es una relación inversamente proporcional: 400  2.000  800  1.000  1.600  500  800.000  k k 800.000 b. y    125 x 6.400CLASE 12 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven problemas de variación conjunta - Resolución de problemas de variación conjunta relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad relacionados con la vida cotidiana y con la especialidad. - Resuelven problemas de tanto por ciento, descuentos y recargos, relacionados con la especialidadClase de Taller.Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal.1. Diez y seis personas realizan 4 operaciones contables en 18 días trabajando 4 horas diarias. ¿Cuantos días demorarían 20 personas en realizar 6 de estas operaciones si trabajan 6 horas diarias? Respuesta: 14,4 días2. La cantidad de petróleo consumida por un transporte marítimo convencional, que se desplaza con velocidad uniforme, es directamente proporcional a la distancia recorrida y al cuadrado de su velocidad. Si dicho transporte consume 50 barriles en un viaje de 400 Kilómetros, a una velocidad de 60 Km./ hr ¿ Cuanto petróleo consume en un viaje de 1.000 Kilómetros a una velocidad de 40 Km./ hr. ? Respuesta: 555,55 barriles3. Un control de calidad estipula que la presión de un líquido en envase de transporte convencional debe ser inversamente proporcional al volumen que ocupa y directamente proporcional a la temperatura absoluta T. ¿A que presión se deben someter 100 metros cúbicos de gas de helio a 1 atmósfera de presión y 253 grados absolutos de temperatura, para que se reduzcan a 50 metros cúbicos a una temperatura de 313 grados absolutos? Respuesta: 2,47 atmósferas4. P es directamente proporcional a Q e inversamente proporcional a R. Si P 5 cuando Q  4 y R  2 , determine el valor de Q cuando P  12 y R  7 Respuesta: 33,65. En la elaboración de cera para los automóviles, dos de los principales componentes son cera de ceresina y aguarrás, dependiendo de la cantidad de cera a elaborar, se recomiendan los siguientes volúmenes de aguarrás en mililitros Aguarrás (ml) 165 330 495 660 825 990 Cera (gramos) 82,5 165 247,5 330 412,5 495 a. ¿Cuál es la relación de proporcionalidad entre las variables? Justifique calculando la constante de proporcionalidad? Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 29
  • 30. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 b. Si Ud requiere preparar 450 gramos de cera. ¿Que cantidad de aguarrás requiere? Respuesta: a. Directamente proporcionales. k = 2 c. 900 gramosPORCENTAJESEl porcentaje es uno de los elementos matemáticos más utilizados cotidianamente.En estudios de marketing es importante conocer las opiniones y preferencias de un grupo de personas respecto por ejemplo de un ciertobien, por lo general estos resultados se expresan porcentualmenteEn cálculos financieros se requiere trabajar con porcentajes ya sea en el cálculo de interés simple, interés compuesto, anualidades,amortizaciones etc.Definición 1:Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las partes iguales en que se puede dividir dicho número, es decir uno o varioscentésimos de un número.El Porcentaje es un caso particular de proporcionalidad Directa, en que uno de los términos de la proporción es 100, lo que resultade comparar una parte con un todo.Para el cálculo del tanto por ciento consideraremos tres casos.Caso I: ¿Cuál es el tanto por ciento de un número? Ejemplo: ¿Cuál es el 20% de 300? 300  100% x  20% 300 100  Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones: x 20 100 x  300  20 100 x  6.000 x  60Caso II: ¿Qué tanto por ciento es un número de otro? Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento es 30 de 800? 800  100% 30  x% 100 800  Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones x 30 800 x  100  30 800 x  3.000 x  3,75 % Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 30
  • 31. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Caso III: ¿De qué número a es el b%? Ejemplo: ¿De qué número 80 es el 5%? x  100% 80  5% x 100  Utilizando el Teorema Fundamental de las Proporciones: 80 5 5 x  80  100 5 x  8000 x  1.600Consideremos dos situaciones que se presentan con frecuencia:1. Aumento de un número en un cierto porcentaje Ejemplo: Aumentar 7.500 en un 19%  19  7.500  1    100  7.500  1,19  8.9252. Disminución de un número en un cierto porcentaje Ejemplo: Disminuir 63.000 en un 5%  5  63.000  1    100  63.000  0,95  59.850Hay expresiones que presentan ciertas características:Propiedad 1:El a % de b es igual al b % de a.Ejemplo: El 20% de 70 es igual al 70% de 20 70 100  El 20% de 70 es: x 20 x  14 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 31
  • 32. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 20 100  El 70% de 20 es: x 70 x  14Propiedad 2:El b % del c % del d %....................de “a” es:  b  c  d  ................          a  100  100  100       Ejemplo: El 15% del 12% del 9% del 4% de 3.000 es: 0,150,120,090,04  3.000  0,194Propiedad 3:Variación Porcentual, es la razón entre la diferencia del valor final al valor inicial, al valor inicial, expresada porcentualmente V f  Vi   100 . ViEjemplo:El I. P. C del mes de Febrero fue de un 1,2% y el IPC de Marzo del mismo año 1,3% Determine la variación porcentual. 1,3 1,2   100  8,33% 1,2Problemas Resueltos:1. En un centro comercial por fin de temporada todos los artículos son rebajados en un 20%. Después de un mes todos los artículos vuelven a rebajarse en un 10%.Si originalmente un pantalón cuesta $9.000. a. ¿Cuanto vale después de la primera liquidación? b. ¿Cuanto vale después de la segunda liquidación? c. ¿La oferta sería la misma si originalmente todos los productos hubiesen sido rebajados en un 30%? Solución: a. 9.000  0,80  $7.200 b. 7.200  0,90  $6.480 c. 9.000  0,70  $6.300 La oferta sería diferente ya que se están aplicando disminuciones sobre bases distintas.2. El precio de un equipo de música es de $250.000 si este se cancela al contado. Es posible cancelar a crédito en 10 cuotas de $28.500. ¿En que tanto por ciento aumenta el precio del televisor si se compra a crédito? Solución: La diferencia de precio entre la compra a crédito y contado es : 285.000 – 250.000 = $35.000, por lo tanto: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 32
  • 33. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 250.000 100  35.000 x x 14% de aumento3. Un comerciante compra un producto en $250.000 la unidad, precio neto, pero desea obtener una ganancia del 8% sobre el precio neto. Determine el precio de venta al público.Solución: Al precio neto agregamos la ganancia y luego el I.V.A. 250.000  1,08  $270.000 270.000  1,19  $321.300 Pr ecio venta público : $321.3004. Por un trabajo realizado, Ud. recibe $750.000, los Cuáles son cancelados mediante boleta de honorarios, legalmente, se le retiene un 10%, calcule la retención. $750.000  90% $x  100% 750.000 90  x 100 x  $833.333 Por lo tan to se le retiene : 833.333  750.000  $83.333Clase de Taller.Resuelva los siguientes problemas, en forma individual o en forma grupal:1. Utilidades anuales correspondientes a $40.000.000 serán repartidas entre tres socios A, B y C de modo que: A recibirá el 38% del monto total, B recibirá el 70% de lo de A, más $2.000.000 y C recibirá lo restante. ¿Cuanto recibirá cada uno? Respuesta: A: $15.200.000 B: $12.640.000 C: $12.160.0002. En un centro deportivo, se renuevan los siguientes implementos deportivos: 5 trotadoras, 4 bicicletas hidráulicas dobles y 2 bancas con pesas. Si cada trotadora cuesta $420.990, cada bicicleta hidráulica doble $97.990 y cada banco con pesas $69.990. Determine el total a cancelar si por pago al contado, le efectúan un descuento de un 15%, agregando además un 19% de I.V.A Respuesta: $2.667.2143. El precio de costo y el precio de venta de un artículo están en la razón 13: 17. Si la ganancia fue de $18.500. ¿Cuál fue el precio de venta del artículo? ¿Cuál fue el porcentaje de ganancia? Respuesta. Precio de Venta: $78.625 Porcentaje de ganancia: 30,77%4. En la permanente discusión, en una empresa si los hombres o las mujeres presentan mayor cantidad de inasistencias, se realizó una investigación, la que en un día dio la siguiente información: El día investigado asiste el 80% de los empleados, habían solo 210 mujeres, que corresponden al 70% del total de mujeres. Si el 30% de los empleados de esta empresa son mujeres. a. ¿Cuantas mujeres hay en la empresa? b. ¿Cuál es el total de empleados de esta empresa? c. ¿Cuantos hombres faltaron ese día? Respuesta: a. 300 mujeres b. 1.000 mujeres c. 110 hombres Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 33
  • 34. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 13 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Refuerzan aprendizajes esperados, de las clases 1 Reforzamiento Evaluación Nacional Estandarizada de a 12, preparación Evaluación Nacional los aprendizajes esperados de las clases 1 a 12Resolver en forma grupal o individual, los siguientes problemas, en preparación de la primera Evaluación Nacional1. Un vendedor viajero recorrió en su último viaje 3.360 kilómetros, viajando por todo Chile, gastando en total 160 litros de bencina. Si hubiese recorrido 210 kilómetros. ¿Cuanta bencina hubiese ocupado? Respuesta: 10 litros2. En una fábrica trabajan 35 hombres y 12 mujeres, al final de año se retiran 1 7 de los hombres y 1 3 de las mujeres, en busca de nuevas perspectivas económicas. Al año siguiente se contratan 4 hombres y 3 mujeres.¿ Cuál es la cantidad total de actual de trabajadores en la empresa? Respuesta: 45 trabajadores3. Para la instalación y puesta en marcha, de un equipo de refrigeración, la cuarta parte del tiempo se utiliza en la planificación para la ubicación del equipo; la sexta parte del tiempo en la instalación física del equipo y la novena parte del tiempo se destina a una marcha blanca ¿Qué cantidad del tiempo restante le quedará para atender otras tareas? 17 Respuesta: 36 7 14. Un hombre puede hacer un trabajo en 18 días ¿Qué parte del trabajo puede hacer en 5 días? 36 3 192 Respuesta: 6555. En el sitio Mapcity de Internet, se establece que la razón de las distancias entre 2 puntos es de 1cm. por 1.000 m. Si en pantalla se puede observar una distancia de 3,5 cm. entre 2 puntos ¿Cuál es la distancia real en kilómetros? Respuesta: 3,5 kilómetros6. Las pruebas de calidad de una nueva pintura han permitido evaluar su poder cubridor de 30 m 2 por galón. ¿Cuántos galones serán necesarios para pintar 60 paneles de 2 metros x 3 metros cada uno? Respuesta: 12 galones7. Cuarenta trabajadores han levantado una torre de 15 pisos en 250 días, si se quiere levantar una torre de 10 pisos con los mismos trabajadores. ¿Cuántos días demorarán? Respuesta: 166,67 días8. El volumen V de madera útil que produce un tronco de cierta especie de árbol es directamente proporcional a su altura h y al cuadrado de su diámetro d. Si un tronco de 10 metros de altura y 20 centímetros de diámetro produce 24 decímetros cúbicos de madera, con estas unidades, determine la constante de proporcionalidad. Respuesta: k  0,006 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 34
  • 35. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20099. Una obra cuyo presupuesto inicial alcanza la cifra de $150.000.000 ha requerido un aumento en consideración al ítem mayor obra por una cifra de $55.000.000 ¿En que porcentaje aumento el presupuesto? Respuesta: 36,67% de aumento10. Los estudios revelan que construir un edificio de 6 pisos, requiere 18 día por piso. Si la tabla muestra el estado de avance en porcentaje de cada piso, determinar el número de días que faltan para terminar la obra. PISO % DE AVANCE 1 100 2 100 3 100 4 89 5 35 6 0Respuesta: 32 díasCLASE 14 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Evaluación Nacional Estandarizada de los aprendizajes esperados de las Desarrollan evaluación sumativa clases 1 a 12.CLASE 15 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican potencias, sus componentes, -Potencias: propiedades y operatoria Operatoria Propiedades Fundamentales Potencias de exponente fraccionario o decimal Potencias de exponente negativo - Identifican raíces, sus componentes, propiedades Raíces: y operatoria Operatoria Propiedades fundamentales Raíces de índice fraccionario o decimalPOTENCIAUna potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente. Exponente Se lee: 3 . 3 . 3 . 3 = 34 Base tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuartaEl factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa quesi se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo Cuál dará como resultado 64 porque el 2se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64). Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 35
  • 36. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Ejemplos:2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.32=3·3= 9 El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.Una potencia puede representarse en forma general como: an = a · a · a · ........Donde: a = base n = exponente “n” factores igualesRecuerde que una de las aplicaciones de las potencias es la descomposición factorial de un número.PROPIEDADES DE POTENCIASa. Producto de potencias de igual basePara multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.Ejemplo: 2  2 = (2x2x2) x (2x2x2x2x2) = 2 8 = 2 3+5 (como la base (2) es la misma, los exponentes se suman) y da como resultado = 3 52 3+5 = 256Si m y n son números naturales, entonces:x m  x n  x mnb. División de potencias de igual basePara dividir potencias que poseen la misma base diferente de cero, se conserva la base y se restan los exponentes.Ejemplo: 2  2  = (2x2x2x2x2)  (2x2) =2 5-2 = 2 3= 8 5 2 xmSi m y n son enteros, entonces: n  x mn xc. Potencia de un productoSi queremos realizar la siguiente operación: (2x3) 3 observamos que (2x3) 3 = (2x3) x (2x3) x (2x3) = (2x2x2) x (3x3x3) = 2 3 x 3 3.Para calcular el resultado también podemos multiplicar (2x3) y elevar el producto al cubo(2x3) 3 = 6 3 = 216 O bien, elevar al cubo cada uno de los factores, que sería: 2 3 = 8 y 3 3 = 27 y luego, multiplicar el resultado: 8 x 27 =216.Si m y n son números naturales:  x  y n  xn  yn Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 36
  • 37. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009d. Potencia de un cocienteLa potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor.Tenemos que elevar el dividendo y el divisor a dicha potencia. Ejemplo: (6:2) 2 = 6 2: 2 2 = 9; Porque: (6:2) 2 = 3 2 = 9Si m y n son números naturales, entonces: n x  xn   n ( y  0) y  ye. Potencia de una potenciaPara elevar una potencia a otra potencia, se conserva la misma base y luego se multiplican los exponentes.Ejemplo:(2 2) 3 = 64; porque: 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64; o también podemos multiplicar los exponentes: es decir, 2 x 3 y, luegoelevar la base a dicho resultado. (2 2x3) = 2 6= 64Si m y n son números naturales, entonces:x  m n  x m nPotencia de un exponente cero y negativoExponente cero:Por definición matemática, todo número real distinto de cero, elevado al exponente cero es igual a 1.x 0 1 ( x  0)Exponente negativo:Si n es un número entero negativo y x es distinto de cero 1 x n = xnPor ejemplo a2 / a4 = a2 - 4 = a-2 = 1 / a2o bien (a x a) / (a x a) (a x a) = 1 / (a x a) = 1 / a2Todo número real distinto de cero y elevado a un exponente negativo, es igual a la fracción de 1 dividido por dicho número elevado a suexponente con signo positivoA la inversa, toda fracción, cuyo denominador es un número real distinto de cero y está elevado a una potencia con signo negativo, esigual a dicho número elevado a la misma potencia con exponente positivohttps://www.u-cursos.cl/ieb/2008/1/0352/227101/material_docente/objeto/8401 - Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 37
  • 38. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Radicales (Raíces)Raíz enésima de un número de un número real:Si n es un número natural y a y b sinnúmeros reales tales que a  b , entonces se dice que a es la raíz enésima de b. nPara n = 2 y n =3, las raíces se conocen como raíces cuadradas y raíces cúbicas respectivamente. Ejemplos de raíces: 2 y 2 son raíces cuadradas de 4, ya que (2) 2 y 2 2  4 4 es una raíz cúbica de  64 , ya que (4) 3 =  64Número de raíces de un número real b Índice b Número de raíces n par b>0 Dos raíces reales (una raíz principal) n par b<0 Sin raíces reales n par b=0 Una raíz real n impar b>0 Una raíz real n impar b<0 Una raíz real n impar b=0 Una raíz real nLa notación b , llamada radical, denota la raíz enésima principal de bEl símbolo es el signo radical, y el número b dentro del signo radical es el radicando. El entero positivo n es el índice del radical.Para las raíces cuadradas(n =2), se escribe b en vez de 2 bEjemplo 1:a. Determine el número de raíces de cada número real. i) 25 en este caso b >0, n es par y existe una raíz principal que es 5 ii). 3  27 en este caso b < 0, n es impar y existe una raíz que es – 32. Evaluar: a. 6 64 = 2, ya que 2 6  64 4 2 b.    25 5Exponentes racionales y radicales 11. Si n es un número natural y b es un número real, entonces: b n n b 1 Si b < 0 y n es par, b n no está definido Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 38
  • 39. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Ejemplo: 1 9 2  9 3 1 (8) 3 3 8  22. Si m es un número racional reducido a su mínima expresión (con m, n, naturales), entonces: n m 1 m b n  (b n ) m o en forma equivalente b n  n b m siempre que exista Ejemplo: 2 1 (27) 3  (27 3 ) 2  3 2  9Expresiones que comprenden exponentes racionales negativos: m 1a n  m a0 n aEjemplo: 5 1 1 1 14 2  5    4 2 ( 4) 5 2 5 32Propiedades de los radicalesSi m y n son números y a y b son números reales para los que existen las raíces indicadas, entonces:1. ( n a )n  aEjemplo: 7 5 5 72. n a b n a n bEjemplo:3 216  3 27  8  3 27  3 8  3  2  6 n a a3. n  n b b Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 39
  • 40. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Ejemplo: 3 27 27 3 3  3  8 8 24. m n a  m n a Ejemplo: 3 64  32 64  6 64  2Suma y resta de expresiones con radicalesLas expresiones con radicales con el mismo índice y el mismo radicando se llaman radicales iguales o semejantes. Por ejemplo3 2 y 5 2 son radicales semejantes, no obstante 2 5 y  4 7 no son radicales semejantes, porque los radicandos sondiferentes2 5 y 33 6 no son radicales semejantes, porque los índices son diferentes.La suma o la resta de radicales semejantes es otro radical semejante a los dados,cuyo coeficiente es igual a la suma o resta de los coeficientes de los radicales sumados o restados.Ejemplos;a. 12 5  3 5  15 5b. 27  12En nuestro ejemplo, tenemos radicales con el mismo índice, pero radicandos diferentes, entonces, utilizando las propiedades de losradicales, tenemos: 27  12  93  433 3 2 3 3Las raíces no son distributivas respecto de la suma y resta: ab   a bEjemplo: 64  36   64  36 ¡Esto está incorrecto!Lo correcto es 64  36  100  10 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 40
  • 41. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Producto y Cuociente de RadicalesEl producto de dos radicales, con el mismo índice es igual a otro radical cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a losproductos de los coeficientes y radicando de los factores.bn a  d n c  b  d n a  cEjemplo: 15 15 75 75 62 5 3  6 5 6  6  75  3 75 4 4 4 4 2El cuociente de dos radicales con el mismo índice, es igual a otro radical, cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, alcuociente de los coeficientes y radicándolos de los radicales dividendo y divisor.bn a b n a dn c d n Ejemplo. 2 5 2 5: 3 7  3 7RACIONALIZACIÓNOperación que consiste, en eliminar el término radical del denominador de una fracción.Los casos más comunes, en que se presenta la racionalización son tres: - Caso monomio con raíz cuadrada - Caso monomio con raíz de cualquier índice. - Caso binomio con suma o con resta pCaso 1.- Racionalización de fracciones de la forma a Se amplifica por el radical del denominador. 4 4 6 4 6 2 Ejemplo:     6 6 6 6  6 2 3 pCaso 2.- Racionalización de fracciones de la forma n ak Se amplifica por una raíz de igual índice, y se completa el exponente de la potencia dada. 6 3 6 6 22 6 2 Ejemplo:     33 2 6 6 4 6 2 6 6 16 2 2 2 pCaso 3.- Racionalización de fracciones de la forma a b Se amplifica por el conjugado del término del denominador. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 41
  • 42. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Ejemplo: 5 3 5 3 5 3 5  2 15  3 8  2 15 2( 4  15 )       4  15 5 3 5 3 5 3 53 2 2CLASE 16 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Operan con potencias -Operatoria de Potencias y Raíces - Operan con raícesResolver en forma grupal o individual, los siguientes problemas:1. Calcule el valor de: 4 a. 2 Respuesta: 16 3 b. (2) Respuesta: - 82. Simplifique cada expresión: 2 5 a. (3 ) Respuesta: 59.049 b. ( x ) 11 5 Respuesta: x 553. Simplifique cada expresión. Suponga que ningún denominador es cero a. x 2 y  3 Respuesta: x6  y3 2  x3  x6 b.  4 y   Respuesta: 8   y4. Escriba cada expresión sin exponentes negativos 1 a. x 5  x 3 Respuesta: x2 6 b. ( x 3 ) 2 Respuesta: x5. Simplifique cada expresión a5 2 a. Respuesta: a a3 (x 2 )3 b. Respuesta: 1 (x3 )2 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 42
  • 43. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20096. Escriba cada expresión sin exponentes negativos y determine su valor 4 3 625 .  Respuesta: 5 817. Simplificar la expresión: 3  a 2  b 3   2 3 4  a a b     1Respuesta: a 21  b 3 58. Determine el número de raíces de 0 Respuesta: Una raíz9. Evaluar: a. 5  32 Respuesta: - 2 8 2 b. 3 Respuesta: 27 310. Simplifique las siguientes expresiones: 2 a. 27 3 Respuesta: 9 3 1 4 1 b.   Respuesta:  16  811. Simplificar: 2 12  3 48  3 3 Respuesta:  5 3 Respuesta:  2  2 3 3 312. Simplificar 3 16  3 54  3 24 20 2 3513. Racionalizar: 7 Respuesta: 7 1 2 114. Racionalizar: 1 Respuesta: 2 3 60 3 5 615. Racionalizar: Respuesta: 3 18 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 43
  • 44. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 17 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven expresiones aplicando concepto de - Logaritmos: logaritmo Definición de logaritmo - Calculan valor numérico de expresiones que incluyen Sistemas de logaritmos: Logaritmos vulgares y logaritmos decimales naturales - Calculan expresiones y operan con logaritmos Propiedades de los logaritmos naturales - Identifican y operan con propiedades de los logaritmos - Identifican potencias, raíces y logaritmos como operaciones inversas.Se denomina logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.log a x  b  a b  x (a  0)Se lee: “el logaritmo en base a del número x es b”, o también: “el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base”Ejemplos: 1. Escriba en forma logarítmica: 2  8 Solución: 2  8  log 2 8  3 3 3 2. Escriba en forma exponencial log 5 25  2 Solución: log 5 25  2  5  25 2Los logaritmos tienen diversas aplicaciones en las áreas de la economía, la tecnología, la arquitectura y fenómenos socioeconómicos,por ejemplo, es posible realizar cálculos relacionados con cálculo de PH; Magnitud de terremotos, intensidad del sonido, presiónsanguínea, presión barométrica etc.Los dos sistemas de logaritmos más utilizados son el sistema de los logaritmos comunes, cuya base es el número 10, y el sistema delogaritmos naturales, cuya base es el número irracional e  2,711828....... Además, la práctica común es escribir log en vez delog10 y ln en lugar de log eCambio de base: la siguiente expresión, permite cambiar de base “b” a base “a”: log a Nlog b N  log a bEjemplo:Dado log 2 5 , cambiarlo a la base 10 y a la base e, compruebe con la ayuda de su calculadora científica que el valor obtenido enambos casos es idénticoSolución: log 5 ln 5log 2 5    2,3219..... log 2 ln 2 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 44
  • 45. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Propiedades de los logaritmos. 1. log a 1  0 2. log a a  1 3. log a a x  x 4. log a (u  v)  log a u  log a v u 5. log a    log a u  log a v v 6. log a (u ) n  n  log a u 1 7. log a n u  log a u nNota: log a (u  v)  log a u  log a v log a u  log a u  log a v log a vLos siguientes ejemplos ilustran las propiedades de los logaritmos. 1. log(2  3)  log 2  log 3 5 2. ln  ln 5  ln 3 3 1 1 3. log 7  log 7 2  log 7 2CLASE 18 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven expresiones aplicando concepto de - Logaritmos: logaritmo Definición de logaritmo - Calculan valor numérico de expresiones que incluyen Sistemas de logaritmos: Logaritmos vulgares y logaritmos decimales naturales - Calculan expresiones y operan con logaritmos Propiedades de los logaritmos naturales - Identifican y operan con propiedades de los logaritmos - Identifican potencias, raíces y logaritmos como operaciones inversas. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 45
  • 46. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Resolver en forma grupal o individual los siguientes problemas: 1. Dado que log 2  0,3010 y log 3  0,4771 , encuentre aproximaciones para el valor de: a. log 9 Respuesta: 0,9542 b. log 2,5 Respuesta: 0,3980 ESTAS APROXIMACIONES SE OBTIENEN SIN CALCULADORA, APLICANDO PROPIEDADES COMPROBAR POSTERIORMENTE CON CALCULADORA. 2. Encuentre el valor de log 4 9 usando logaritmos de base 10: Respuesta: 1,584962501 3. Desarrolle y simplifique las siguientes expresiones: 2 3 a. log 3 x y Respuesta: 2 log 3 x  3 log 3 y x2 1 b. log 2 2x Respuesta: log 2 ( x  1)  x log 2 2 24. En la escala de Richter, la magnitud R de un terremoto está dada por la fórmula: I R  log donde I es la intensidad del terremoto en cuestión e I 0 es la intensidad estándar de referencia. I0 Exprese la intensidad I de un terremoto de magnitud R  5 en términos de la intensidad estándar de referencia. Respuesta: log I  log I 0  55. El volumen relativo de un sonido D de intensidad I se mide en decibeles, donde: I D 10 log e I 0 es el umbral estándar de la audibilidad. I0 Exprese la intensidad I de un sonido de 30 decibeles (el nivel sonoro de una conversación normal) en términos de I 0 Respuesta: 10  I 0 3 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 46
  • 47. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20096. Los logaritmos comunes se utilizan para expresar la acidez de soluciones. Cuanta más ácida sea una solución, mayor es laconcentración de iones de hidrógeno. Esta concentración está indicada en forma indirecta por la escala de pH, o índice de acidez,definida por:     pH   log H  , en donde H  Es el grado de acidez en iones- gramos por litro 7 Encuentre el pH del agua pura, que tiene un grado de acidez de 10 iones gramo por litro Respuesta: 77. La presión sanguínea sistólica normal de un niño se puede aproximar mediante la relación: p  m(ln x)  b , donde p se mide en milímetros de mercurio, x es el peso (en libras), y m y b son constantes. Dado que m = 19,4 y b = 18, determine la presión sanguínea sistólica de un niño que pesa 92 libras. Respuesta: 105,7 milímetros Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 47
  • 48. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 19: APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican y reducen términos semejantes - Expresiones algebraicas : - Realizan operaciones básicas con polinomios: Monomio, Binomio, Polinomio Adición sustracción Productos - Operaciones básicas con polinomios - Desarrollan productos de polinomios, utilizando las - Productos notables: fórmulas de productos notables: cuadrado de binomio, Cuadrado de Binomio producto de una suma por su diferencia. Suma por su diferencia - Factorizan expresiones algebraicas - FactorizaciónEl Álgebra se define como la teoría de las operaciones con cantidades no especificadas.Su preocupación ya no son las cantidades mismas, sino en las operaciones que con ellas puede realizar, o las relaciones queentre ellas puede establecer.En álgebra las cantidades se designan por letras, la que no tienen un valor definido. Las letras son los símbolos que representancantidades y son las que utilizamos en nuestro alfabeto.Expresiones Algebraicas.Se denomina expresión algebraica al conjunto de cantidades numéricas o literales relacionadas entre sí a través de los signos delas operaciones aritméticas. 2a  3b  5c x2 y3 z5Ejemplos de expresiones algebraicas: 2 x, 3  5a, , 2x3  3y 2   3 5 2Término AlgebraicoEs una cantidad numérica o literal o un conjunto de ambos, los que relacionados entre sí por las expresiones de multiplicación y /o división, constituyen, en una expresión algebraica, cantidades separadas de otras.Ejemplos de términos algebraicos: 1 2 y 2  a4 b , 3  x  y, z , 2 , 7 5 3En un término algebraico se distinguen los siguientes elementos: 5 x3 ExponenteSigno Factor literal Factor numérico o coeficiente numéricoNotación:1. En álgebra, el signo multiplicativo (  ) antes de factores literales pueden suprimirse. Por ejemplo:6  a puede escribirse 6a2. El coeficiente numérico 1, en un término algebraico suele quedar tácito. Por ejemplo 1x = x3. Solo el signo positivo (+) del primer término de una expresión algebraica puede obviarse y no se escribe. Por ejemplo: +5a - 3b + 2c 5a - 3b +2cDependiendo del número de términos que posea una expresión algebraica, éstas se clasifican en: 2 2 3a a. Monomios: Es la expresión algebraica que consta de un solo término por Ejemplo:  3 xy, x , 5 ab b. Binomios: Es la expresión algebraica que consta de dos términos Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 48
  • 49. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 1 Ejemplo: a  3b, x 2 y  3z 3 ,  z4 ab c. Trinomios: Es la expresión algebraica que consta de tres términos 1 Ejemplo: a  4b  5c,  3 x  2 y  2 3 4 d. Polinomios: Es la expresión algebraica de más de tres términos 2 2 2 Ejemplo: 5 x  3 x y  x y  3 xy 3 , 5a 3  2a 2 b  4ab 3  b 4  1 4 3 3Términos semejantes:Los términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor literal e igual exponente.Ejemplo 1. Son semejantes a 2a 3 b los siguientes términos: 2 3  7 a 3 b, a b, 5ba 3 5 2 3 4Ejemplo2. Son semejantes a x y z 1 3 2 4  3x 2 y 3 z 4 , y x z ,  5z 4 x 2 y 3 3Reducción de Términos Semejantes:Una expresión algebraica que contiene términos semejantes pueden reducirse a una mínima expresión sumando algebraicamente loscoeficientes numéricos y conservando el factor literal con su respectivo exponente.Problemas Resueltos:Reducir las siguientes expresiones a su mínima expresión.1. 32c+ 5c – 12c = (32+5-12) c = 25 c 1 2 1 12.  a c  5ac 2  a 2 c  10ac 2  ac 2 4 3 5 1 1 1  a 2 c  a 2 c  5ac 2  10ac 2  ac 2 propiedad conmutativa 4 3 5  1 2 1 2   1 2   a c  a c     5ac  10ac  ac  propiedad asociativa 2 2  4 3   5  1 2 74 a c  ac 2 12 5 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 49
  • 50. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 1 2 1 2 4 1 x y  xy 2  x 2 y  xy 2  x 2 y 2 3 3 5 6 1 2 2 1 1 4 x y  x 2 y  x 2 y  xy 2  xy 2 propiedad conmutativa 2 3 6 3 53. 1 2 2 2 1 2   1 2 4 2  x y  x y  x y     xy  xy  propiedad asociativa 2 3 6   3 5  7 x 2 y  xy 2 15Problemas Propuestos:Resolver grupalmente o en forma individual los siguientes problemas propuestosReducir las siguientes expresiones a su mínima expresión:1. 41m 2 w 3 u 4  15m 2 u 3 w 4  37u 4 w 3 m 2  55w 2 m 3u 4  23u 3 w 4 m 2  8u 4 w 3 m 2 Respuesta:  4m w u  38m u w  55m w u 2 3 4 2 3 4 3 2 4 2 3 32.  0,01x 3  0,001x 2  x  x 2  0,001x 3  0,04 x 2 100 1.000 Respuesta: 0,009 x  0.036 x 3 2 3 2 7 13. a b  0,01ba 2  ab 2  0,006a 2 b  0,009b 2 a  ab 2 5 10 8 Respuesta: 0,584a b  0,584ab 2 2Suma de Expresiones AlgebraicasCuando se relacionan cantidades específicas con la adición, el resultado será el mismo independientemente del orden en que sedispongan dichas cantidades.Por una razón práctica, se “agrupan” términos convenientemente utilizando paréntesis. Por lo tanto los paréntesis son signos que seutilizan en álgebra para indicar que los términos que se agrupan pueden ser considerados como una cantidad.La adición de dos o más expresiones algebraicas se realiza suprimiendo los paréntesis y reduciendo términos semejantes.Si en una expresión encerrada en un paréntesis está precedida por un signo ( + ), entonces el paréntesis puede suprimirse sin alterar lossignos de los términos que se encuentran al interior,Un paréntesis precedido por un signo ( - ) puede suprimirse cambiando el signo de cada uno de los términos que está dentro de él.La eliminación de paréntesis en una expresión algebraicaEn una expresión algebraica pueden encontrarse varios paréntesis y de distintas formas. Los de uso común suelen ser: ( ), al quellamamos paréntesis redondo;  , denominado llave; y  al que comúnmente se le conoce como paréntesis cuadrado o decorchete. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 50
  • 51. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Problemas Resueltos:Resolver los paréntesis y reducir los términos semejantes 1.   5a  3a   8b  6a   9b  b   Para resolver la expresión señalada, se deben tener presente las reglas de los paréntesis precedidas por (+) ó (-). Una de las formasmas comunes de eliminar los paréntesis es comenzar por aquel paréntesis que está más al interior de los otros. De este modo,sucesivamente, hasta llegar a una expresión sin paréntesis.  5a  3a   8b  6a   9b  b Resolviendo el paréntesis ( ) queda:  5a  3a  8b  6a  9b  b Resolviendo el paréntesis de llave { } se tiene:  5a  3a  8b  6a  9b  b Resolviendo el paréntesis de corchete [ ] se obtiene:5a  3a  8b  6a  9b  b Reduciendo Términos Semejantes, nos queda finalmente:14a  2b a b  a b  a  b    a b   a b 2.                 2 3  4 6  6  2    3 2   4 3   Resolviendo los paréntesis ( ) queda.  a b a b a  b   a b a b                   2 3 4 6 6  2  3 2 4 3Resolviendo el paréntesis { } queda. a b a b a b  a b a b               2 3 4 6 6 2  3 2 4 3Resolviendo los paréntesis cuadrados [ ] queda: a b a b a b a b a b           2 3 4 6 6 2 3 2 4 3Reduciendo Términos Semejantes nos queda finalmente: a b  2 2 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 51
  • 52. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Problemas Propuestos:Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestosResolver los paréntesis y reducir términos semejantes: 1. y  0,01x  0,001 y    0,1 y   0,01 y  0,1x   0,01 y  0,01x  x Solución: 1.081y  0,9 x 2.   4  5 x  2 y     8 x  6 y  3  4 x  9 y  7  18 Solución: 18  x  yPara restar Expresiones Algebraicas, se escribe el Minuendo con sus propios signos y a continuación el Sustraendo con los signoscambiados y se reducen los términos semejantes.Problemas Resueltos:1. Dado P  4 x  2 x  6 P2  6 x 3  7 x 2  3 x  4 3 1 y Calcular P  P2 1 Solución: Se escriben los polinomios dispuestos verticalmente de forma tal que los términos semejantes queden uno bajo el otro. P1  4x 3  0x  2x  6  P2  6 x 3  7 x 2  3x  4 Tenemos que P  P2  P  (  P2 ) , es decir debemos sumar el opuesto del sustraendo 1 1 O sea, si P2  6 x  7 x  3 x  4 3 2 Entonces  P2   (6 x  7 x  3 x  4) 3 2  P2   6 x 3  7 x 2  3 x  4 P1  4 x 3  0 x 2  2 x  6 Luego:  () P2   6 x 3  7 x 2  3x  4 Sumando P  (  P2 )   2 x  7 x  5 x  2 3 2 1 En una forma más mecánica, bastaría con cambiar los signos a cada uno de los términos del sustraendo y luego reducir los términos que son semejantes, considerando los signos contenidos entre paréntesis.2. Sea M  6 x  3 x  6 N   4 x 3  8x  1 2 y Solución: M  0 x 3  6 x 2  3x  6 ( ) () ( ) ( ) (  ) N   4 x  0 x  8x  1 3 2 M  N  4 x 3  6 x 2  11x  7 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 52
  • 53. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Problemas Propuestos:Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos:Dados los siguientes Polinomios:P : 5 x 3  3x  8Q :  7 x 4  5 x 3  2 x 2  3 x  12R :  9 x 3  7 x 2  15S : 10 x 4  6 x 2  11x  17T : 4 x 4  x 3  13 x  11. Calcular: P  Q  S  T Respuesta: 7 x  9 x  8 x  8 x  12 4 3 22. Calcular: (Q  R )  T Respuesta:  11x 4  3 x 3  9 x 2  10 x  43. Calcular:( S  P)  ( T  S ) Respuesta: 4 x  6 x  10 x  9 4 3Multiplicación de Expresiones AlgebraicasEn la multiplicación de expresiones algebraicas intervienen los factores numéricos y literales.Cada término es, en esencia, un producto3abfactoresRecordemos las propiedades de la multiplicación:ConmutatividadAsocatividad : (Propiedad muy recurrida en la multiplicación algebraica). Esta propiedad permite multiplicar más de dos factores.Distributividad de la multiplicación respecto de la adición, la Cuál permite multiplicar expresiones de más de un término.Multiplicación de potencias de igual base y exponente naturalPara multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.Ejemplo: x  x  x  x 5 8 14Multiplicación de MonomiosPara multiplicar monomios por monomios se multiplican los coeficientes numéricos y luego los factores literales.Se debe tener en cuenta que la regla de los signos aplicada a la multiplicación de números enteros rige sin restricción, en lamultiplicación algebraica Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 53
  • 54. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009( a)  (b)   ab( a)  (b)   ab( a)  (b)   ab( a)  (b)   abProblemas resueltos: 1. 7 p  6q Aplicando la propiedad conmutativa: 7 6  p  q 42  pq  42 pq Por asociatividad 2. 4 a b  (  3a b )   12a b 2 33 4 2 3  4  8 7 3.  x y   x4   x y 3  5  15 4.   (9r 4 s 3 )  (5r 2 s 4 )   2s 3   90r 6 s 10Multiplicación de un Monomio por PolinomioPara multiplicar un monomio por un binomio, trinomio o polinomio, se utiliza la propiedad distributiva. a  (b  c  d )  a  b  a  c  a  d monomio trinomioPara multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.Problemas resueltos: 4 x  ( 3 y  8 x  xy  1 )  12 xy  32 x 2  4 x 2 y  4 x1. 12 xy 32 x 4x 2y 4 x  3   2  6 21 2.   a    b  7  ab  a  11   5  55 11 3.  6m r   5m 3 5 2   2m 3 r 4  r 3  1  30m 5 r 5  12m 6 r 9  6m 3 r 8  6m 3 r 5Una expresión puede contener más de un producto de monomio por polinomio. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 54
  • 55. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Problemas Resueltos: 1.  3a (4c  2b )  5b ( a  c)  2c (b  a ) a. Se resuelve cada multiplicación:  12ac  6ab  5ab  5bc  2bc  2ac b. Se reducen los términos semejantes:  10ac  11ab  7bc 2. 5 x y ( 3 x  2 y  1 )  ( 4 xy  3 x  5 x )   2 xy 2 2 a. Se resuelven los productos: (15 x 3 y  10 x 2 y 2  5 x 2 y )  (8 x 2 y 2  6 x 3 y  10 x 2 y ) b. Se eliminan los paréntesis y se reducen los términos semejantes: 15 x 3 y  10 x 2 y 2  5 x 2 y  8 x 2 y 2  6 x 3 y  10 x 2 y 9 x 3 y  18 x 2 y 2  5 x 2 yPara multiplicar un polinomio por otro polinomio se multiplican cada término de la primera expresión por cada término de la segunda. Lasuma algebraica de los productos parciales así formados da el producto completo.Este procedimiento para multiplicar polinomios se conoce como distribución del producto.Problemas Resueltos:Multiplicar los siguientes productos: 1. ( 5a  3b) ( 10a  4b)  50a 2  20ab  30ab  12b 2  50a 2  10ab  12b 2 2. ( 7 x  4 y  6 z ) ( x  3 y  5 z )  7 x 2  21xy  35 xz  4 xy  12 y 2  20 yz  6 xz  18 yz  30 z 2  7 x 2  25 xy  41xz  12 y 2  38 yz  30 z 2 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 55
  • 56. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Problemas PropuestosResolver grupalmente los siguientes problemas propuestos:Resolver los siguientes productos.1. 3a 3b 2 (  5a 5  10b 4  a 2 b 3 ) Re spuesta :  15a 8 b 2  30a 3 b 6  3a 5 b 5 4 4 2 3 3 4 1 2 2.  x n c  5 x c  c  x 3 n 3 c 3  10  5  4  1 4 Re spuesta :  4 x 7 n 2 c 7  x 4 n 2 c 5  x 7 n 5 c 6  8 x 4 n 2 c 3 5 5 3 2  3 2 3.  a  b  1  b  a  1 4 3  4 3  145 1 17 1 17 Re spuesta : ab  a 2  a  b 2  b  1 144 2 12 2 124. ( x  y ) ( x 2  xy  y 2 ) Re spuesta : x 3  y 3Existen algunos productos binomiales en los Cuáles, por la mecánica de su desarrollo, es posible deducir leyes de formación general,las que hacen más fácil su resolución. Esto elude el desarrollo término a término y la reducción de términos semejantes.A los productos con estas características se les conoce como Productos Notables. 1. Productos de la suma de dos términos por su diferencia ( a  b)  ( a  b)  a 2  b 2 Problemas Resueltos: 1. ( x  11)  ( x  11)  x 2 112  x 2  121 2  3   3  3  15 z  x   15 z  x   15 z    x  2  4   4  4  9 2  225 z 2  x 16 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 56
  • 57. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Problemas Propuestos Resolver grupalmente o en forma individual los siguientes problemas propuestos.  7c   7c  1. 13 pq 2 r 3    13 pq 2 r 3    2  2 49c 2 Solución : 169 p 2 q 4 r 6  4  x y  x y 2.        2 3 2 3 x2 y2 Solución :  4 9 2.. Cuadrado del binomio a  b 2  a 2  2ab  b 2Problemas Resueltos. 1. (3  x) 2  3 2  2  3  x  x 2  9  6x  x 2 2 2  3  3 2.  8 pq    8 pq   2  8 pq   3   2  7 7 7 48 9  64 p 2 q 2  pq  7 49Problemas Propuestos Resolver grupalmente o en forma individual los siguientes problemas propuestos. 2  2 1.  3a 2 b    5 12 3 4 Solución : 9a 4 b 5  a b  a2 5 25 2 3 1  2.   xyz  4 4  9 3 x2 y2 z 2 Solución :  xyz  16 8 16 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 57
  • 58. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Factorización de Expresiones AlgebraicasLa factorización de un número consiste en descomponerlo en un producto de dos o más factores.Ejemplo. La factorización del número 48 es. 48  6  8 48  3  2  8 48  3  2  2  4Los números que carecen de una descomposición en factores, a no ser que sea por 1 y por si mismo se denominan Números Primos-Ejemplo: La factorización del número 3 es 3  1 y es la única descomposición.Los números no primos se llaman Compuestos y por lo tanto, factorizables. 16  2  8Ejemplo. 16  2  2  4 16  2  2  2  2  factores primosLos términos algebraicos también pueden ser descompuestos en sus factores 4x3  2  2  x  x  xEjemplos: 27a 2b 2  3  3  3  a  a  b  bFactor común:En una Expresión Algebraica es posible encontrar factores que sean comunes a cada término de ella. Estos pueden ser numéricos oliterales o ambos a la vez.Ejemplos.1. 2a  2b  2  a  2  b factor común numérico dos2. 3 xy  2 xz  3  x  y  2  x  z factor comun literal a3. 5 x 2 y  5 x 2 z  5  x 2  y  5  x 2  z factor común mixto : numérico y literal 5 x 2Factorización es la técnica algebraica que consiste en dar forma de producto a un polinomio dado. Este proceso es el inverso de ladistributividad.Problemas Resueltos: 1. Factorizar el siguiente binomio: 3x  3 y  3  x  3  y De acuerdo con la propiedad distributiva de la multiplicación podemos sacar factor común fuera de un paréntesis, en la forma: 3  ( x  y ) , se lee 3 factor común de a-b. 2. Factorizar el siguiente trinomio. 3a  5ab  2ac  3  a  5  a  b  2  a  c factor común : a luego : 3a  5ab  2ac  a  (3  5b  2c) Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 58
  • 59. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 3. Factorizar el siguiente trinomio: 81x 3 y 2  54 x 4 y 3  27 x 5 y 4Factor común entre los coeficientes numéricos: Se busca el máximo común divisor (M.C.D) entre ellos.El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es la mayor expresión que divide a cada uno de ellos sin que quedenresiduos, o sea residuo igual a cero.Son divisores de 81:  , 3 , 9, 27, 81  1Son divisores de 54:  , 2, 2, 6, 9,18, 27, 54 1Son divisores de 27:  , 3, 9, 27 1Por lo tanto el máximo común divisor entre 81,54 y 27 es 27 3 2 4 3 5 4El máximo común divisor de: x y ; x y ; x y es x 3 y 2 ya que x 3 es la máxima potencia de x que divide ax 3 , x 4 , x 5 ; y 2 es la mayor potencia de y que dividirá ay 2 , y 3 e y 4 , por lo tanto al factorizar el trinomio: 81x 3 y 2  54 x 4 y 3  27 x 5 y 4 obtenemos:27 x 3 y 2  (3  2 xy  x 2 y 2 )Problemas PropuestosResolver grupalmente los siguientes problemas propuestos:Factorizar las siguientes expresiones. 1. x 2 y 3 z 4  x 3 y 5 z 6 Re spuesta : x 2 y 3 z 4 (1  xy 2 z 2 ) 2. 8a 2 b 3 c  32a 3b 5  40a 5 b 4 c 3 Re spuesta : 8a 2 b 3 ( c  4ab 2  5a 3bc 3 ) 1 7 6 1 6 8 1 9 7 3. p q  p q  p q 5 20 30 1  1 1  Re spuesta : p 6 q 6  p  q 2  p 3 q  5  4 6  4. a  52 x  a  53 y  a  5z Re spuesta : a  52 x  3 y  z Factorización de trinomios de la forma x 2  bx  c x 2  bx  c  ( x  p) ( x  q) tal que p  q  bEn general: y p q  c Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 59
  • 60. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Problemas Resueltos: Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos: 1. x 2  25 x  150 Se deben encontrar dos números cuyo producto sea 150 y cuya suma sea 25, estos son 10 y 15 por lo tanto: x 2  25 x  150  ( x  10)( x  15) 2. a 2  13a  48 Las parejas de enteros, cuyos productos resultan 48: 12 y 4; 6 y 8; 24 y 2; 16 y 3; 48 y 1. De éstas, las que suman algebraicamente –13 ( si el número es negativo, los números serán de distinto signo) son –16 y 3 a 2  13a  48  a  16a  3 3. x 2  1,1x  0,24 Debemos encontrar dos números tal que el producto de ellos sea 0,24 y la suma 1,1, estos son: 0,3 y 0,8 x 2  1,1x  0,24  ( x  0,3) ( x  0,8 )Problemas Propuestos Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos: Factorizar los siguientes trinomios cuadráticos: 1. t 2  23t  132 Re spuesta : (t  12) (t  11) 33 2 3. r 4  r 2 2. k  2k  15 4 2 4 Re spuesta :  r 2   r 2  8 Re spuesta : (k 2  5) ( k 2  3)  1  4 7 2 4. z 2  z 15 15  2  1 Re spuesta :  z    z    3  5Diferencia de cuadrados:( a 2  b 2 )  ( a  b) ( a  b) Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 60
  • 61. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Problemas PropuestosFactorizar: 1. x 2  81  x 2  92  ( x  9) ( x  9 ) 2. 25  49r 2  5 2  (7 r ) 2  (5  7 r ) (5  7 r ) 3. a 2 b 2 c 2 _ 0,49 (abc) 2  (0,7) 2 (abc  0,7)(abc  0,7)Problemas PropuestosResolver grupalmente los siguientes problemas propuestos: 1. x 2 y 2  2.500 Re spuesta : ( xy  50) ( xy  50) 2. 4a 4 x 6  25b 6 y 4 Re spuesta : 2a 2 x 3  5b 3 y 2 (2a 2 x 3  5b 3 y 2 ) 9 2 v2 4. u  3. 16 x 2 y 2  64a 2 b 2 64 100 Re spuesta : 4 xy  8ab 4 xy  8ab  3 v  3 v Re spuesta :  u     u   8 10   8 10 Trinomios cuadrados perfectos:El trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo del cuadrado de un binomio. Por lo tanto se factoriza como tal.Un trinomio se advierte como cuadrado perfecto si sus términos extremos son los cuadrados de dos términos y el término medio el dobledel producto entre ellos.a 2  2ab  b 2  (a  b) 2 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 61
  • 62. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Problemas Resueltos 1. x 2  10 x  25  x 2  10 x  5 2  ( x  5) 2 Observe que el doble producto de 5x = 10x. 2. 16  80 xy  100 x 2 y 2  4 2  80 xy  (10 xy ) 2  (4  10 xy ) 2 4 4 3.  n  n2 9 3 2 2 4     n  n2 3 3 2 2     n 3 Problemas Propuestos Resolver grupalmente los siguientes problemas propuestos: 1. 289 x 2  374 xy  121 y 2 Re spuesta : (17 x  11 y ) 2 2 1 2. x 2 y 2  xy  7 49 2  1 Re spuesta :  xy    7 3. 0,0009 p 2  0,0006 pq  0,0001q 2 Re spuesta : 0,03 p  0,01q  2 4 2 8 4 4. a  ab  b 2 9 15 25 2 2 2  Re spuesta :  a  b  3 5  Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 62
  • 63. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 20 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Operan expresiones algebraicas con exponente, - Operatoria con expresiones algebraicas radicales y logaritmos, aplicando sus propiedades y - Evaluación de expresiones algebraicas teoremas. - Resolución de problemas y operatoria - Calculan, con ayuda de calculadora científica, el valor contextualizados. numérico de expresiones numéricas y algebraicas con radicales, potencias y logaritmos aplicando sus propiedades. - Resuelven problemas relacionados con la especialidad, aplicando diferentes tipos de números, operatoria y forma de expresión.Resolver los siguientes problemas, en forma grupal o individual:1. Escriba la suma del cuadrado de a, con el cubo de b Respuesta: a2  b22. Si cierta casa comercial, vende x refrigeradores al mes y una segunda casa comercial vende ocho menos que una tercera parte de laanterior ¿Cuantos refrigeradores vende la segunda casa comercial? 1 Respuesta: x5 33. Tenía $a y cobré un cheque de $b. Si el dinero que tengo lo utilizo en adquirir (m  2) bienes de un cierto tipo ¿cuanto cuesta cadabien? ab Respuesta: $ m23. En un edificio hay x oficinas. En el segundo piso el doble de oficinas que en el primero, en el tercer piso la mitad de oficinas que en elprimer piso. Escriba una expresión algebraica, que denote el total de oficinas en el edificio.  x Respuesta:  x  2 x    24. Compro (x + 5) bienes a (y + 9) pesos cada uno.¿Cuanto pago por el total? Respuesta. ( x  5)  ( y  9) Pesos5. Si un bien me cuesta $a y otro bien diferente me cuesta $b.¿ Cuanto me costarán x bienes del primer tipo e y bienes del segundotipo? Respuesta: (ax  by )6. Escriba un polinomio que represente el perímetro del rectángulo X+4 X+1 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 63
  • 64. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 Respuesta: 2( x  4)  2( x  1) 7. Escriba un polinomio que represente el volumen del cubo de arista (x+2) metros Respuesta: ( x  2) 38. Se reparten x 2  4 x  5 sacos de trigo en partes iguales entre ( x  1) socios.¿que cantidad de sacos le corresponde a cada unode ellos? Respuesta: x – 5 sacos9. La velocidad, v, de un cuerpo después que ha caído d pies está dada por la expresión v 2  64  d , escriba una expresión que mepermita calcular el valor de v Respuesta: v 8  d 310. La expresión para calcular el volumen de un cubo es V = a , donde a es la arista del cubo, escriba una expresión que permitaobtener el valor de a 3 Respuesta: a = V11. Evaluar la expresión: a 2  3  a  b 2  4a  b  c si a  3 4 b 1 5 y c2 7 1.347 Respuesta: 2.80012. Sabiendo que a2 b 1 c 3 x4 y 6 z 0 Calcular : a  b  c  2  4 c  a   3 c( y  z ) 3 a y 5 Solución : 1 6 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 64
  • 65. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 13. Evaluar la siguiente exp resión , sabiendo que a  5 b 3 c4 d 2 1 1  a b 1 b  c d 32 Solución :  7514. Si x  4 y  1 8. Evalúe la exp resión :  x  4  x 1  5 x 0 )(3 y 2  3 y 1  2 y 0 ) Re spuesta : 8915. Es frecuente que los equipos de oficinas, se deprecien, un equipo con una esperanza de vida útil de N años, que cuesta $C, sedepreciará a un valor de $V en n años, donde n está dado por la fórmula. log V  log Cn  2 log1    NUn computador que cuesta 17.000 unidades monetarias, tiene una esperanza de vida útil de 5 años. Si se ha depreciado a un valor de2.000 unidades monetarias. ¿Cuál es su antigüedad?Respuesta: 4,2 añosCLASE 21 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven ecuaciones de primer grado. - Ecuación de primer grado - Resuelven ecuaciones de segundo grado Resolución - Resuelven sistemas de ecuaciones de primer - Ecuaciones de segundo grado: grado con dos incógnitas Resolución Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Resolución GraficaciónEcuacionesUna de las herramientas mas importantes que nos ofrece el algebra es poder expresar en forma simbólica diversos problemascotidianos y del ámbito profesional o laboral. Estas expresiones a su vez nos permiten conocer las restricciones o Cuálidades que loselementos involucrados en dicha expresión deben tener para que ella se válida. Para conocer estos aspectos estas expresionesalgebraicas se transforman en ECUACIONES, a las Cuáles debemos dar solución, encontrando así la respuesta al problema quedeseamos resolver.Ecuaciones de primer gradoLa igualdad de dos expresiones algebraicas, que se cumple para uno o más valores de la o las variables que intervienen en estasexpresiones, se denomina ecuación algebraica.Estas ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo al máximo exponente que tenga la variable, así se tiene por ejemplo:Ecuación de primer grado: 5 x  2  3x  1 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 65
  • 66. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Ecuación de segundo grado: 3x 2  7  4 x  1Una ecuación se puede representar por una balanza, la cual debe permanecer en perfecto equilibrio durante el desarrollo de laecuación.Por ejemplo: Resolver la ecuación: 3x  2  x  4 3x +2 X-4 Restando 2 en ambos miembros de la igualdad: ECUACIÓN 3x X-6 3x  x  6 ECUACIÓN Restando x en ambos miembros de la igualdad: 2x 6 2x  6 ECUACIÓN Dividiendo por 2 ambos miembros de la igualdad: x 3El ejemplo anterior nos muestra el proceso básico de unaresolución de una ecuación de primer grado. ECUACIÓNEn general se puede decir que esta igualdad no se altera si en cada uno de sus miembros se efectúan la misma operación,Algunas reglas que nos servirán para la resolución de ecuaciones:1º A toda igualdad se le puede agregar o quitar una cantidad sin alterarla, siempre que se haga sobre ambos lados de dicha igualdad. Por ejemplo; todos sabemos que 2 = 1 + 1, si agregamos una unidad a cada lado de la igualdad obtenemos 2 + 1 = 1 + 1 + 1 lo que implica que 3 = 1 + 1 + 1 que también resulta ser verdadero.2º Toda igualdad puede ser multiplicada y/o dividida en ambos lados por Cuálquier número real distinto de 0 manteniéndose la igualdad inalterable.3º Toda ecuación de primer grado con una variable se puede escribir de la forma ax + b Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 66
  • 67. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:  1. 3 x   5 x   x  3  8 x   5 x  9) 3 x   5 x  x  3 8 x  5 x  93x  6 x  3  3x  9 3x  3   9  3 6x   6x 1 3x 2 x 12.   0 5 3 5El mínimo común denominador es 15, por lo tanto: 3x 2x 115   15   15   0 5 3 59 x  10 x  3  0 x  3 0 x3 x 3En muchos casos existen problemas que es necesario conocer el valor de más de una variable o incógnita, para lo Cuál en general,debemos disponer de tantas ecuaciones como variables se deseen conoce, las Cuáles forman en conjunto lo que se denominaSISTEMA DE ECUACIONES.La forma o método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en reducir las ecuaciones de forma tal que se obtenga unanueva ecuación que deberá contener solo una de las variables.Resolviendo esta ecuación y conociendo el valor de la incógnita es posible determinar el valor de las restantes.Ejemplo: 3 x  2 y  19 4 x  3 y  14 Amplificando la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 obtenemos: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 67
  • 68. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 9 x  6 y  57 8 x  6 y  28 Sumando ambas ecuaciones, tenemos: 17 x  85  x  5 Conocido el valor de x, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones y calculamos el valor de y. 3  5  2 y  19  2 y  19  15  2 y  4  y  2Resolver.8x  5  7 y  96x  3y  68x  7 y   46x  3y  6Amplificando la primera ecuación por – 3 y la segunda por 4 obtenemos: 24 x  21y 12 24 x 12 y  24Sumando ambas ecuaciones, tenemos:9 y  36 y4Conocido el valor de y, lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones y calculamos el valor de x =3Ecuaciones de segundo grado:Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, son aquellas cuya forma general es.ax 2  bx  c  0 a  0 b, c  IRLas ecuaciones de segundo grado las podemos resumir en el siguiente cuadro:ax 2  bx  c  0 Ecuación Completa Generalx 2  bx  c  0 Ecuación Completa Particular Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 68
  • 69. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009ax 2  bx  0 Ecuación Incompleta Binomialax 2  c  0 Ecuación Incompleta PuraFórmula General de una ecuación de segundo grado:  b  b2  4  a  c x 2aResolver la ecuación cuadrática: 2 x 2  5x  3  0En nuestro ejemplo tenemos que: a2 b5 c 3Por lo tanto tenemos que: 5  (5) 2  4  (2)  (3) x 2(2) 5  25  24 x 4 5  49 x 4 57 x por lo tanto las raíces o soluciones son: 4 5  7 12 57 2 1 x1   3 x2    4 4 4 4 2Resuelva la ecuación de segundo grado: 3x 2  5 x  2  0 2Solución: 1 y 3CLASE 22 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS -Resuelven ecuaciones de primer grado, orientando su - Ecuación de primer grado: estudio a situaciones reales de la especialidad y el Resolución de problemas mundo laboral. Resuelven ecuaciones de segundo grado, orientando su - Ecuaciones de segundo grado: estudio a situaciones reales de la especialidad y el Resolución mundo laboral. Resuelven sistemas de de primer grado con dos - Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas ecuaciones grado, orientando su estudio a incógnitas situaciones reales de la especialidad y el mundo laboral. Resolución de problemas Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 69
  • 70. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Resolver los siguientes problemas, en forma grupal o individual.1. En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso? Respuesta: Primer piso: 32 habitaciones; Segundo Piso: 16 habitaciones2. Repartir 300 dólares entre tres personas A, B, C, de modo que la parte que le corresponde a B sea el doble de la de A y la de C el triple de A. Respuesta: A= 50 dólares; B = 100 dólares y C = 150 dólares3. Dos ángulos suman 180° y el doble del menor excede en 45° al mayor. Hallar los ángulos Respuesta: Los ángulos miden respectivamente, 75° y 105°.4. En una pastelería se fabrican dos tipos de tortas. La primera necesita 2.4 Kg. de masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 Kg. de masa y 2 horas de elaboración. Calcular el numero de tortas elaboradas de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg. de masa. Respuesta: 15 tortas de un tipo y 11 del otro tipo5. Los ingresos de un comerciante durante el primer trimestre del año están dados bajo la siguiente condición:”Lo recibido el mes de 3 febrero es de lo recibido en el mes de enero y lo recibido en el mes de marzo es el doble de lo recibido en el mes de febrero”. Si 4 el total recaudado en este periodo del año es de 812.500 pesos. Hallar los montos ingresados en cada uno de estos meses señalados. Respuesta: Enero: $250.000; Febrero: $187.500; Marzo: $ 375.0006. Para una actividad de beneficencia se confeccionaron 120 invitaciones, las Cuáles se ofrecerán a 2.000 pesos las del almuerzo y a 1.000 pesos las de la once. Si en total se recaudan 200.000 pesos. Calcular la cantidad de invitaciones utilizadas en el almuerzo y las utilizadas en la once. Respuesta: ochenta entradas para el almuerzo y cuarenta entradas para la once.7. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? Respuesta: 100 botellas de 2 litros y 20 botellas de 5 litros8. Un comerciante de artículos deportivos compró 1.000 pares de zapatillas a $15.000 cada una. Vendió 400 pares de ellas obteniendo una ganancia del 25% ¿A que precio deberá vender los restantes 600 pares de zapatillas, si la utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30% Respuesta: Vendió los restantes 600 pares de zapatillas a $20.0009. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 metros. Si cada dimensión reaumenta en 4 metros el área será el doble. Determine las dimensiones de la sala. Respuesta: 12 metros de largo por 8 metros de ancho.10. Un comerciante, compró cierto número de sacos de azúcar por 1.000 unidades monetarias. Si hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 unidades monetarias menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno? Respuesta: 40 sacos y 25 unidades monetarias Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 70
  • 71. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 23 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven ecuaciones exponenciales - Ecuaciones exponenciales - Resuelven ecuaciones logarítmicas Resolución - Ecuaciones logarítmicas ResoluciónAquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia, se considera una Ecuación Exponencial:ax b y  a  b y x  yPara resolver este tipo de ecuaciones, una vez igualadas las bases, se igualan los exponentes, transformándose la ecuaciónexponencial en una ecuación de primer o segundo grado, según corresponda.Cuando en las ecuaciones exponenciales, no podemos igualar los exponentes recurriremos a los logaritmos.Todas las condiciones que necesitaremos para resolver Ecuaciones Exponenciales, hacen referencia al concepto de potenciación yradicación, estudiados anteriormente.Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales. 1. 5 2 x 1  25 4 x 1 Igualando las bases, tenemos. 5 2 x 1  (5 2 ) 4 x 1 5 2 x 1  58 x  2 Igualadas las bases, igualamos los exponentes: 2 x  1 8x  2 2 x  8x   2  1  6x   3 1 x 2 x 1 32 x  1  1 1 2.      4 8 32 x 1 32 x   1 2    1 3   1 5           2    2   2     2 x 2 96 x 5  1  1  1       2 2 2 4 x  7 5  1  1      2 2 4 x  7  5 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 71
  • 72. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 4 x   2 1 x 2Resuelva la siguiente ecuación exponencial: c  3 x 1 4 x  3   c 2 x  c 6 x 1   c  x 2 x 3 x 1 Respuesta: x 5En los siguientes problemas, resolveremos ecuaciones exponenciales, en las Cuáles no es posible igualar las bases, por lo tantorecurriremos a los logaritmos, es importante conocer logaritmos, vistos en clases anteriores para resolver problemas de este tipo.Resuelva:1. 4x 7 Solución: Como los logaritmos de números iguales son iguales, podemos tomar el logaritmo común (o logaritmo natural9 de cada lado de la ecuación. La regla de potencia de logaritmos entonces proporciona una forma de cambiar la variable x de su posición como exponente a una posición como coeficiente. 4x 7 log 4 x  log 7 x log 4  log 7 log 7 x Use calculadora log 4 x 1,540372. 6 x 3  2 x aplicando logaritmo log 6 x 3  log 2 x ( x  3) log 6  x log 2 x log 6  3 log 6  x log 2 x log 6  x log 2  3 log 6 x(log 6  log 2)  3 log 6 3 log 6 x log 6  log 2 x  4,89283. 73 1,6(1,03) t 73  1,03t 1,6 45,625  1,03t aplicando logaritmo log 45,625  t log1,03 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 72
  • 73. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 log 45,625 t log1,03 t 129,2493Resolución de Ecuaciones LogarítmicasEn cada uno de los siguientes ejemplos, utilizamos las propiedades de los logaritmos para cambiar una ecuación logarítmica unaecuación algebraica.Resolver: 1. log(3x  2)  log(2 x  3)  0 log(3x  2)  log(2 x  3) Si log a r  log a s, entonces r  s 3x  2  2 x  3 x52. log x  log( x  3) 1 log x( x  3)  log10 x( x  3) 10 x 2  3x 10 x 2  3x  10  0 Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos. x1   2 x2  5 x1   2 no es solución, porque no satisface la ecuación(un número negativo no tiene logaritmo) log(5 x  6)3. 2 log x log(5 x  6)  2 log x log(5 x  6) )  log x 2 (5 x  6)  x 2 0  x 2  5 x  6 Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos. x1  3 x 2  2 compruebe los resultados Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 73
  • 74. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 24 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven ecuaciones exponenciales, orientando su -Alternativas y estrategias de resolución de estudio a situaciones de la especialidad y el mundo problemas atinentes a la especialidad. cotidiano - Resolución de problemas Resuelven ecuaciones logarítmicas , orientando su estudio a situaciones de la especialidad y el mundo cotidiano - Exploran sistemáticamente, diversas alternativas y estrategias para la resolución de problemas relacionados con la especialidad. - Resuelven problemas relacionados con la especialidad, seleccionando secuencias adecuadas de operaciones y métodos de cálculo, incluyendo una sistematización del método ensayo y error, y analizando la pertinencia de los datos y solucionesResolver los siguientes problemas.1. Según cierta información científica confiable, a partir del año 2000, la concentración de CO2 ambiental, en cierta ciudad ha idovariando según la relación: C = 175 · 1,02t; donde: C es la concentración de CO2, en ppm (partes por millón) y t = años a partir de 2000.A partir de este modelo determine la concentración de CO2 para el año 2010Respuesta: 213,321 partes por millón2. La concentración de pesticida en manzanas a partir de la última fecha de aplicación está dada por C = 1,5 · 0,86T, donde laconcentración C está medida en miligramos del producto por cada 1 kilogramo de fruta, y el tiempo T, en días.Determine la variación en la concentración del pesticida entre el primer y tercer día de la última aplicaciónRespuesta: Bajó en aproximadamente un 26%3. Bajo ciertas condiciones, una población de bacterias crece en función del tiempo según la ecuación: N = 500 · 2t, siendo N el númerode bacterias del cultivo y t el tiempo, en horas.Según el modelo, determine el tiempo para el Cuál habrán 5 mil bacterias en el cultivo.Respuesta: 3,32 horas 3. Las utilidades de una empresa aumentan de acuerdo con la siguiente relación:Uf  U i (1  i ) t , donde U f es la utilidad final, U i es la utilidad inicial, i tasa de crecimiento y t es el tiempo. Si las utilidadesde esta empresa han aumentado a un promedio de un 5% entre el año 2000 y el 2008, alcanzando este último año $3,5 millones, estimela utilidad para el año 2010, suponiendo que este crecimiento exponencial continúa.Respuesta: 3,86 millones de pesos5. La altura de un cierto tipo de árbol (en pies) está dada aproximadamente por. 160 h , donde t es la edad del árbol en años. Estime la edad de un árbol de 80 pies de altura 1  240  e 0, 2t Respuesta: 27,4 años Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 74
  • 75. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20096. La población de un cierto país era de 8.000.000 de habitantes el año 2005 y está creciendo a una tasa del 1% anual, suponiendo que esta tasa de crecimiento continúa. Cuándo alcanzará este país los 10.000.000 de habitantes, de acuerdo a la siguiente relación Pf  Pi  1,01t , siendo Pf la población final, Pi la población inicial y t es el tiempo Respuesta: 22,43 años7. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 500.000 0 , 02 t 7 habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula: P  50.000    en donde t es el tiempo en años. 3 Calcule la población para el año 2.009 Respuesta: 42.927 habitantesCLASE 25 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Refuerzan aprendizajes esperados, de las clases 15 Reforzamiento Evaluación Nacional Estandarizada de a 24 preparación Evaluación Nacional los aprendizajes esperados de las clases 15 a 24Resolver en forma grupal o individual, los siguientes problemas, en preparación de la Segunda Evaluación Nacional 27  a 6 3  3a 2 1. Simplificar la expresión  5  Respuesta.  b  b15  2. Simplificar la siguiente expresión: 18  50  32  8 Respuesta: 14 23. Simplifique: ( 3  6 2)   32 2  Respuesta:  21  4 64. Racionalice el denominador: 3 6 a. Respuesta: 6 2 3 b. Respuesta: 3 2  3 2 1 5 c. Respuesta: 15  10 2 3 3 2 d. Respuesta: 52 6 3 2 3 16a 5 3 2 e. Respuesta: 2 a 3 2a 3 4 15. Exprese la ecuación en forma logarítmica:    16 Respuesta: log 1 16   4 2 2 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 75
  • 76. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20096. Dado log3 = 0,4771 y log4 = 0,6021, determine el valor de: a. Log 48 Respuesta: 1,6812 b. Log 3 Respuesta: 0,23867. Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión: x 1 1log Respuesta. log( x  1)  log( x 2  1) x 1 2 28. Si R es la intensidad de un temblor, A es la amplitud (medida en micrómetros), y P es el período (el tiempo de una oscilación de la superficie terrestre, medida en segundos), entonces A R  log , encuentre la medida en la escala de Richter de un terremoto de 10.000 micrómetros y un período de 0,1 segundos. P Solución: El terremoto es de 5 en la escala de Richter9. Si E 0 es el voltaje de salida de un dispositivo y E I es el voltaje de entrada, la ganancia de voltaje en decibeles está dada por: E0 dB  20 log , si la entrada de un amplificador es de 0,4 volts y la salida es de 50 volts, encuentre la ganancia de voltaje en EI decibeles del amplificador. Respuesta: El amplificador produce una ganancia de voltaje de 42 decibeles10. Es frecuente que un equipo se deprecie. Si un equipo con esperanza de vida útil de N años, que cuesta $C, se depreciará a un valor de $V en n años, donde n está dado por la fórmula: log V  log C n , una impresora que cuesta 470 unidades monetarias tiene una esperanza de vida útil de 12 años. Si se ha  2 log 1    N depreciado a un valor de 189 unidades monetarias ¿Cuál es su antigüedad? Respuesta: 5 años11. Reduzca la siguiente expresión a su mínima expresión:  28a 6 b 2  16a 2 b 6  11b 6 a 2  48b 2 a 6  60a 6 b 2  27b 2 a 6  18a 2 b 6 Respuesta:  103a b  23a b 6 2 2 612. Dados los siguientes Polinomios. P : 5 x 3  3x  8 Q :  7 x 4  5 x 3  2 x 2  3x  12 R :  9 x 3  7 x 2  15 S :10 x 4  6 x 2  11x  17 T : 4 x 4  x 3  13 x  1 P Q  S T a. Calcular: Respuesta: 7 x  9 x  8 x  8 x  12 4 3 2 b. S  Q  R  Respuesta: 17 x  14 x  11x  14 x  44 4 3 2 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 76
  • 77. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 200913. Resuelva el siguiente producto: 3 2  3 2   a  b  1   b  a  1 4 3  4 3  Solución: 145 1 17 1 17 ab  a 2  a  b2  b 1 144 2 12 2 1214. Resuelva utilizando productos notables:  7c   7c  13 pq r    13 pq r   2 3 2 3  2  2 49c 2 Solución: 169 p 2  q 4  r 6  415. Resuelva utilizando productos notables: 2 2 2 1 3  a  b  3 4  4 4 1 2 3 1 6 Respuesta: a  a b  b 9 3 16Factorizar las siguientes expresiones. 1 7 6 1 6 8 1 9 716. p q  p q  p q 5 20 30 1 6 6 1 1  Respuesta: p q  p  q 2  p 3q  5  4 6 17. t 2  23t  132 Solución: t  11  ( t  12 ) 33 218. r4  r 2 4    Solución: r 2  8   r 2   1 4 4 2 8 419. a  ab  b 2 9 15 25 2 2 2  Solución:  a  b  3 5 20. 289 x 2  374 xy  121y 2 Solución: ( 17 x  11y )221. Una persona recibe un ingreso mensual de: 3x 2 y  2 xy 2  xy  pesos y gasta en arriendo y alimentación x 2    y  5 xy pesos y 4 xy 2  2 xy pesos, respectivamente. Determine la cantidad de dinero que le queda para pagar el resto de sus obligaciones. Respuesta: 2 x 2 y  6 xy 2  6 xy Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 77
  • 78. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 200922. Compro x  2  3xy  y  bienes a 4 xy 2  pesos cada uno. ¿Cuánto cancelo por el total? Respuesta: 4 x 3 y 2  12 x 2 y 3  4 xy 3 3x 2 y23. Si x = 0,1 y = 0,2 z = 0,3 Evaluar: 2y2z Respuesta: 0,25 24. Resolver la ecuación:  3 x  5 x   x  3  8 x  5 x  9   Respuesta: x 325. Resolver el sistema de ecuaciones:  6 y  7 x  63 9 x  2 y  13 Respuesta: x  3; y   726. Resolver la ecuación: 5( x  4)  8( x  5)  4( x 2  53) Respuesta: x1  8 x 2   4,75 x 9 127. Resolver la ecuación exponencial: 4 4 x 1    Respuesta: x2 4 x 128. Resolver la ecuación exponencial: 13  2 Respuesta: 1,270229. Resuelva la ecuación logarítmica: ln(2 x  5)  ln 3  ln( x  1) Respuesta: x  830. Entre dos vendedores, A y B, han vendido un total de 20 plantas para jardín, por un total de $23.200. Por un problema de información, ambos vendieron a precios diferentes. A vendió a $1.250 y B a $1.100 cada planta. ¿Cuál es la diferencia entre las plantas vendidas por ambos? Respuesta: 4 plantas31. Un grupo de trabajadores han instalado la tercera parte de un cierro perimetral de una carretera. Si falta por instalar las 3/5 partes más 550 m. ¿Cuál es la longitud total del cierro a instalar? Respuesta: 8.250 metros32. Se sabe que el total de la pintura de fachadas que se requiere para una construcción es de 158 galones, si por error de despachose cuenta con el triple del verde musgo y el doble del amarillo colonial, por un total de 400 galones. ¿Cuántos galones se requiere decada color?Respuesta: X = 84 galones de verde musgo Y = 74 galones de amarillo colonial33. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 500.000habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula: P  500.000 e 0,02t en donde t es el tiempo en años. Calculela población para el año 2.008 Respuesta: 426.072 habitantes Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 78
  • 79. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 200934. El volumen de ventas de una marca de cereales disminuye después de una campaña publicitaria de acuerdo a la Fórmula V =750(1,3)-t donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dostercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas?Respuesta: 1,55 meses35. Si cierta marca de automóvil se compra por C pesos, su valor comercial v al final de t años, está dado por t 1v  0,78  C  0,85 .Si el costo original es de $6.500.000, calcule el valor del automóvil después de tres años.Respuesta: $3.663.075CLASE 26 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS Evaluación Nacional Estandarizada de los Desarrollan evaluación sumativa aprendizajes esperados de las clases 15 a 24.CLASE 27 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican el concepto de función, su dominio y - Concepto de función recorrido, operando con la nomenclatura Dominio y Recorrido de la función correspondiente. Nomenclatura funcional - Calculan imágenes y coimágenes en funciones - Cálculo de imágenes y coimágenes de funciones sencillas y las representan gráficamente. sencillas. Representación gráfica. - Identifican la función lineal y la caracterizan a - Función lineal: través de sus parámetros, ceros y gráfica. Características Ecuación representativa GráficoUna función es una correspondencia entre un conjunto de valores x de entrada (llamado dominio de la función) y un conjunto de valoresy de salida (llamado rango de la función), donde exactamente un valor y del rango corresponde a cada número x del dominio.Dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática, denotada por: f :X YEj. 1Dada la expresión y  2 x  3 ¿es función? Si es así, encuentre su dominio y su rango, e ilustre la función con una tabla y una gráficaSolución: Para que exista una función, todo valor de x debe determinar un valor de y, si reemplazamos en y  2 x  3 , valores de xcorrespondientes a los reales, cada opción de x determina un valor de y, por lo tanto es una función.Como la entrada x puede ser cualquier número real, el dominio de la función es el conjunto de los números reales. Como la salida ypuede ser cualquier número real, el rango es el conjunto de los números reales.Tabla de valores x y (x, y) 1 -1 (1, -1) 2 1 (2, 1) 3 3 (3, 3) Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 79
  • 80. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 0 -3 (0, -3) -1 -5 (-1,-5) -2 -7 (-2,-7) -3 -9 (-3,-9)Gráfico: y y = 2x - 3 xEj. 2¿La expresión y 2  x define que y es una función de x?Para que exista una función cada valor de x debe determinar un valor de y, si consideramos el valor de x = 4, por ejemplo, y podría ser 2o - 2, ya que 2 2  4 y (2) 2  4 , como se determina más de un valor de y cuando x = 4, la ecuación no representa una función.Notación de funcionesLa notación y  f ( x) denota que la variable y es una función de xEj. Sea f ( x )  4 x  3 , encuentre f (3) y f (1) f (3)  4  3  3  15 f (1)  4(1)  3   1Localización de dominios y rangos de la función 1Ej.1 Sea una función f : IR  IR definida por y  , determine el dominio y el rango de la función. x2El Dominio de la función es el conjunto de todos los Reales, excepto el 2, ya que al reemplazarlo en la función, el denominador se hacecero.Puesto que una fracción con numerador 1 no puede ser cero, el rango es el conjunto de todos los números reales, excepto el cero.Ej. 2 Sea una función f : IR  IR definida por y   2 x  1 , determine el dominio y el rango de la función.Puesto que todo número real x, determina un valor correspondiente de y, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Comolos valores de y pueden ser cualquier número real, el rango es el conjunto de todos los números reales. Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 80
  • 81. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009FUNCIÓN LINEALAl establecer que una función es una correspondencia uno a uno entre los elementos de dos conjuntos claramente definidos, se está encondiciones de poder desarrollar y estudiar relaciones funcionales entre innumerables elementos de diferentes campos operacionales.Una función lineal es una relación de proporcionalidad directa entre los elementos de dos variables X e Y, las Cuáles se denominanDominio y Rango de la función, donde se establece una relación de dependencia entre ambas variables, tal es el caso que la variable Xse denomina variable independiente y la variable Y, variable dependiente de esta función.Si la función lineal es una relación de proporcionalidad directa entre las variables X e Y, si una de las variables crece lo hará también laotra y viceversaDefinición: Una relación funcional de la forma: y  ax  b o y  mx  n es una función lineal, donde a y b son númerosreales que no cambian de magnitud para la función dada.Las magnitudes a y b son elementos característicos de cada función lineal y representan respectivamente a:1. La pendiente de la función, a, o coeficiente de dirección2. Al punto donde esta función se intersecta con el eje ordenado, del Diagrama Cartesiano,(0, b), o Coeficiente de PosiciónLa expresión general para la Función Lineal o Ecuación de la Recta también se expresa analíticamente como Ax  By  C  0 ,donde la pendiente a y el punto de intersección de la recta b corresponde a: A Ca b B BConsideremos la Función Lineal y  2 x  1 , la Cuál deberá corresponder a una Línea Recta de pendiente a = 2 y Coeficiente Posicional b = - 1 y que representada gráficamente corresponde a: Y XEl valor o magnitud de la Pendiente de la Función Lineal, es el cuociente entre la variación o incremento de la variable y y la variación oincremento de la variable x, tal que: y y 2  y1 a  x x 2  x1Esto significa que para obtener y conocer la pendiente se deben conocer dos pares cartesianos ( x, y ) de la función o de las variables y 2  y1que se estén utilizando y establecer la relación: a  x 2  x1Ejemplo:Determine la pendiente o inclinación de la función lineal, que pasa por los puntos P (3,5) y P2 ( 2,6) 1 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 81
  • 82. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 65a  1 23Propiedades de la pendiente: 1. Si a = 0 la función lineal es paralela al eje de las x 2. Si a > 0 la función lineal es ascendente 3. Si a < 0 la función lineal es descendenteLa función lineal tiene por característica geométrica representar una línea recta, de modo que su representación gráfica y los valoresasignados a la pendiente y al Coeficiente Posicional b, son de gran utilidad en la interpretación de situaciones prácticas que abarcanmuchas disciplinas del conocimiento, fundamentalmente de las Ciencias Aplicadas.La representación gráfica de la función lineal de acuerdo a las propiedades asociadas a la pendiente son de la forma. a >0 a<0 a=0 no existeCLASE 28 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Operan con la función lineal en forma analítica y gráfica, - Función lineal: relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral. Aplicaciones - Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la función lineal como modeloPara la construcción de una Función Lineal es necesario conocer a lo menos:1. Un punto o par cartesiano (x, y) y la pendiente a2. Dos puntos o pares cartesianosY aplicando la expresión y  y1  a  x  x1  en el caso punto- pendiente o la expresión: y y y  y1   2 1   x  x1  en el caso de conocer dos puntos  x x   2 1Cabe hacer notar que ambas expresiones son equivalentes de acuerdo a la definición dependienteEjemplo1:Escribir la Ecuación de la Recta que tiene pendiente a = 4 y pasador el punto A (1, 5)y  y1  a ( x  x1 )y  5  4 ( x  1)y  4x  1 Ecuación Pr incipal4 x  y  1 0 Ecuación GeneralEscribir la Ecuación de la Recta que pasa por los puntos: A (-3, 1) y B (3, -1), usando la forma Principal y la forma general Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 82
  • 83. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 y y y  y1   2 1   x  x1   x x   2 1  11y 1   ( x  3)  33  1y  ( x  3)  1 3 1y x Ecuación Pr incipal 3x  3y  0 Ecuacón GeneralConsideremos las siguientes Funciones Lineales o Ecuaciones de Recta 1y  3x  2 y  3x  2 y   x 1 3y representémoslas en un gráfico, destacando de acuerdo a lo establecido que las dos primeras presentan lamisca pendiente a = 3. Alasignar valores a la variable independiente x para los tres casos se deben obtener las siguientes representaciones: X Y = 3X+-2 1 Y=  X 1 Y = 3X -2 3 YDe la representación gráfica se observa que las dos primeras rectas son paralelas y la tercera recta es perpendicular a las anteriores.Dos Rectas son Paralelas si tiene igual pendiente ( a1  a 2 ) de modo que la distancia entre ambas debe ser constante y Dos Rectasson Perpendiculares, si sus pendientes son valores recíprocos y negativos ( a1  a 2   1) Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 83
  • 84. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Resuelva los siguientes problemas en forma grupal o en forma individual: 11. Dadas las rectas y  2 x  5 e y x  1 , demostrar gráficamente que son perpendiculares 22. Encuentre la función lineal o ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1,5 1 y P2 2,4 Respuesta: y   9 x  143. El costo fijo de producción de galletas finas es de $50.000 al mes y el costo variable de producir cada kilo es de $1.180.a. ¿Cuál será la función de costo total?b. ¿Cuál será el costo de producir 45 kilos de estas galletas?Respuesta: a. C ( x)  1.180 x  50.000 b $103.1004. Una empresa líder en el mercado tiene un costo fijo de 4.000 dólares para planta y equipo y un costo variable de 300 dólares porcada unidad producida. ¿Cuál es el costo total de fabricara. 25 unidades?b. 40 unidades?Respuesta: a. 11.500 dólares b.16.000 dólares5. Una fabrica recibe 25 dólares por cada unidad de producción vendida .Sus costos variables por unidad son de 15 dólares y un costofijo de 1.200 dólares ¿Cuál es el nivel de utilidad si se vendena. 200 artículos?b. 300 artículos?c. 100 artículos?Respuesta: a. 800 dólares b.1.800 dólares c.  200 dólares6. Las ventas anuales (en unidades) estimadas S de un nuevo aditivo están dadas por la ecuación S  150.000  3000t endonde t es el tiempo medido en años desde el año 2005, tal ecuación es llamada ecuación de tendencia. Determine las ventas anualesestimadas para el año 2008.Respuesta: 159.000 unidades7. Una empresa que fabrica vajilla desechable tiene costos fijos de 3.000 dólares mensuales y el costo de la mano de obra y delmaterial es de 50 dólares.a. Determine la función de costos, es decir el costo total como una función del número de vajilla producida.b. Si cada vajilla se vende a 80 dólares. Encuentre la función de ingresos y de utilidadesRespuesta: a. C ( x )  50 x  3.000 b. I ( x)  80 x U ( x)  30 x  3.0008. Encuentre la expresión lineal que se asocia al ingreso, si se sabe que por la venta de 40 bicicletas ingresaron 4.500 dólares, y por laventa de 15 bicicletas del mismo tipo el ingreso fue de2.000 dólares.Respuesta: I ( x) )  100 x  5009. Cuando el precio es de 50 dólares hay disponibles 50 litros de pintura. Cuando el precio es de 75 dólares, hay disponibles 100 litrosde pintura. ¿Cuál es la ecuación de la oferta suponiendo que la relación es lineal?Respuesta: p  0,5 x  2510. Dadas las ecuaciones de oferta y demanda de un artículo D : p  28  x ; O : p  2 x +1 Determinar el precio (pesos) y la cantidad (en unidades) de equilibrio del mercado Respuesta: Precio en el equilibrio: $19; Cantidad en equilibrio: 9 unidades Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 84
  • 85. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 200911. Una compañía fabrica dos tipos de cierto producto. Cada unidad del primer producto requiere 2 horas-maquinas y cada unidad delsegundo producto requiere 5 horas-maquinas. Hay 280 horas máquinas disponibles cada semana.a. Si x unidades del primer tipo e y unidades del segundo tipo se fabrican cada semana, encuentre la relación entre x e y sise emplean todas las horas máquinas. Respuesta 2 x  5 y  280b. ¿Cuántas unidades del primer producto pueden fabricarse si se producen 40 unidades del segundo producto en una semana? Respuesta : 40 unidades12. En el casino de una industria, se necesita una función para determinar la bonificación mensual de sus maestros de cocina enrelación con su producción. Si todos los trabajadores reciben un sueldo base de $205.500 y su producción mensual máxima es de 9.000platos calientes al mes de acuerdo a la exigencia máxima de la industria. El bono correspondiente por cada plato producido se cancelaa $22.a. ¿Cuál es la función para determinar la bonificación por trabajador? Respuesta: y  205.500  22 xb. ¿Cuál es el valor de este bono si se producen 8.500 platos? Respuesta: $392.500CLASE 29 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican la función cuadrática y la caracterizan a - Función cuadrática : través de sus parámetros, ceros y gráfica Características La parábola Elementos Ecuación general y particularUna función de la forma f ( x )  ax  bx  c a  0 con a, b y c constantes se denomina función cuadrática. 2El dominio de la función cuadrática es el conjunto de los números reales. La función cuadrática queda representada gráficamente poruna parábolaPara graficar una función cuadrática, consideraremos tres puntos:1. Intersección de la parábola con respecto al eje de las abscisas.2. Intersección de la parábola con respecto al eje de las ordenadas3. Determinación del vértice de la parábola.1. Intersección de la parábola con respecto al eje de las abscisas.Para calcular el o los puntos donde la parábola corta al eje de las x igualamos la función a cero. ax 2  bx  c  0 ; por lo tanto debemos resolver una ecuación cuadrática, recordemos que las raíces de la ecuación cuadráticaestán dadas por la fórmula cuadrática:  b  b 2  4acx 2ab 2  4ac se denomina Discriminante, que simbolizaremos por  .Si  0 , tenemos 2raíces diferentes, esto significa que la parábola corta al eje de las x en dos puntos diferentes, por ejemploy  x 2  2,5 x  9 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 85
  • 86. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Si   0 , tenemos dos raíces iguales, esto significa que la parábola corta al eje de las x en un solo punto, por ejemplo y  x 2Si   0 , las raíces son imaginarias, por lo tanto no corta al eje de las x, por ejemplo y  x 2  2 x  22. Intersección de la parábola con respecto al eje de las yPara calcular el punto donde la parábola corta al eje de las y, hacemos x = 0 en la función cuadrática y  ax  bx  c , si hacemos 2x = 0, entonces y = c, por lo tanto la parábola corta al eje de las y en el punto c.Observando los gráficos anteriores, vemos que para la función y  x  2,5 x  9 , la parábola corta al eje de las y en el punto (0, - 29); para la función y  x , la parábola corta al eje de las y en el punto (0,0), y en la función y  x  2 x  2 , la parábola corta al 2 2eje de las y en el punto (0,2)3. Determinación del vértice de la parábola (punto máximo o mínimo de ella)La gráfica de la función: f ( x )  ax  bx  c a  0 es una parábola que se abre hacia arriba si a  0 (Punto mínimo) y 2hacia abajo si a  0 (Punto máximo).Este punto tiene coordenadas: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 86
  • 87. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009 b 4ac  b 2  b 4ac  b 2 x ; y Vértice :    2a ,   2a 4a  4a Ejemplo:Graficar la función cuadrática: y  3 x  2x  1 21. Intersección de la parábola con respecto al eje de las x3x 2  2 x  1  0 , utilizando la ecuación cuadrática: 2  4  4  3 1x 6 2  16x 6 24x 6 1  1 Por lo tanto las raíces son 1 y  ; esto significa que la parábola corta al eje de las x en los puntos: (1, 0) y   , 0  3  3 2. intersección de la parábola con respecto al eje de las yy  3x 2  2 x  1 ; haciendo x = 0, tenemos que y = -1, por lo tanto la parábola corta al eje de las y en el punto (0, -1)3. Determinación del vértice de la parábola:Como a > o, la parábola abre hacia arriba (punto mínimo) b 2 1x   2a 6 3 4ac  b 2 4  3  (1)  4y    1,33333333 4a 12Con los tres puntos anteriores estamos en condiciones de graficar la Parábola Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 87
  • 88. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009CLASE 30 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Operan con la función cuadrática en forma analítica y gráfica, -Función cuadrática: relacionando su estudio a situaciones de la vida laboral. Gráfico - Resuelven problemas de la vida cotidiana y de la especialidad aplicando la Aplicaciones función cuadrática como modelo.Resolver los siguientes problemas, en forma grupal o en forma individual1. Determine el vértice de la parábola: y  3  x  3 x 2 Respuesta: (0.167; 3.083 )2. Graficar la parábola y  4 x  x , indicando los puntos de intersección con los ejes coordenados y el vértice de la parábola 2 Respuesta: Intersección con el eje de las x: x  0 y x4 Intersección con el eje de las y: y  0 Vértice de la parábola: (2,4)3. Determine el valor máximo o mínimo, según corresponda de la función: y  3 x  5x  1 2 Respuesta: (0,83 ;  3.083)4. El ingreso obtenido por vender x unidades de pendrive está dado por: I ( x )  60 x  0,01x 2 Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo de maximizar el ingreso. Respuesta: 3.000 unidades El costo de producir x artículos al día está dado en dólares por: C ( x )  80  4 x  0,1x 2 Si cada artículo puede venderse en 10 dólares, determine el punto de equilibrio. Respuesta: x1  40 x 2  205. Una empresa vende un artículo a un precio de p = 4q – 1.080. Si q representa la cantidad de artículos vendidos, determine el valor de q para que la empresa tenga un ingreso total de 64.000 dólares. Respuesta: 320 artículos6. Una empresa sabe que, si fija en p dólares el precio de un producto, el número de unidades vendidas será x millones, donde p = 2 – x. Si el costo del producto viene dado por 0,25 + 0,5x millones de dólares. ¿Qué precio se debería fijar para obtener utilidades de 0,25 millones de dólares? Respuesta: p  (2  1)  1 p  (2  0,5) 1,57. El número de y unidades vendidas cada semana de un producto depende de la cantidad x (en dólares) gastada en publicidad y está dada por: y  70  150 x  0,3 x ¿Cuánto deberían gastar a la semana en publicidad con objeto de obtener un volumen de 2 ventas máximo? Respuesta: 234,38 dólares semanales8. Los costos fijos semanales de una empresa por su producto son de 200 dólares y el costo variable por unidad es de 70 centavos de dólar. La empresa puede vender x unidades a un precio de p dólares por unidad en donde 2p = 5 – 0,01x. ¿Cuantas unidades deberán producirse y venderse a la semana de modo que obtenga utilidad máxima? Respuesta: 180 unidades Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 88
  • 89. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20099. El ingreso mensual (en dólares) obtenido por vender x unidades de un producto está dado por: I ( x)  4 x  0,025 x Determine 2 el número de unidades que deben venderse al mes de modo de maximizar el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo? Respuesta: 80 unidades Ingreso máximo: 180 dólares10.El costo promedio por unidad ( en dólares) al producir x unidades de un bien es de C ( x)  20  0,06 x  0,0002 x 2 ¿Qué número de unidades producidas minimizarían el costo promedio? ¿Cuál es el correspondiente costo mínimo por unidad? Respuesta: Número de unidades: 150 Costo mínimo por unidad: 15,5 dólares10. Si las plantas de arroz se siembran con una densidad de x plantas por pié cuadrado, la producción de arroz en cierta plantación es de x(10  0,5 x) bushels por acre. ¿Qué valor de x maximiza la producción por acre Respuesta: 10 plantas por pie cuadradoCLASE 31 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Identifican la función exponencial de la forma y  a  b , y x - Función exponencial Ecuación la caracterizan a través de sus parámetros, ceros y gráfica. Gráficos - Identifican el comportamiento de la función exponencial de la forma y  a  b , cuando 0 < b < 1 y cuando b > 1. x - Función logarítmica - Identifican la función logaritmo de la forma Gráficos y  a  b log x , y la caracterizan a través de sus - modelos de crecimiento parámetros, ceros y gráfica. - Analizan fenómenos de crecimiento lineal, exponencial y logarítmico en forma analítica y gráfica Sea a  IR , entonces f ( x )  a con x  IR, a  1, se llama Función Exponencial en base a x  f exp   x, y  / y  a x , x  IR, a  1, a  1   f exp : IR  IRSi a > 1 el gráfico de la función tiene la forma:Si 0  a  1 el gráfico tiene la forma: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 89
  • 90. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Ejercicios:Graficar utilizando una tabla de valoresa. f ( x )  2 x x 1b. f ( x )    2Se define la función logaritmo como: f log a   x, y  / y  log a x a  0; a  1, y  IRSi a > 1 el gráfico de la función tiene la forma:Si 0  a  1 el gráfico tiene la forma: Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 90
  • 91. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Ejercicio:Graficar utilizando una tabla de valoresa. y  log 2 xb. y  log 1 x 2CLASE 32 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Resuelven problemas contextualizados en el Función exponencial: mundo cotidiano y en la especialidad, aplicando el Aplicaciones modelo exponencial - Resuelven problemas contextualizados en el Función logarítmica mundo cotidiano y e la especialidad, aplicando el Aplicaciones modelo logarítmico. - Resuelven problemas de crecimiento - Problemas de crecimiento contextualizados en el mundo cotidiano y de la especialidad, aplicando modelos de crecimiento lineal, exponencial y logarítmico.Resolver los siguientes problemas en forma grupal o en forma individual1. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 500.000 habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula: P  500.000 e 0,02t en donde t es el tiempo en años. Calcule la población para el año 2.008 Respuesta: 426.072 habitantes2. Si cierta marca de automóvil se compra por C pesos, su valor comercial v(t ) al final de t años, está dado por v( t )  0,78  C  0,85 t 1 . Si el costo original es de $6.500.000, calcule el valor del automóvil después de tres años. Respuesta: $3.663.0753. Si el valor de los bienes raíces se incrementan a razón del 10% por año, entonces después de t años, el valor de una casa comprada en P pesos, está dada por v(t )  P  1,1 . Si una casa fue comprada en $40.000.000 en el año 2001. ¿Cuál será su precio en el año t 2008? Respuesta: $77.948.6844. El volumen de ventas de una marca de cereales disminuye después de una campaña publicitaria de acuerdo a la Fórmula V (t) = 750(1,3)-t donde t es el tiempo en meses. La siguiente campaña está planeada para cuando el volumen de ventas haya caído a dos tercios de su valor inicial. ¿Cuánto tiempo debe pasar entre dos campañas sucesivas? Respuesta: 1,55 meses5. El valor de una máquina adquirida hace 8 años por 10.000 dólares viene dado por la expresión: V (t) = 10.000 e-0,3 t, donde t mide los años después de su adquisición.¿En cuanto tiempo la máquina tendrá un valor de 2.231,30 dólares ? Respuesta: 5 años6. Una población crece de acuerdo con la fórmula: P 5 x 10 6 e 0,06t donde t es el tiempo en años. ¿Cuanto tiempo tardará la población en aumentar 50%? Respuesta: 6,76 años Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 91
  • 92. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20097. Se adquiere una máquina batidora industrial por $450.000 y se deprecia continuamente desde la fecha de adquisición. Su valor después de t años está dado por la fórmula: V  450.000  e 0, 2t ¿En cuanto tiempo la máquina tendrá un valor de $200.000? Respuesta: 4,1 años8. Según cierta información científica confiable, a partir del año 2000, la concentración de CO2 ambiental, en cierta ciudad de Chile ha ido variando según la función: C = 175 · 1,02t; donde: C = concentración de CO2, en ppm (partes por millón) y t = años a partir del 2000. A partir de este modelo determine la concentración del CO2 el año 2000 Respuesta: 175 ppm9. La concentración de pesticida en manzanas a partir de la última fecha de aplicación está dada por la función: C = 1,5 · 0,86T, donde la concentración C está medida en mg del producto por cada 1 kilogramo de fruta, y el tiempo T, en días. Determine en que tanto por ciento disminuye la concentración del pesticida entre el primer y tercer día de la última aplicación. Respuesta: Disminuye un 26%10. Una persona invierte cierta cantidad de dinero en negocios que le producen utilidades, estas utilidades vienen dadas aproximadamente por la expresión U  2,5  1,1 , donde U es la utilidad en millones de pesos y t es el tiempo en meses. ¿Cuanto t tiempo demoraría en obtener 25 millones de pesos en utilidades? Respuesta: 24,2 meses.11. Una compañía que fabrica software contrató a un técnico para evaluarlos. El número de software posibles de evaluar por día viene dada por: 200 N , donde N es el número de software evaluado por día, después de t días de trabajo. ¿Cuántos días requiere 4  21  e 0,1t un técnico para evaluar 40 software diarios? Respuesta: Aproximadamente 30díasCLASE 32 APRENDIZAJES ESPERADOS CONTENIDOS - Examen Nacional. Aprendizajes esperados del módulo - Evaluación Sumativa1. El precio conjunto de dos bienes es de $35.000. Si el precio del bien A es el triple del bien B, calcular el valor comercial de cada artículo. Respuesta: Precio del bien A: $26.250; Precio Del bien B: $8.7502. Una persona recibe un ingreso mensual de $1.500.000, de este ingreso ocupa la cuarta parte para pagar los estudios de sus hijos, la octava parte en gastos relacionados con su casa y un octavo de lo que le queda para viajar. Calcular el gasto total realizado por la persona y la cantidad de dinero que puede guardar como ahorro. Respuesta: Gasto total: $679.688; ahorro: $820.3123. El agua contenida en cuatro depósitos pesa 879,002 Kg. El primer depósito contiene 18,132 Kg. menos que el segundo; el segundo, 43,016 Kg. más que el tercero, y el tercero 78,15 Kg. más que el cuarto. Hallar el peso del agua contenida en cada depósito. Respuesta: En cada uno de los depósitos hay respectivamente: 247,197; 265,329; 222,313 y 144,163 kilos de agua4. Una librería obtuvo utilidades de $360.000 sobre una venta total de $1.200.000 en el año anterior, determine la razón del total de ventas a las utilidades. 10 Respuesta: 3 Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 92
  • 93. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 20095. Se reparten $410.000 entre tres personas A, B y C, de tal forma que, la razón en la que se establece la repartición es A: B: C = 2: 3: 5. Calcular la cantidad de dinero que recibe cada una de estas personas. Respuesta: A  $82.000; B  $123.000; C  $205.0006. En una fábrica trabajan normalmente 5 maquinas, las Cuáles emplean 5 días en confeccionar 2.600 artículos, trabajando 6 horas cada día. Si la confección para la próxima temporada se reduce a 1.500 de estos artículos Calcular la cantidad de máquinas que han de trabajar durante 3 días con un promedio de 8 horas diarias. Respuesta: x  3,61 .Por lo tanto se necesitan aproximadamente 4 máquinas7. El precio de costo de un televisor de pantalla plana es de $850.000, se desea obtener una ganancia del 15% sobre el costo, calcular el precio de venta al público, si se debe agregar un 19% de IVA. Respuesta: $1.163.225 1  1  i  n 8. Evaluar la expresión: A    si A  500.000 i  0,03 n  12  i  Respuesta: 4.977.0001,9979. Los ingresos de un comerciante durante el primer trimestre del año están dados bajo la siguiente condición:”Lo recibido el mes de 3 febrero es de lo recibido en el mes de enero y lo recibido en el mes de marzo es el doble de lo recibido en el mes de febrero”. Si 4 el total recaudado en este periodo del año es de 812.500 pesos. Hallar los montos ingresados en cada uno de estos meses señalados. Respuesta: Enero: $250.000 Febrero: $187.500 Marzo: $ 375.00010. Para una actividad de beneficencia se confeccionaron 120 invitaciones, las Cuáles se ofrecerán a 2.000 pesos las del almuerzo y a 1.000 pesos las de la once. Si en total se recaudan 200.000 pesos. Calcular la cantidad de invitaciones utilizadas en el almuerzo y las utilizadas en la once. Respuesta: x= 80 Entradas para el almuerzo y = 40 entradas para la once11. El costo de fabricar 10 unidades diarias de un producto es de $175.000 mientras que cuesta $300.000 producir 20 unidades del mismo tipo al día. Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la función Respuesta: y 12.500 x  50.00012. El costo de producir x artículos al día está dado en dólares por: C ( x)  80  4 x  0,1x Determine el 2 costo, si se fabrican 50 artículos diarios. Respuesta: El costo de producir 50 artículos diarios es de 530 dólares13. Debido a una depresión, cierta región económica tiene una población que decrece. En el año 2000, su población fue de 50.000 0,02t 7 habitantes y de ahí en adelante su población se rigió por la fórmula: P  50.000    en donde t es el tiempo en años. Calcule 3 la población para el año 2.010 Respuesta: P  42.206 habitantes Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 93
  • 94. Vicerrectoría Académica Cuaderno de Apuntes – 2009Cuaderno de Apuntes de uso exclusivo de los estudiantes del Instituto Profesional AIEP. Prohibida su reproducción. Derechos reservados AIEP. 94